SOLUSI NUMERIK MODEL ARUS LALU LINTAS JALAN SATU JALUR

MENGGUNAKAN METODE BEDA HINGGA SKEMA LAX-FRIEDRICHS DAN

SKEMA UPWIND

Numerical Solutions Of Traffic Flow Problem For One Lane Roadway Using Finite

Difference Methods Up To Lax-Friedrichs And Upwind Schemes

Sri Mulyani, Universitas Hasanuddin, Makassar

(E-mail : mulyanis68@gmail.com)

ABSTRAK

Pada penelitian ini, model matematika digunakan untuk mempelajari model arus lalu lintas

jalan satu jalur dengan asumsi bahwa kendaraan tidak saling mendahului. Masalah tersebut

diselesaikan menggunakan metode beda hingga dengan dua skema, yaitu skema Lax-

Friedrichs dan skema Upwind. Solusi dari metode tersebut akan dibuat simulasi pada

perangkat lunak Matlab R2009a©

. Berdasarkan hasil simulasi numerik diperoleh bahwa

pergerakan kepadatan kendaraan dari skema Lax-Friedrichs dan skema Upwind selalu

beriringan dan hampir sama serta akan semakin menuju kepadatan nol dalam waktu

pengamatan yang semakin lama.

Kata Kunci: Arus Lalu Lintas, Model Matematika, Metode Beda Hingga, Skema Lax-

Friedrihcs, Skema Upwind

ABSTRACT

In this study, a mathematical model is used to study the model of one-way road traffic with

the assumption that the vehicle does not overtake one another. The problem is solved using

the finite difference method with two schemes, namely the Lax-Friedrichs scheme and the

Upwind scheme. The solution of the method will be simulated in the Matlab R2009a©

software. Based on the numerical simulation results, it is found that the movement of vehicle

density from the Lax-Friedrichs scheme and the Upwind scheme is always in tandem and

almost the same and will go towards zero density in the longer observation time.

Keywords: Traffic Flow, Mathematical Model, Difference Between Methods, Lax-Friedrichs

Scheme, Upwind Scheme

PENDAHULUAN

Perkembangan ilmu pengetahuan di bidang matematika memberikan peranan dalam

membantu menganalisa permasalahan yang timbul di bidang kesehatan, kimia, fisika, biologi,

dan bidang lainnya. Banyak kejadian-kejadian yang ada di sekitar yang dapat diamati dan

dianalisa dengan menggunakan model matematika. Model matematika merupakan

representasi matematika yang dihasilkan dari pemodelan matematika. Pemodelan matematika

merupakan suatu proses mempresentasikan dan menjelaskan permasalahan pada dunia nyata

ke dalam pernyataan matematis (Widowati 2007). Salah satu model pembahasan pada model

matematika adalah masalah transportasi, termasuk salah satunya adalah masalah lalu lintas

jalan raya.

Masalah transportasi telah dihadapi manusia jauh sebelum kemunculan mobil. Namun,

dalam beberapa tahun terakhir, kemacetan lalu lintas menjadi sangat istimewa. Beberapa

masalah lalu lintas yang mungkin bisa dianalisis secara ilmiah, seperti tempat memasang

lampu lalu lintas atau tanda berhenti, bagaimana mengembangkan sistem lampu lalu lintas,

dimana untuk membangun pintu masuk, pintu keluar, dan jalan layang, serta berapa banyak

jalur untuk membangun jalan raya baru. Secara khusus, tujuan akhirnya adalah untuk

mengerti fenomena lalu lintas agar akhirnya membuat keputusan yang bisa meringankan

kemacetan, memaksimalkan arus lalu lintas, meminimalkan polusi, dan tujuan lain yang

diinginkan (Haberman 1998).

Masalah lalu lintas dapat diselesaikan dengan penyelesaian analitik atau penyelesaian

numerik. Penyelesaian analitik adalah penyelesaian model dengan menggunakan teori atau

metode analisis matematika yang telah ada sedemikian sehingga hasil yang diperoleh

merupakan penyelesaian eksak, sedangkan penyelesaian numerik adalah penyelesaian model

matematika yang diperoleh menggunakan pendekatan diskrit sehingga hasil dari penyelesaian

numerik bukan merupakan penyelesaian eksak (Canale 2010).

