SIMULATIONSIMULATION(STATISTICAL INSIDE)

BILANGAN ACAK (1)BILANGAN ACAK (1)Caranya membangkitkan bilangan acak :• Melempar dadu, memutar roda roulette, atau mengocok

kartu undian (zaman dahulu)• Menggunakan seed komputer secara numerik untuk

memperoleh Pseudo Random Number (zaman modern)

Teknik Random Number Generator :• Middle Square (MS)• Linear Congruential Generator (LCG)

BILANGAN ACAK (2)BILANGAN ACAK (2)Syarat Random Number Generator (RNG) :• Berdistribusi Uniform (0,1) goodness of fit• Randomness, tidak ada korelasi• Long cycle, deretan bilangan yang dibangkitkan tidak

segera berulang• Repeatability, dapat digunakan berulang-ulang dan

diperoleh bilangan yang berbeda tiap membangkitkan• Algoritma yang cepat dan storage tidak besar• Konektivitas yang mudah antar software yang berbeda

MIDDLE SQUAREMIDDLE SQUARE (MS) (MS)ALGORITMA :1. Diberikan 4 digit integer yang positif (Z0) 2. Kuadratkan Z0 untuk memperoleh 8 digit integer

(Ui), i=0,1,2,…3. Ambillah 4 digit Ui dari tengah sebagai 4 digits

integer positif selanjutnya (Zj), j=1,2,3,…4. Bagi Zj sehingga diperoleh bilangan kurang dari

1 dan berdistribusi Uniform (0,1).

5. Ulangi langkah 2 dengan input dari Zj

LINEAR CONGRUENTIAL LINEAR CONGRUENTIAL GENERATORGENERATOR (LCG) (LCG)

FORMULA :

• Panjang kerandoman m, yaitu dari 0 s/d m-1

• xn akan bernilai antara 0 s/d m-1, sehingga untuk membangkitkan bilangan random antara 0 dan 1, maka digunakan formulasi un = xn/m

• Jika c = 0 maka dinamakan sebagai Multiplicative LCG (atau MLCG)

1( ) mod n nx ax c m

VARIABEL ACAK (1)VARIABEL ACAK (1)Teknik Random Variate Generator (RVG): • Transformasi Invers• Mixture Form (Composition)• Convolution• Acceptance Rejection (AR)• Adaptive Acceptance Rejection (AAR)

VARIABEL ACAK (2)VARIABEL ACAK (2)Ada 2 jenis variabel acak :

1. Variabel Acak Diskret : jika xi banyak nilainya dapat dihitung dengan rumus pdf : p(xi) = P(X=xi), i = 1, 2, …. F(x) didefinisikan sebagai cdf dari variabel acak diskret :

2. Variabel Acak Kontinu : jika xi banyak nilainya tak dapat dihitung dan memiliki rumusan pdf : P(X=x) = x f(x) dxF(x) didefinisikan sebagai cdf dari variabel acak kontinu :

xallforxpxFxx

i

i

)()(

xallfordyyfxXxFx

)(]),[()( P

VARIABEL ACAK DISKRETVARIABEL ACAK DISKRET• Distribusi Bernoulli• Distribusi Binomial• Distribusi Poisson• Distribusi Geometrik• Distribusi Hipergeometrik

VARIABEL ACAK KONTINUVARIABEL ACAK KONTINU• Distribusi Normal• Distribusi Lognormal• Distribusi Eksponensial• Distribusi Weibull• Distribusi Gamma• Distribusi Erlang

TRANSFORMASI INVERSTRANSFORMASI INVERSSyarat Transformasi Invers• Fungsi mempunyai CDF yang close form

Metodenya adalah sbb:

x

u

0

1F(x) ( ) 1 exp( )

1 exp( )

1 exp( )

1ln(1 )

1ln( )

F x x

u x

u x

x u

u

FITTING DISTRIBUSIFITTING DISTRIBUSI• Plot data dengan histogram• Menentukan distribusi data dengan pendekatan bentuk

distribusi statistik tertentu• Uji Kolmogorov-Smirnov dan uji Chi-Square• Estimasi parameter : lokasi (), skala (), & bentuk ().

Momen, OLS, MLE, dll

x

f(x)

1 32 x

f(x)

1

2

3 1 2

3

f(x)

FITTING DISTRIBUTION (2)FITTING DISTRIBUTION (2)• Example

Service Times(in Days)

0

50

100

150

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29

Days

Nu

mb

er

FITTING DISTRIBUTION (3)FITTING DISTRIBUTION (3)One-Sample Kolmogorov-Smirnov Test 4

30

31,0000

,243

,115

-,243

1,328

,059

N

MeanExponential parameter.a,b

Absolute

Positive

Negative

Most ExtremeDifferences

Kolmogorov-Smirnov Z

Asymp. Sig. (2-tailed)

VAR00009

Test Distribution is Exponential.a.

Calculated from data.b.

MODEL ANTRIANMODEL ANTRIAN• Notasi model antrian satu tahap :

A/B/C : D/E/FA : Inter-Arrival time distribution D : Queue discipline

B : Service time distribution E : Number of queue capacity

C : Number of server F : Size of the calling population

Multi Servers-Single Queue (M/M/N)Multi Servers-Single Queue (M/M/N)

MODEL ANTRIANMODEL ANTRIAN• Disiplin kedatangan & pelayanan :M : Memoryless seperti : Eksponensial (λ)

Er : Erlang (α, β)

G : Arbitrary inter-arrival times

D : deterministic arrivals or fixed length services

• Disiplin antrian :FIFO : First In First Out (pelanggan pertama dilayani dahulu)

LIFO : Last In First Out (pelanggan terak

SIRO : Served In Random Order

Priority : Prioritas yang lebih tinggi terlebi dahulu

• Contoh : M/M/1 : FIFO/∞/∞