Solusi Numerik Persamaan Difusi Neutron

http://syeilendrapramuditya.wordpress.com

Solusi Numerik Persamaan Difusi Neutron

III.1 Pendahuluan

Metode atau teknik pemecahan persamaan matematis terbagi menjadi dua

golongan besar, yaitu metode analitik dan numerik. Solusi yang dihasilkan dengan

metode analitik adalah solusi yang sesungguhnya, sebenarnya, dan juga eksak

(exact), sedangkan solusi numerik adalah aproksimasi atau pendekatan dari solusi

sebenarnya, dengan orde error tertentu. Beberapa persamaan matematis pada

persoalan-persoalan fisika pada kenyatannya relatif sangat sulit untuk dipecahkan

secara analitik, karena itulah dikembangkan metode numerik untuk mencari

solusinya.

Metode numerik yang pertama-tama akan dibahas disini adalah teknik pemecahan

persamaan diferensial dengan menggunakan aproksimasi untuk fungsi turunan

pertama dan turunan kedua, karena sebagaimana telah diketahui, sebagian besar

persamaan-persamaan dalam fisika adalah berupa persamaan diferensial.

Bila terdapat suatu fungsi sembarang yang akan dicari turunannya, yaitu

dan , maka pertama-tama kita akan menuliskan ekspansi deret Taylor

untuk dan sebagai berikut :

(III.1)

(III.2)

Kemudian untuk mendapatkan , persamaan (III.1) dikurangi oleh persamaan

(III.2) :

1


(III.3)

Persamaan (III.3) diatas bukanlah aproksimasi, tetapi ekspresi eksak dalam bentuk

deret Taylor dari turunan pertama. Bila kita mengabaikan semua suku selain suku

pertama, maka kita akan memperoleh persamaan berikut :

(III.4)

Persamaan (III.4) diatas adalah aproksimasi numerik untuk fungsi turunan

pertama, dan suku lain yang diabaikan dianggap sebagai suku error.

Untuk mendapatkan , persamaan (III.1) ditambahkan dengan persamaan

(III.2) :

(III.5)

Persamaan (III.5) diatas bukanlah aproksimasi, tetapi ekspresi eksak dalam bentuk

deret Taylor dari turunan kedua. Bila kita mengabaikan semua suku selain suku

pertama, maka kita akan memperoleh persamaan berikut :

(III.6)

Persamaan (III.6) diatas adalah aproksimasi numerik untuk fungsi turunan kedua,

dan suku lain yang diabaikan dianggap sebagai suku error. Persamaan (III.4) dan

(III.6) diatas dikenal sebagai aproksimasi beda hingga[12] (finite difference).

III.2 Pemecahan Numerik Persamaan-Persamaan Neutronik

2


Pada perhitungan neutronik teras reaktor, terdapat dua proses utama yang harus

dikerjakan, yaitu :

1. Pertama adalah perhitungan distribusi fluks neutron di dalam teras reaktor,

yaitu dengan cara memecahkan persamaan (II.52), persamaan difusi

multigrup. Setelah distribusi fluks neutron diketahui, maka besaran-

besaran lain seperti distribusi kerapatan daya dan suku sumber juga dapat

dihitung. Proses ini dikenal sebagai iterasi dalam (inner iteration).

2. Proses kedua adalah perhitungan kritikalitas teras reaktor, yaitu

perhitungan nilai faktor multiplikasi teras. Perhitungan ini dilakukan

dengan menggunakan beberapa persamaan neutronik. Proses ini dikenal

sebagai iterasi luar (outer iteration).

III.2.1 Perhitungan distribusi fluks neutron : iterasi dalam

Seperti telah dijelaskan sebelumnya, perhitungan distribusi fluks dikerjakan

dengan menggunakan persamaan difusi multigrup (II.52) :

(II.52)

Bila kita meninjau teras pada keadaan tunak (steady state), maka variabel waktu

dapat diabaikan, dan dengan definisi bahwa material pada setiap region teras

adalah homogen, maka persamaan (II.52) akan berbentuk :

(III.7)

(III.8)

Persamaan (III.7) diatas memiliki syarat batas , yaitu fluks dan

suku sumber pada permukaan teras reaktor harus bernilai nol.

3


Teras reaktor yang ditinjau memiliki geometri silinder dua dimensi R-Z, dimana

geometri ini selanjutnya dibuat menjadi diskrit dengan cara dibagi menjadi

beberapa partisi radial dan aksial . Dengan demikian, nilai fluks yang

didapatkan nanti tidaklah kontinyu di setiap bagian teras, melainkan berupa

distribusi diskrit di titik-titik tertentu.

