SISTEM BILANGAN

Dalam matematika, bilangan-bilangan yang ada dapat digolongkan sebagaimana terurai di dalam Skema 1 berikut :

Bilangan nyata dapat positif maupun negatif. Bilangan khayal adalah bilangan yang berupa akar pangkat genap dari suatu bilangan negatif. Perbedaan antara kedua jenis bilangan ini adalah bahwa bilangan nyata mengandung salah satu sifat secara tegas yaitu : atau positif atau negatif, dan tidak kedua-duanya. Sedangkan bilangan khayal yang mengandung kedua sifat positif dan negatif sekaligus, disebut bilangan kompleks.Contoh bilangan nyata : 2; -2; 1,1; -1,1Contoh bilangan khayal :

Pada dasarnya setiap bilangan, positif ataupun negatif, jika berpangkat genap akan selalu menghasilkan bilangan positif. Dengan demikian sukar sekali dibayangkan bagaimana hasil akhir dari suatu bilangan negatif yang berada di bawah tanda akar berpangkat genap. Oleh karenanya bilangan seperti itu dinamakan bilangan khayal.Bilangan rasional adalah hasil bilangan antara dua bilangan, yang berupa bilangan bulat; atau berupa pecahan dengan desimal terbatas, atau desimal berulang. Sedangkan bilangan irrasional adalah hasil bagi antara dua bilangan, berupa pecahan dengan desimal tak terbatas dan tak berulang, termasuk bilangan r dan bilangan e. Bilangan bulat adalah hasil bagi antara dua bilangan yang hasilnya bulat, termasuk 0 (nol). Bilangan pecahan adalah hasil bagi antara dua bilangan yang hasilnya pecahan dengan desimal terbatas atau desimal berulang.Berdasarkan pembatasan di atas, maka yang membedakan apakah sesuatu bilangan tergolong bilangan rasional ataukah bilangan irrasional ialah faktor keterbatasan dan keberulangan desimalnya. Adapun perbedaan antara bilangan bulat dan bilangan pecahan (keduanya tergolong bilangan rasional) kiranya sudah cukup jelas, sehingga tidak perlu lagi diterangkan.0,1402525 tergolong bilangan rasional0,1492525393993999---- tergolong bilanganirrasional0,149262626 tergolong bilangan rasionalDengan menggunakan pendekatan teori himpunan, pernyataan-pernyataan di bawah ini akan memperjelas pernggolong-golongan bilangan tersebut. Semua bilangan bulat adalah bilangan rasional, tapi tidak semua rasional berupa bilangan bulat. Semua bilangan pecahan adalah bilangan rasional, tapi tidak semua bilangan rasional berupa bilangan pecahan. Semua bilangan irrasional adalah bilangan berdesimal, tapi tidak semua bilangan berdesimal adalah bilangan irrasional.Selain jenis-jenis bilangan sebagaimana terurai pada skema di muka, masih terdapat lagi tiga jenis bilangan yang menyangkut bilangan bulat positif. Mereka adalah bilangan asli, bilangan cacah dan bilangan prima.Bilangan asli ialah semua bilangan bulat positif, tidak termasuk nol. Seandainya himpunan bilangan asli kita lambangkan dengan notasi A maka : A={1,2,3,4,5,.......................................... dan seterusnya}Bilangan cacah ialah bilangan bulat positif atau nol. Jika himpunan bilangan cacah kita lambangkan dengan notasi C, maka : C={0,1,2,3,4,5....................................... dan setersnya}Bilangan prima ialah bilangan asli yang besarnya tidak sama dengan satu dan hanya habis (maksudnya bulat) dibagi oleh dirinya sendiri. Jika himpunan bilangan prima dilambangkan dengan notasi P, maka :P={2,3,5,7,11...................................... dan seterusnya}

1. HUBUNGAN PERBANDINGAN ANTARBILANGANSekarang marilah kita bahas bagaimana bilangan-bilangan yang saling berhubungan satu sama lain secara relatif. Dalam hal ini kita akan bekerja dengan empat macam tanda ketidaksamaan, yang secara sepintas sebenarnya sudah kita temukan pada sub-sub 1.2 di muka. Tanda-tanda ketidaksamaan yang dimaksud adalah sebagai berikut :Tanda < melambangkan lebih kecil dariTanda > melambangkan lebih besar dariTanda melambangkan lebih kecil dari atau sama denganTanda melambangkan lebih besar dari atau sama denganBilangan-bilangan nyata mempunyai sifat-sifat hubungan perbandingan sebagai berikut :2. Jika a b, maka - a -bSedangkan jika a b, maka -a - b2. Jika a b dan x 0, maka x. a x.bSedangkan jika a b dan x 0 , maka x. a x.b0. Jika a b dan x 0, maka x. a x.bSedangkan jika a b dan x 0 , maka x. a x.b0. Jika a b dan c d, maka a + c b + dSedangkan jika a b dan c d, maka a+ c b + dKeberlakuan sifat-sifat di atas dapat dilihat dari pembuktian pada contoh-contoh di bawah ini.Untik sifat ke-1 :Andaikan = 4 dan b = 6, maka < b sebab 4 < 6 dan > -bSebab -4 > -6. Sedangkan jika = 8 dan b = 6, maka > bSebab 8 > 6 dan < -b sebab -8 < -6;Untik sifat ke-2 :Andaikan = 4 dan b = 6, serta x = 3, maka x. Sebab 3.4 = 2 < 3.6 = 18. Sedangkan jika = 8 dan b= 6 serta x = 3, maka x. > x.b sebab 3.8 = 24 > 3.6 = 18.Untik sifat ke-3 :Andaikan = 4 dan b = 6, serta x = -3, maka x. >x.bSebab (-3)4=-12>(-3)6 = -18. Sedangkan jika = 8 dan b = 6 serta x = -3, maka x. < x.b sebab (-3) 8 = -24 < (-3) 6 = -18.Untik sifat ke-4 :Andaikan = 4 dan b = 6, serta x = -3, maka x. >x.bSebab 4 + 5 = 9 < 6 + 7 = 13. Sedangkan jika = 8 dan b = 6 serta c = 5 dan d = 3, maka a + c > b + d sebab 8 + 5 = 13 > 6 + 3 = 9