Masalah lalu lintas telah dimodifikasi dalam berbagai model, seperti pada artikel yang

ditulis oleh Alkhazraji (2008) berfokus pada memodifikasi model mobil non-linear dan

umumnya ditujukan untuk meningkatkan validitas model; Sohrweidee dkk. (2001)

membandingkan antara jalan empat jalur dan jalan tiga jalur untuk mengidentifikasi jalur

mana yang menyediakan lalu lintas jauh dari kemacetan; Nurassikin (2014) yang dijadikan

sebagai artikel rujukan pada skripsi ini berfokus pada memodelkan arus lalu lintas jalan satu

jalur kemudian menyelesaikan masalah tersebut menggunakan metode karakteristik dan

metode beda hingga, yaitu skema FTCS (Forward Time Central Space) (Puzi 2014). Dalam

tulisan ini akan dibuat pengembangan penyelesain model arus lalu lintas jalan satu jalur

menggunakan skema beda hingga yang berbeda, yaitu skema lax-friedrichs dan skema

upwind. Kemudian akan dilihat pergerakan kepadatan kendaraan dari kedua skema dengan

melihat simulasi hasil dari solusi yang diperoleh menggunakan Matlab R2009a©.

TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Kecepatan Lalu Lintas

Kecepatan yang diukur pada waktu 𝑡 oleh pengamat pada posisi 𝑥 adalah kecepatan

sebuah mobil yang berada pada posisi tersebut (𝑥) dan pada waktu tertentu (𝑡). Sehingga

dalam istilah matematika adalah bidang kecepatan 𝑢(𝑥, 𝑡) pada posisi mobil 𝑥𝑖(𝑡) haruslah

kecepatan mobil 𝑢𝑖(𝑡),

𝑢 𝑥𝑖 𝑡 , 𝑡 = 𝑢𝑖 𝑡 . (2.1)

2.2 Kepadatan Lalu Lintas

Ukuran dasar kedua yang berpengaruh dalam arus lalu lintas adalah kepadatan lalu

lintas. Dengan membayangkan bahwa pada jalan satu jalur, mobil tersebar di sepanjang jalan.

Kepadatan lalu lintas dengan posisi tertentu 𝑥 dan waktu 𝑡 adalah jumlah rata-rata kendaraan

per satuan panjang 𝜌 𝑥, 𝑡 .

2.3 Fluks Lalu Lintas

Ketika mobil melintas pada jalan satu jalur maka mobil akan memiliki kecepatan dan

kepadatan pada jalan raya. Kedua hal tersebut merupakan kunci umum pada fluks lalu lintas.

Misalkan 𝜌0 adalah banyaknya kendaraan per kilometer dan 𝜏𝑢0 adalah jarak pergerakan

kendaraan, maka 𝜌0𝜏𝑢0 adalah banyaknya kendaraan yang melewati pengamat setelah waktu

𝜏 jam. Jumlah kendaraan per jam disebut arus lalu lintas atau sering disebut fluks lalu lintas

(𝑞). Secara matematis arus lalu lintas didefinisikan oleh

𝑞 = 𝜌0𝑢0. (2.2)

2.4 Hubungan Kecepatan, Kepadatan, dan Fluks Lalu Lintas

Persamaan (2.2) digunakan untuk menunjukkan hukum dasar dari masalah lalu lintas

bahwa arus lalu lintas sama dengan kepadatan lalu lintas dikalikan dengan kecepatan

kendaraan. Jika variabel pada lalu lintas bergantung pada 𝑥 dan 𝑡 seperti

𝑞 𝑥, 𝑡 ,𝜌 𝑥, 𝑡 , 𝑢(𝑥, 𝑡) maka dapat ditunjukkan bahwa,

𝑞 𝑥, 𝑡 = 𝜌 𝑥, 𝑡 𝑢 𝑥, 𝑡 . (2.3)

Persamaan (2.3) adalah persamaan yang menunjukkan hubungan antara kecepatan,

kepadatan, dan arus lalu lintas.

