Solusi Osp 2011

Pembahasan Tutur Widodo OSP SMP Tahun 2011

Pembahasan OSP Tahun 2011

Tingkat SMP

Bidang Matematika

Bagian A : Soal Isian Singkat

1. Jika x adalah jumlah 99 bilangan ganjil terkecil yang lebih besar dari 2011 dan y

adalah jumlah 99 bilangan genap terkecil yang lebih besar dari 6, maka x+ y = · · ·Jawaban : 219483

Karena

x = 2013 + 2015 + · · ·+ 2207 + 2209

=2013 + 2209

2· 99

= 2111 · 99

dan

y = 8 + 10 + · · ·+ 202 + 204

=8 + 204

2· 99

= 106 · 99

Jadi,

x+ y = 2111 · 99 + 106 · 99

= 2217 · 99

= 2217(100− 1)

= 221700− 2217 = 219483

2. Jika f adalah fungsi sehingga f(xy) = f(x− y) dan f(6) = 1, maka f(−2)− f(4) =

· · ·Jawaban : 0

Berdasarkan sifat fungsi f diperoleh,

f(−2) = f(2 · (−1)) = f(2 + 1) = f(3) (1)

1


dan

f(4) = f(4 · 1) = f(4− 1) = f(3) (2)

Berdasarkan pers.(1) dan pers.(2) didapat f(−2) = f(4), sehingga f(−2)−f(4) = 0

3. Jika bilangan bulat x dan y dibagi 4 maka bersisa 3. Jika bilangan x− 3y dibagi 4

maka bersisa . . .

Jawaban : 2

Alternatif 1

Karena x ≡ 3 ( mod 4) dan y ≡ 3 ( mod 4) maka

x− 3y ≡ 3− 3 · 3 ( mod 4)

≡ −6 ( mod 4)

≡ 2 ( mod 4)

Jadi, x− 3y jika dibagi 4 bersisa 2.

Alternatif 2

Misal, x = 4a+ 3 dan y = 4b+ 3 sehingga kita peroleh,

x− 3y = 4a+ 3− 12b− 9

= 4a− 12b− 6

= 4(a− 3b− 2) + 2

Jadi, x− 3y jika dibagi 4 bersisa 2.

4. Perhatikan gambar berikut. Suatu lingkaran berjari - jari 2 satuan berpusat di

A. Suatu persegi memiliki titik sudut di A dan satu titik sudut yang lain di

lingkaran. Di dalam persegi tersebut terdapat lingkaran yang menyinggung keem-

pat sisi persegi. Di dalam lingkaran terdapat persegi yang keempat titik sudutnya

berada di lingkaran tersebut. Di dalam persegi ini tedapat lingkaran yang meny-

inggung keempat sisi persegi. Luas daerah yang diarsir sama dengan . . .

A

Jawaban : 3− 34π

2


Fokuskan perhatian pada bagian persegi saja, yaitu sebagai berikut

area I

area II

area III

area IV

Misal, lingkaran besar berjari - jari R dan lingkaran yang kecil berjari - jari r. Maka

diperoleh R =1

2

√2 dan r =

1

2. Perhatikan pula luas area I = luas area II = luas

area III = luas area IV. Sedang luas area I yaitu

luas area I =1

4· π ·R2 − 1

2·R2

=1

4(1

2· π − 2 · 1

2)

=1

4(1

2· π − 1)

Oleh karena itu,

luas yang diarsir = 2− 4 · 1

4(1

2· π − 1)− π ·

(1

2

)2

= 2− 1

2· π + 1− 1

4· π

= 3− 3

4π

5. Banyak bilangan tiga digit(angka) yang terdiri dari angka - angka 0, 2, 3, 5, 7, 8

yang lebih dari 243 dan kurang dari 780 adalah . . .

Jawaban : 120

Kita bagi menjadi tiga kasus,

I. Ratusan : angka 2

Puluhan : ada 3 kemungkinan yaitu 5, 7 atau 8

Satuan : ke-6 angka yang tersedia bisa dipakai

Jadi, untuk kasus I ada 1 x 3 x 6 = 18 kemungkinan.

