1. Susanto (4211412010)2. Ayu Shaleha (4211412025)3. Siti Wahyuningsih (4211412035)

Kelompok 13

StatistikFermi-Dirac

Statistik Fermi-Dirac adalah statistik untuk partikel yangmengikuti prinsip larangan Pauli. Partikel jenis ini disebutfermion. Salah satu sifat yang dimiliki fermion adalahterpenuhinya prinsip ekslusi Pauli. Tidak boleh lebih darisatu fermion memiliki keadaan kuantum yang sama. Satukeadaan hanya boleh kosong atau hanya ditempati olehsatu fermion. Konsekuensi dari prinsip eksklusi Pauliadalah jumlah fermion harus lebih sedikit atau samadengan jumlah keadaan. Ini berbeda dengan sistem klasikatau boson di mana tidak ada pembatasan jumlah partikelyang menempati keadaan tertentu.Contoh: elektron, proton, dan neutron.

1. Partikel-partikel identik tidak terbedakan.2. Diperuntukkan partikel-partikel dengan spin

tidak bulat.3. Memenuhi larangan Pauli.4. Gas 3He pada 200 K (mengikuti statistik M-B)5. Gas 3He pada 2 K (mengiukti statistik F-D)6. Gas 4He pada 300 K (mengikuti statistik M-B)7. Gas 4He pada 2K (mengikuti statistik B-E)8. Gas elektron (mengikuti statistik F-D)9. Gas foton (mengikuti statistik B-E)

Anggapan Dasar Statistik Fermi-Dirac

Hukum Distribusi

Elektron bebas mempunyai spin s=1/2, sehinggabilangan kuantum magnetiknya ms=±1/2; dalamkeadaan tidak ada medan magnet elektron memiliki 2 keadaan yang berenergi sama (degenerate). Jadi gj=2. Elektron dalam atom memiliki fungsi keadaan yang ditandai dengan bilangan-bilangan kuantum: n, l, ml, s, ms. Untuk suatu harga ℓ ada (2ℓ +1) buah harga ml, sedangkan dengan s=1/2, ada dua harga ms =1/2, -1/2. Jadi, tanpa medan magnet, ada 2(2 ℓ +1) buah keadaanyang degenerate. Jadi gj = 2(2 ℓ +1).

Berdasarkan prinsip Pauli, untuk suatupasangan n, l, ml, s, ms hanya bisa ditempatioleh satu elektron, jadi nj≤gj. Jika tingkat energi,Ej, akan diisi dengan nj buah elektron, makadengan degenerasi gj, jumlah cara mengisikanpartikel adalah: gj(gj-1) (gj-2)…….(gj-nj+1)atau:

𝑔𝑗!

𝑔𝑗 − 𝑛𝑗 !

Karena partikel-partikel tak dapat dibedakan makajumlah cara itu harus disempurnakan menjadi

𝑔𝑗!

𝑛𝑗 𝑔𝑗 − 𝑛𝑗 !Peluang partisi dari n1, n2, n3,……, masing-masingdi tingkat energi E1, E2, E3,….. adalahW =

𝑔1!

𝑛1 𝑔1−𝑛1 !

𝑔2!

𝑛2 𝑔2−𝑛2 !

𝑔3!

𝑛3 𝑔3−𝑛3 !…

= 𝑗𝑔𝑗!

𝑛𝑗 𝑔𝑗−𝑛𝑗 !...(i)

Dengan meninjau terisolasi dengan n fermion yang tidak saling berinteraksi pada tingkat energi ke j dengan 𝑔𝑗 = 5 diisi oleh 𝑛𝑗 = 3 partikel. Jumlah cara

penyusunannya dapat ditentukan dengan persamaan dari peluang termodinamika statistik F-D.

𝑊 =

𝑗

𝑔𝑗!

𝑛𝑗 𝑔𝑗 − 𝑛𝑗 !

= 5!3! 5−3 !

= 5.4.3.2.13.2.1(2.1)

= 12012

= 10

Keadaan makro terbesar ialah keadaan makro yang mempunyai keadaan mikro terbanyak. Jadi akan dicari nilai peluang nilai termodinamik (W) yang terbesar.Batasan yang diberikan adalah untuk sistem terisolasi dengan N dan U tetap, sehingga perbedaan keadaan-keadaan makro hanya ditenmtukan oleh perbedaan 𝑛𝑗saja atau:

Konfigurasi dengan Peluang Terbesar

𝑑 𝑙𝑛 𝑊 = 𝜕 ln𝑊

𝜕𝑛𝑗𝑑𝑛𝑗

Dari persamaan (i)

𝑊 =

𝑗

𝑔𝑗!