2.5 Model Deterministik Arus Lalu Lintas

Misalkan kondisi awal untuk kepadatan lalu lintas (𝜌 𝑥, 𝑡 ) dan kecepatan kendaraan

(𝑢 𝑥, 𝑡 ) diketahui pada panjang jalan yang tak terhingga. Oleh karena itu, hukum konservasi

kendaraan dapat ditulis sebagai berikut

𝜕𝜌

𝜕𝑡+

𝜕

𝜕𝑥 𝜌𝑢 = 0. (2.4)

Persamaan tersebut merupakan persamaan differensial parsial untuk masalah lalu

lintas yang berhubungan dengan kepadatan lalu lintas dan kecepatan kendaraan.

2.6 Masalah Arus Lalu Lintas Jalan Satu Jalur

Berdasarkan asumsi bahwa kendaraan memiliki kecepatan konstan 𝑣 > 0, kemudian

dari hubungan kepadatan, fluks dan kecepatan, maka fluks 𝑞 = 𝜌𝑣 sehingga dari Persamaan

(2.24) menghasilkan persamaan kontinuitas yaitu

𝜕𝜌

𝜕𝑡+ 𝑣

𝜕𝜌

𝜕𝑥= 0. (2.5)

Persamaan (2.5) merupakan persamaan differensial parsial orde pertama yang linear

disebut persaman adveksi. Pada masalah ini, kecepatan merupakan fungsi terhadap kepadatan

yang ditulis sebagai berikut

𝑣 = 𝑣 𝜌 . (2.6)

Dengan mensubstitusi Persamaan (2.6) ke Persamaan (2.5), sehingga diperoleh

𝜕𝜌

𝜕𝑡+𝜕 𝜌𝑣(𝜌)

𝜕𝑥= 0, (2.7)

yang juga merupakan persamaan differensial parsial orde pertama namun non-linear di 𝜌

sehingga dapat ditulis sebagai berikut

𝜕𝜌

𝜕𝑡+ 𝑣

𝜕𝜌

𝜕𝑥+ 𝜌

𝜕𝑣

𝜕𝜌

𝜕𝜌

𝜕𝑥= 0,

atau

𝜕𝜌

𝜕𝑡+ 𝑣 + 𝜌

𝜕𝑣

𝜕𝜌 𝜕𝜌

𝜕𝑥= 0, (2.8)

yang linear pada turunan namun non-linear di 𝜌 disebut sebagai persamaan quasi-linear.

Kemudian, dengan menggunakan hubungan kecepatan dan kepadatan yang non-linear

sehingga diperoleh

𝑣 𝜌 = 𝑣𝑚𝑎𝑥 1 −

𝜌

𝜌𝑚𝑎𝑥

2

. (2.9)

Dengan bantuan Persamaan (2.9) memberikan hubungan untuk fluks lalu lintas sebagai

fungsi kepadatan yang diberikan dalam bentuk berikut

𝑞 𝜌 = 𝜌𝑣 𝜌 ,

= 𝑣𝑚𝑎𝑥 𝜌 −𝜌3

𝜌𝑚𝑎𝑥2 . (2.10)

Dengan mensubstitusi Persamaan (2.9) ke Persamaan (2.10), maka persamaan differensial

parsial non-linear diperoleh dalam bentuk sebagai berikut :

𝜕𝜌

𝜕𝑡+

𝜕

𝜕𝑥 𝜌𝑣𝑚𝑎𝑥 1 −

𝜌

𝜌𝑚𝑎𝑥

2

= 0, (2.11)

dengan nilai awal 𝜌 𝑥0, 𝑡 = 𝜌0(𝑥). Persamaan (2.11) merupakan model arus lalu lintas

jalan satu jalur (Puzi 2014).

2.7 Metode Karakteristik

Diberikan persaman linear adveksi satu dimensi yang disebut persamaan gelombang

sebagai berikut :

𝜕𝑢

𝜕𝑡+ 𝑎

𝜕𝑢

𝜕𝑥= 0, (2.12)

dengan

𝑢 𝑥, 0 = 𝐹 𝑥 , (2.13)

dan 𝑢(𝑥, 𝑡) adalah fungsi yang tidak diketahui dari (𝑥, 𝑡) dan 𝑎 adalah kecepatan seragam

persamaan adveksi. 𝐹 𝑥 adalah syarat awal (𝑡 = 0) dan Persamaan (2.13) adalah kondisi

awal.

