Kumpulan Soal Olimpiade Tingkat SMP dan Pembahasannya

Nama : Ayu Dwi Asnantia Nim : 09320042

Soal Pilihan Ganda !!1. Jika a + b = 1, b + c = 2, dan c + a = 3, maka a + b + c = ....

a. 2 b. 3 c. 4 d. 5 e. 6

2. Jika selisih dua bilangan adalah 2 dan selisih kuadrat dua bilangan itu adalah 6, maka hasil tambah dua bilangan itu adalah ....a. 9 b. 7 c. 5 d. 6 e. 2

3. Jika

16+ 1

12=1

x maka √ x = ...a. 2 b. 3 c. 4 d. 6 e. 1

4. Jika a + b = 1, dan a2 + b2 = 5, maka a3 + b3 = …a. 6 b. 24 c. 8 d. 22 e. 26

5. Hasil dari 16log (√21+6√6 -√5−√24 ) adalah …

a.

54 b.

56 c.

58 d.

68 e.

108

6. Diketahui x + y = 12 dan x3+ y3

= 432. Nilai dari x2+ y2

adalah…a. 260 b. 350 c. 360 d. 340

7. Hasil pemfaktoran dari x2 + 12x – 864 adalah …a. (x+36)(x - 24) b. (x – 36)(x+24) c. (x+36)(x + 24) d. (x – 36)(x – 24) e. (36x + 1)(24x - 1)

8. Jika

2aba+b

=1,

aca+c

= 17 , dan

bcc+b

=2, maka

1a+1

c+ 1

b=

...

a. 4 b.

154 c.

204 d.

194 e.

174

9. Jika a : b = 2 : 5 maka nilai

aa−b

− a2

a2−b2 = ...

a. −10

21 b. − 7

21 c. −19

21 d. −17

21 e. −21

21

10. Tiga ekor ayam (Besar, Sedang, dan Kecil) ditimbang. Jika yang Besar dan Kecil ditimbang, beratnya adalah 2,6 kg. Jika yang Besar dan Sedang ditimbang, beratnya adalah 3 kg, dan jika yang Sedang dan Kecil ditimbang, beratnya adalah 2 kg. Berat ketiga ayam tersebut seluruhnya adalah ....a. 4 kg b. 4,2 kg c. 3,8 kg d. 4,6 kg e.5 kg

Soal Isian !!

11. Jika x+ 1

y=8

dan xy+ 1

xy=38

maka nilai y+ 1

x=. . .

12. Misalkan a dan b adalah dua bilangan tertentu. Jika a2 + (a + b) = a(b – a) + x, maka x = ... .

13. Siswa SMP dan SMA mengikuti ujian matematika di Gedung Prof. Soedarto Undip. Jika seorang siswa SMP keluar gedung, maka 1/7 dari siswa yang berada di gedung adalah siswa SMP. Jika dua siswa SMA keluar gedung, maka 1/5 dari siswa yang berada di gedung adalah siswa SMP. Tentukan perbandingan banyaknya siswa SMA : SMP !

14. Diketahui tiga bilangan bulat a, b, dan c. Jika

307

= 1

a+ 1

b+ 1c

maka 7a + b - c = …

15. Peserta upacara bendera yang dihadiri oleh 600 siswa disusun dalam x baris. Tiap barisnya diisi oleh y siswa. Jika susunan barisan diubah dengan menambah 5 baris, maka tiap barisnya berkurang 6 siswa. Tentukan banyaknya baris sebelum diubah?

16. Bilangan x, y, z adalah tiga bua bilangan genap berurutan dengan x < y< z. Jika a = ( z−x )( y−x )

( z− y ) , maka a yang memenuhi adalah ...

