Skemp Bab 10

Dua Ide Kunci Selanjutnya | 137

Sejauh ini ”bilangan” kita artikan hanya bilangan asli saja. Bab 11. dan 12. kita

akan memperluas ide dalam empat sistem bilangan lagi: bilangan pecahan, bilangan

bulat, rasional, dan bilangan real. Dua ide kunci penting untuk memahami hal ini

adalah ekuivalen dan model matematika. Namun pentingnya ide ini tidak

mempermasalahkan sistem bilangan. Seperti ide sebuah himpunan yang fundamental

(mendasar).

Ekuivalen

Ekuivalen adalah salah satu dari ide yang membantu membentuk

menjembatani antara fungsi intelegensi dan matematika dalam kehidupan sehari-hari,

dan ini berguna jika dimulai dengan contoh-contoh dalam kehidupan sehari-hari

sebelum mendefinisikan secara matematis.

Kata ”ekuivalen” menyatakan arti 'bernilai sama', yaitu, sama untuk tujuan

tertentu, atau dalam cara khusus. Diberikan sebarang himpunan objek-objek,

seringkali kita mengelompokkan himpunan tersebut ke himpunan bagian yang lain

dalam beberapa cara. Contoh, {koin dalam saku saya} dapat dikelompokkan ke

dalam himpunan bagian koin yang memiliki nilai yang sama. {cat kaleng di sebuah

toko} dapat dikelompokkan ke dalam himpunan bagian dari warna yang sama.

{Novel-novel di perpustakaan setempat} dikelompokkan ke dalam himpunan bagian

dari novel dengan pengarang yang sama. Metode pengelompokan tidak akan lengkap

jika ada objek-objek dalam keluarga himpunan yang tidak termasuk pada salah satu

dari himpunan bagian; dan suatu objek masuk ke dalam lebih dari satu himpunan

bagian. Sehingga kita katakan bahwa setiap objek dalam keluarga himpunan yang

baru harus termasuk kedalam satu dan hanya satu himpunan bagian. Himpunan

bagian yang memenuhi persyaratan di atas dimakan partisi dari keluarga himpunan


yang dinyatakan.

Pengelompokan unsur-unsur dari keluarga himpunan ke dalam himpunan

bagian bisa dilakukan dengan dua cara. Kita dapat memulai dengan beberapa sifat

karakteristik, dan membentuk himpunan bagian yang sesuai dengan karakteristik ini.

Contoh:

Himpunan Karakteristik dari himpunan bagian

{koin dalam saku saya} 1p, 2p, 5p, 10p, 20p, 50p

{cat kaleng} Merah, biru, hijau, kuning...

{novel dalam perpustakaan} H.G. Wells, C.S. Lewis, Neville Shute...

Memperlihatkan bahwa sifat karakteristik itu sendiri biasanya milik bersama,

mereka membentuk suatu himpunan yang anggotanya mempunyai sifat karakeristik

yang mudah diamati. Dalam contoh pertama, masing-masing sifat karakteristik adalah

sebuah nilai uang; kedua, masing-masing adalah sebuah warna; ketiga; seorang

pengarang. Contoh seperti ini biasanya lebih menarik, karena hal tersebut membentuk

dasar dari ide-ide baru.

Alternatif lain, kita dapat memulai dengan prosedur pemasangan khusus, dan

pengelompokan himpunan dengan cara menempatkan semua objek-objek yang sesuai

ke dalam himpunan bagian yang sama. Sebagai contoh, seorang peneliti dalam ilmu

alam mungkin menyeleksi {kupu-kupu tangkapannya di suatu negara tertentu}

dengan cara memasangkan spesies dengan warna dan pola sayap. Masing-masing

himpunan bagian kupu-kupu dianggap sebagai spesies yang berbeda, dan

memberinya nama yang berbeda. Metode ini sering digunakan saat menghadapi

objek-objek baru.

