Materi 6 Pengujian Hipotesis

1

STK 511 Analisis statistika

Pendahuluan

Dalam mempelajari Karakteristik Populasi kita sering telah

memiliki pernyataan/anggapan tertentu.

pemberian DHA pada anak-anak akan menambah

kecerdasannya atau

pemberian vaksin polio akan mengurangi jumlah anak-anak

yang menderita penyakit ini

Diperlukan pengumpulan data

Apakah data mendukung pernyataan/anggapan tersebut

Pendahuluan

Suatu pernyataan / anggapan yang mempunyai nilai mungkin

benar / salah atau suatu pernyataan /anggapan yang

mengandung nilai ketidakpastian Hipotesis

Hipotesis dalam statistika dinyatakan dalam dua bentuk

yaitu:

H0 (hipotesis nol): suatu pernyataan / anggapan yang

umumnya ingin kita tolak

H1 / HA (hipotesis alternatif): pernyataan lain yang akan

diterima jika H0

ditolak

Kesalahan dalam Keputusan

Pengambilan keputusan akan memunculkan dua jenis kesalahanyaitu: Salah jenis I (Error type I) : kesalahan akibat menolak H0 padahal H0

benar

Salah jenis II (Error type II) : kesalahan akibat menerima H0 padahalH1 benar

Besarnya peluang kesalahan dapat ini dapat dihitung sebagaiberikut:

P(salah jenis I) = P(tolak H0 | H0 benar) =

P(salah jenis II) = P(terima H0 | H1 benar) =

H0 benar H0 salah

Tolak H0Peluang salah jenis I

(Taraf nyata; )

Kuasa pengujian

(1-)

Terima H0Tingkat kepercayaan

(1-)

Peluang salah jenis II

()

Pengaruh nilai dan

Teladan : Andaikan suatu perusahaan A akan menerima dari

suplier apabila produknya minimal mengandung 55% zat X.

Untuk meyakinkan maka diambil 9 contoh (dgn asumsi

simpangan baku sebesar 2%).

Sisi Suplier : Ingin semua diterima

Dengan μ=65% hampir

semua kiriman suplier

diterima.

Kondisi ini tentu tidak menguntungkan suplier. Bagaimana

apabila kriteria β diturunkan?

Terlihat bahwa apabila beta diperkecil dgn kondisi yg lain

tetap →Tidak menguntungkan sisi konsumen

Bagaimana supaya menurunkan keduanya?

Untuk menurukan kedua-duanya secara simultan → hanya

ada satu cara yaitu dengan meningkatkan banyaknya contoh

Teladan Menghitung Nilai dan contoh berukuran 25 diambil secara acak dari populasi normal(;2 = 9).

Hipotesis yang akan diuji,

H0 : = 15

H1 : = 13

Tolak H0 jika rata-rata kurang dari atau sama dengan 13.5

Berapakah besarnya kesalahan jenis I dan II ?

Jawab:

P(salah jenis I) = P(tolak H0| = 15)

= P(x 13.5)

= P(z (13.5-15)/(3/25))

= P(z - 2.5 ) = 0.0062

P(salah jenis II) = P(terima H0| = 13)

= P(x 13.5)

= P(z (13.5-13)/(3/25))

= P(z 0.83 )

= 1 - P(z 0.83 ) = 0.2033

Pada kenyataannya parameter populasi sering kali tidak diketahui

Sehingga dalam pengujian hipotesis hanya nilai salah jenis I (α) yang dapat dikendalikan.

Akan timbul pertanyaan :

– Berapa nilai α yang digunakan?

Tergantung resiko keputusan yang akan

diambil

Langkah-langkah Dalam Pengujian

Hipotesis

Beberapa langkah yang perlu diperhatikan dalam pengujianhipotesis:

(1) Tuliskan hipotesis yang akan diuji1. Hipotesis satu arah

H0 : 0 vs H1 : < 0

H0 : 0 vs H1 : > 0

2. Hipotesis dua arah

H0 : = 0 vs H1 : 0

(2). Tetapkan tingkat kesalahan/Peluang salah jenis I/taraf nyata

(3). Deskripsikan data contoh yang diperoleh (hitung rataan, ragam, standard error dll)