Masalah persamaan differensial parsial pada Persamaan (2.12) akan direduksi menjadi

persamaan differesial biasa dengan mengambil kurva 𝑥(𝑡) pada bidang (𝑥, 𝑡) dengan gradien

𝑑𝑡 𝑑𝑥 sehingga diperoleh kurva 𝑥 𝑡 sedemikian sehingga,

𝑑𝑢(𝑥 𝑡 , 𝑡)

𝜕𝑡=𝜕𝑢

𝜕𝑡+ 𝑎

𝜕𝑢

𝜕𝑥= 0. (2.14)

Berdasarkan aturan rantai, maka

𝑑

𝜕𝑡𝑢 𝑥 𝑡 , 𝑡 =

𝜕𝑢

𝜕𝑥∙𝜕𝑥

𝜕𝑡+𝜕𝑢

𝜕𝑡

𝜕𝑡

𝜕𝑡=𝜕𝑢

𝜕𝑡+𝜕𝑢

𝜕𝑥∙𝜕𝑥

𝜕𝑡. (2.15)

Perbandingan Persamaan (2.14) dan (2.15) menunjukkan bahwa

𝜕𝑥

𝜕𝑡= 𝑎. (2.16)

Kemudian jika Persamaan (2.13) diturunkan terhadap 𝑡 maka akan diperoleh,

𝜕𝑢

𝜕𝑡= 0. (2.17)

Persamaan differensial parsial pada Persamaan (2.12) adalah kurva pada bidang (𝑥, 𝑡)

yang diberikan oleh 𝑥 = 𝑥(𝑡) dengan 𝑥(𝑡) adalah solusi dari Persamaan (2.16). Dari

Persamaan (2.17) terlihat jelas bahwa 𝑢 konstan. Dengan demikian, solusi Persamaan (2.12)

direduksi menjadi solusi dari sepasang persamaan differensial biasa yaitu pada Persamaan

(2.16) dan Persamaan (2.17). Kemudian diperoleh solusi dari Persamaan (2.16) adalah

𝑥 𝑡 = 𝑎𝑡 + 𝜉.

Karena 𝑢 adalah konstan sehingga dapat dengan mudah ditentukan dari data awal bahwa

𝑢 𝑥, 𝑡 = 𝑢 𝜉, 0 = 𝐹 𝜉 .

Namun 𝜉 = 𝑥 − 𝑎𝑡, sehingga solusi dari Persamaan (2.12) dengan menggunakan metode

karakteristik diberikan oleh (Salih 2016),

𝑢 𝑥, 𝑡 = 𝐹 𝑥 − 𝑎𝑡 .

2.8 Metode Beda Hingga

2.8.1 Skema Upwind

𝑈𝑗𝑛+1 = 𝑈𝑗

𝑛 −𝑎∆𝑡

∆𝑥 𝑈𝑗

𝑛 −𝑈𝑗−1𝑛 . (2.18)

Persamaan (2.18) adalah metode beda hingga skema upwind persamaan hiperbolik

untuk 𝑎 > 0.

Skema upwind untuk 𝑎 < 0 diperoleh dengan menerapkan Persamaan (2.48) dan

Persamaan (2.62) pada Persamaan (2.63) sebagai berikut

𝑈𝑗𝑛+1 = 𝑈𝑗

𝑛 −𝑎∆𝑡

∆𝑥 𝑈𝑗+1

𝑛 − 𝑈𝑗𝑛 . (2.19)

2.8.2 Skema Lax-Friedrichs

𝑈𝑗𝑛+1 =

1

2 𝑈𝑗−1

𝑛 + 𝑈𝑗+1𝑛 −

𝑎∆𝑡

2∆𝑥 𝑈𝑗+1

𝑛 − 𝑈𝑗−1𝑛 . (2.20)

Sehingga Persamaan (2.20) merupakan metode beda hingga skema lax-friedrichs (LeVeque

2007).

2.9 Konsistensi, Stabilitas, dan Konvergensi

2.9.1 Konsistensi Persamaan Beda Hingga

Sebuah PBH dari sebuah PDP dikatakan konsisten dengan PDP yang didekati jika

selisih antara PBH dengan PDPnya (suku-suku truncation error) menuju nol jika lebar grid

menuju nol, yaitu (∆𝑥,∆𝑡) ⟶ 0 (Noye 1983).