II. Ratusan : angka 7

Puluhan : ada 5 kemungkinan yaitu 0, 2, 3, 5 atau 7

3



Jadi, untuk kasus II ada 1 x 5 x 6 = 30 kemungkinan.

III. Ratusan : angka 3 atau 5

Puluhan : ke-6 angka yang tersedia bisa dipakai


Jadi, untuk kasus III ada 2 x 6 x 6 = 72 kemungkinan.

Dari ketiga kasus di atas maka banyak bilangan tiga digit yang lebih dari 243 tetapi

kurang dari 780 ada 18 + 30 + 72 = 120 bilangan.

6. Diketahui Budi adalah seorang siswa laki - laki dan Wati adalah seorang siswa

perempuan. Saat ini mereka duduk di kelas IX pada suatu sekolah. Mereka men-

catat banyak siswa kelas IX di sekolah mereka. Wati mencatat 320

dari total siswa

di kelas IX adalah laki - laki. Sedangkan menurut catatan Budi, 17

dari total siswa

di kelas IX selain dirinya adalah laki - laki. Banyak siswa laki - laki kelas IX di

sekolah mereka adalah . . .

Jawaban : 18

Misal, banyak siswa laki - laki adalah L dan banyak siswa perempuan adalah P .

Maka kita dapat,3

20(P + L) = L ⇔ 17L− 3P = 0 (3)

dan1

7(P + L− 1) = L− 1 ⇔ 6L− P = 6 (4)

Dari pers.(3) dan pers.(4) diperoleh L = 18

7. Diketahui luas persegi ABCD adalah 25 m2. Jika E, F dan G masing - mas-

ing adalah titik tengah AB, AD dan CD seperti pada gambar berikut, maka luas

trapesium BHFE adalah . . . m2

A B

CD

E

F

G

H

Jawaban :125

16Untuk mempermudah bagilah persegi tadi menjadi seperti di bawah ini,

4


A B

CD

E

F

G

H

I

Terlihat bahwa persegi ABCD terdiri dari 16 segitiga siku - siku yang kongruen.

Sehingga luas trapesium BHFE adalah5

16x 25 =

125

16m2

8. Tiga bilangan a, b, c dipilih sehingga ketika setiap bilangan ditambahkan ke rata -

rata dua bilangan lainnya maka berturut - turut hasilnya adalah 80, 90 dan 100.

Rata - rata dari a, b, c adalah . . .

Jawaban : 45

Dari keterangan pada soal diperoleh,

a+b+ c

2= 80 ⇔ 2a+ b+ c = 160 (5)

dan

b+a+ c

2= 90 ⇔ a+ 2b+ c = 180 (6)

serta

c+a+ b

2= 100 ⇔ a+ b+ 2c = 200 (7)

Jumlahkan ketiga persamaan di atas, maka didapat

4a+ 4b+ 4c = 540

yang berartia+ b+ c

3= 45

9. Sebuah bilangan bulat diambil secara acak dari {x|−5 ≤ x ≤ 10, x bilangan bulat}.Peluang bahwa x adalah penyelesaian pertidaksamaan

√x2 − 3x ≤ 2 adalah . . .

Jawaban :1

4Ruang sampelnya adalah bilangan bulat dari −5 sampai 10, jadi n(S) = 16. Per-

hatikan pula, agar√x2 − 3x terdefinisi haruslah x2 − 3x ≥ 0 ⇔ x(x− 3) ≥ 0.

Jadi x ≤ 0 atau x ≥ 3. (8)

Selain itu, dari pertidaksamaan√x2 − 3x ≤ 2 kuadratkan kedua ruas sehingga

didapat x2−3x ≤ 4 atau equivalen dengan x2−3x−4 ≤ 0 ⇔ (x−4)(x+1) ≤ 0,

5


sehingga

−1 ≤ x ≤ 4 (9)

Berdasarkan (8) dan (9) serta fakta bahwa x bulat maka nilai x yang memenuhi

adalah −1, 0, 3 dan 4. Jadi peluang terambil x adalah penyelesaian pertidaksamaan√x2 − 3x ≤ 2 ialah

4

16=

1

4

10. Misal n suatu bilangan asli dan x adalah bilangan riil positif. Jika 2xn+3

x−n2

−2 = 0

, maka nilai2

xn + 14

sama dengan . . .