Gambar III.1 Partisi geometri silinder teras reaktor

Pada sistem diskrit, vektor posisi dinyatakan dengan cara berikut :

(III.9)

Operator Laplacian (persamaan III.7) pada geometri silinder adalah :

(III.10)

Fluks tidaklah bergantung pada sudut azimut, maka dengan menggunakan prinsip

simetri, persamaan (III.10) menjadi lebih sederhana :

(III.11)

Substitusi persamaan (III.11) ke persamaan (III.7) :

z

PartitionAxial

r

PartitionRadial

4


(III.12)

Syarat batas untuk persamaan (III.12) diatas adalah :

Fluks pada permukaan teras bernilai nol :

Suku sumber pada permukaan teras bernilai nol :

Persamaan (III.4) dan (III.6) dapat ditulis dalam bentuk berikut :

(III.13)

(III.14)

Dengan menggunakan persamaan (III.13) dan (III.14) diatas, serta definisi vektor

posisi pada persamaan (III.9), maka bentuk diskrit dari persamaan (III.12) adalah

sebagai berikut :

(III.15)

(III.16)

5


(III.17)

Superskrip n pada persamaan (III.17) diatas menunjukan nilai awalnya, sedangkan

superskrip n+1 menunjukan nilai barunya setelah dihitung secara iteratif.

(III.18)

Perhatikan bahwa suku kedua pada ruas kiri persamaan (III.12) mengandung

, maka pada suku ini akan bermasalah karena akan bernilai

tak hingga, sehingga persamaan (III.18) diatas hanya akan berlaku untuk nilai

.

Untuk , maka suku yang mengandung tersebut harus

ditangani secara khusus, yaitu sebagai berikut[12] :

Berdasarkan teorema limit L’Hospital[13] :

(III.19)

Substitusikan persamaan (III.19) ke persamaan (III.12) :

6


(III.20)

(III.21)

Berdasarkan simetri sudut azimut pada geometri silinder yang ditinjau :

(III.22)

Dengan menggunakan definisi (III.22), maka persamaan (III.21) akan berbentuk :

(III.23)

(III.24)

(III.25)

7


Bila dilakukan iterasi terhadap persamaan diskrit (III.18) dan (III.25) diatas, maka

pada akhirnya akan tercapai keadaan konvergen numerik dengan akurasi atau orde

error tertentu, yaitu :

(III.25a)

Metode numerik yang digunakan untuk menurunkan persamaan diskrit (III.18)

dan (III.25) adalah metode yang disebut Jacobi Iteration Scheme[12], atau metode

Jacobian.

Laju konvergensi metode Jacobian sebenarnya tidaklah terlalu tinggi, karena pada

metode ini, nilai fluks yang baru didapat dari hasil perhitungan dengan

menggunakan nilai fluks yang lama seluruhnya, atau disebut layer-by-layer.

Gambar III.2 Skema iterasi Jacobian

Gambar (III.2) diatas adalah skema iterasi Jacobian, dimana nilai fluks pada tiap

layer dihitung hanya dengan menggunkan nilai fluks pada layer sebelumnya.

Laju konvergensi dapat ditingkatkan dengan menggunakan metode Gauss-Siedel

Iteration Scheme, pada metode ini, nilai fluks yang baru dihitung dengan

memanfaatkan secara langsung nilai fluks yang baru saja dihitung pada titik

partisi sebelumnya.

8


Gambar III.3 Skema iterasi Gauss-Siedel

Dengan menggunakan skema iterasi Gauss-Siedel, maka persamaan (III.18) dan

(III.25) akan berbentuk :

(III.26)

(III.27)

Pada persamaan (III.26) dan (III.27) diatas, nilai konstanta grup atau cross section

merupakan fungsi posisi, yang dilambangkan dengan subskrip i dan j. Sebenarnya

nilai konstanta grup atau cross section bergantung pada jenis dan komposisi

material di titik tersebut, maka untuk lebih menyederhanakan bentuk persamaan,

subskrip ganda i dan j tersebut akan diganti dengan subskrip tunggal m, yang

menunjukan jenis material di titik i,j tersebut.

9


Maka persamaan (III.26) dan (III.27) akan berbentuk :

(III.28)

(III.29)

Laju konvergensi dapat ditingkatkan lagi dengan menggunakan metode Succesive

Over Relaxation (SOR). Prinsip dasar metode SOR adalah bahwa hasil konvergen

sama dengan hasil iterasi ke n+1 ditambah selisih dari dua hasil iterasi terbaru,

yaitu iterasi ke n dan ke n+1, yang dikalikan suatu konstanta.