2.9.2 Stabilitas Persamaan Beda Hingga

Persamaan beda hingga akan stabil jika (Noye 1983),

𝐺 ≤ 1 (2.21)

2.9.3 Konvergensi Persamaan Beda Hingga

Teorema 2.2 Ekuivalensi Lax

Diberikan sebuah persamaan differensial parsial linear dan masalah nilai awal yang

well-posed dan suatu metode beda hingga yang konsisten terhadap persamaan differensial

tersebut, maka kestabilan merupakan syarat perlu dan syarat cukup agar metode beda

hingga tersebut konvergen.

HASIL DAN PEMBAHASAN

3.1 Metode Karakteristik

Model arus lalu lintas pada Persamaan (2.11) akan diselesaikan dengan menggunakan

metode karakteristik, yaitu dengan menulis Persamaan (2.11) menjadi

𝜕𝜌

𝜕𝑡+𝜕𝑞(𝜌)

𝜕𝑥= 0,

(3.1)

dengan

𝑞 𝜌 = 𝜌𝑣𝑚𝑎𝑥 1 −

𝜌2

𝜌𝑚𝑎𝑥2 . (3.2)

Akan dicari turunan Persamaan (3.2) terhadap 𝜌, yaitu

𝑑𝑞

𝑑𝜌= 𝜌𝑣𝑚𝑎𝑥

−2𝜌

𝜌𝑚𝑎𝑥2 + 𝑣𝑚𝑎𝑥 1 −

𝜌2

𝜌𝑚𝑎𝑥2 ,

=−2𝜌2𝑣𝑚𝑎𝑥

𝜌𝑚𝑎𝑥2+ 𝑣𝑚𝑎𝑥 1 −

𝜌2

𝜌𝑚𝑎𝑥2 ,

= 𝑣𝑚𝑎𝑥 −2𝜌2 − 𝜌2

𝜌𝑚𝑎𝑥2+ 1 ,

Sehingga diperoleh,

𝑑𝑞

𝑑𝜌= 𝑣𝑚𝑎𝑥 1 −

3𝜌2

𝜌𝑚𝑎𝑥2 . (3.3)

Selain itu, Persamaan (3.1) dapat ditulis sebagai berikut,

𝜕𝜌

𝜕𝑡+𝑑𝑞

𝑑𝜌

𝜕𝜌

𝜕𝑥= 0. (3.4)

Substitusi Persamaan (3.3) ke Persamaan (3.4) sehingga diperoleh,

𝜕𝜌

𝜕𝑡+ 𝑣𝑚𝑎𝑥 1 −

3𝜌2

𝜌𝑚𝑎𝑥2 𝜕𝜌

𝜕𝑥= 0 (3.5)

Dengan menerapkan konsep aturan rantai Persamaan (2.36) diperoleh,

𝑑𝜌

𝑑𝑡=𝜕𝜌

𝜕𝑡+𝜕𝜌

𝜕𝑥

𝑑𝑥

𝑑𝑡= 0, (3.6)

dan menerapkan konsep metode karakteristik, yaitu membandingkan Persamaan (3.6) dengan

Persamaan (3.5) diperoleh,

𝑑𝑥

𝑑𝑡= 𝑣𝑚𝑎𝑥 1 −

3𝜌2

𝜌𝑚𝑎𝑥2 . (3.7)

Kemudian diperoleh,

𝑑𝑥 = 𝑣𝑚𝑎𝑥 1 −3𝜌2

𝜌𝑚𝑎𝑥2 𝑑𝑡,

𝑑𝑥 = 𝑣𝑚𝑎𝑥 1 −3𝜌2

𝜌𝑚𝑎𝑥2 𝑑𝑡,

𝑥 𝑡 = 𝑣𝑚𝑎𝑥 1 −3𝜌2

𝜌𝑚𝑎𝑥2

𝑡 + 𝑐.