(4). Hitung statistik ujinya

Statistik uji yang digunakan sangat tergantung pada sebaranstatistik dari penduga parameter yang diuji

CONTOH

H0: = 0 maka maka statistik ujinya bisa t-student atau normal baku (z)

atau

ns

xth

/

0n

xzh

/

0

(5) Tentukan daerah kritis atau daerah penolakan H0

Daerah penolakan H0 sangat tergantung dari bentuk hipotesisalternatif (H1)

CONTOH H1: < 0 Tolak H0 jika th < -t(; db)

H1: > 0 Tolak H0 jika th > t(; db)

H1: 0 Tolak H0 jika |th | > t(/2; db)

(6) Tarik keputusan dan kesimpulan

Pengujian Nilai Tengah Populasi

Kasus Satu Contoh

Suatu contoh acak diambil dari satu

populasi Normal berukuran n

Tujuannya adalah menguji apakah

parameter sebesar nilai tertentu,

katakanlah 0

Populasi

X~Sebaran(,2)

Contoh

Acak Uji

Hipotesis yang dapat diuji:

Hipotesis satu arah:

H0 : 0 vs H1 : < 0

H0 : 0 vs H1 : > 0

Hipotesis dua arah:

H0 : = 0 vs H1 : 0

Statistik uji:

Jika ragam populasi (2) diketahui (untuk X bukan

normal n besar) :

Jika ragam populasi (2) tidak diketahui danX~Normal:

ns

xth

/

0

n

xzh

/

0

Daerah kritis pada taraf nyata () Besarnya taraf nyata sangat tergantung dari bidang yang

sedang dikaji

Daerah penolakan H0 sangat tergantung dari bentukhipotesis alternatif (H1) dan statistik ujiH1: < 0 Tolak H0 jika zh < -zH1: > 0 Tolak H0 jika zh > zH1: 0 Tolak H0 jika |zh | > z/2

H1: < 0 Tolak H0 jika th < -t(; db=n-1)

H1: > 0 Tolak H0 jika th > t(; db=n-1)

H1: 0 Tolak H0 jika |th | > t(/2; db=n-1)

Ilustrasi

Batasan yang ditentukan oleh pemerintah terhadap emisi gas CO kendaraan bermotor adalah 50 ppm. Sebuah perusahaanbaru yang sedang mengajukan ijin pemasaran mobil, diperiksaoleh petugas pemerintah untuk menentukan apakah perusahantersebut layak diberikan ijin. Sebanyak 20 mobil diambil secara acak dan diuji emisi CO-nya. Dari data yang didapatkan, rata-ratanya adalah 55 dan ragamnya 4.2. dengan menggunakan taraf nyata 5%, layakkah perusahaan tersebut mendapat ijin ?

Hipotesis yang diuji:

H0 : = 50 vs H1 : < 50

Statistik uji:

th= (55-50)/(4.2/20)=10.91

Daerah kritis pada taraf nyata 0.05

Tolak H0 jika th < -t(0,05;db=19) = -1,729

Kesimpulan:

Tolak H0, artinya emisi gas CO kendaraan bermotor yang akan dipasarkan oleh perusahaan tersebut melebihi batasan yang ditentukan oleh pemerintah sehingga perusahaan tersebut tidak layak memperoleh ijin untuk memasarkan mobilnya.

Perbandingan Nilai Tengah Dua

Populasi

Kasus Dua Contoh Saling Bebas Setiap populasi diambil contoh

acak berukuran tertentu (bisasama, bisa juga tidak sama)

Pengambilan kedua contoh salingbebas

Tujuannya adalah menguji apakahparameter 1 sama denganparameter 2

Populasi I

X~Sebaran(1,12)

Contoh I

(n1)

Populasi II

X~Sebaran(2,22)

Contoh II

(n2)

Acak dan

saling bebas

1 ??? 2

Hipotesis Hipotesis satu arah:

H0: 1- 2 0 vs H1: 1- 2 <0

H0: 1- 2 0 vs H1: 1- 2 >0

Hipotesis dua arah:

H0: 1- 2 =0 vs H1: 1- 2 0

Statistik uji:

Jika ragam kedua populasi diketahui katakan 12 dan

22 (X bukan normal n besar):