17. Jika 2x + y = 18 dan x + 2y = 24, Tentukan nilai dari √64 .x + 0,5y =…18. Diketahui (2x - 3y) : (x + 2y )= 3, maka nilai (2x + y) : (3x + 10y) adalah .....19. Untuk nilai x dan y yang memenuhi system persamaan 7x – 3y +2 = 49x – 3y +1 dan 9x – y +1 =

243x – y , maka nilai x – y = …

20. Bentuk sederhana dari ( 8x3 + 8x2 + 4x + 1 ) ( 8x3 – 8x2 + 4x – 1) adalah …

Kunci Jawaban Pilihan Ganda

1. Diketahui : a + b = 1, b + c = 2, dan c + a = 3Ditanya : a + b + c =…??Jawab : b + c = 2

a + b = 1 –c – a = 1 c = 1 + a

c + a = 31 + a + a = 3 b + c = 2

2a = 2 b + 2 = 2a = 1 b = 0 c = 2

sehingga a + b + c = 1 + 0 + 2 = 3 (B)

2. Misal, dua bilangan itu x dan y. Maka x – y = 2 dan x² - y² = 6.x = 2 + yx² - y² = 6 (2 + y)² - y² = 6

4 + 4y + y² - y² = 64y – 2 = 04y = 2y = ½

x = 2 + y x = 2 + ½ = 2½x + y = 2½ + ½ = 3Jadi, hasil tambah dua bilangan itu adalah 3 (D)

3.

16+ 1

12=1

x maka √ x = ...2

12+ 1

12= 3

12=1

4=1

x x = 4, √4 = 2 (A)

4. Diketahui : a + b = 1, dan a2 + b2 = 5, maka a3 + b3 = ...a = 1 – b a2 + b2 = 5 (1 – b )² + b² = 5

1 – 2b + b² + b² = 52b² - 2b – 4 = 0b² - b – 2 = 0(b – 2 ) (b + 1) = 0b=2 atau b= – 1

b = 2 a = 1 – 2 = – 1 (– 1)³ + 2³ = – 1 + 8 = 7b = – 1 a = 1 + 2 = 3 3³ + (– 1)³ = 27 – 1 = 26jadi, a3 + b3 = 7 atau a3 + b3 = 26 (E)

5. 16log (√21+2. 3√6 -√5−2√6 ) = 16log [(√21+2√3 . 6 -√5−2√6 )]= 16log [ √18 + √3 – (√3 - √2) ]= 16log [ 3√2 + √3 – (√3 - √2) ]= 16log 4√2 = 24 log 2 5/2

=

52 .

14 . 2log 2 =

58 (C)

6. Diketahui : x + y = 12 dan x3+ y3

= 432x = 12 – y ( 12 – y )3 + y3 =432

1728 +3.122.y + 3.y2.12 – y3 + y3= 43236y2 + 432y +1296 = 0y2 + 12y + 36 = 0( y + 6 ) (y + 6 ) = 0y = – 6x = 18

x2+ y2= 182 + (-6)2 = 324 + 36 = 360 ( C )

7. x2 + 12x – 864 = (x + 36) (x – 24) (A)8. Diketahui : 1/a + 1/b = 2, 1/a + 1/c = 7, dan 1/b + 1/c = ½.

1a+1

c+ 1

b=

(2+7+1/2)/2 = 19/4 (D)

9.

aa−b

− a2

a2−b2=

1

1−ba

− 1

1−b2

a2 =

1

1−52

− 1

1−254 =

−23

+ 421

=

4−1421

=−1021

Jawaban (A) −10

2110. Misal, Ayam Besar =B ; Ayam Sedang =S ; Ayam Kecil = K

Diketahui : B + K = 2,6 kg ………….(1)B + S = 3 kg ………….(2)S + K = 2 kg ………….(3)

Ditanya : Berat ketiga ayam ?Jawab : eliminasi persamaan (2) dan (3)

B + S = 3 kgS + K = 2 kg – B – K = 1 B = 1 + K ………(4)

Masukkan persamaan (4) ke dalam persamaan (1)B + K = 2,6 kg 1 + K + K = 2,6 kg

2K = 1,6 kg K = 0,8 kg

B + K = 2,6 kg B + S = 3 kg B = 2,6 kg – 0,8 kg S = 3kg – 1,8 kg B = 1,8 kg S = 1,2 kg

Sehingga Jumlah ketiga ayam tersebut yaitu B + S + K = 1,8 kg + 1,2 kg + 0,8 kg = 3,8 kg (B)

Kunci Jawaban Soal ISian !!13. Misalkan x = banyaknya siswa SMP dan y = total siswa. Dari soal diperoleh :

x – 1= (y - 1)/7 dan x = (y – 2)/5Sistem persamaan linear yang terbentuk 7x – y = 65x – y = -2Jika persamaan pertama dikurangi persamaan kedua, didapat2x = 8 x = 4 y = 22.Dengan demikian, SMA : SMP = (22-4) : 4 = 18 : 4 = 9 : 2Jawaban : 9 : 2.