Berdasarkan nilai awal pada Persamaan (2.11), yaitu 𝜌 𝑥0 , 𝑡 = 𝜌0(𝑥) diperoleh solusi

khusus Persamaan (3.7) sebagai berikut,

𝑥 𝑡 = 𝑣𝑚𝑎𝑥 1 −

3𝜌2

𝜌𝑚𝑎𝑥2 𝑡 + 𝑥0 . (3.8)

Dari persamaan (3.6) diperoleh bahwa,

𝑑𝜌

𝑑𝑡= 0,

𝑑𝜌 = 0 𝑑𝑡,

𝑑𝜌 = 0 𝑑𝑡,

𝑑𝜌 = 0,

𝜌 𝑥, 𝑡 = 𝑐.

Berdasarkan konsep metode karakteristik yang melalui (𝑥, 𝑡) juga melalui (𝑥0, 0) dan

𝜌 𝑥, 𝑡 = 𝑐 adalah konstan pada suatu kurva, sehingga dengan nilai awal seperti pada

Persamaan (2.11) diperoleh,

𝑐 = 𝜌 𝑥, 𝑡 = 𝜌 𝑥0 , 0 , 𝑐 = 𝜌0 𝑥

0 . (3.9)

Sehingga dapat ditulis bahwa,

𝜌 𝑥, 𝑡 = 𝜌0 𝑥0 . (3.10)

Dari Persamaan (3.8) diperoleh,

𝑥0 = 𝑥 𝑡 − 𝑣𝑚𝑎𝑥 1 −

3𝜌2

𝜌𝑚𝑎𝑥2 𝑡. (3.11)

Dengan mensubstitusi Persamaan (3.11) ke Persamaan (3.10) diperoleh,

𝜌 𝑥, 𝑡 = 𝜌0 𝑥 − 𝑣𝑚𝑎𝑥 1 −

3𝜌2

𝜌𝑚𝑎𝑥2 𝑡 . (3.12)

Persamaan (3.12) merupakan solusi analitik menggunakan metode karakteristik dari model

arus lalu lintas jalan satu jalur. Berdasarkan artikel yang ditulis oleh Hasan M. dkk.. (2015)

dan Kabir dkk. (2010) bahwa solusi pada Persamaan (3.12) merupakan persamaan implisit

yang sulit untuk diselesaikan. Sehingga, digunakan metode numerik untuk menyelesaikan

masalah arus lalu lintas jalan satu jalur.

3.2 Metode Beda Hingga

Persamaan (2.32) dapat ditulis sebagai berikut,

𝜕𝜌

𝜕𝑡+𝜕𝑓(𝜌)

𝜕𝑥= 0, 𝑡0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑇, 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, (3.13)

dengan syarat awal

𝜌 𝑥, 𝑡0 = 𝜌0 𝑥 ; 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏,

dan syarat batas

𝜌 𝑎, 𝑡 = 𝜌𝑎 𝑡 ; 𝑡0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑇,

𝜌 𝑏, 𝑡 = 𝜌𝑏 𝑡 ; 𝑡0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑇,

dengan

𝑓 𝜌 = 𝜌. 𝑣𝑚𝑎𝑥 1 − 𝜌

𝜌𝑚𝑎𝑥

2

.

3.2.1 Skema Lax-Friedrichs

𝜕𝜌

𝜕𝑡+𝜕𝑓 𝜌

𝜕𝑥= 0,

𝜌𝑗𝑛+1 − 𝜌𝑗

𝑛

∆𝑡+𝑓𝑗+1𝑛 − 𝑓𝑗−1

𝑛

2∆𝑥= 0,

𝜌𝑗𝑛+1 − 𝜌𝑗

𝑛

∆𝑡= −

𝑓𝑗+1𝑛 − 𝑓𝑗−1

𝑛

2∆𝑥,

𝜌𝑗𝑛+1 − 𝜌𝑗

𝑛 = −∆𝑡

2∆𝑥 𝑓𝑗+1

𝑛 − 𝑓𝑗−1𝑛 ,

𝜌𝑗𝑛+1 = 𝜌𝑗

𝑛 −∆𝑡

2∆𝑥 𝑓𝑗+1

𝑛 − 𝑓𝑗−1𝑛 , 𝑓 = 𝑓 𝜌 ,

𝜌𝑗𝑛+1 = 𝜌𝑗

𝑛 −∆𝑡

2∆𝑥 𝑓 𝜌𝑗+1

𝑛 − 𝑓 𝜌𝑗−1𝑛 .