Secara matematis, persamaan SOR dituliskan sebagai berikut :

(III.30)

Pada persamaan (III.30) diatas, adalah konstanta akselerasi SOR, yang nilainya

bersifat unik untuk setiap kasus/persamaan.

Pada persamaan (III.28) dan (III.29), subskrip g menunjukan index grup, dan

subskrip m menunjukan index jenis material, maka sekarang kita telah memiliki

satu set lengkap persamaan difusi yang mampu menangani teras reaktor dengan

10


spektrum energi neutron diskrit dan komposisi material heterogen, atau disebut

persamaan difusi multigrup-multiregion.

Persamaan difusi multigrup tersebut akan dipecahkan secara numerik dengan

menggunakan metode SOR, yaitu dengan menggunakan persamaan (III.28),

(III.29), dan (III.30).

III.2.2 Perhitungan kritikalitas teras reaktor : iterasi luar

Pada bagian sebelumnya telah dibahas mengenai teknik yang digunakan untuk

memecahkan persamaan difusi multigrup, yaitu untuk menghitung nilai dan

distribusi fluks neutron di dalam teras reaktor. Selanjutnya, pada bagian ini akan

dibahas perhitungan sumber neutron S (source) dan faktor multiplikasi k.

Untuk mempermudah penurunan persamaan, pertama-tama akan digunakan

persamaan difusi satu grup (II.48) :

(II.48)

Untuk keadaan tunak dan teras homogen :

(III.31)

(III.32)

Dengan menggunakan operator, persamaan (III.31) berbentuk :

(III.33)

(III.34)

(III.35)

Bentuk diskrit persamaan (III.31) adalah :

11


(III.36)

Solusi dari persamaan (III.36) diatas adalah nilai fluks yang baru, yaitu .

Selanjutnya nilai fluks yang baru ini digunakan untuk menghitung nilai source

yang baru :

(III.37)

Setelah nilai source yang baru diketahui, selanjutnya nilai k dapat dihitung dengan

menggunakan persamaan (III.33) :

(III.38)

Integralkan persamaan (III.38) terhadap volume teras :

(III.39)

(III.40)

(III.41)

Operasi integral terhadap volume teras reaktor sebenarnya untuk

menghitung populasi source total di dalam teras reaktor. Karena S merupakan

fungsi posisi, maka untuk menghitungnya, akan lebih mudah bila kita

menggunakan Srata-rata yang kemudian dikalikan dengan volume teras reaktor :

12


(III.42)

Maka persamaan (III.41) akan berbentuk :

(III.43)

Atau dalam bentuk persamaan diskrit :

(III.44)

(III.45)

Untuk kasus difusi multigrup, pertama-tama persamaan (III.7) dipecahkan dengan

menggunakan persamaan (III.28), (III.29), dan (III.30). Dengan demikian, kita

akan memiliki nilai dan distribusi fluks untuk setiap grup, yaitu .

Nilai source dihitung menggunakan persamaan berikut :

(III.46)

Setelah nilai source diketahui, maka selanjutnya nilai faktor multiplikasi k

dihitung dengan menggunakan persamaan (III.45). Perhitungan iterasi luar ini

dilakukan terus-menerus sampai konvergensi numerik tercapai, yaitu :

dan , untuk seluruh i,j (III.47)

13


Dengan demikian, maka kita telah memiliki satu set persamaan lengkap untuk

mengerjakan iterasi luar, yaitu menghitung nilai dan distribusi source dan k.

III.2.3 Alur kerja program neutronik

Secara garis besar, program neutronik yang penulis kembangkan memiliki alur

kerja sebagai berikut :

1. baca file input pengendali program

2. baca file data cross section

3. baca file peta (core map) komposisi material teras

4. inisialisasi nilai fluks, source, dan k

5. definisikan syarat batas

6. kerjakan iterasi dalam dan iterasi luar

7. tulis hasil-hasil perhitungan pada file-file output

8. tampilkan hasil-hasil perhitungan pada grafik-grafik

Diagram alir program neutronik akan ditunjukan pada halaman berikutnya.