14. Diketahui

307

= 1

a+ 1

b+ 1c maka

307

= abc+a+cbc+1

atau 30(bc + 1) = 7(abc + a + c).Hal ini berarti 7 habis membagi 30(bc + 1). Karena 7 tidak habis membagi 30 maka 7 habis membagi bc + 1, atau bc = 6.Ada dua kemungkinan yang dihasilkan :b = 2 dan c = 3. Hal ini berakibat, 30(bc + 1) = 7(abc + a + c) 30 = 6a + a + 3 a = 27/7 (tidak mungkin)b = 3 dan c = 2. Hal ini berakibat, 30(bc + 1) = 7(abc + a + c) 30 = 6a + a + 2 a = 4Jadi 7a + b - c = 7.4 + 3 – 2 = 29.

Jika x adalah bilangan bulat positif dan 2a + x = bx + b = aa + b = cnilai terbesar yang mungkin dari a + b + c = ? Jelaskan jawaban anda.Solusi :Misalkan 2a + x = b ............................................................... (1)x + b = a ............................................................... (2)a + b = c ............................................................... (3)

Perhatikan peersaman (1) dan (2). Dengan metode substitusi, didapat 2a + x = a – x sehingga a = -2x. Hal ini berakibat b = -3x dan c = -5x.Jadi a + b + c = -2x – 3x – 5x = -10x. Diketahui x adalah bilangan bulat positif, maka nilai terbesar a + b + c = -10x = -10.Jawaban : -10

15. Diketahui xy = 600 dan (x+5)(y-6) = 600. (x+5)(y-6) = 600 (x+5)(600/x-6) = 600

(x+25)(x-20) = 0 x = -25 atau x = 20.

Jawaban : 20

16. karena x, y , dan z adalah bilangan genap berurutan dengan x < y < z, maka y dan z dapat dinyatakan sebagai berikut :

y = x + 2 ; z = x + 4dari sini diperoleh :

a =

( z−x )( y−x )( z− y ) =

( x+4−x )( x+2−x )( x+4−( x+2)) =

4 .22 = 4

17. Eliminasi kedua persamaan, yaitu 2x + y = 18 dan x + 2y = 24, sehingga akan mendapat x = 4 dan y = 10.

√64 .x + 0,5y = 8x + 0,5y = (8.4) + (0,5.10) = 32 +5 =37

18. (2x - 3y) : (x + 2y )= 3, sehingga didapat 2x - 3y = 3x + 6y. Kemudian kumpulkan variable yang sejenis, maka kita dapatkan 2x-3x = 6y+3y. Jadi x = -9y. Nilai (2x + y) : (3x + 10y) = ( 2. (-9y))+ y) : ( 3(-9y) + 10y)

= ( -17y) : (-17y) = 1

19. 7x – 3y +2 = 49x – 3y +1 dan 9x – y +1 = 243x – y

7x – 3y +2 = 72(x – 3y +1) dan 32(x – y +1) = 35(x – y)

x – 3y + 2 = 2x – 6y + 2 dan 2x – 2y + 2 = 5x – 5y x – 3y = 0 …….(i) dan 3x – 3y = 2 …..(ii)dari (i) dan (ii) 3x – x =2

x = 1 dan y =

13

jadi, x – y =

23

20. ( 8x3 + 8x2 + 4x + 1 ) ( 8x3 – 8x2 + 4x – 1) = 64x6 – 64x5 + 32x4 – 8x3 + 64x5 – 64x4 + 32x3 – 8x2 + 32x4 – 32x3 + 16x2 – 4x + 8x3 – 8x2 + 4x – 1

= 64x6 – 1

Nama : Rizki Resti AriNim : 09320002

1. Cari semua bilangan asli x dan y yang memenuhi persamaan 1x− 1

y=1

3 !

Jawab :1x− 1

y=1

3y−xx y

=13

→ 3 y−3 x=xy→ xy+3x−3 y=0

→ ( x−3 ) ( y+3 )=−9→ ( x−3 ) ( y+3 )=(−1 ) .9

( x−3 )=−1→ x=2( y+3 )=9→ y=6

jadi ,nilai ( x , y ) adalah(2,6)(Sukino, 2009)

2. Bila x+ 1x=1, carilah nilai dari x

20+ 1x20 !

