Sistem Bilangan

RIL (R)

RASIONAL (Q)

PECAHANBULAT (J)

IRRASIONAL (I)

DESIMAL TERBATAS

NEGATIF

DESIMAL BERULANG

CACAH (W)

NOL ASLI (N)

1.1.1 BILANGAN RIL

1.1 SISTEM BILANGAN RIL

Himpunan Bilangan Asli (N)N = { 1, 2, 3, … }

Himpunan Bilangan cacah (W)W = { 0, 1, 2, 3, … }

Himpunan Bilangan Bulat (J)J = { … , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … }

Himpunan bilangan rasional (Q)

Himpunan bilangan rasional adalah himpunan bilangan yang mempunyai bentuk p/q atau bilangan yang dapat ditulis dalam bentuk p/q, dimana p dan q adalah anggota bilangan bulat dan q 0

Contoh 1.1

Buktikan bahwa bilangan-bilangan 3, (4,7) dan (2,5858…) adalah bilangan-bilangan rasional!Bukti:a) Bilangan 3 dapat ditulis dalam bentuk p/q yaitu 3/1 atau 6/2 dan seterusnya.b) Bilangan 4,7 dapat ditulis dalam bentuk 47/10c) Bilangan 2,5858… dapat ditulis dalam bentuk p/q dengan cara, x = 2,5858…

100 x = 258,5858… 99 x = 256

x = 256/99

Latihan

Buktikan bahwa bilangan 2,342121212121… adalahbilangan rasional!

Penyelesaian

x = 2,342121212121

100 x = 234,2121212121 10000 x = 23421,21212121

10000 x = 23421,2121212121 …

100 x = 234,2121212121 …

9900 x = 23187

x = 23187/9900

Jadi bilangan 2,3421212121212121 … = 23187/9900

1.1.2 GARIS BILANGAN RIL

Garis bilangan ril adalah tempat kedudukan titik-titik.Setiap titik menunjukkan satu bilangan ril tertentu yang tersusun secara terurut.

-3 -2 -1 0 1,5 2,5

1.1.3 HUKUM-HUKUM BILANGAN RIL

Jika a dan b adalah dua bilangan ril maka berlaku: (i) a + b adalah bilangan ril (ii) a . b adalah bilangan ril(iii) a + b = b + a Hukum Komutatif Penjumlahan(iv) a . b = b . a Hukum komutatif Perkalian

Jika a, b, dan c adalah tiga bilangan ril maka berlaku:

(v) (a + b) + c = a + (b + c) adalah bilangan ril

(vi) (ab)c = a (bc) adalah bilangan ril

(vii) a(b + c) = ab + ac Hukum Komutatif Penjumlahan

(viii) a + 0 = 0 + a Hukum Penjumlahan Nol

(ix) a . 1 = 1 . a = a Hukum Perkalian Satu

(x) a.0 = 0.a = 0 Hukum Perkalian Nol

(xi) a + (-a) = -a + a Hukum Invers Penjumlahan

(xii) a (1/a) = 1 , a 1 Hukum Invers Perkalian

1.2 BILANGAN KOMPLEKS

Bentuk umum z = a + iba dan b adalah bilangan rila merupakan bagian ril dari bilangan kompleks, ditulis Re(z)b merupakan bagian imajiner dari bilangan kompleks , ditulis Im(z)

i3 = i2 . i = -i i4 = i2 . i2 = (-1)(-1) = 1

i 2=.2= 1-2-

i merupakan bilangan imajiner = -1

1.2.1 SIFAT-SIFAT BILANGAN KOMPLEKSS

Misal z1 = x1 + iy1 dan z2 = x2 + iy2, maka berlaku:

a) z1 = z2 x1 = x2 dan y1 = y2 sifat kesamaan

1.2.2 KONJUGAT

Jika z = x + iy,

Jika z = x - iy,

Maka = x + iy z

b) z1 + z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2) sifat penjumlahan

