Sistem Persamaan Linier Dan Non Linier

8/18/2019 Sistem Persamaan Linier Dan Non Linier

1/8

A. SISTEM PERSAMAAN LINIER

Sistem persamaan linier adalah suatu himpunan yang anggotanya terdiri dari

persamaan-persamaan linier. Pandang sistem m persamaan linier dalam n bilangan tak

diketahui x1, x2, x3, … , xn :

a11x1 + a12x2 + … + a1nxn h1 a21x1 + a22x2 + … + a2nxn h2

a31x1 + a32x2 + … + a3nxn h3 …………. !1"

. . . .

. . . .

. . . .

am1x1 + am2x2 + … + amnxn hm

dengan ai# $% i 1, 2, …, m% # 1, 2, … , n

Penyelesaiaan sistem tersebut adalah diperolehnya harga-harga x1, … , xn dengan xi $ % i

1, 2, … , n yang memenuhi m persamaan linier diatas.

&pabila sistem persamaan !1" di atas mempunyai penyelesaiaan maka disebut sistem

konsisten. Sedangkan apabila tidak mempunyai penyelesaian disebut sistem inkonsisten.

Suatu sistem konsisten kadang-kadang mempunyai penyelesaian tunggal atau kadang-

kadang mempunyai penyelesaiaan sebanyak tak berhingga.

&pabila dalam sistem persamaan !1" di atas, setiap hi ' maka persamaan tersebut

dinamakan sistem persamaan linier homogen% sedangkan bila terdapat hi ', maka sistem

persamaan !1" disebut sistem persamaan linier non-homogen.

Suatu sistem persamaan linier seperti yang dinyatakan dalam persamaan !1" di atas,

dapat dibentuk men#adi sistem persamaan linier lain yang ekui(alen bila sistem tersebut

diubah)ditrans*ormasikan dengan ara :

a" enukar letak dua persamaan. b" engadakan satu persamaan linier dengan konstanta k '.

" enambah suatu persamaan linier dengan k kali persamaan linier yang lain.

B. METODE PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER 1. Aturan Cramer

ari sistem persamaan linier !1" yang telah dituliskan dalam bentuk matriks lengkap,

yaitu &/ 0. ntuk menyelesaiakan sistem persamaan tersebut dalam aturan ramer

dipakai persamaan sebagai berikut :


2/8

¿ A∨¿

¿ A i∨¿

¿

X i=¿

engan:

/i bilangan yang tidak diketahui ke-i&i nilai determinan dari & !matriks koe*isien" yang kolom ke-i sudah diganti

dengan matriks 0 atau matriks konstanta.

& nilai determinan matriks &.

Sebagai akibatnya suatu sistem persamaan linier dapat diselesaikan apabila nilai

determinan atau & ' !tidak sama dengan nol".

ontoh :iketahui suatu sistem persamaan sebagi berikut :

2x + y + 45 2'

6x + 2y 7 25 -23x 7 y + 5 11

tentukan harga x, y, dan 5

Penyelesaian :Sistem persamaan dalam bentuk matriks :

[2 8 6

4 2 −23 −1 1 ][

x

y

z ]=[

20

−211

]ihitung dengan nilai determinan dari matriks &

&

[2 8 6

4 2 −23 −1 1 ]

=−140

8er%ihat bah9a & ≠ ', sehingga dapat di gunakan aturan ramer untuk menetukan

x,y, dan 5

&1 [20 8 6

−2 −2 −2

11 −1 1 ]=−280 &2 [

2 20 6

4 −2 −2

3 11 1 ]=140

&2

[2 8 20

4 2 −23 −1 11 ]

=−560

ari hasil-hasil tersebut maka diperoleh harga-harga sebagai berikut:

X 1= x=

| A1|| A|

=−280−140

=2


3/8

¿ A∨¿= 140

−140=1

¿ A2∨¿

¿

X 2= y=¿

X 3= x=| A3|

| A|=−560

−140=4

2. Metode Invers Matris

ila &;' maka &-1 ada, dari bentuk matriks lengkap suatu sistem persamaan:

&/ 0

maka / dapat diari dengan langkah-langkah berikut, kedua ruas dikalikan dengan

in(ers & !&-1" sehingga diperoleh bentuk berikut:

&-1&/ &-10 sehingga diperoleh < / &-10 atau / &-10

=adi /&-1

0 merupakan penyelesaian system persamaan tersebut.ontoh :

iketahui suatu sistem persamaan sebagai berikut :

2x + 3y + 5 >x + 2y + 35 4

3x + y + 25

tentukan harga x, y, dan 5.