Jawab :Salah satu cara menjawab soal diatas dapat dilakukan sebagai berikut :

(i) x2+ 1x2 =(x+ 1

x )(x+ 1x )−2=1−2=−1

(ii) x3+ 1x3 =(x2+ 1

x2 )(x+ 1x )−(x+ 1

x )=(−1 )(1)−1=−2

(iii) x5+ 1x5 =(x3+ 1

x3 )(x2+ 1x2 )−(x+ 1

x )= (−2 )(−1)−1=1

(iv) x10+ 1x10=(x5+ 1

x5 )(x5+ 1x5 )−2=1−2=−1

(v) x20+ 1x20 =(x10+ 1

x10 )(x10+ 1x10 )−2=(−1 )(−1)−2=−1

jadi , x20+ 1x20 =−1

(Sukino, 2009)

3. Diketahui jumlah dua bilangan adalah 21 dan hasil kali kedua bilangan itu adalah -7Hitung : a. Jumlah kuadrat kedua bilangan itub. Jumlah kebalikan kedua bilangan ituc. Jumlah pangkat 4 kedua bilangan itu

Jawab :

Misal kedua bilangan itu x dan y, maka x + y = 21 dan xy = -7

a. Jumlah kuadrat kedua bilangan itu = x2 + y2

x2 + y2 = (x + y)(x + y) – 2(xy)

= (21)(21)-2(-7)

= 441 + 14 => 455

b. Jumlah kebalikan kedua bilangan itu = 1x+ 1

y1x+ 1

y= x+ y

xy= 21

−7=−3

c. Jumlah pangkat empat kedua bilangan itu= x4 + y4

x4 + y4 = (x2 + y2)( x2 + y2) - 2 x2 y2

= (455)(455)-2(-7)2

= 207025 – 98 => 206927(Sukino, 2009)

4. Bilangan x2 – 3x + 1 = 0, Carilah nilai dari (x8+ 1x8 ) !

Jawab :

Pandang x2 – 3x + 1 = 0 => x2−3 x+1x

=0x

, x≠ 0

x+ 1x=3(sebagai pedoman meng hitung)

(i) x2+ 1x2 =(x+ 1

x )(x+ 1x )−2=(3 )(3)−2=7

(ii) x4+ 1x4 =(x2+ 1

x2 )( x2+ 1x2 )−2= (7 )(7)−2=47

(iii) x8+ 1x8 =(x4+ 1

x4 )(x4+ 1x4 )−2=(47 )(47)−2=2207

jadi x8+ 1x8 =2207

(Sukino, 2009)

5. Jika 3 + 5x = 28, maka nilai x adalah…………..a. 20b. 3,5c. 5d. 6,2e. 125Jawab :

Jika 3 + 5x = 28, maka 5x = 28 – 3 = 25. Sehingga x = 255

=5

Jadi nilai x = 5 => (c) (Hamiyah : 3, 2008)

6. Jika x = 5 dan y = x + 3 dan z = 3y + 1, nilai z adalah………………a. 7b. 25c. 12d. 46e. 19

Jawab :

Jika x = 5 dan y = x + 3, maka y = 5 + 3 = 8

Jika y = 8 dan z = 3y + 1, maka z = 3(8) + 1

= 24 + 1 = 25

Jadi nilai z = 25 => (b) (Hamiyah : 157, 2008)

7. Jika x = 12 dan y = -6, maka nilai dari 3 x+ yx− y adalah………………….

a. 3b. 7

c.53

d. 5

e.73

Jawab :

Jika x = 12 dan y = -6, maka

3 x+ yx− y =

3 (12 )+(−6)12−(−6)

=3018=

53 =>jadi jawabannya ( c ) (Hamiyah : 182, 2008)

8. Panjang tiga sisi segitiga adalah 7, x + 4 dan 2x + 1. Keliling segitiga itu adalah 36. Berapa sisi terpanjang dari segitiga itu?a. 7b. 12c. 17d. 15e. 16

Jawab :

