struktur aljabar

BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI

25

BAB 2

SEMIGRUP DAN MONOID

Tujuan Instruksional Umum :

Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengidentifikasi dan

memahami konsep dari Semigrup dan Monoid

Tujuan Instruksional Khusus :

Setelah diberikan penjelasan mengenai operasi biner pada himpunan, mahasiswa

minimal 80% dapat :

a. Menjelaskan definisi dari Semigrup

b. Menentukan suatu operasi biner adalah Semigrup

c. Menjelaskan definisi dari Monoid

d. Menentukan suatu operasi biner adalah Monoid

Deskripsi Singkat :

Dalam bab ini merupakan kelanjutan dari bab 1, jika dalam bab sebelumnya

dijelaskan mengenai struktur aljabar yang mempunyai satu atau dua operasi biner,

dalam bab ini akan dibahas mengenai Semigrup yang mempunyai satu prasyarat

tertutup dan assosiatif dari operasinya dan bila Semigrup memiliki unsur kesatuan

maka dinamakan Monoid.


26

2.1. Semigrup dan Monoid

Telah kita pelajari konsep grupoid yaitu suatu struktur aljabar

dengan satu operasi biner. Grupoid adalah suatu struktur aljabar hanya

dengan satu operasi biner saja dan tanpa syarat apa-apa, yang

merupakan struktur aljabar yang paling sederhana.

Dalam sub pokok bahasan ini, akan dipelajari struktur aljabar

dengan satu operasi biner, tetapi sudah diberi prasyarat yaitu sifat

tertutup dan assosiatif dari operasinya.

Definisi 2.1 :

Suatu grupoid (G,+) dikatakan semigrup terhadap penjumlahan jika

memenuhi syarat-syarat :

1. (G,+) tertutup terhadap penjumlahan

2. Assosiatif terhadap penjumlahan

Contoh 2.1 :

Grupoid bilangan asli N, bilangan bulat Z, bilangan rasional Q dan bilangan

R, merupakan semigrup terhadap penjumlahan dengan lambang (N,+),

(Z,+), (Q,+) dan (R,+).

Definisi 2.2 :

Suatu grupoid (G,.) dikatakan semigrup terhadap perkalian jika memenuhi

syarat-syarat :

1. (G, .) tertutup terhadap perkalian

2. Assosiatif terhadap perkalian


27

Contoh 2.2 :

Grupoid bilangan asli N, bilangan bulat Z, bilangan rasional Q dan bilangan

R, merupakan semigrup terhadap perkalian dengan lambang (N, .) untuk

bilangan asli, (Z, .) untuk bilangan bulat, (Q, .) untuk bilangan rasional

dan (R, .) bilangan real.

Contoh 2.3 :

Misalkan himpunan bilangan asli N, didefinisikan sebagai operasi biner

a * b = a + b + ab. Tunjukan bahwa (N,*) adalah suatu semigrup.

Penyelesaian :

1. Tertutup

Misalkan a, b ∈N

a * b = a + b + ab ∈ N

maka a * b tertutup terhadap bilangan asli N.

2. Assosiatif

Misalkan a, b, c ∈N

(a * b) * c = (a + b + ab) + c

= (a + b + ab) + c + (a + b + ab) c

= a + b + ab + c + ac + bc + abc

a * (b * c) = a * (b + c + bc)

= a + (b + c + bc) + a (b + c + bc)

= a + b + c + bc + ab + ac + abc

Maka ∀ a, b, c ∈ N berlaku (a * b) * c = a * (b * c)

Jadi, (N,*) yang didefinisikan a * b = a + b + ab

merupakan suatu semigrup


28

Contoh 2.4 :

Misalkan suatu grupoid yang didefinisikan dalam disajikan daftar Cayley

sebagai berikut :

Tabel 2.1.

Daftar Cayley suatu grupoid

. a b c d

a b c d a

b d a b c

c a b c d

d c d a b

Tunjukan apakah grupoid tersebut merupakan suatu semigrup.