Jawaban : 4

Misal, (√x)n = t maka persamaan

2xn +3

x−n2

− 2 = 0

equivalen dengan

2t2 + 3x− 2 = 0 ⇔ (2t− 1)(t+ 2) = 0

Jadi, t = 12

atau t = −2. Akan tetapi karena t = (√x)n > 0 tidak mungkin t = −2,

sehingga haruslah t = 12. Karena (

√x)n = t = 1

2maka xn = 1

4. Oleh karena itu

2

xn + 14

=2

14

+ 14

= 4

Bagian B : Soal Uraian

1. Saat ini umur Agus dan umur Fauzan kurang dari 100 tahun. Jika umur Agus

dan Umur Fauzan ditulis secara berurutan, maka diperoleh suatu bilangan empat

digit(angka) yang merupakan kuadrat sempurna. Dua puluh tiga tahun kemudian,

jika umur mereka ditulis dengan cara yang sama, maka diperoleh bilangan empat

digit lain yang juga merupakan kuadrat sempurna. Jika umur mereka diasumsikan

bilangan bulat positif, berapa umur mereka sekarang?

Jawaban :

Misal umur Agus 10a+b dan umur Fauzan 10c+d dengan 1 ≤ a, c ≤ 9, 0 ≤ b, d ≤ 9

serta a, b, c, d adalah bilangan bulat. Maka kita peroleh

1000a+ 100b+ 10c+ d = m2 (10)

untuk suatu bilangan bulat positif m.

Setelah dua puluh tiga tahun, umur Agus adalah 10(a+2)+(b+3) sedangkan umur

6


Fauzan ialah 10(c+ 2) + (d+ 3) sehingga diperoleh,

1000(a+ 2) + 100(b+ 3) + 10(c+ 2) + (d+ 3) = n2 (11)

untuk suatu bilangan bulat positif n.

Dengan mengurangkan pers.(11) dengan pers.(10) diperoleh

n2 −m2 = 2323

atau

(n−m)(n+m) = 23 · 101

karena (n − m) < (n + m) didapat n − m = 23 dan n + m = 101. Dengan

menyelesaikan kedua persamaan linier ini diperoleh m = 39 sehingga m2 = 1521.

Jadi, umur Agus sekarang adalah 15 tahun, sedangkan umur Fauzan sekarang adalah

21 tahun.

2. Pada sebuah segiempat ABCD, sudut ABC, dan sudut DAC adalah sudut - sudut

siku - siku. Jika keliling segiempat ABCD adalah 64 cm, keliling ABC adalah 34

cm dan keliling ACD adalah 60 cm, berapakah luas segiempat ABCD?

Jawaban :

Misal panjang AB = p, BC = q, CD = r, DA = s dan AC = t. Gambar ilustrasi

dari soal adalah sebagai berikut

A B

C

p

qt

D

s

r

Berdasarkan keterangan pada soal diperoleh

a+ b+ c+ d = 64 (12)

a+ b+ t = 24 (13)

c+ d+ t = 60 (14)

7


Jumlahkan pers.(13) dan pers.(14) sehingga didapat

a+ b+ c+ d+ 2t = 84 (15)

karena a+ b+ c+ d = 64 maka t = 10. Substitusikan nilai t = 10 ke pers.(13) dan

pers.(14) sehingga didapat a+ b = 14 dan c+ d = 50.

Pada 4ABC berlaku a2 + b2 = 102, padahal kita punya (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

sehingga diperoleh

142 = 102 + 2ab ⇔ ab = 48

Selain itu, pada 4ACD berlaku

c2 − d2 = 102 ⇔ (c+ d)(c− d) = 100

karena c+ d = 50 berarti c− d = 2. Dari persamaan

c+ d = 50

c− d = 2

diperoleh d = 24. Oleh karena itu,

Luas ABCD = luas 4ABC + luas 4ACD

=1

2· ab+

1

2· 10d

=1

2· 48 +

1

2· 240

= 24 + 120

= 144

Jadi, luas segiempat ABCD adalah 144 cm2.