Jika keliling segitiga itu adalah 36, maka 7 + (x + 4) + (2x + 1) = 36 atau

3x + 12 = 36 => 3x = 24 dimana x = 8

Jadi, panjang tiga sisi segitiga itu adalah

a. 7 b. 8 + 4 = 12c. 2(8) + 1 = 17Dimana yang paling panjang adalah 17 ( c ) (Hamiyah : 219, 2008)

9. Kebalikan dari 3

10 adalah ( 1x + 1). Berapakah nilai dari x ?

a.73

b.3

13

c.37

d.53

e.35

Jawab :

Jika kebalikan 3

10 adalah ( 1x + 1), maka

1x + 1 =

103

1x =

73

x = 37 => ( c )

(Hamiyah : 259, 2008)

10. Jika x = -3, maka nilai dari 3x2 + 2x adalah…………..a. 81b. 75c. -33d. 21e. -24

Jawab :

Dengan mengganti x = -3, diperoleh 3x2 + 2x = 3(-3)2 + 2(-3)

= 3(9) – 6

= 21 => ( d )

(Hamiyah : 277, 2008)

SUMBER :

1. Sukino.2009.Mastro Olimpiade Matematika SMP. Erlangga: Jakarta

2. Hamiyah,nur.2008.Olimpiade Matematika Untuk SMP/MTs.Cerdas Pustaka Publisher: Jakarta

Nama : Iswatun Arifin

Nim : 093200

1. Berikut ini manakah yang bukan faktor darix6−¿ 1

a. x−1 d. x4+x2+1

b. x2−1 e. Semua jawaban benar

c. x2+ x+1

Jawaban

x6−1= ( x3−1 ) ( x3+1 )

¿ ( x−1 ) ( x2+x+1 ) ( x+1 ) ( x2+x+1 )

¿ ( x2−1 )(x4+ x2+1)

Jadi faktor-faktornya adalah

( x−1 ) , ( x+1 ) , ( x2−1 ) , ( x2+x+1 ) , ( x2+x+1 ) , ( x3−1 ) , ( x3+1 ) , ¿¿)

Jawabannya (e)

2. Misalkan α adalah salah satu akar dari x4+x2+1.

Berapakah nilai dari α 6+2 α 4 ?

a. -2 c. 0 e. Tidak bisa ditentukan

b. -1 d. 1

Jawaban

Diketahui α adalah salah satu akar dari x4+x2+1, artinya

α 4+α2−1=0

α 4+α2=0

Ditanyakan beberapa nilai dari α 6+2α 4

α 6+2 α 4=¿ α 6+ α 4+α4 = α 2 ( α 4+α2 )+α 4=α 2(1)+α4=α 2+α 4=1

Jawabannya (d)

3. Empat bilanngan bulat yang beerurutan ditambahkan. Jika bilangan terkecil adalah 2m-1,

maka jumlah keempat bilangan tersebut adalah

a. 8m – 10 c. 8m + 8 e. 8m + 3

b. 8m + 2 d. 8m + 10

Jawaban

Karena bilangan terkecilnya 2m-1, maka bilangan tersebut adalah 2m – 1,2m,2m + 1, 2m

+ 2. Jadi jumlah keempat bilangan tersebut adalah

(2m – 1)+(2m)+(2m + 1)+(2m + 2) = 8m + 2

Jawabannya (b)

4. Jika p= 1√14−√ 13

dan ¿1

√14+√ 13 , maka p2+ pq+q2 = ..........

a. 49 c. 55 e. 61

b. 52 d. 58

Jawaban

p2+ pq+q2=( p+q )2− pq

¿( 1√14−√13

+ 1√14+√13 )

2

− 1√14−√13

× 1√14+√13

¿((√14+√13 )(√14−√13 )

+(√14−√13)(√14+√13)

)2

−1

14−13

¿( 2 √ 1414−13

)2

−1=56−1=55

Jawabannya (c)

5. Dalam Math Idol, terdapat total 5 219 000 suara yang diberikan untuk empat Idol

potensial. Pemenangnya menerima 22 000 sura lebih banyak daripada kontestan tempat

ke-2, 30 000 suara lebih banyak daripada kontestan ke-3, dan 73 000 suara lebih banyak

daripada kontestan tempat ke-4. Berapa bannyak suara yang pemenang terima?

a. 1 273 500 c. 1 306 000 e. 1 346 500

b. 1 263 000 d. 1 336 000

Jawaban

Jika masing-masing banyaknya suara dalam soal ini adalah perkalian 1000, maka kita

mempertimbangkan banyaknya ribuan suara yang masinng-masing Idol potensial terima,

dengan membuat beberapa bilangan llebih mudah untuk digunakan. Terdapat total yang

diberikan.