Penyelesaian :eterminan matriks koe*isien adalah :

hal ini berarti sistem persamaan tersebut dapat diari penyelesaiannya. engan

menggunakan ad#oint, in(ers matriks & adalah :

!. Metode E"iminasi #aus

Penggunaan metode ?liminasi @auss dalam penarian penyelesaian sistem persamaan


4/8

!1", dipakai langkah-langkah sebagai berikut :

1. ari sistem persamaan !1" yang telah dituliskan dalam bentuk matriks, & / 0,

dibentuk matriks gabungan dari matriks koe*isien !&" dan matriks konstanta !0".

Sehingga diperoleh matriks A&0B

2. agian matriks & dibentuk men#adi matriks segitiga atas dengan menggunakantrans*ormasi elementer.

3. ari hasil langkah ke-2 dihitung harga-harga (ariabel yang diinginkan.

ontoh :iketahui sistem persamaan sebagai berikut :

2x + 3y + 65 C

6x + 3y + 5 11x + 2y + 65 6

tentukan nilai x, y, dan 5

Penyelesaian :ibentuk suatu matriks gabungan dari matriks koe*isien dan matriks konstanta,

diperoleh:

engan trans*ormasi elementer bagian & di#adikan

matriks segitiga atas

8elah diperoleh matriks segitiga atas untuk bagian & dari matriks A&0B.

ari bentuk terahkir !matriks 1" di atas, dapat diinterpretasikan sebagai berikut, mulai

dari baris yang terakhir kemudian naik baris demi baris sampai baris pertama

diperoleh:

!i" 'x + 'y 7 5 ' D nilai 5 '!ii" 'x + y 7 35 1 D y 7 3!'" 1 D nilai y 1

!iii" x + 2y + 65 6 D x + 2!1" + 6!'" 6 D nilai x 2

=adi nilai x, y, dan 5 masing-masing adalah 2, 1, dan '.

…..


5/8

$. Metode E"iminasi #auss%&ordan

etode ?liminasi @auss-=ordan ini hamper sama dengan ?liminasi @auss, hanya sa#a

pada langkah ke-2 matriks & dibentuk men#adi matriks identitas !


6/8

Penyelesaian persamaan non linier adalah penentuan akar-akar persamaan non linier.

&kar sebuah persamaan *!x" ' adalah nilai-nilai x yang menyebabkan nilai *!x" sama

dengan nol. &kar persamaan *!x" adalah titik potong antara kur(a *!x" dan sumbu /.

F Pen'e"esaian (ersamaan "inier mx + c = 0 dimana m dan c adalah konstanta, dapat

dihitung dengan :

m

c

mx + c = 0

x -

F Pen'e"esaian (ersamaan uadrat ax2 + bx + ' dapat dihitung dengan

menggunakan rumus &.

a

acbb x

2

62

12

−±−=

• Penyelesaian Persamaan Gonlinier

• etode 8ertutup

o enari akar pada range Aa,bB tertentu

o alam rangeAa,bB dipastikan terdapat satu akar

o 0asil selalu kon(ergen disebut #uga metode kon(ergen

•

etode 8erbukao iperlukan tebakan a9al

o xn dipakai untuk menghitung xn+1

o 0asil dapat kon(ergen atau di(ergen


7/8

FISIKA KOPMUTASI

Sistem Persamaan Linier dan Non Linier

OLEH

Sartika Yulianti (3215130850)

JURUSAN PENDIDIKAN FISIKA


8/8

UNIVERSITAS NEGERI JAKARTA

2016

Sistem Persamaan Linier Dan Non Linier

Documents

Transcript of Sistem Persamaan Linier Dan Non Linier