3. Diketahui bilangan bulat positif n memiliki sifat - sifat berikut :

2 membagi n, 3 membagi n + 1, 4 membagi n + 2, 5 membagi n + 3, 6 membagi

n + 4, 7 membagi n + 5 dan 8 membagi n + 6. Bilangan bulat positif pertama

yang memiliki sifat - sifat ini adalah 2. Tentukan bilangan bulat positif kelima yang

memenuhi sifat- sifat di atas!

Jawaban :

Kita ketahui bahwa

Jika n+ k ≡ 0 mod (k + 2) maka n ≡ 2 mod (k + 2)

Dari sini diperoleh,

8


• 3 membagi n+ 1 equivalen dengan n bersisa 2 jika dibagi 3






Sehingga bisa ditulis n = t + 2 dengan t adalah kelipatan 3, 4, 5, 6, 7, 8. Karena

KPK(3, 4, 5, 6, 7, 8) = 840 maka n = 840k+ 2. Sehingga bilangan bulat positif ke-5

yang memenuhi sifat - sifat pada soal adalah 3362 yaitu saat k = 4.

4. Tiga garis lurus l1, l2, dan l3 mempunyai gradien berturut - turut 3, 4, dan 5. Ketiga

garis tersebut memotong sumbu-Y di titik yang sama. Jika jumlah absis titik potong

masing - masing garis dengan sumbu-X adalah47

60, tentukan persamaan garis l1

Jawaban :

Misal ketiga garis tersebut memotong sumbu-Y di titik (0, c) maka persamaan garis

l1 adalah

y = 3x+ c

yang berarti garis l1 memotong sumbu-X di titik (− c3

).

Persamaan garis l2 yaitu

y = 4x+ c


).

Sedangkan persamaan garis l3 ialah

y = 5x+ c


).

Karena jumlah absis titik potong masing - masing garis dengan sumbu-X adalah47

60berarti

− c3− c

4− c

5=

47

60

atau dengan kata lain −47c

60=

47

60sehingga c = −1. Jadi, persamaan garis l1 adalah

y = 3x− 1.

5. Data akhir suatu kompetisi yang diikuti oleh tiga tim sepakbola, masing - masing

tim saling berhadapan, dituliskan pada tabel berikut,

9


Tim Menang Kalah Seri Gol(Memasukkan - Kemasukan)

Elang

Garuda

Merpati

1

1

0

0

0

2

1

1

0

5

4

3

2

3

7

Berapa skor pertandingan antara Tim Garuda melawan Tim Merpati?

Jawaban :

Berdasarkan data hasil pertandingan diperoleh bahwa hasil pertandingan tim Elang

vs tim Garuda berakhir seri. Karena gol kemasukan dari tim Elang adalah 2, maka

hanya ada tiga kemungkinan yaitu

I. Skor pertandingan Elang vs Garuda adalah 0 : 0

Berarti hasil pertandingan Elang vs Merpati adalah 5 : 2. Hal ini berakibat

hasil pertandingan Garuda vs Merpati adalah 4 : 3. Tetapi ini tidak mungkin

sebab gol kemasukan dari Merpati hanya 7.

II. Skor pertandingan Elang vs Garuda adalah 1 : 1


hasil pertandingan Garuda vs Merpati adalah 3 : 2. Skor yang demikian

memenuhi kondisi pada soal

III. Skor pertandingan Elang vs Garuda adalah 2 : 2


hasil pertandingan Garuda vs Merpati adalah 4 : 3. Tetapi hal ini tidak

mungkin sebab gol memasukkan dari Garuda hanya 4.

Jadi, hanya kasus II yang mungkin terjadi, dengan skor pertandingan antara Tim

Garuda melawan Tim Merpati adalah 3 : 2 untuk kemenangan Garuda.

Disusun oleh : Tutur Widodo

Apabila ada saran, kritik maupun masukan

silakan kirim via email ke

[email protected]

Terima kasih.

My blog : mathematic-room.blogspot.com

10

Solusi Osp 2011

Documents

Transcript of Solusi Osp 2011