Prosedur pemasangan jenis ini, sangat tepat dinamakan relasi ekuivalen.

Ketepatan itu dapat dicapai dalam bidang matematika, tapi tidak begitu mudah dalam

bidang fisika. Misalnya mengelompokkan potongan kayu berdasarkan panjangnya.

Kita mengatakan bahwa kayu A dan B adalah sama panjang jika keduanya berbeda 5

mm; dan dengan cara yang sama dengan B dan C, C dan D, dan seterusnya. Tapi hal

ini akan masih menjadi mungkin untuk kayu A dan J berbeda 45 mm. Sehingga


pengelompokkan ”dengan penekanan panjang yang sama” tidak transitif. Dengan

kata lain, pemasangan antara dua himpunan adalah ’korespondensi satu-satu dengan’

(Iihat hal. 147) adalah tepat, dan oleh karena itu dapat dibuat relasi ekuivalen.

Kembali ke contoh kayu di atas, jika kita mengukur panjang kayu ke 5 mm terdekat,

dan memasangkan kayu tidak secara fisik tapi menurut ukuran, hal ini terlihat bahwa

sifat transitif dipenuhi, dan sekarang kita memiliki relasi ekuivalen yang lain. Selain

sifat transitif, relasi ekuivalen memiliki dua sifat se1anjutnya, untuk penyajian kali

ini, tidak perlu dibahas. Untuk pembaca yang tertarik diberikan secara singkat dalam

lampiran pada bab ini.

Pentingnya sifat transitif adalah bahwa ada dua elemen sebarang dari himpuan

bagian yang sama dalam sebuah partisi dihubungkan oleh relasi ekuivalen. Dan hal

ini benar, walaupun pengelompokkan dilakukan dengan metode pertama atau dengan

metode kedua. Jika dengan metode kedua, mengikuti secara langsung dari sifat

transitif. Jika dengan metode pertama, kita akan selalu menemukan sebuah relasi

ekuivalen antara dua elemen dari himpunan bagian yang sama. Contohnya:

Himpunan Partisi/Bagian Relasi ekuivalen

{koin dalam saku saya}Himpunan bagian koin memiliki nilai yang sama

Memiliki nilai yang sama

{kaleng cat}Himpunan bagian kaleng memuat cat dari warna yang sama

Adalah warna yang sama

{novel di perpustakaan}Himpunan bagian novel dengan pengarang yang sama

Dengan penulis yang sama

Himpunan apapun semuanya

Pemisahan apapun semuanyaDalam sub-himpunan yang sama

Karena dekatnya hubungan yang dimiliki relasi ekuivalen, himpunan bagian

dalam partisi disebut kelas ekuivalen. Dengan demikian sebarang relasi ekuivalen

dapat diaplikasikan ke semua elemen dari sebuah himpunan yang diberikan

merupakan partisi himpunan ke dalam kelas-kelas ekuivalen. Dan sebarang partisi

dari himpunan dapat digunakan untuk mendefinisikan relasi ekuivalen.

Prinsip yang dapat ditukarkan

Secara implisit relasi ekuivalen dapat dipertukarkan untuk tujuan khusus. Untuk


membayar ongkos perjalanan, semua uang logam/koin dalam himpunan bagian

bernilai 5p, dapat dipertukarkan. Untuk mewarnai sepatu dengan warna royal biru;

maka seluruh kaleng cat royal biru dalam himpunan bagian kaleng cat royal biru

dapat dipertukarkan. Seseorang yang meminta ’buku karangan H.G. Wens' di

perpustakaan, tidak semua buku karangan H.G Wells yang diperlukan, tetapi hanya

satu dari himpunan bagian yang dipilih. Ekuivalensi ini hanya berdasarkan pada sifat

khusus dari sifat karakteristik kelas ekuivalen. Sehingga dalam kelas tersebut, jika

kita menginginkan kita dapat memilih anggota tertentu, karena kelebihannya dalam

beberapa hal berbeda. Di dalam suatu kelas ekuivalen koin yang bernilai sama,

seorang kolektor bisa memilih sebuah koin karena keadaannya yang baru. Dalam hal

pengecatan sepatu berwarna royal biru, ia akan memilih salah satu cat yang

mempunyai ketahanan yang baik terhadap sinar matahari dan air garam. Pembaca

dari H.G. Wells kemungkinan akan memilih sebuah buku belum ia dibaca.