1. OPERASI BILANGAN

Bilangan-bilangan nyata memenuhi kaidah-kaidah tertentu apabila mereka dioperasikan. Operasi penjumlahan dan perkalian bilangan nyata memenuhi kaidah-kaidah sebagai berikut :1. Kaidah KomulatifDalam menjumlahkan dua bilangan dan b, perubahan urutan antara keduanya tidak akan mengubah hasil penjumlahan. + b = b +

4 + 6 = 6 + 4Hal yang sama berlaku juga untuk perkalian, perubahan urutan perkalian antara dua bilangan tidak akan mengubah hasilnya.

x b = b x

4 x 6 = 6 x 4

1. Kaidah AsosiatifDalam menjumlahkan tiga bilangan a, b dan c atau lebih perubahan cara pengelompokan bilangan-bilangan tersebut tidak akan mengubah hasil penjumlahan.( + b) + c = + (b + c)

(4 + 6) + 5 = 4 + (6 + 5)

Begitu pula dalam hal perkalian, perubahan cara pengelompokan bilangan-bilangan tidak akan mengubah hasil perkalian.( x b) x c = x (b x c)

(4 x 6) x 5 = 4 x (6 x b)

1. Kaidah PembatalanJika jumlah dan c sama dengan jumlah b dan c, maka sama dengan b; dengan perkataan lain :Jikac + c = b + c

maka = b

Jika hasil kali dan c sama dengan hasil kali b dan c, dimana c adalah bilangan nyata bukan nol, maka sama dengan b jadi :Jika c = bc (c 0)

maka = b

1. Kaidah DistributifDalam pengalian bilangan terhadap jumlah (b + c), hasil kalinya adalah sama dengan jumlah hasil kali b dan hasil kali c. Dengan perkataan lain, hasil kali sebuah bilangan terhadap suatu penjumlahan adalah sama dengan jumlah hasil kali hasil kalinya. (b+c) = b + c

4 (6 + 5) = (4 x 6) + (4 x 5)

1. Unsur PenyamaUnsur penyama dalam penjumlahan (pengurangan) adalah bilangan nol, sebab jumlah (selisih) antara suatu bilangan tertentu dan 0 adalah bilangan itu sendiri. 0 =

4 0 = 4

Unsur penyama dalam perkalian (pembagian) adalah bilangan satu, sebab hasil kali (hasil bagi) antara suatu bilangan tertentu dan 1 adalah bilangan itu sendiri. x1 =

4 x 1 = 4

: 1 =

4 : 1 = 4

1. KebaikanSetiap bilangan nyata mempunyai sebuah balikan penambah (additive inverse); jumlah antara bilangan tertentu dan balikan penambahannya adalah sama dengan nol. + (-a) = 0

4 + (-4) = 0

Bilangan -4 disebut balikan penambahan dari 4 atau negatif dari 4. Setiap bilangan nyata bukan nol mempunyai sebuah balikan pengali (multiplicative inverse); hasil kali bilangan tertentu terhadap balikan pengalinya adalah sama dengan satu. x

= 1

4 x

= 1

Bilangan 1 disebut balikan pengali dari 4

1. OPERASI TANDA

Sampai sejauh ini, dalam pengoperasian bilangan kita baru membahas bilangan-bilangan dengan satu macam tanda yakni positif. Sekarang marilah kita bahas bagaimana pengoperasian bilangan-bilangan tersebut berkenaan dengan tanda-tanda yang melekat padanya.0. Operasi Penjumlahan0. Jumlah dari dua bilangan positif ( + ) dan (+ b) adalah sebuah bilangan positif baru (+ c) yang nilainya lebih besar.( + ) ( +b) = ( + c)

( + 4) ( +6 ) = ( 10)

0. Jumlah dari dua bilangan negatif (- ) dan (- b) adalah sebuah bilangan negatif baru (- c) yang nilainya lebih kecil.( - ) ( - b) = ( - c)

( - 4) + ( - 6 ) = ( 10)

0. Jumlah dari bilangan positif (-) dan bilangan negative (-b) adalah bilangan positif ( + c) jika harga mutlak lebih besar dari harga mutlak b, atau bilangan negatif (- d) jika harga mutlak lebih kecil dari harga mutlak b.( + ) + ( - b) = ( + c) jika >b

( + 9) + ( - 6 ) = ( +3)

atau( + ) + ( - b) = ( - d) jika b

( + 9) - ( + 6 ) = ( +3)

atau( + ) - ( + b) = ( - d) jika