Soal Jawab OSP 2002 2008

download Soal Jawab OSP 2002 2008

of 23

  • date post

    04-Jul-2015
  • Category

    Documents

  • view

    692
  • download

    10

Embed Size (px)

Transcript of Soal Jawab OSP 2002 2008

OSPOSP (Olimpiade Sains Provinsi) adalah seleksi tingkat provinsi dari Olimpiade Sains Nasional.

Soal OSP 2008Bagian pertama 1. Banyaknya pembagi positif dari 2008 adalah 2. Cara menyusun huruf-huruf MATEMATIKA dengan kedua T tidak berdekatan ada sebanyak 3. Jika dan , maka

4. Dua dari panjang garis tinggi segitiga lancip, berturut-turut sama dengan 4 dan 12. Jika panjang garis tinggi yang ketiga dari segitiga tersebut merupakan bilangan bulat, maka panjang maksimum garis tinggi segitiga tersebut adalah 5. Dalam bidang , banyaknya garis yang memotong sumbu di titik dengan absis bilangan prima dan memotong sumbu di titik dengan ordinat bilangan bulat positif serta melalui titik adalah 6. Diberikan segitiga dan . Jika , tegak lurus sedemikian rupa sehingga , maka luas segitiga adalah , maka dan . Jika

7. Jika dan bilangan bulat yang memenuhi 8. Diberikan segitiga , dengan , , maka besarnya sudut adalah

9. Seratus siswa suatu Provinsi di Pulau Jawa mengikuti seleksi tingkat Provinsi dan skor rata-ratanya adalah 100. Banyaknya siswa kelas II yang mengikuti seleksi tersebut 50% lebih banyak dari siswa kelas III, dan skor rata-rata siswa kelas III 50% lebih tinggi dari skor rata-rata siswa kelas II. Skor rata-rata siswa kelas III adalah 10. Diberikan segitiga dengan , dan . Titik dan berturut-turut pada dan sedemikian rupa sehingga membagi segitiga menjadi dua bagian dengan luas yang sama. Panjang minimum adalah 11. Misalkan , , dan bilangan rasional. Jika diketahui persamaan mempunyai 4 akar real, dua di antaranya adalah . Nilai dari adalah 12. Diketahui segitiga dengan sisi-sisi , , dan . Nilai dengan 16 kali luas segitiga . Besarnya nilai dan

sama adalah

13. Diberikan yang memenuhi

. Misalkan dan adalah bilangan-bilangan real positif . Nilai minimum dari adalah

14. Banyak bilangan bulat positif kurang dari 2008 yang mempunyai tepat bilangan kurang dari dan relatif prima terhadap adalah 15. Suatu polinom memenuhi persamaan setiap bilangan real. Derajat (pangkat tertinggi ) untuk adalah

16. Anggap satu tahun 365 hari. Peluang dari 20 orang yang dipilih secara acak ada dua orang yang berulang tahun pada hari yang sama adalah 17. Tiga bilangan dipilih secara acak dari {1,2,3,,2008}. Peluang jumlah ketiganya genap adalah 18. Misalkan menyatakan banyaknya anggota himpunan , maka nilai yang mungkin untuk adalah 19. Diketahui , 20. Nilai dari Bagian kedua 1. Carilah semua pasangan bilangan asli . 2. Diberikan polinom real dan selesaian real dan mempunyai selesaian real. yang memenuhi adalah garis tinggi dari segitiga . Luas segitiga adalah . . Jika , dan

. Misalkan persamaan mempunyai 2008 . Tunjukkan bahwa persamaan , dan yang

3. Lingkaran dalam dari segitiga , menyinggung sisi-sisi , berturut-turut di , , dan . Melalui , ditarik garis tegak lurus memotong di . Buktikan bahwa .

4. Bilangan 1, 2, 3, , 9 disusun melingkar secara acak. Buktikan bahwa ada tiga bilangan berdekatan yang jumlahnya lebih besar dari 15. 5. Tentukan banyaknya bilangan positif 5-angka palindrom yang habis dibagi 3. Palindrom adalah bilangan/kata yang sama jika dibaca dari kiri ke kanan atau sebaliknya. Sebagai contoh 35353 adalah bilangan palindrom, sedangkan 14242 bukan.