Akibat selanjutnya dari prinsip dapat dipertukarkan ini adalah memberi kita

suatu cara lain penamaan sebuah kelas ekuivalen. Cara pertama telah dibahas

(didiskusikan) yaitu melalui sifat karakteristiknya (contohnya, 5p). Salah satu cara

yang lebih konkrit adalah dengan menggunakan sebarang anggota sebagai wakil kelas

(contoh sebuah coin). Hal ini kadang-kadang lebih cocok, tetapi selanjutnya kita

harus memperjelas apakah kita menunjuk contoh itu sebagai kelas atau sebagai

elemen itu sendiri. Tentu saja sebuah penggambaran tidak dengan dirinya sendiri,

melainkan mendefinisikan suatu kelas, tetapi kita perlu mengetahui juga relasi

ekuivalen yang digunakan (atau bukan saja relasi ekuivalen melalui dirinya sendiri

mewakili sebuah kelas, tetapi kita juga perlu mengetahui keluarga himpunannya.)

Sebagai contoh konkrit yang diberikan : buku H..G. Wells bisa ditunjukkan hanya

sebagai dirinya sendiri, atau sebagai wakil dari novel yang mempunyai jilidan mewah

sebagai wakil dari penerbitan khusus. Sehingga metode penamaan kelas melalui suatu

contoh, akan lebih baik jika mempunyai kecocokan dengan konteks yang diperlukan.

Dan menggunakannya sebagai artian yang tepat dari usaha ini.

Ekuivalen dan Kesamaan


Dua objek dikatakan ekuivalen jika keduanya mempunyai kesamaan dalam

beberapa hal khusus, bila tidak sesuai dengan konteks, harus dispesifikasikan. Dua

objek dikatakan sama jika mempunyai, kesamaan dalam setiap hal. Hal ini dapat

terjadi jika, didalam kenyataan kedua obyek itu sama. Karena suatu obyek hanya

akan sama dengan dirinya sendiri, kita dapat menganggap pernyataan dari kesamaan

menjadi trivial. Dibawah ini, beberapa kasus yang tidak terlalu penting.

,

Rolls Royce ini.= Roll Royce ini adalah trivial/mudah, tapi,

Rolls Royce ini = mobilku bukan trivial

Suatu pernyataan kesamaan (untuk lebih singkat diisebut persamaan)

menjelaskan bahwa kita menunjuk objek yang sama (yang mungkin objek fisik, atau

suatu ide) dalam dua cara yang berbeda.

Perhatikan pernyataan :

'lni Rolls Royce' = 'Mobilku'

tidak dibenarkan, karena dengan adanya tanda petik berarti kita menunjuk

pada kata itu sendiri, dan bukan pada obyek yang dimaksud. Sehingga :

tiga = 3 adalah benar, tetapi

'tiga'= '3' adalah salah.

Jika kita mendefinisikan suatu kelas ekuivalen dengan sifat karakteristik, yang

seluruh anggotanya. adalah nama untuk bilangan yang sama, maka (gunakan tanda "

" berarti ekuivalen dengan)

'tiga' '3' adalah benar.