Anggaplah bahwa pemenangnya menerima x ribu suara. Kemudian, lawannya menerima

x−22 , x−30 dan x−73 ribu suara.

Dengan menyamakan total bilangan ribuan suara.

x+( x−22 )+( x−30 )+( x−73 )=5219

4 x−125=5219

4 x=5344

x=1336

Oleh karena itu, pemenangnya menerima 1 336 000 suara.

Jawabannya (d)

6. Pada diagram berikut ini, keliling persegi panjangnya adalah 56. Berapa keliling persegi

panjang tersebut?

a. 247 c. 169 e. 775 x−2

b. 187 d. 135

Jawaban x+4

Jika keliling persegi panjangnya adalah 56 maka :

2 ( x+4 )+2 ( x−2 )=56 Oleh karena itu, persegi panjangnya adalah x+4=17

2 x+8+2 x−4=56 dengan x−2=11, sehingga persegi panjang itu memiliki l

4 x+4=56 luas daerah 17(11)=187

4 x=52

x=13

Jawabannya (b)

7. Pada masing-masing baris pada tabel, jumlah dari dua bilangan pertama sama dengan

bilangan ketiga. Juga, pada masing-masing kolom pada tabel, jumlah dari dua bilangan

pertama sama dengan bilangan ketiga.

m 4 m+4

8 n 8+n

m+8 4+n 6

Berapa jumlah sembilan bilangan dalam tabel tersebut?

a. 18 c. -18 e. 24

b. 42 d. -6

Dengan mencoba menetapkan m = 0, maka tabel menjadi

0 4 m+4

8 n 8+n

0+8 4+n 6

Dari ketiga baris tersebut, 8+ (4+n )=6 atau n+12=6 atau n=−6 sehingga tabel menjadi :

Jumlah dari sembilan bilangan dalam table adalah 0+4+4+8+(-

6)+2+8+(- 2)+6=24

Jawabannya (e)

8. Diketahui a dan b bilangan asli yang memenuhi a+b=14 dan a2−b2=28.

Tentukan nilai a2+b2?

a. 50 b. 75 c. 80 d. 100 e. 110

Jawaban

a2−b2=28 difaktorkan menjadi : (a+b)(a−b)¿28

14 (a−b )=28

(a−b )=2

Diperoleh dua persamaan yaitu a+b=14 dan a−b=2, kemudian dengan cara eliminasi

dan subtitusi di peroleh nilai a=8 dan b=6

Dengan demikian a2+b2=82+62=100

Jawabannya (d)

9. Bilangan segitiga adalah bilangan yang berbentuk

n(n+1 )2 , dengan n adalah bilangan

asli. Banyaknya bilangan segitiga yang kurang dari 100 adalah….

a. 8 b. 9 c. 10 d. 13 e. 15

Jawaban

0 4 4

8 -6 2

8 -2 6

n=1

n(n+1 )2

=1(1+1)

2=1

n=2

n(n+1 )2

=2(2+1)

2=3

n=3

n(n+1 )2

=3(3+1 )

2=6

n=4

n(n+1 )2

=4( 4+1 )

2=10

n=5

n(n+1 )2

=5(5+1 )

2=15

n=6

n(n+1 )2

=6 (6+1)

2=21

n=7

n(n+1 )2

=7(7+1)

2=28

n=8

n(n+1 )2

=8 (8+1)

2=36

n=9

n(n+1 )2

=9 (9+1)

2=45

n=10

n(n+1 )2

=10 (10+1)

2=55

n=13

n(n+1 )2

=13 (13+1)

2=91

n=15

n(n+1 )2

=15 (15+1)

2=120

Jadi, banyaknya bilangan segitiga yang kurang dari 100 adalah 13.

Jawabannya (d)

10. Jika a3+a−3=7. Tentukan nilai a6+a−6?

a. 27 b. 36 c. 47 d. 55 e.49

Jawaban

a6+a−6=(a3+a−3 )−2 a3× a−3

¿72−2

¿49−2=47

Jawabannya (c)