(3.14)

Jika 𝜌𝑗𝑛 =

1

2 𝜌𝑗−1

𝑛 + 𝜌𝑗+1𝑛 , Persamaan (3.14) menjadi

𝜌𝑗𝑛+1 =

1

2 𝜌𝑗−1

𝑛 + 𝜌𝑗+1𝑛 −

∆𝑡

2∆𝑥 𝑓 𝜌𝑗+1

𝑛 − 𝑓 𝜌𝑗−1𝑛 , (3.15)

dengan 𝑗 = 1,2,⋯ ,𝑁 dan 𝑛 = 0,1,2,⋯ ,𝑀 − 1 dan

𝑓 𝜌𝑗

𝑛 = 𝜌𝑗𝑛 . 𝑣𝑚𝑎𝑥 1 −

𝜌𝑗𝑛

𝜌𝑚𝑎𝑥

2

. (3.16)

Persamaan (3.15) adalah solusi numerik dari metode beda hingga skema Lax-Friedrichs

model arus lalu lintas jalan satu jalur.

𝑛 + 1

𝑛

𝑛 − 1

𝑗 − 1 𝑗 𝑗 + 1

Gambar 3. 1 Grid Komputasi Skema Lax-Friedrichs

3.2.2 Skema Upwind

𝜕𝜌

𝜕𝑡+𝜕𝑓 𝜌

𝜕𝑥= 0,

𝜌𝑗𝑛+1 − 𝜌𝑗

𝑛

∆𝑡+𝑓𝑗𝑛 − 𝑓𝑗−1

𝑛

∆𝑥= 0,

𝜌𝑗𝑛+1 − 𝜌𝑗

𝑛

∆𝑡= −

𝑓𝑗𝑛 − 𝑓𝑗−1

𝑛

∆𝑥,

𝜌𝑗𝑛+1 − 𝜌𝑗

𝑛 = −∆𝑡

∆𝑥 𝑓𝑗

𝑛 − 𝑓𝑗−1𝑛 ,

𝜌𝑗𝑛+1 = 𝜌𝑗

𝑛 −∆𝑡

∆𝑥 𝑓𝑗

𝑛 − 𝑓𝑗−1𝑛 , 𝑓 = 𝑓 𝜌 ,

𝜌𝑗𝑛+1 = 𝜌𝑗

𝑛 −∆𝑡

∆𝑥 𝑓 𝜌𝑗

𝑛) − 𝑓(𝜌𝑗−1𝑛 ,

(3.17)

dengan 𝑗 = 1,2,⋯ ,𝑁 dan 𝑛 = 0,1,2,⋯ ,𝑀 − 1 dan

𝑓 𝜌𝑗

𝑛 = 𝜌𝑗𝑛 . 𝑣𝑚𝑎𝑥 1 −

𝜌𝑗𝑛

𝜌𝑚𝑎𝑥

2

. (3.18)

Berdasarkan konsep skema upwind, Persamaan (3.13) memiliki nilai 𝑎 = 1 atau 𝑎 > 0,

sehingga Persamaan (3.22) merupakan solusi numerik dari metode beda hingga skema

upwind model arus lalu lintas jalan satu jalur.

𝑛 + 1

𝑛

𝑛 − 1

𝑗 − 1 𝑗 𝑗 + 1

Gambar 3. 2 Grid Komputasi Skema Upwind

Kasus 1

Pada kasus ini dipilih nilai awal,

𝜌 𝑥, 0 = sin 𝜋𝑥 , 0 ≤ 𝑥 ≤ 10,

dan syarat batas

𝜌 0, 𝑡 = 0, 𝑡 > 0,

𝜌 1, 𝑡 = 0 𝑡 > 0.