c) z1 - z2 = (x1 + x2) + i(y1 - y2) sifat pengurangan

d) z1 . z2 = (x1 x2- y1 y2) + i(x1 y2 – x2y1) sifat perkalian

maka konjugat dari z (ditulis ) adalah = x – iy zz

1.2.3 PERKALIAN BILANGAN KOMPLEKS DENGAN KONJUGATNYAiy)-iy)(x+(x= z z 222 yi-ixy+ixy-x= 22 y+x=1.2.4 PEMBAGIAN DUA BUAH BILANGAN KOMPLEKS

x1 + iy1 z2

z2

z1

z2

z1

z2= =

x2 + iy2

x2 - iy2

x2 - iy2

x1 x2 + ix1y2+ ix2y1 – i2y1y2

x22

– i2y22

x1 x2 +y1y2

x22

+ y22

x1y2+ x2y1

x22

+y22

+ i

=

=

Contoh 1.2

z1 = – 5 + 7i z2 = 3 – 2iDiketahui

Tentukana) z1 + z2

b) z1 – z2

c) z1 . z2

d) z1 /z2

e) z1.f) z2.

z2

z1

Penyelesaiana) z1 + z2 =

b) z1 – z2 = (– 5 + 7i) – (3 – 2i) = –5 +7i –3+2i)= –8 + 9i

c) z1 . z2 = (– 5 + 7i)(3 – 2i) = –15 + 10i + 21i – 14i2= – 1 + 31i

(3 – 2i) (– 5 + 7i) + –2 + 5i =(–5 + 3) + (7i –2i) =

x1 x2 +y1y2

x22

+ y22

x1y2+ x2y1

x22

+y22

+ iz1 z2

d) =

(– 5)(3)+(7)(– 2)

32 + (– 2)2

(7)(3) – (– 5)(– 2) + i32

+ (– 2)2

–29 13

+ i1113

=

=

e) z1 . z2

f) z1 . z2

= (–5 + 7i)(3 + 2i)

–15=

–29 + 11i=

= (-5 - 7i)(3 - 2i)= – 5(3) – 5(– 2i) – 7i(3) –7i(–2i)

= – 15 + 10i – 21i + 14i2 = –15 – 11i –14 = –29 – 11i

–10i + 21i + 14i2= –15 – 10i + 21i – 14

1.3 PERTIDAKSAMAAN

Pertidaksamaan adalah pernyataan yang mengandung <, >, , atau

Pertidaksamaan terdiri dari pertidaksamaan linier dan non-linier

1.3.1 Sifat-sifat

(i) Jika a > b dan b > c, maka a > c

(ii) Jika a > b, maka a + c > b + c

(iii) Jika a > b, maka a – c > b – c

(iv) Jika a > b, dan c adalah bilangan positif, maka ac > bc

(v) Jika a > b, dan c adalah bilangan negatif maka ac < bc

Analog dengan (i) s.d. (v),

(vi) Jika a > b dan b > c, maka a > c

(viii) Jika a > b, maka a – c > b – c

(vii) Jika a > b, maka a + c > b + c

(ix) Jika a < b, dan c adalah bilangan positif, maka ac > bc

(x) Jika a < b, dan c adalah bilangan negatif, maka ac < bc

Sifat-sifat lainnya

(xi) ac > 0, jika a > 0 dan c > 0 atau jika a < 0 dan c < 0

(xii) ac < 0, jika a < 0 dan c > 0 atau jika a > 0 dan c < 0

(xiii) a/c > 0, jika a > 0 dan c > 0 atau jika a < 0 dan c <0

(xiii) a/c < 0, jika a < 0 dan c > 0 atau jika a > 0 dan c <0

(xv) Jika a > b, maka – a < – b

(xvi) Jika 1/a < 1/b, maka a > b

(xvi) Jika a < b < c, maka b > a dan b < c (bentuk komposit)

(xvii) Jika a>b>c, maka b , a atau b > c (bentuk komposit)

1.3.2 Selang (interval)

Selang adalah himpunan bagian dari bilangan ril yang mempunyai sifat-sifat relasi tertentu

Jika batas-batasnya merupakan bilangan ril, maka disebut selang hingga.