Kunci Jawaban dan Petunjuk OSP 2008

1. 8 2. 120960 3. 4. 4 5. 2 6. 15 7. 588 8. 9. 125 10. 11. 2006 12. 4 13. 14. 10 15. 3 16. 38/73 17. 1/2 18. 6,7,8,9,10 19. 37,5 20. 1. Jika solusi lagi 2. Misalkan mana sehingga , yaitu . 3. Misalkan adalah pusat lingkaran dalam segitiga dan adalah layang-layang. Misalkan Perhatikan bahwa dan , sehingga . Tetapi Dengan cara yang sama kita dapat . Jadi 4. Misalkan bilangan-bilangan itu secara berurutan adalah tidak ada yang lebih dari 15, maka akibatnya dan . Perhatikan bahwa dan . Maka , jadi . . . , . . Maka , akibatnya terdapat di . Misalkan adalah bilangan real , jelas bahwa persamaan ini memiliki akar real. Maka . Jika , sehingga , . Sekarang anggap . Maka . Tinggal dicek nilai dari 2 sampai 5, didapat satu

. Jika

. Jumlahnya . Maka kesamaan harus terjadi, , kontradiksi.

5. Dalam modulo 3, berikut ini kemungkinan-kemungkinan nilainya (dua angka terakhirnya hanya mengikuti yang di depan): 00000, 01110, 02220, 10101, 11211, 12021, 20202, 21012, 22122. Angka yang 0 modulo 3 adalah 0, 3, 6, 9, tetapi 0 tidak boleh di depan. Angka yang 1 modulo 3 adalah 1, 4, 7, sedangkan angka yang 2 modulo 3 adalah 2, 5, 8. Karena kita hanya perlu melihat tiga angka pertamanya, maka banyaknya bilangan yang memenuhi adalah

Soal OSP 20071. Bilangan ganjil 4-angka terbesar yang hasil penjumlahan semua angkanya bilangan prima adalah 2. Sejumlah uang terdiri dari koin pecahan Rp 500, Rp 200, dan Rp 100 dengan nilai total Rp 100.000. Jika nilai uang pecahan 500-an setengah dari nilai uang pecahan 200-an tetapi tiga kali nilai uang pecahan 100-an, maka banyaknya koin adalah 3. Panjang sisi miring sebuah segitiga siku-siku sama dengan dua kali panjang sisi terpendeknya, sedangkan panjang sisi ketiga 1 satuan lebih panjang dari panjang sisi terpendek. Luas segitiga itu adalah satu luas. 4. Di antara bilangan-bilangan 2006, 2007 dan 2008, bilangan yang memiliki faktor prima berbeda terbanyak adalah 5. Seorang pedagang mobil bekas menjual dua buah mobil dengan harga yang sama. Ia merugi 10% untuk mobil pertama, tetapi impas (kembali modal) untuk kedua mobil. Persentase keuntungan pedagang itu untuk mobil kedua adalah 6. Dona menyusun lima persegi yang kongruen menjadi satu bangun datar. Tidak ada persegi yang menindih persegi lainnya. Jika luas bangun yang diperoleh Dona adalah 245 cm2, keliling bangun tersebut paling sedikit adalah cm. 7. Empat tim sepakbola mengikuti suatu turnamen. Setiap tim bertanding melawan masing-masing tim lainnya sekali. Setiap kali bertanding, suatu tim memperoleh nilai 3 jika menang, 0 jika kalah, dan 1 jika pertandingan berakhir seri. Di akhir turnamen, salah satu tim memperoleh nilai total 4. Jumlah nilai total ketiga tim lainnya paling sedikit adalah 8. Dalam bentuk sederhana, 9. Titik terletak di Kuadran I pada garis . Titik terletak pada garis demikian, sehingga tegak lurus terhadap garis dan . Maka koordinat adalah 10. Himpunan semua bilangan asli sehingga 11. Suku konstanta pada ekspansi adalah kelipatan adalah

adalah

12. Absis titik potong garis dengan sumbu- dan ordinat titik potong garis dengan sumbu- adalah bilangan-bilangan prima. Jika juga melalui titik , persamaan adalah