Jika dua objek ekuivalen maka sifat-sifat kelas adalah sama. Misalnya, jika

buku The War of the World dan The Time Machine adalah ekuivalen sesuai dengan

definisi relasi sebelumnya, maka pengarangnya adalah sama. Jika dua koin adalah

mempunyai nilai yang ekuivalen, maka nilai kedua koin itu adalah sama. Sehingga

jika kadang-kadang kita menganggap objek-objek sebagai objek itu sendiri dan

kadang-kadang sebagai wakil kelas ekuivalennya, dalam konteks pertama dapat

dikatakan ekuivalen selama keduanya (tetapi benar-benar kelas mereka) adalah sama.


Hal ini memang kelihatan membingungkan. Tetapi ide pertama dipahami, hal itu

merupakan efek/pengaruh sebaliknya, karena hal tersebut membantu untuk membuat

arti pernyataan terbalik yang membingungkan.

Tinjauan kedua pada bilangan asli

Ide ini sangat umum diterapkan (diberlakukan), baik dalam kehidupan sehari-

hari maupun dalam matematika. Sebenarnya, ide atau ide ini telah kita gunakan

ketika kita mengembangkan ide bilangan asli. Dalam hal ini diketahui, keluarga

himpunan dari seluruh himpunan finit. Relasi ekuivalen merupakan korespondensi

satu-satu dengan partisi dalam himpunan ini ke dalam kelas-kelas ekuivalen dan sifat-

sifat karakteristik dari kelas-kelas ini adalah bilangan asli. Pada saat ide-ide diserap,

nampak bahwa penjelasan kedua benar-benar menyatakan sesuatu yang penting. Jika

ide-ide tersebut telah dipahami sepenuhnya, akan kelihatan bahwa keterangan

tersebut merupakan sesuatu yang penting dan salah satu contoh yang baik dari

penyederhanaan pola berpikir matematis.

Model-model Matematika.

Andaikan kita merencanakan membuat sebuah dapur. Model matematika akan

sangat banyak membantu untuk membuat skala perencanaan ruangan untuk

menggambarkan variasi susunan perabot yang akan ditempatkan dalam ruangan

tersebut. Kita telah mengabtrasikan objek-objek fisik berdasarkan kualiatas tertentu

berdasarkan pertimbangan khusus, misalnya ukuran, bentuk dan fungsinya. Beberapa

kualitas yang diabstraksikan dalam bentuk model di atas kertas. Selanjutnya, jika kita

menentukan suatu susunan model di mana semua hal akan cocok dalam ruangan

tertentu, kita tahu bahwa korespondensi objek-objek yang pertama - alat masak -

kulkas dan seterusnya, akan cocok dengan ruangan dalam dapur tersebut. lni adalah

sebuah model kerja.

Model dapur kita adalah sebuah model fisik, yang dibuat untuk tujuan tertentu.

Sistem bilangan asli adalah suatu model mental secara luas. Tetapi masih

menggunakan metode dasar yang sama, dalam hal keabstrakan, manipulasi abstraksi

yang meliputi manipulasi objek-objek fisik dan kemudian mewujudkan kembali


hasilnya dalam situasi abstrak. Dalam kehidupan sehari-hari kita mengerjakan

berdasarkan kebiasaan. Misalnya kita mengharapkan kunjungan dari teman-teman.

Kami ada empat, dan mereka terdiri dari dua orang dewasa dan tiga anak-anak.

Langkah abstraksi pertama adalah seperti yang dinyatakan di atas, yaitu

menggunakan konsep awal. Untuk suatu tujuan tertentu, katakanlah menata meja, kita

tidak tertarik pada umur, jenis kelamin, atau apakah tuan rumah atau tamu. Jadi kita

mengabstrakan lebih lanjut: 4, 2, 3. Dalam situasi umum jamuan minum teh bersama-

sama, kita mengkonsentrasikan pada aspek penggabungan, dan menyajikannya

dengan operasi penjumlahan matematika: 4 + 2 + 3. Hasilnya: 9. Pertama perwujudan

ulang, akan terdapat 9 orang. Pada tingkat abstraksi ini kita memasangkan himpunan

orang dengan himpunan tempat; dan kemudian secara fisik, kita menata 9 piring di

atas meja.

