Solusi Kuis 1 β Kalkulus 2A
Kelas 16 β 2012/2013
1. Hitunglah β« π₯π₯2
βπ₯π₯+6 πππ₯π₯
Misalkan π₯π₯ + 6 = π’π’
Maka, π₯π₯ = π’π’ β 6 dan πππ₯π₯ = πππ’π’. Juga, π₯π₯2 = (π’π’ β 6)2 = π’π’2 β 12π’π’ + 36
Jadi, β« π₯π₯2
βπ₯π₯+6 πππ₯π₯ = β« π’π’2β12π’π’+36
βπ’π’πππ’π’ = β«(π’π’3
2οΏ½ β 12βπ’π’ + 36π’π’β12οΏ½ )πππ’π’ = 2
5π’π’5
2οΏ½ β 12(23π’π’3
2οΏ½ ) + 36(2π’π’12οΏ½ ) + πΆπΆ
=25
(π₯π₯ + 6)52οΏ½ β 8(π₯π₯ + 6)3
2οΏ½ + 72(π₯π₯ + 6)12οΏ½ + πΆπΆ
2. Cek kekonvergenan dari β« ππππππ(ππ+2)
ββ2
πΌπΌ = οΏ½1
ππ(ππ + 2)ππππ = οΏ½1
ππ(ππ + 2)ππππ + οΏ½1
ππ(ππ + 2)ππππβ
0
0
β2
β
β2
= limππββ2+
οΏ½1
ππ(ππ + 2)ππππ + limππβ0β
οΏ½1
ππ(ππ + 2)ππππππ
β1+ lim
ππβ0+οΏ½
1ππ(ππ + 2)ππππ
1
ππ+ limππββ
οΏ½1
ππ(ππ + 2)ππππππ
1
β1
ππ
Integral limππβ0+ β« 1ππ(ππ+2)
ππππ1ππ divergen, karena suku pertama dari limππβ0+ β« 1
ππ(ππ+2)ππππ1
ππ =π₯π₯π₯π₯π₯π₯ππβππ+ππππ β«
ππππ
ππππ π π ππ +
limππβ0+β12 β« 1
ππ+21ππ ππππ divergen. Jadi, πΌπΌ divergen.
3. Cek kekonvergenan dari β 43ππ
βππ=1 , sebutkan uji yang digunakan dan jelaskan.
ππ = οΏ½4
3ππ=
β
ππ=0
4οΏ½1
3ππ
β
ππ=0
οΏ½1
3ππ
β
ππ=0
=13
+1
32 +1
33 +1
34 +1
35 + β―
adalah deret geometri dengan pengali 1 3οΏ½ < 1. Jadi, deret ini konvergen. Maka, S juga konvergen.
4. Cek kekonvergenan dari β ππ3ππ
βππ=1 , sebutkan uji yang digunakan dan jelaskan.
ππ = οΏ½ππ
ππ2 + 2
β
ππ=0
Misalkan ππππ = ππππ2+2
dan ππππ = 1ππ
Dengan uji perbandingan limit, ditemukan
ππ = limππββ
ππππππππ
= limππββ
οΏ½ππ
ππ2 + 2βππ
1οΏ½ = lim
ππββ
ππ2
ππ2 + 2= 1
Jadi, karena βππππdivergen (deret harmonik), maka βππππ juga divergen.
5. Tentukan himpunan kekonvergenan dari β (2π₯π₯+3)ππ
ππ !βππ=1 , nyatakan uji yang
digunakan dan jelaskan.
Dengan uji rasio mutlak diperoleh
ππ = limππββ
οΏ½ππππ+1
πππποΏ½ = lim
ππββοΏ½(2π₯π₯ + 3)ππ+1
(ππ + 1)!β
ππ!(2π₯π₯ + 3)πποΏ½ = lim
ππββοΏ½2π₯π₯ + 3ππ + 1
οΏ½ = 0
Jadi, deret ini konvergen untuk semua π₯π₯. Artinya, himpunan kekonvergenannya adalah β.
6. Diketahui deret sebagai berikut:
1 βπ₯π₯1
+π₯π₯2
2βπ₯π₯3
3+π₯π₯4
4βπ₯π₯5
5Β± β―
Tentukan himpunan kekonvergenannya, nyatakan uji yang digunakan, dan jelaskan.
1 βπ₯π₯1
+π₯π₯2
2βπ₯π₯3
3+π₯π₯4
4βπ₯π₯5
5Β± β― = 1 + οΏ½(β1)ππ
π₯π₯ππ
ππ
β
ππ=1
Dengan uji rasio mutlak, diperoleh
ππ = limππββ
οΏ½ππππ+1
πππποΏ½ = lim
ππββοΏ½π₯π₯ππ+1
ππ + 1βπππ₯π₯πποΏ½ = lim
ππββοΏ½π₯π₯
ππππ + 1
οΏ½ = |π₯π₯|
Agar konvergen, |π₯π₯| < 1 atau β1 < π₯π₯ < 1.
Selanjutnya, untuk π₯π₯ = β1, deret menjadi1 + 1 + 12
+ 13
+ 14
+ 15
+ β― (divergen: deret harmonik)
Untuk π₯π₯ = 1, deret menjadi 1 β 1 + 12β 1
3+ 1
4β 1
5Β± β― (konvergen: deret berganti tanda)
Jadi, himpunan kekonvergenan deret tersebut adalah (β1, οΏ½1]οΏ½.
Top Related