14


Gambar III.4 Diagram alir program neutronik

15


File input pengendali program neutronik berada di dalam folder ”input”, dengan

nama ”neutronics.txt”, dan berikut ini adalah contohnya :

Tabel III.1 Format file input neutronik

Line neutronics.txt0102030405060708091011121314151617181920

INPUT VARIABLES | VALUES----------------------------------|------------GENERAL CONTROL | group | 8core_diameter(cm) | 250core_height(cm) | 150errormax | 1E-12itermax | 100000radial_points,max=80 | 20axial_points(odd),max=81 | 21flux_guess | 1E+14source_guess | 1E+14keff_guess | 1.0SOR_parameter | 0 |CORE DEFINITION | number_of_material_type,max=10 | 301 pdsmdl06.c001.Dec04.10.27.33.macs02 pdsmdl06.c002.Dec04.10.27.52.macs03 pdsmdl06.c003.Dec04.10.28.06.macs

Keterangan :

baris 04 : banyaknya grup energi neutron yang digunakan dalam

perhitungan

baris 05 dan 06 : dimensi teras, yaitu diameter dan tingginya

baris 07 : tingkat akurasi atau orde error yang akan digunakan dalam

perhitungan

baris 08 : banyaknya iterasi maksimum pada tiap loop, untuk menghindari

error stack overflow, yaitu bila konvergensi numerik gagal tercapai

baris 09 : banyaknya partisi pada arah r (radial)

baris 10 : banyaknya partisi pada arah z (aksial)

baris 11 : inisialisasi nilai fluks

baris 12 : inisialisasi nilai source

baris 13 : inisialisasi nilai k

baris 14 : parameter akselerasi SOR

baris 17 – 20 : banyaknya dan definisi jenis material penyusun teras

16


File peta komposisi material teras berada di dalam folder ”input”, dengan nama

”coremap1.txt”.

Gambar III.5 Sistem pemetaan teras

File coremap1.txt tersebut memberikan informasi jenis material di setiap titk

partisi teras, baik partisi radial (horisontal), maupun partisi aksial (vertikal),

daerah pemetaan berupa sistem array dua dimensi R-Z, seperti ditunjukan pada

gambar III.5 diatas. Berikut ini adalah contohnya :

Tabel III.2 Format file input pemetaan teras

Line coremap1.txt01020304050607080910111213141516171819

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 33 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 32 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 32 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 31 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 31 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 31 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 31 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 31 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 31 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 31 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 C1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 31 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 31 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 31 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 31 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 31 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 32 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 32 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3

17


2021

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 33 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

Tabel III.2 diatas adalah contoh perhitungan dengan menggunakan 20 partisi

radial dan 21 partisi aksial, dan 3 jenis material. Angka ”1” pada Tabel III.2

menunjukan bahwa material di titik partisi tersebut adalah material jenis ”1” yang

data cross section-nya berada di dalam file yang namanya ditunjukan pada baris

18 di tabel III.1. Demikian juga arti angka ”2” dan ”3”. Material di dalam teras

biasanya dibedakan berdasarkan level enrichment pada bahan bakarnya.

File output hasil perhitungan disimpan di dalam folder ”output”, terdiri dari

beberapa file, diantaranya adalah file yang menyimpan data nilai fluks dan source

di setiap partisi, dan file output umum yang bernama ”out.neutronics.txt”.

Tabel III.3 Format file output perhitungan neutronik

Line out.neutronics.txt01020304050607080910111213141516171819202122

NEUTRONICS CALCULATION, RESULTS k-eff = 1.01701705819494Flux Max = Flux[0,0] = 722510203052706 #/cm2.sFlux Mean = 264728516229622 #/cm2.sFlux Peaking Factor = 2.72924962275696wflux[1] = 0.158018861888309wflux[2] = 0.226427140655164wflux[12] = 0.214468792303527wflux[4] = 0.141663662275637wflux[5] = 0.0940651397076077wflux[6] = 0.0752527701029753wflux[13] = 0.189037055437533wflux[8] = 1BG2 = 0.00080882668449286BG = 0.0284398784190942Iteration = 36839

Start :Thursday, 28 December 2006, 07:58:42:343Finish :Thursday, 28 December 2006, 07:58:46:750------------------------------------------------Results are saved to "output/out.neutronics.txt"

Grafik hasil perhitungan secara otomatis langsung ditampilkan setelah

perhitungan selesai dikerjakan. Berikut ini beberapa contohnya :

18


Gambar III.6 Contoh grafik distribusi fluks radial 8 grup

Gambar III.7 Contoh grafik distribusi fluks aksial 8 grup

Data cross section untuk setiap jenis material disimpan dalam sebuah file tunggal,

yang namanya ditunjukan pada baris 18 – 20 tabel III.1. Pada bagian selanjutnya

akan dijelaskan mengenai data cross section tersebut secara lebih rinci.

Keseluruhan sistem program komputer yang penulis kembangkan ini dibuat

dengan Borland Delphi 7.0, dan penulis namakan ”Preliminary Nuclear Plant

Analysis Code” atau disingkat PRENPAC, dan bisa di download secara gratis di

situs http://syeilendrapramuditya.wordpress.com.

19

Solusi Numerik Persamaan Difusi Neutron

Documents

Transcript of Solusi Numerik Persamaan Difusi Neutron