Sebaran Penarikan Contoh

Dept Statistika FMIPA IPB

Statistik: karakteristik numerik yang diperoleh dari data contoh

Dari sebuah populasi dapat diperoleh banyak contoh acak.

Dari setiap contoh acak, dapat dihitung sebuah nilai statistik.

Nilai statistik tersebut dapat berbeda-beda antar contohnya.

Statistik adalah peubah acak, dan memiliki sebaran.

0.5 2.5 1.5 1.5

populasi

contoh

rata-rata

SEBARAN PENARIKAN CONTOH Rataan Ragam2 2 2.0 0.02 3 2.5 0.52 6 4.0 8.02 8 5.0 18.02 9 5.5 24.53 2 2.5 0.53 3 3.0 0.03 6 4.5 4.53 8 5.5 12.53 9 6.0 18.06 2 4.0 8.06 3 4.5 4.56 6 6.0 0.06 8 7.0 2.06 9 7.5 4.58 2 5.0 18.08 3 5.5 12.58 6 7.0 2.08 8 8.0 0.08 9 8.5 0.59 2 5.5 24.59 3 6.0 18.09 6 7.5 4.59 8 8.5 0.59 9 9.0 0.0

5.63.72

Contoh

RataanVar

6

92

8

3

Populasi

µ = 5.6 dan ² = 7.44

n=2

Pengambilan dengan pemulihan

X

Ilustrasi : Klik (reply 1)

Rataan

Fre

que

ncy

108642

5

4

3

2

1

0

5.6

Histogram of RataanNormal

Rataan Ragam2 2 2.0 0.02 3 2.5 0.52 6 4.0 8.02 8 5.0 18.02 9 5.5 24.53 2 2.5 0.53 3 3.0 0.03 6 4.5 4.53 8 5.5 12.53 9 6.0 18.06 2 4.0 8.06 3 4.5 4.56 6 6.0 0.06 8 7.0 2.06 9 7.5 4.58 2 5.0 18.08 3 5.5 12.58 6 7.0 2.08 8 8.0 0.08 9 8.5 0.59 2 5.5 24.59 3 6.0 18.09 6 7.5 4.59 8 8.5 0.59 9 9.0 0.0

5.63.72

Contoh

RataanVar

6.5x )(xE

x merupakan penduga tak bias bagi µ

2

44.772.3)(

2

n

xVar

Sebaran Penarikan Contoh dari rata-rata contoh (1)

SEBARAN PENARIKAN CONTOH DARI RATA-RATA CONTOH (2)

6

92

8

3

Populasi

µ = 5.6 dan ² = 7.44

n=2

Pengambilan dengan pemuliahan

X

),(~),(~2

2

nNxNX

X menyebar Normal kombinasi linear dari X juga menyebar Normal

7.44

3.725.6

Rataan Ragam2 2 2.0 0.02 3 2.5 0.52 6 4.0 8.02 8 5.0 18.02 9 5.5 24.53 2 2.5 0.53 3 3.0 0.03 6 4.5 4.53 8 5.5 12.53 9 6.0 18.06 2 4.0 8.06 3 4.5 4.56 6 6.0 0.06 8 7.0 2.06 9 7.5 4.58 2 5.0 18.08 3 5.5 12.58 6 7.0 2.08 8 8.0 0.08 9 8.5 0.59 2 5.5 24.59 3 6.0 18.09 6 7.5 4.59 8 8.5 0.59 9 9.0 0.0

5.63.72

Contoh

RataanVar

SEBARAN PENARIKAN CONTOHRataan Ragam

2 3 2.5 0.52 6 4.0 8.02 8 5.0 18.02 9 5.5 24.53 2 2.5 0.53 6 4.5 4.53 8 5.5 12.53 9 6.0 18.06 2 4.0 8.06 3 4.5 4.56 8 7.0 2.06 9 7.5 4.58 2 5.0 18.08 3 5.5 12.58 6 7.0 2.08 9 8.5 0.59 2 5.5 24.59 3 6.0 18.09 6 7.5 4.59 8 8.5 0.5

5.6 9.302.79

Contoh

RataanVar

6

92

8

3

Populasi

µ = 5.6 dan ² = 7.44

n=2

Pengambilan tanpa pemuliahan

X

Ilustrasi : Klik (reply 2)

Rataan Ragam2 3 2.5 0.52 6 4.0 8.02 8 5.0 18.02 9 5.5 24.53 2 2.5 0.53 6 4.5 4.53 8 5.5 12.53 9 6.0 18.06 2 4.0 8.06 3 4.5 4.56 8 7.0 2.06 9 7.5 4.58 2 5.0 18.08 3 5.5 12.58 6 7.0 2.08 9 8.5 0.59 2 5.5 24.59 3 6.0 18.09 6 7.5 4.59 8 8.5 0.5

5.6 9.302.79

Contoh

RataanVar

6.5x

15

25

2

44.7

179.2)(

2

N

nN

nxVar

Sebaran Penarikan Contoh dari rata-rata contoh (1)

rataanFr

eq

uen

cy

98765432

5

4

3

2

1

0

5.6

Normal Histogram of rataan

SEBARAN CONTOH

6

92

8

3

Populasi

µ = 5.6 dan ² = 7.44

n=2

Pengambilan tanpa pemuliahan

Rataan Ragam2 3 2.5 0.52 6 4.0 8.02 8 5.0 18.02 9 5.5 24.53 2 2.5 0.53 6 4.5 4.53 8 5.5 12.53 9 6.0 18.06 2 4.0 8.06 3 4.5 4.56 8 7.0 2.06 9 7.5 4.58 2 5.0 18.08 3 5.5 12.58 6 7.0 2.08 9 8.5 0.59 2 5.5 24.59 3 6.0 18.09 6 7.5 4.59 8 8.5 0.5