𝑛𝑗! 𝑔𝑗 − 𝑛𝑗 !

ln𝑊 = ln𝑔𝑗! − ln 𝑛𝑗! − ln 𝑔𝑗 − 𝑛𝑗 !

= 𝑔𝑗ln 𝑔𝑗 − 𝑛𝑗ln 𝑛𝑗 − 𝑔𝑗 ln 𝑔𝑗 − 𝑛𝑗 + 𝑛𝑗 ln 𝑔𝑗 − 𝑛𝑗

Selanjutnya mencari d lnW𝑑 𝑙𝑛 𝑊 =

𝜕 ln𝑊

𝜕𝑛𝑗𝑑𝑛𝑗

= 0− 𝑛𝑗1

𝑛𝑗− ln𝑛𝑗 − 0 + 𝑔𝑗

1

𝑔𝑗 − 𝑛𝑗− 𝑛𝑗

1

𝑔𝑗 − 𝑛𝑗+ ln 𝑔𝑗 − 𝑛𝑗 𝑑𝑛𝑗

= ln(𝑔𝑗−𝑛𝑗)

𝑛𝑗𝑑𝑛𝑗

Gunakan pengali Lagrange 𝛼 dan 𝛽 sebagai berikut:

𝑑 ln𝑊 + 𝛼. 𝑑𝑛 + 𝛽 𝑑𝑈 = 0

𝜕 ln𝑊

𝜕𝑛𝑗𝑑𝑛𝑗 + 𝛼 𝑑𝑛𝑗 + 𝛽 𝐸𝑗𝑑𝑛𝑗 = 0

𝜕 ln𝑊

𝜕𝑛𝑗+ 𝛼 𝛽. 𝐸𝑗 𝑑𝑛𝑗 = 0

𝑛𝑗 =𝑔𝑗

𝑒− 𝛼+𝛽.𝐸𝑗 +1

(distribusi partikel fermi-dirac)

Bila 𝑔𝑗 ≫ 𝑛𝑗 ≫ 1, maka:𝑛𝑗 =

𝑔𝑗

𝑒− 𝛼+𝛽.𝐸𝑗 +1

menuju ke 𝑛𝑗 =𝑔𝑗

𝑒− 𝛼+𝛽.𝐸𝑗

𝛼 =𝐸𝐹

𝑘𝑇dan 𝛽 = − 1

𝑘𝑇𝐸𝐹 = energi fermi, sehingga:

𝑛𝑗 =𝑔𝑗

𝑒− 𝛼+𝛽.𝐸𝑗 + 1

=𝑔𝑗

𝑒−𝛼𝑒−𝛽.𝐸𝑗 + 1

=𝑔𝑗

𝑒𝐸𝑗−𝐸𝐹𝑘𝑇 + 1

Distribusi Fermi-Dirac pada T=0 K :

𝑛𝑗 =𝑔𝑗

𝑒𝐸𝑗−𝐸𝐹𝑘𝑇 + 1

= 𝐴𝐸 12∆𝐸

𝑒𝐸𝑗−𝐸𝐹𝑘𝑇 + 1

Kasus E – EF < 0𝐸−𝐸𝐹

𝑘𝑇-------------------------𝑔𝑗 = 𝐴𝐸

1

2∆𝐸

Pada T = 0 K, jumlah elektron sama denganjumlah keadaan energi dan semua tingkatenergy di bawah EF terisi penuh elektron.

Kasus E – EF > 0𝑛𝑗 = 0

Pada T = 0 K tidak ada elektron padatingkat ini sehingga energi εF adalahenergy maksimum yang dimiliki olehelektron pada T = 0 K.

Pada suhu T= 0 semua

partikel berada pada

ground state (keadaan

dasar) dengan energi

terendah. Namun karena

prinsip eksklusi Pauli yang

tidak memperkenankan

partikel dalam keadaan

sama, maka partikel-

partikel “menumpuk”

mengisi keadaan dasar

yang mungkin sampai

semua partikel

terakomodasi.