Jika batas-batasnya bukan bilangan ril, maka disebut selang tak-hingga.

Lambang menyatakan membesar tanpa batas.Lambang – menyatakan mengecil tanpa batas.

Berikut diberikan contoh-contoh selang

( a

) b

( a

) b

[ a

] b

( a

) b

[ a

] b

[ a

) b

( a

) b

[ a

] b

[ a

) b

( a

] b

[ a

[ a

[ a

[ a

) b

[ a

[ a

) b

] b

1.3.3 Pertidaksamaan linier satu peubah

Bentuk umumax + b (?) 0

a dan b adalah bilangan ril

(?) adalah salah satu dari <, >, , atau

Contoh 1.5

Selesaikan pertidaksamaan 7x + 9 < –5

Penyelesaian

7x+9<–5 semua ruas dikurang sembilan 7x + 9 –9 < –5 –9

7x < –14 x < –2

Himpunan penyelesaian {x|x< –2}

Selang terbuka

)-2

Untuk kesederhanaan, penyelesaian pertidaksamaan linier satupeubah dapat diselesaikan dengan cara mengelompokkan peubah pada salah satu ruas dan mengelompokkan konstan pada ruas lainnya.

Ingat, setiap memindahkan suku pada ruas yang berbeda tandanya akan berubah!

Contoh 1.7 Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 3x – 2 8 + 5xPenyelesaian 3x – 2 8 + 5x Pidahkan 5x ke ruas kiri dan -2 ke ruas kanan 3x – 5x 8 + 2 Kelompokkan peubah x pada ruas kiri dan kelompokkan konstan pada ruas kanan. – 2x 10(– 1/2)(– 2x) (10)(– 1/2) Jika mengalikan setiap ruas dengan

bilangan negatif maka tanda pertidaksamaan harus dibalik

(sifat pertidaksamaan xv)x – 5

Himpunan penyelesaian {x|x – 5} ]–5

Selang terbuka

Contoh 1.8Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan

4 – 2x 5

4 < < 2x – 1

Penyelesaian4 – 2x 5

4 < < 2x – 1 kalikan semua ruas dengan 5

4 – 2x 5

4(5) < (5) < (2x – 1)(5)

20 < 4 – 2x < 10x – 5 dipecah menjadi dua bagian, yaitu

4 – 2x > 20 dan 4 – 2x < 10x – 5 (sifat pertidaksamaan xvii)

4 – 2x > 20 2x – 4 < –20 2x < 4 – 20 x < –8

4 – 2x < 10x – 5 –2x –10x < –5 – 4 – 12x < –9 12x > 9 x > 3/4

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {x|x , -8 atau x > 3/4} (3/4

) – 8

Selang terbuka

1.3.4 Nilai Mutlak

Nilai mutlak dari x dinyatakan dengan |x|

Definisi

|x|= x jika x 0–x jika x < 0

Teorema-teorema

Jika a dan b adalah bilangan ril, maka

(i) |x| < a –a < x < a

(ii) |x| > a x > a atau x < –a

(iii) |x| a –a x a

(iv) |x| a x a atau x –a

(v) |x| = a x = a atau x = –a

(vi) |ab| = |a||b|

Bukti

|ab|=(ab)2 a2 b2= a2 = b2 = |a||b| (terbukti)

(vii) ab

= ab , b 0.