Kemampuan berpikir ini kita peroleh dari warisan, tapi tidak dikembangkan di

beberapa masyarakat primitive. Misalnya hubungan seorang pelancong yang telah

menyetujui harga dua domba dibeli pada harga tersebut, tetapi penjual tidak akan

menerima dua kumpulan barang dengan menukarnya dengan domba. Domba

pertama ditukar dengan barang yang ditentukan, dan kemudian prosedurnya

diulangi. Walaupun penjual telah memiliki konsep bilangan, ia tidak dapat

membentuk dan memanipulasi model matematika yang sederhana yang cocok pada

situasi itu. Mengandalkan skala manapun jelas tergantung pada kemampuan ini

(kemampuan membuat model matematika) transaksi secara individu boleh dilakukan

seperti di atas, tetapi, mengatur perniagaan memerlukan patokan harga dan

manipulasi dari pengembangan model (berbeda dari formasi ini). Akan sangat

terbantu oleh notasi Hindu Arabic yang telah diperkenalkan sebelumnya.

Pengukuan

Salah satu hal yang lebih menyolok mengenai sistem bilangan asli adalah

variasi yang luas dalam memberikan suatu model. Hal ini disebabkan karena

banyaknya suatu himpunan tidak bergantung pada obyek dalam himpunan itu dari

mana obyek itu. Jadi banyak obyek yang sama dapat digunakan sebagai model untuk


orang, cangkir, biri-biri, barang dagangan, sel darah merah dan yang lainnya untuk

suatu obyek terpisah (untuk suatu koleksi terpisah)

Namun ada situasi tertentu dimana banyaknya obyek saja tidak memadai. Kita

tidak menghitung jumlah susu dalam 'botol atau panjang jalan atau harga sebuah

mobil atau panasnya suatu pembakar. Tetapi dengan gabungan bilangan asli dengan

satu satuan ukuran, kita dapat memperluas kegunaannya secara bersama-sama dalam

dua cara yang berbeda. Kita dapat menggunakannya untuk kuantitas yang berurutan,

seperti dalam mengumpulkan obyek diskrit. Dan dengan memvariasikan pilihan kita

mengenai satuan, kita dapat membuat model untuk volume, panjang, harga,

temperatur, berat, massa, luas, waktu, kecepatan, potensial arus listrik, energi,

frekwensi dan masih banyak lagi pengukuran lainnya.

Prinsip dasar dalam pengukuran yang biasa kita kenal adalah membilang.

Ungkapan secara tegas, kita tetapkan seperti pada volume, berat, panjang dan lain-

lain, dan menyebutnya sebagai satuan dari volume, berat, panjang dan lain-lain.

Kemudian kita memperoleh beberapa satuan yang harus dipakai bersama-sama

sehingga beratnya sama (misalnya) dari obyek yang diamati. Jadi kita mengubah

pertanyaan '"how mach"? (berapa?) dalam konteks berat, kepada pertanyaan "how

many units of weight"? (berapa banyak satuan berat?) jawaban itu disebut ukuran

berat dari obyek. Seperti halnya menghitung adalah teknik untuk memperoleh

banyaknya himpunan, maka pengukuran merupakan teknik untuk mendapatkan

ukuran dari kualitas tertentu dari suatu obyek, seperti volume, panjang, temperetur.

Dalam perhitungan dan pengukuran, kegiatan fisik juga membangun aktifitas

matematika. Dengan menghitung, aktifitas secara fisik biasanya singkat dan

sederhana, seperti mengarahkan atau hanya melihat perubahan obyek yang dihitung

sebagai peristiwa yang terjadi dengan hasil yang cepat contohnya menghitung

putaran mesin. Untuk pengukuran selalu diperlukan alat-alat fisik. Contoh

timbangan, penggaris, pengukur zat cair, termometer. Dari segi fisik, aktifitas

tersebut bisa mudah bisa juga jadi lebih rumit dan memerlukan peralatan yang lebih

ruwet. Sehingga yang menjadi masalah ahli ilmu fisik dan membuat alat (instrumen).