Penyelesaian :

Akan ditunjukan apakah grupoid tersebut assosiatif atau bukan.

Misalkan x = a, y = a dan z = a

(x . y) . z = (a . a) . a

= b . a

= d

x . (y . z) = a . (a . a)

= a . b

= c

didapat (x . y) . z = d dan x . (y . z) = c

sehingga (x . y) . z ≠ x . (y . z)

Jadi grupoid tersebut bukan merupakan suatu semigrup.


29

Suatu semigrup yang memiliki unsur satuan atau identitas

dinamakan sebuah monoid, dijelaskan pada definisi berikut ini :

Definisi 2.3 :

Suatu grupoid (G,+) dikatakan monoid terhadap penjumlahan jika

memenuhi syarat-syarat :

1. (G,+) tertutup terhadap penjumlahan

2. Assosiatif terhadap penjumlahan

3. Mempunyai unsur satuan atau identitas terhadap penjumlahan

Dengan kata lain, semigrup terhadap penjumlahan yang mempunyai unsur

satuan atau identitas (e = 0) disebut monoid terhadap penjumlahan.

Contoh 2.5 :

Grupoid-grupoid bilangan bulat (Z,+), bilangan rasional (Q,+) dan

bilangan (R,+), merupakan monoid-monoid karena selain kesemuanya

memiliki sifat assosiatif, kesemuanya juga memiliki unsur satuan atau

identitas yaitu nol (0).

Definisi 2.4 :

Suatu grupoid (G, .) dikatakan monoid terhadap perkalian jika memenuhi

syarat-syarat :

1. (G, .) tertutup terhadap perkalian

2. Assosiatif terhadap perkalian

3. Mempunyai unsur satuan atau identitas terhadap perkalian

Dengan kata lain, semigrup terhadap perkalian yang mempunyai unsur

satuan atau identitas (e = 1) disebut monoid terhadap perkalian.


30

Contoh 2.6 :

Grupoid-grupoid bilangan bulat (Z, .), bilangan rasional (Q, .) dan

bilangan (R, .), merupakan monoid-monoid karena selain kesemuanya

memiliki sifat assosiatif, kesemuanya juga memiliki unsur satuan atau

identitas yaitu satu (1).

Kalau kita buat bagan yang melukiskan suatu struktur aljabar yang

berupa semigrup dan monoid dapat diperoleh gambar sebagai berikut :

Gambar 2.1.

Bagan dari suatu Semigrup dan Monoid

HIMPUNAN ≠≠≠≠ 0

SEMIGRUP

STRUKTUR ALJBAR

GRUPOID

MONOID

operasi biner

∃ Identitas

Assosiatif satu

operasi biner


31

2.2. Rangkuman

1. Suatu grupoid (G,*) dikatakan semigrup jika memenuhi syarat-syarat :

• (G,*) tertutup

• Assosiatif

2. Suatu grupoid (G,*) dikatakan monoid jika memenuhi syarat-syarat :

• (G,*) tertutup

• Assosiatif

• Mempunyai unsur satuan atau identitas

Dengan kata lain, semigrup yang mempunyai unsur satuan atau

identitas disebut monoid.

2.3. Soal-soal Latihan

1. Misalkan himpunan bilangan asli N, didefinisikan sebagai operasi biner

x * y = x + y - xy. Tunjukan bahwa (N,*) adalah suatu semigrup.

2. Dari soal no.2, tunjukan bahwa (N,*) merupakan monoid.

3. Tunjukan bahwa operasi biner dari a + b dan a . b di Z+ memenuhi

sifat-sifat dari :

a. semigrup

b. monoid.


32

4. Misalkan X = {0, 1, 2, 3} dimana X ⊆ Z.

Diketahui :

a * b = c

3 * 1 = 0

3 * 2 = 1

3 * 3 = 2

Buatlah tabel operasi biner dan apakah memenuhi sifat-sifat semigrup

dan monoid.

♠♣♥♣♠

struktur aljabar

Presentations & Public Speaking

Transcript of struktur aljabar