Solusi Kuis 1 – Kalkulus 2A

Kelas 16 – 2012/2013

1. Hitunglah ∫ 𝑥𝑥2

√𝑥𝑥+6 𝑑𝑑𝑥𝑥

Misalkan 𝑥𝑥 + 6 = 𝑢𝑢

Maka, 𝑥𝑥 = 𝑢𝑢 − 6 dan 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑑𝑑𝑢𝑢. Juga, 𝑥𝑥2 = (𝑢𝑢 − 6)2 = 𝑢𝑢2 − 12𝑢𝑢 + 36

Jadi, ∫ 𝑥𝑥2

√𝑥𝑥+6 𝑑𝑑𝑥𝑥 = ∫ 𝑢𝑢2−12𝑢𝑢+36

√𝑢𝑢𝑑𝑑𝑢𝑢 = ∫(𝑢𝑢3

2� − 12√𝑢𝑢 + 36𝑢𝑢−12� )𝑑𝑑𝑢𝑢 = 2

5𝑢𝑢5

2� − 12(23𝑢𝑢3

2� ) + 36(2𝑢𝑢12� ) + 𝐶𝐶

=25

(𝑥𝑥 + 6)52� − 8(𝑥𝑥 + 6)3

2� + 72(𝑥𝑥 + 6)12� + 𝐶𝐶

2. Cek kekonvergenan dari ∫ 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑑𝑑+2)

∞−2

𝐼𝐼 = �1

𝑑𝑑(𝑑𝑑 + 2)𝑑𝑑𝑑𝑑 = �1

𝑑𝑑(𝑑𝑑 + 2)𝑑𝑑𝑑𝑑 + �1

𝑑𝑑(𝑑𝑑 + 2)𝑑𝑑𝑑𝑑∞

0

0

−2

∞

−2

= lim𝑎𝑎→−2+

�1

𝑑𝑑(𝑑𝑑 + 2)𝑑𝑑𝑑𝑑 + lim𝑏𝑏→0−

�1

𝑑𝑑(𝑑𝑑 + 2)𝑑𝑑𝑑𝑑𝑏𝑏

−1+ lim

𝑐𝑐→0+�

1𝑑𝑑(𝑑𝑑 + 2)𝑑𝑑𝑑𝑑

1

𝑐𝑐+ lim𝑑𝑑→∞

�1

𝑑𝑑(𝑑𝑑 + 2)𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

1

−1

𝑎𝑎

Integral lim𝑐𝑐→0+ ∫ 1𝑑𝑑(𝑑𝑑+2)

𝑑𝑑𝑑𝑑1𝑐𝑐 divergen, karena suku pertama dari lim𝑐𝑐→0+ ∫ 1

𝑑𝑑(𝑑𝑑+2)𝑑𝑑𝑑𝑑1

𝑐𝑐 =𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝒄𝒄→𝟎𝟎+𝟏𝟏𝟐𝟐 ∫

𝟏𝟏𝒔𝒔

𝟏𝟏𝒄𝒄 𝒅𝒅𝒔𝒔 +

lim𝑐𝑐→0+−12 ∫ 1

𝑑𝑑+21𝑐𝑐 𝑑𝑑𝑑𝑑 divergen. Jadi, 𝐼𝐼 divergen.

3. Cek kekonvergenan dari ∑ 43𝑛𝑛

∞𝑛𝑛=1 , sebutkan uji yang digunakan dan jelaskan.

𝑆𝑆 = �4

3𝑛𝑛=

∞

𝑛𝑛=0

4�1

3𝑛𝑛

∞

𝑛𝑛=0

�1

3𝑛𝑛

∞

𝑛𝑛=0

=13

+1

32 +1

33 +1

34 +1

35 + ⋯

adalah deret geometri dengan pengali 1 3� < 1. Jadi, deret ini konvergen. Maka, S juga konvergen.

4. Cek kekonvergenan dari ∑ 𝑛𝑛3𝑛𝑛

∞𝑛𝑛=1 , sebutkan uji yang digunakan dan jelaskan.

𝑆𝑆 = �𝑛𝑛

𝑛𝑛2 + 2

∞

𝑛𝑛=0

Misalkan 𝑎𝑎𝑛𝑛 = 𝑛𝑛𝑛𝑛2+2

dan 𝑏𝑏𝑛𝑛 = 1𝑛𝑛

Dengan uji perbandingan limit, ditemukan

𝜌𝜌 = lim𝑛𝑛→∞

𝑎𝑎𝑛𝑛𝑏𝑏𝑛𝑛

= lim𝑛𝑛→∞

�𝑛𝑛

𝑛𝑛2 + 2∙𝑛𝑛

1� = lim

𝑛𝑛→∞

𝑛𝑛2

𝑛𝑛2 + 2= 1

Jadi, karena ∑𝑏𝑏𝑛𝑛divergen (deret harmonik), maka ∑𝑎𝑎𝑛𝑛 juga divergen.

5. Tentukan himpunan kekonvergenan dari ∑ (2𝑥𝑥+3)𝑛𝑛

𝑛𝑛 !∞𝑛𝑛=1 , nyatakan uji yang

digunakan dan jelaskan.

Dengan uji rasio mutlak diperoleh

𝜌𝜌 = lim𝑛𝑛→∞

�𝑎𝑎𝑛𝑛+1

𝑎𝑎𝑛𝑛� = lim

𝑛𝑛→∞�(2𝑥𝑥 + 3)𝑛𝑛+1

(𝑛𝑛 + 1)!∗

𝑛𝑛!(2𝑥𝑥 + 3)𝑛𝑛� = lim

𝑛𝑛→∞�2𝑥𝑥 + 3𝑛𝑛 + 1

� = 0

Jadi, deret ini konvergen untuk semua 𝑥𝑥. Artinya, himpunan kekonvergenannya adalah ℝ.

6. Diketahui deret sebagai berikut:

1 −𝑥𝑥1

+𝑥𝑥2

2−𝑥𝑥3

3+𝑥𝑥4

4−𝑥𝑥5

5± ⋯

Tentukan himpunan kekonvergenannya, nyatakan uji yang digunakan, dan jelaskan.

1 −𝑥𝑥1

+𝑥𝑥2

2−𝑥𝑥3

3+𝑥𝑥4

4−𝑥𝑥5

5± ⋯ = 1 + �(−1)𝑛𝑛

𝑥𝑥𝑛𝑛

𝑛𝑛

∞

𝑛𝑛=1

Dengan uji rasio mutlak, diperoleh

𝜌𝜌 = lim𝑛𝑛→∞

�𝑎𝑎𝑛𝑛+1

𝑎𝑎𝑛𝑛� = lim

𝑛𝑛→∞�𝑥𝑥𝑛𝑛+1

𝑛𝑛 + 1∗𝑛𝑛𝑥𝑥𝑛𝑛� = lim

𝑛𝑛→∞�𝑥𝑥

𝑛𝑛𝑛𝑛 + 1

� = |𝑥𝑥|

Agar konvergen, |𝑥𝑥| < 1 atau −1 < 𝑥𝑥 < 1.

Selanjutnya, untuk 𝑥𝑥 = −1, deret menjadi1 + 1 + 12

+ 13

+ 14

+ 15

+ ⋯ (divergen: deret harmonik)

Untuk 𝑥𝑥 = 1, deret menjadi 1 − 1 + 12− 1

3+ 1

4− 1

5± ⋯ (konvergen: deret berganti tanda)

Jadi, himpunan kekonvergenan deret tersebut adalah (−1, �1]�.