Bukti ab

ab = a

b

2 ab

2

2=ab

2

2= = (terbukti)

segitiga) maan(ketidaksa b+a≤b+a )viii( ( ) 222222 )b+a(=b+ba2+a≤b+ab2+a=b+ab+a=b+a=}b+a{)b+a( 22 ≤ (terbukti)

(ix) |a – b||a|+|b|

Bukti |a – b|=|a +(–b)| |a|+|b| (terbukti)

(x) |a|– |b| |a – b| Bukti |a|=|(a – b)+b||a – b|+|b|

Jika setiap suku dikurang dengan |b|, maka |a| – |b| |a – b| (terbukti)

Contoh 1.9

Selsaikan pertidaksamaan |x – 5| 4, gambarkan garis bilangan dan selangnya!

Penyelesaian

|x – 5| 4 –4 x – 5 4 (teorema iii)

Dengan memperhatikan sifat pertidaksamaan xvii, maka kitadapatkan dua buah pertidaksamaan, yaitu x – 5 – 4 x – 5 4

dan

Selanjutnya selesaikan satu per satu pertidaksamaan tersebut!

x – 5 – 4 x – 4 + 5 x 1x – 5 4 x 4 + 5 x 9

Jadi himpunan penyelesaian pertidaksamaan adalah {x|1 x 9}

[1

]9

Selang tertutup

Contoh 1.10Selesaikan pertidaksamaan |x – 7| > 3, gambarkan garis bilangan dan selangnya!Penyelesaian |x – 7| > 3 –3 > x – 7 > 3 (teorema iii)Dengan memperhatikan sifat pertidaksaman xviii, kita dapatkan dua buah pertidaksamaan, yaitu x – 7 < –3 x – 7 > 3dan

x – 7 < –3

x – 7 > 3

Jadi himpunan penyelesaian pertidaksamaan adalah {x|x < 4 atau x > 10}

)4

(10

Selang terbuka

x < 4x < –3 + 7

x > 10x > 3 + 7

1.3.5 Pertidaksamaan linier dua peubah

Bentuk umum ax + by + c (?) 0

a, b, dan c adalah bilangan-bilangan ril(?) adalah salah satu , , , atau

Algoritma1. Ganti tanda pertidaksamaan dengan tanda sama dengan.

Ingat! Garis yang digambar membagi bidang menjadi dua bagian.

2. Jika pertidaksamaan menggunakan tanda atau , berarti garis tersebut termasuk bidang yang akan digambarkan.

3. Jika pertidaksamaan menggunakan tanda< atau >, berarti garis tersebut tidak termasuk bidang yang akan digambarkan.

4. Pilih salah satu titik koordinat pada salah satu bidang dansubstitusikan pada pertidaksamaan. Jika menghasilkan pernyataan yang benar, maka bidang tsbmerupakan bidang yang dimaksud.

Contoh 1.11

Gambarkan grafik pertidaksamaan 3x – 2y 8PenyelesaianLangkah 1. Ganti tanda pertidaksamaan menjadi tanda sama dengan.

3x – 2y 8 3x – 2y= 8

3x – 2y = 8 –2y = –3x + 8 y = (–3/–2)x + 8/–2

y = 3/2 x – 4

0,0

y

x

(0, –4)

(8/3, 0)

Langkah 2 Gambarkan grafik

y = 3/2 x – 4x y

0 –4 8/3 0

0,0

y

x

(0, –4)

y = 3/2 x – 8

(8/3, 0)

0,0

y

x

(0, –8)

y = 3/2 x – 8

Langkah 3 Pilih titik koordinat (0,0)

(8/3, 0)

0,0

y

x

(0, –8)

y = 3/2 x – 8

(8/3, 0)

Langkah 4 Substitusi titik koordinat (0,0)ke dalam pertidaksamaan

3x – 2y 83(0) – 2(0) 8

0 8

(0, –8)

y = 3/2 x – 8

Langkah 5 Warnai/Arsir bidang yang memenuhi

0,0

y

x(8/3, 0)

TIPS

Bidang disebelah kanan garis merupakan daerah >

Bidang disebelah kiri garis merupakan daerah <

TIPS

x

y

TIPS

L e b i h

k e c i

l

x0,0

y

L e b i h

b e s a

r

TIPS

L e b i h k e c i l

x

y

L e b i h b e s a r0,0

1.3.6. SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINIER

Sistem pertidaksamaan linier sistem yang terdiri dari lebih dari satu pertidaksamaan linier