Disini kita akan memfokuskan pada hubungan obyek-obyek fisik, aktivitas secara


matematis-fisik mengenai pengukuran, dan hasil matematika dari aktivitas ini. Dan

seperti menghitung, kita dapat mengharapkan untuk memperoleh pengukuran yang

lebih baik dari pada dilihat dengan mata.

Menimbang

Mengingat ada satu jenis hitungan tetapi ada banyak jenis pengukuran. Karena

hal ini lebih mudah untuk dipikirkan pada tahap awal sebagai contoh dari pada urutan

abstraksi yang lebih tinggi. Kita akan memulai tentang penimbangan.

Berat dan massa adalah sesuatu yang tidak sama. Berat adalah suatu gaya

abstraksi bersama antara bumi dan obyek. Sedangkan massa adalah suatu cara

menguraikan besarnya benda dalam satuan benda. Jika benda dibawa ke bulan

beratnya berkurang tetapi masanya tetap sama. Apabila kita menimbang sesuatu

hanyalah karena kita ingin mengetahui beratnya (sebagai contoh jika kita mengisi

suatu kapal laut atau pesawat udara, tapi sering kali karena ingin mengetahui

massanya berapa bahan yang kita ambil sebagai contoh jika kita ingin membeli keju

atau batubara). Penimbangan adalah suatu cara yang sangat cocok mengenai

pengukuran massa, karena timbangan massa yang sama pada tempat yang sama

memiliki berat yang sama sehingga tujuan untuk penyajian kita, bukan bendanya

yang diperhatikan, melainkan massa benda atau beratnya. Pasangan skala atau

timbangan ialah suatu kelengkapan yang dapat membandingkan dua benda. Hal ini

memberi tahu kita, apakah berat benda sama atau tidak dan kalau tidak sama mana

yang lebih berat.

Jadi kita dapat memilih suatu obyek yang kita senangi untuk massa standar

secara internasional. Diakui satu satuan kilogram (kg), yang disimpan oleh Beruau

International des Poids at Measures dekat Paris. Dengan proses penyesuaian ini

menyediakan suatu himpunan obyek, (katakanlah bongkahan besi) semua mempunyai

berat yang sama. Hal ini biasa disebut "berat kilogram" tetapi perlu diingat bahwa

berat adalah suatu gaya. Contohnya suatu bongkahan besi itu kita sebut dengan

sebuah ’obyek kilogram’.


Kita dapat menggabungkan berat dari beberapa kilogram obyek dengan

meletakkannya dalam panci yang berskala sama. Jika skala seimbang secara tetap

dengan satu kantong tepung di dalam panci yang lain yang mempunyai berat 5

kilogram obyek, maka kita katakan berat satu kantong tepung itu 5 kg. Untuk proses

ini dapat digunakan metode berikut: siapkan satu obyek standar dengan ukuran 1 kg, 2

kg, 4 kg dan seterusnya. Jika skala seimbang untuk satu kantong kentang dalam suatu

panci dengan sebuah obyek 2 kg dan obyek 4 kg ke dalam panci yang lain, dikatakan

bahwa berat kentang itu adalah 6 kg. Secara implisit dalam asumsi ini bahwa

menambahkan satuan-satuan itu sebagai suatu model yang benar dalam

menggabungkan gaya grafitasi. Kejadian ini menjadi benar, tetapi tidak akan diambil

sebagai jaminan. Satu liter air pada temperatur 10°c dicampur (dengan menuangkan

kedalam tempat dan adukan yang sama) dengan 1 liter air pada temperatur 40°c,

memberikan 2 liter air tetapi tidak pada temperature 50°c. Suatu perjalanan sejauh 10