5.6 9.302.79

Contoh

RataanVar

)1

,(~),(~2

2

N

nN

nNxNX

X

X menyebar Normal kombinasi linear dari X juga menyebar Normal

7.44

2.795.6

Pengeluaran rumah tangga per bulan untuk konsumsi di suatu kabupaten diketahui menyebar normal dengan nilai tengah 250 ribu rupiah dan simpangan baku 25 ribu rupiah.

a. Berapa persen rumah tangga yang pengeluaran per bulan untuk konsumsinya antara 225 ribu rupiah dan 265 ribu rupiah?

b. Jika diambil 10 rumah tangga sebagai contoh. Berapa persen rata-rata pengeluaran per bulan untuk konsumsinya antara 225 ribu rupiah dan 265 ribu rupiah?

c. Jika diambil 30 rumah tangga sebagai contoh. Berapa persen rata-rata pengeluaran per bulan untuk konsumsinya antara 225 ribu rupiah dan 265 ribu rupiah?

“ Apapun sebaran populasi X, jika diambil sampel secara acak berukuran n yang besar, maka akan menyebar mendekati sebaran Normal dengan nilai tengah dan ragam 2/n”x

Demo Simulasi

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

z

C4

1.00.50.0

1.05

1.00

0.95

u

C5

543210

1.0

0.5

0.0

e

C6

(a) Normal (b) Seragam Kontinu (c) Eksponensial

3210-1-2-3

100

50

0

xbz2

Fre

que

ncy

1.00.50.0

80

70

60

50

40

30

20

10

0

xbu2

Fre

quen

cy

43210

100

50

0

xbe2F

requ

ency

n=2

210-1-2

90

80

70

60

50

40

30

20

10

0

xbz5

Fre

quen

cy

0.90.80.70.60.50.40.30.20.10.0

80

70

60

50

40

30

20

10

0

xbu5F

requ

ency

2.52.01.51.00.50.0

100

50

0

xbe5

Fre

quen

cy

n=5

0.50.0-0.5-1.0

100

90

80

70

60

50

40

30

20

10

0

xbz25

Fre

quen

cy

0.70.60.50.40.3

100

50

0

xbu25

Fre

quen

cy

1.51.00.5

100

50

0

xbe25F

requ

ency

n=25

(a) Normal (b) Seragam Kontinu (c) Eksponensial

Jika x1, x2, …, xn adalah contoh acak berukuran n yang diambil dari populasi dengan sebaran N(µ, 2), maka rata-rata contoh akan memiliki sebaran N(, 2/n)

Dengan demikian memiliki sebaran N(0, 1) atau sebaran Z

n

x

1 -

x UpperLimit

Lower Limit

1 -

xn

zx

2

n

zx

2

Jika x1, x2, …, xn adalah contoh acak berukuran n yang diambil dari populasi dengan sebaran normal, maka

memiliki sebaran t-student dengan derajat bebas (n-1)

nsx

1 -

xn

stx

n )1;2

(

n

stx

n )1;2

(

Jika n besar, maka rata-rata contoh akan mengikuti sebaran normal dengan rata-rata dan ragam 2/n

Syarat :

kondisi 2

diketahui

Tidak

diketahui

ns/

μX

Sebaran t : 2

diduga dengan s2.

ns/

μX ~ t-student db = n-1.

sebaran t lebih bervariasitergantung besarnyaderajat bebas s2.

Sebaran t

Sebaran t mirip dengan sebaran z, hanya saja sebaran t lebih bervariasitergantung besarnya derajat bebas s2.

Teladan 3

Sebuah perusahaan bohlam menyatakan bahwa bohlam produksinyamencapai umur rata-rata 500 jam. Untuk menjaga nilai rata-rata ini, iamenguji 25 bohlam setiap bulan. Bila nilai t yang diperolehnya jatuhantara –t0.05 dan t0.05 ia puas. Kesimpulan apa yang ditariknya bila iamemperoleh contoh dengan nilai tengah = 518 jam dan simpanganbaku s = 40 jam? Asumsikan umur bohlam itu menyebar normal.

100-10

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

z

fz

543210-1-2-3-4

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

z

fz

43210-1-2-3-4

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

z

fz

TUGAS Bangkitkan data yang menyebar seragam, normal dan khi-kuadrat menggunakan dengan karakteristik sebagai berikut (masing-masing diulang sebanyak 100 kali)

Hitunglah rata-rata dari masing-masing contoh yang diambil (setiap karakteristik data memiliki 100 xbar)

Buat histogram dari xbar, bandingkan histogram beberapa kombinasi pengambilan contoh tersebut, jelaskan jawaban anda

Sebaran Ukuran contoh

σ2 Fungsi Excel

Uniform (0,100) 2, 10, 25 50 28,87 =100*rand()

Normal (100,10) 2, 10, 25 100 10 =NORMINV(RAND();100;10)

Chi-Square (2) 2, 10, 25 2 2 =chisqinv(rand();2)