Contoh 1.13Gambarkan grafik pertidaksamaan 2y + 3x < 5 dan x – y –3 Penyelesaian

Langkah 1 Ganti Pertidaksamaan menjadi persamaan2y + 3x = 5x – y = –3

Langkah 1 Ganti Pertidaksamaan menjadi persamaan 2y + 3x = 5 x – y = –3

Langkah 2 Gambarkan grafik persamaan

Langkah 3 Arsir atau warnai daerah yang memenuhi

(0,0)

y

x

2y + 3x = 5

(0,0)

y

x

2y + 3x = 5x – y = –3

(0,0)

y

x

x

y

(0,0)

x – y = –3 2y + 3x = 5

1.3.7 PERTIDAKSAMAAN KUADRAT

Bentuk umum a2x + bx + c (?) 0

a, b, dan c adalah bilangan-bilangan rila 0(?) adalah salah satu , , , atau

Contoh 1.15Selesaikan pertidaksamaan x2 – 7x + 12 > 0Penyelesaian

Langkah 1 Faktorkan pertidaksamaan (x – 4)(x – 3) > 0Didapat titik-titik kritis 4 dan 3

Langkah 2 Gambarkan grafik pertidaksamaan


3 4




x – 4 : – – – – – – – – – – – – – – – – 0 + + + + + +

) (3 4



x – 4 : – – – – – – – – – – – – – – – – 0 + + + + + +x – 3 : – – – – – – 0 + + + + + + + + + + + + + + + +

) (3 4



x – 4 : – – – – – – – – – – – – – – – – 0 + + + + + +x – 3 : – – – – – – 0 + + + + + + + + + + + + + + + +(x – 4)(x – 3) : + + + + + + 0 – – – – – – – – – 0 + + + + + +

) (3 4



x – 4 : – – – – – – – – – – – – – – – – 0 + + + + + +x – 3 : – – – – – – 0 + + + + + + + + + + + + + + + +(x – 4)(x – 3) : + + + + + + 0 – – – – – – – – – 0 + + + + + +

) (3 4

Daerah yang memenuhi pertidaksamaan adalahX < 3 atau x > 4

Contoh 1.16

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan

10x – 2

2(x + 2)

Penyelesaian 10x – 2

2(x + 2)

10x – 2

2(x2 – 4) x – 2

2x2 – 18 x – 2

0

Titik-titik kritis –3, 2, 3

10x – 2

2(x + 2)(x – 2) x – 2

10x – 2

2x2 – 8 x – 2

2x2 – 8 – 10 x – 2 0

2(x2 – 9) x – 2

0 2(x–3)(x+3) x – 2

0

Grafik pertidaksamaan

–3 2 3


x – 3 :

–3 2 3


x – 3 : – – – – – – – – – – – – – – – – – – – 0 + + + +

–3 2 3


x – 3 : – – – – – – – – – – – – – – – – – – – 0 + + + + x + 3 : – – – – – 0 + + + + + + + + + + + + + + + + + +

–3 2 3


x – 3 : – – – – – – – – – – – – – – – – – – – 0 + + + + x + 3 : – – – – – 0 + + + + + + + + + + + + + + + + + + x – 2 : – – – – – – – – – – – – – 0 + + + + + + + + + + +

–3 2 3


x – 3 : – – – – – – – – – – – – – – – – – – – 0 + + + + x + 3 : – – – – – 0 + + + + + + + + + + + + + + + + + + x – 2 : – – – – – – – – – – – – – 0 + + + + + + + + + + +

:

–3 2 3

2(x–3)(x+3)x – 2

– – – – – –0 + + + + + + (–) – – – – 0 + + + +


x – 3 : – – – – – – – – – – – – – – – – – – – 0 + + + + x + 3 : – – – – – 0 + + + + + + + + + + + + + + + + + + x – 2 : – – – – – – – – – – – – – 0 + + + + + + + + + + +