Jika X ~ Normal dan ragam populasi tidak diketahui:

)(

021

21

)(

xx

h

xxz

)(

021

21

)(

xx

hs

xxt

2

2

2

1

2

2

2

1

2

1

2

2

2

1

21

;

;11

21

n

s

n

s

nns

s

g

xx

2

2

2

1

2

2

2

1

;

;221

efektifdb

nndb

Daerah kritis pada taraf nyata ()

Pada prinsipnya sama dengan kasus satu contoh, dimana daerah

penolakan H0 sangat tergantung dari bentuk hipotesis alternatif

(H1) dan statistik uji

H1: 1- 2 <0 Tolak H0 jika zh < -zH1: 1- 2 >0 Tolak H0 jika zh > z;

H1: 1- 2 0 Tolak H0 jika |zh | > z/2

H1: 1- 2 <0 Tolak H0 jika th < -t(; db)

H1: 1- 2 >0 Tolak H0 jika th > t(; db)

H1: 1- 2 0 Tolak H0 jika |th | > t(/2; db)

Teladan Dua buah perusahaan yang saling bersaing dalam industri

kertas karton saling mengklaim bahwa produknya yang lebihbaik, dalam artian lebih kuat menahan beban. Untukmengetahui produk mana yang sebenarnya lebih baik, dilakukan pengambilan data masing-masing sebanyak 10 lembar, dan diukur berapa beban yang mampu ditanggungtanpa merusak karton. Datanya adalah :

Ujilah karton produksi mana yang lebih kuat dengan asumsiragam kedua populasi berbeda, gunakan taraf nyata 10%

Persh. A 30 35 50 45 60 25 45 45 50 40

Persh. B 50 60 55 40 65 60 65 65 50 55

Jawab:

Rata-rata dan ragam kedua contoh:

Perbandingan kekuatan karton

Hipotesis:

H0: 1= 2 vs H1: 12

66.94

10(9)

(565)-32525)(10

)1(5,56

10

556050

106.9410(9)

(425)-19025)(10

)1(5,42

10

403530

222

22

22

222

12

11

nn

xxnsx

nn

xxnsx

i

i

Statistik uji: (ragam populasi tidak diketahui dan diasumsikan12 2

2 )

Daerah kritis pada taraf nyata 10%:

Tolak H0 jika |th| > t(0,05;17) = 1,740

Kesimpulan:

Tolak H0, artinya kekuatan karton kedua perusahaan berbeda nyata pada taraf

nyata 10%. Diduga karton yang diproduksi oleh perusahaan B lebih kuat

daripada karton A

36,310/94,10610/94,66

05,425,56

)/()/(

)()(

1

2

12

2

2

1212

nsns

xxth

1710,17

9/)10/8.18(9/)10/10.34(

)10/8.1810/10.34(

)1/()/()1/()/(

)//(2222

222

2

2

2

2

21

2

1

2

1

2

2

2

21

2

1

nnsnns

nsnsdb

Perbandingan Nilai Tengah Dua

Populasi Berpasangan

Kasus Dua contoh Saling Berpasangan Setiap populasi diambil contoh

acak berukuran n (wajib sama) Pengambilan kedua contoh

berpasangan, ada pengkait antarkedua contoh (bisa waktu, objek, tempat, dll)

Tujuannya adalah menguji apakahparameter 1 sama denganparameter 2

Populasi I

X~N(1,12)

contoh I

(n)

Populasi II

X~N(2,22)

contoh II

(n)

Acak dan

berpasangan

1 ??? 2

Pasangan 1

Pasangan …

Pasangan n

Apabila D=X1-X2, maka hipotesis statistika:

Hipotesis satu arah:H0: D 0 vs H1: D<0

H0: D 0 vs H1: D>0

Hipotesis dua arah:H0: D = 0 vs H1: D0

Statistik uji:

Dimana adalah rata-rata simpangan antar pengamatan pada contohpertama dengan contoh kedua

Daerah Kritis: (lihat kasus satu contoh)

Pasangan 1 2 3 … n

contoh 1 (X1) x11 x12 x13 x1n

contoh 2 (X2) x21 x22 x23 x2n

D = (X1-X2) d1 d2 d3 dn

ns

dt

d

h/

0

Ilustrasi

Suatu klub kesegaran jasmani ingin mengevaluasi program diet, kemudian

dipilih secara acak 10 orang anggotanya untuk mengikuti program diet tersebut

selama 3 bulan. Data yang diambil adalah berat badan sebelum dan sesudah

program diet dilaksanakan, yaitu:

Apakah program diet tersebut dapat mengurangi berat badan lebih dari 5 kg?