Kasus 2

Pada kasus ini dipilih nilai awal,

𝜌 𝑥, 0 = sin 𝜋

5𝑥 , 0 ≤ 𝑥 ≤ 10,

dan syarat batas

𝜌 0, 𝑡 = 0, 𝑡 > 0,

𝜌 1, 𝑡 = 0 𝑡 > 0.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x

rho(

t,x)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x

rho(t

,x)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

xrh

o(t

,x)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x

rho(

t,x)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x

rho(t

,x)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x

rho(t

,x)

KESIMPULAN

Perbedaan kepadatan dari masalah arus lalu lintas jalan satu jalur skema lax-friedrichs dan

skema upwind dipengaruh oleh nilai awal. Semakin kecil frekuensi dari nilai awal maka

perbedaan kepadatan dari kedua skema juga akan semakin kecil dan semakin terlihat bahwa

kedua skema memiliki kecenderungan solusi yang hampir sama. Jika kecepatan maksimum

kendaraan diperbesar maka pergerakan kepadatan kendaraan akan semakin cepat dan

semakin lama waktu pengamatan maka kepadatan kendaraan kedua skema akan menuju nol.

DAFTAR PUSTAKA

Alkhazraji, Abdul Salam A. “Traffic Flow Problem with Differential Equation.” AL-Fatih

Journal No 35, 2008: 38-45.

Anderson, John D. Computational Fluid Dynamics The Basiic and Applications First

Edition. New York: McGraw-Hill, 1995.

Bachrun, Rezki Setiawan. Solusi Numerik Persamaan Gelombang Dua Dimensi

Menggunakan Metode Alternating Direction Implicit dan Central Time Central

Implicit. Makassar: Jurusan Matematika FMIPA Unhas, 2015.

Canale, S.C. Chapra dan R. P. Numerical Methods for Engineers Sixth Edition. New York:

McGraw-Hill Companies, Inc, 2010.

Doboszczak, Stefan, dan Virginia Forstall. Mathematical Modeling by Differential Equation.

USA: University of Maryland, 2013.

Haberman, Richard. Mathematical Models "Mechanical Vibration, Population Dynamics,

dan Traffic Flow". Texas: siam (Society for Industrial and Applied Mathematics

Philadelphia), 1998.

Hasan Mahmudul, Shirin Sultana, Sazzad Laek Andallah, Azam Tauhedul. “Lax-Friedrichs

Scheme for the Numerical Simulation of A Traffic Flow Model Based On A

Nonlinear Velocity Density Relation.” American Journal of Computational

Mathematics, 2015: 186-194.

Hoffman, Klauss A, dan Steve T Chiang. Computational Fluid Dynamics Volume II. USA:

Engineering Education System, 2000.

Kabir M.H, Gani M.O., Andallah L.S. “Numerical Simulation of A Mathematical Traffic

Flow Model Based On A Nonlinear Velocity-Density Function.” Journal of

Bangladesh Academy of Sciences, Vol. 34, No. 1, 2010: 15-22.

LeVeque, Randal.J. Finite Difference Methods for Ordinary and Partial Differential

Equation. United Kingdom: SIAM (Society for Industrial and Applied

Mathematics), 2007.

Mingham, Professor D.M.Causon & Professor C.G. Introductory Finite Difference Methods

for PDEs. United Kingdom: Ventus Publishing ApS, 2010.

Noye, John. Computational Techniques for Differential Equation. Australia: Faculty of

Mathematical Sciences The University of Adelaide, 1983.

Puzi, Nurassikin binti Sahain & Dr. Shazirawati binti Mohd. “A Numerical Solution of

Traffic Flow Problem for One Lane Roadway.” Prosiding PSM, 2014: 46-53.

Qingling Li, Zhong Chen, Ulrich Flechtner, and Hans-Warnecke Joachim. “Heat Transfer

and Pessure Drop Characteristics In Reactangular Channels with Elliptic Pin Fins.”

International Journal of Heat and Fluid Flow, 1998: Volume 19, 245-250.

Ribal, Agustinus. Modul Kuliah Metode Beda Hingga. Makassar: Jurusan Matematika

FMIPA Unhas, 2008.

Salih, A. Method of Characteristics. Thiruvananthapuram: Indian Institute of Space and

Technology, 2016.

Smith, G D. Numerical Solution of Partial Differential Equation : Finite Difference Method.

United Kingdom: Clarendon Press Oxford, 1985.

Sohrweide, P. E. T. A., B. P. T. O. E. Buck, dan P. E. R. Wronski. “Arterial Street Traffic

Calming with Three-Lane Roads.” 2001.

Widowati, Sutimin. Buku Ajar Pemodelan Matematika. Semarang: Universitas Diponegoro,

2007.