:

[ ) [ –3 2 3

2(x–3)(x+3)x – 2

– – – – – –0 + + + + + + (–) – – – – 0 + + + +


x – 3 : – – – – – – – – – – – – – – – – – – – 0 + + + + x + 3 : – – – – – 0 + + + + + + + + + + + + + + + + + + x – 2 : – – – – – – – – – – – – – 0 + + + + + + + + + + +

:

[ ) [ –3 2 3

2(x–3)(x+3)x – 2

– – – – – –0 + + + + + + (–) – – – – 0 + + + +


Himpunan penyelesaian {x|–3 x < 2 atau x 3}

1.4 KOORDINAT KARTESIUS

x

y

O

Menggambar titik koordinat (3,–4 )

x

y

O

A (3, –4)

Kuadran-kuadran

x

y

O

Kuadran I (+, +)

Kuadran II (–, +)

Kuadran III (–, –)

Kuadran IV (+, –)

1.5 PERTAMBAHAN DAN JARAKJika sebuah partikel bergerak dari suatu titik P1(x1 , y1) ke titik P2(x2 , y2) maka dikatakan bahwa koordinat partikel tersebut mengalami pertambahan sebesar x dan y.

Sebagai contoh, suatu partikel bergerak dari titik A( 2,-3 ) ke B(-3 ,1) (lihat Gambar 1.21).

X = Xtitik akhir – Xtitik awal

y = ytitik akhir – ytitik awal

Secara umum x dan y ditentukan dengan rumus

x

y

O

x

y

O

A (2,– 3)

x

y

O

A (2,– 3)

B (– 3, 1)

x

y

O

A (2,– 3)

B (– 3, 1)

x

x

y

O

A (2,– 3)

B (– 3, 1)

y

x

x

y

O

A (2,– 3)

B (– 3, 1)

y

x

Maka pertambahan nya adalah:

x

y

O

A (2,– 3)

B (– 3, 1)

y

x

X = Xtitik akhir – Xtitik awal = – 3 – 2 = – 5

y = ytitik akhir – ytitik awal = 1 – (– 3) = 4

1.5.1. Jarak antara dua buah titik

1.5.1. Jarak antara dua buah titik

x

y

O

P1 (x1, y1)

P2(x2, y2)

h

x

y

Jarak titik P1 P2 = h = 22 yΔ+xΔ

Contoh 1.17Tentukan jarak dari pasangan koordinat berikut :a) P1( –4, 3) dan P2(2, 1)b) P1( –2, –2) dan P2 (5, 1)a)x = 2 – (–4) = 6 x2 = 62 = 36

Penyelesaian

102=40=4+36=hy = 1 – 3 = – 2 y2 = (–2)2 = 4

b) x = 5 – (–2) = 7 x2 = 72 = 49

y = 1 – (–2) = 3 y2 = (3)2 = 9 58=9+49=h

1.5.2. Titik tengah

x

y

O

P1 (x1, y1)

P2(x2, y2)

M(x, y)

Koordinat titik tengah M(x, y) = x1 + x2

2

x1 + x2

2,

1.6 Kemiringan garis (m)

x

y

O

P1 (x1, y1)

P2(x2, y2)

l y

x

m =

yx

y2 – y1

x2 – x1 =

1.7 Garis sejajar

x

y

O

l1

l2

Kemiringan garis l1 = m1Kemiringan garis l2 = m2

garis l1 dan garis l2 adalah dua garis yang sejajar

jika m1 = m2

1.8 Garis tegak lurus

x

y

O

l1l2

Kemiringan garis l1 = m1Kemiringan garis l2 = m2garis l1 dan garis l2 adalah dua garis yang tegak lurusjika m1 . m2 = – 1

Sistem Bilangan

Education

Transcript of Sistem Bilangan