Lakukan pengujian pada taraf nyata 5%!

Berat Badan Peserta

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Sebelum (X1) 90 89 92 90 91 92 91 93 92 91

Sesudah (X2) 85 86 87 86 87 85 85 87 86 86

D=X1-X2 5 3 5 4 4 7 6 6 6 5

Jawab:

Karena kasus ini merupakan contoh berpasangan, maka:

Hipotesis:

H0 : D = 5 vs H1 : D > 5 Deskripsi:

Statistik uji:

1,510

51

n

dd

i 43,1

)9(10

)51()273(10

)1(

222

2

nn

ddns

ii

d

20,143,1 ds

26,010/20,1

51,5

n

s

d

s

dt

d

d

d

d

Daerah kritis pada =5%

Tolak H0, jika th > t(=5%,db=9)= 1.833

Kesimpulan:

Terima H0, artinya data belum mendukung program diet

tersebut dapat mengurangi berat badan lebih dari 5 kg

Pengujian Proporsi

Satu Populasi

Bentuk Hipotesis:

H0 : p = p0

H1 : p < p0 | H1 : p > p0 | H1 : p ≠ p0 ;

Jika n besar sebaran Z

Statistik-uji : Zh =

n

p)p(1σ2

p̂

Karena p tidak diketahui, maka digunakan p0

Daerah Kritik :

H1: p < p0 Zh < - Z

H1: p > p0 Zh > Z

H1: p ≠ p0 |Zh| > Z/2

Teladan

Seorang produsen mengklaim bahwa paling tidak 95%

produknya bebas-rusak. Pemeriksaan terhadap contoh

acak produknya dengan n = 600 menunjukkan bahwa 39 di

antaranya rusak. Uji pernyataan produsen tersebut.

Pengujian Proporsi

Dua Populasi

Bentuk Hipotesis:

H0 : p1 - p2 = p0

H1 : p1 - p2 < p0 | H1 : p1 - p2 > p0 | H1 : p1 - p2 ≠ p0

Jika n besar sebaran Z

Statistik-uji : Zh =

dimana

)n1n1p)(p(1

p)p̂p̂(

21

021

21

21

nn

XXp̂

Karena p tidak diketahui, maka digunakan p0

Daerah Kritik :

H1: p1 < p2 Zh < - Z

H1: p1 > p2 Zh > Z

H1: p1 ≠ p2 |Zh| > Z/2

Teladan

Suatu Obat penenang diduga hanya 60% efektif. Hasil

percobaan dengan obat baru terhadap 100 orang dewasa

menunjukkan 70% obat tersebut efektif. Apakah ini bukti

bahwa obat baru lebih baik dari yang beredar sekarang?

Gunakan taraf nyata 5%.

Pengujian Ragam

Satu populasi

Bentuk Hipotesis:

Satu Arah:

H0:2 0

2 H0 : 2 02

H1:2 > 0

2 H1 : 2 < 02

Dua Arah:

H0: 2 = 02

H1: 2 02

Statistik uji : 2

1)n(db2

0

22

hit χ ~ σ

s1nχ

Teladan

Sebuah perusahaan aki mobil mengatakan bahwa umur aki

mobil yang diproduksinya mempunyai simpangan baku 0.9

tahun. Bila suatu contoh acak 10 aki menghasilkan simpangan

baku s = 1.2 tahun, apakah menurut Anda > 0.9 tahun?

Pengujian Ragam

Dua populasi

Bentuk Hipotesis:

Satu Arah:

H0:12 2

2 H0 : 12 2

2

H1:12 > 2

2 H1 : 12 < 2

2

Dua Arah:

H0: 12 = 0

2

H1: 12 2

2

Statistik uji : 1ndb1;ndb2

2

2

1

2

2

2

1hit 2211

f~ )s,min(s

)s,max(sf

Teladan

52

Selesai