13. Tujuh belas permen dikemas ke dalam kantong-kantong sehingga banyak permen dalam setiap kantong berselisih paling banyak 1. Banyaknya cara mengemas permen tersebut ke dalam paling sedikit dua kantong adalah 14. Pada himpunan maksimum adalah 4. Maka , nilai

15. Sebuah kubus berukuran disusun dari 125 kubus satuan. Permukaan kubus besar lalu dicat. Rasio sisi (permukaan) ke-125 kubus satuan yang dicat terhadap yang tidak dicat adalah 16. Sebuah papan persegi dibagi ke dalam petak dan diwarnai seperti papan catur. Setiap petak diberi nomor dari 1 hingga 16. Andi ingin menutup petak-petak pada papan dengan 7 kartu seukuran petak. Agar ke-7 kartunya dapat menutupi papan, ia harus membuang dua petak. Banyak cara ia membuang dua petak adalah 17. Bilangan-bilangan asli dituliskan di papan tulis, kemudian salah satu bilangan dihapus. Rata-rata aritmatika bilangan yang tertinggal adalah . Bilangan yang memungkinkan ini terjadi adalah 18. Diberikan segitiga dan siku-siku di , titik , maka pada dan titik pada . Jika

19. Di antara semua solusi bilanga asli dengan terbesar adalah

persamaan

, solusi

20. Misalkan adalah himpunan titik-titik pada bidang dengan koordinat bilangan bulat dan adalah himpunan titik tengah dari semua pasangan titik pada himpunan Untuk memastikan bahwa ada anggota yang juga memiliki koordinat bilangan bulat, banyak anggota paling sedikit harus Bagian kedua 1. Misalkan adalah suatu segiempat dengan a) Buktikan bahwa titik harus berada di luar segitiga b) Buktikan bahwa setiap pasangan sisi berhadapan pada . . selalu sejajar.

.

2. Misalkan dan dua bilangan asli, yang satu bukan kelipatan yang lainnya. Misalkan pula adalah bilangan 2-angka, sedangkan dapat diperoleh dengan membalik urutan angka pada . Tentukan terbesar yang mungkin. 3. Tentukan semua bilangan real yang memenuhi 4. Pada segitiga lancip , diberikan , dengan , , dan berturut-turut pada sisi . , .

, dan adalah garis-garis tinggi, , dan . Buktikan bahwa

5. Bilangan-bilangan 1, 2, 3, , 15, 16 disusun pada persegi . Untuk , misalkan adalah jumlah bilangan-bilangan pada baris ke- dan adalah jumlah bilangan-bilangan pada kolom ke- . Misalkan pula dan adalaha jumlah bilangan-bilangan pada kedua diagonal. Susunan tersebut disebut antimagic jika dapat disusun menjadi sepuluh bilangan berurutan. Tentukan bilangan terbesar di antara sepuluh bilangan berurut ini yang dapat diperoleh dari sebuah antimagic.

Kunci Jawaban dan Petunjuk OSP 20071. 9985 2. 460 3. 4. 2006 5. 12,5% 6. 70 7. 10 8. 9. 10. {1,4,13} 11. 672 12. 13. 16 14. 10 15. 1:4 16. 64 17. 69 18. 19. (75,3) 20. 5 1. Perhatikan bahwa dan dengan cara serupa bahwa sehingga maka , . Jika di dalam segitiga , maka bagian a terbukti. Misalkan . Maka kita punya , jadi , bagian b terbukti. , jelas , ,

2. Karena bukan kelipatan , maka . Tetapi , maka . Kita cek satu per satu dari nilai terbesar . , , , , kontradiksi. , , , , kontradiksi. , , , , kontradiksi. , , , , kontradiksi. , , , kita bisa ambil . Jadi nilai ini adalah nilai terbesar yang mungkin.

3. Perhatikan bahwa diperoleh atau memiliki solusi

, maka . Misalkan . Tetapi .

, atau , maka , tidak punya solusi real, sedangkan

4. Misalkan titik tinggi. Perhatikan bahwa konsiklis. Jadi Dengan cara serupa, . Perhatikan bahwa . Jadi . Dengan cara yang sama, kita dapat . Jadi . Se