km ditempuh, dengan 40 km/jam digabung (dengan awal perjalanan yang satu

menjadi akhir perjalanan yang lainnya) dengan perjalanan sejauh 5 km yang ditempuh

dengan kecepatan 60 km/jam menghasilkan suatu perjalanan sejauh 15 km tetapi tidak

dengan kecepatan 100 km/jam. lni mengingatkan kita bahwa dalam kasus yang lebih

kompleks, tidak hanya menjumlahkan, tetapi mengalikan, memfaktorkan,

menyelesaikan persamaan dan memanipulasi model matematika dalam cara yang

cenderung kompleks kita seharusnya tidak mengerjakannya secara sebarang.

Tiga bidang pemikiran

Misalkan kita menyimpulkan bab ini dengan membedakan antara tiga bidang

pemikiran yang tercakup dan cara-cara mereka berhubungan.

Bidang I; obyek fisik, peristiwa atau observasi lain

Contoh:

a. Beberapa buku tebal yang ingin dibawa dalam suatu perjalanan dengan pesawat

udara

b. Air yang keluar dari kran yang panas dan dingin untuk mandi


c. Enam unit sel listrik untuk tape recorder

Bidang II; kualitas fisik dari obyek-obyek tersebut.

Contoh:

a. Beratnya

b. Temperaturnya

c. Gaya gerak listriknya

Bidang III; ide matematika, dalam hal ini ukuran dari sifat-sifatnya

Contoh :

a. Ukuran berat, banyaknya kilogram atau gram.

b. Ukuran temperature, banyaknya derajat Celsius

c. Ukuran gaya gerak listrik, besar volt.

Dalam setiap bidang terdapat operasi korespondensi yang hasilnya harus juga

berkorespondensi bila model itu menjadi salah satu yang berhasil.

Bidang I; operasi pada (sajian mental dari) obyek fisik

Contoh :

a. Pengepakan semua buku kedalam koper yang sama

b. Mengalirkan air secara bersama-sama kedalam bak mandi dan mengaduknya.

c. Menghubungkan sel-sel dalam hubungan seri

Bidang II; operasi pada kualitas fisiknya

Contoh :

a. Menggabungkan beratnya

b. Menggabungkan temperaturnya

c. Menggabungkan gaya gerak listriknya

Bidang III; operasi matematika

Contoh :

a. Menjumlahkan bilangan-bilangan dari kilogram atau gram.

b. Data yang tidak cukup, kita perlu untuk mengetahui juga kecepatan aliran air,

tetapi tentu saja tidak menjumlahkan.

c. Menjumlahkan besarnya volt tase


Contoh a dan c menyatakan bagaimana variasi merupakan realitas fisik yang

sebenarnya sama dengan menggunakan model matematika. Contoh seperti b

mengingatkan kita untuk berhati-hati tetapi meskipun dalam kasus ini, model yang

pantas bila kecepatan rata-rata aliran sama, yaitu penjumlahan diikuti dengan satu

operasi lagi (dibagi 2). Jika mereka tidak sama, model tetap sederhana, diwakili oleh

rumus dengan dan masing-masing menyatakan dua

kecepatan aliran air dalam satu liter per menit dan t1 dan t2 menyatakan dua

temperatur.

Ketika seorang menemukan bahwa dengan menggabungkan operasi

matematika, dia dapat berhasil meramalkan beberapa hal fisik, dia menemukan suatu

model matematika baru. Dan ketika kita menggunakan matematika untuk membantu

dalam keseharian atau aktivitas ilmiah, apakah kita menjumlahkan jenis uang kertas

atau menghitung frekuensi resonansi dari rangkaian listrik, kita melakukan demikian

dengan membuatkan memanipulasi model matematika.

Skemp Bab 10

Documents

Transcript of Skemp Bab 10