seribu materi

Sabtu, 19 Januari 2013

CONTOH SOAL STRUKTUR ALJABAR

1.Himpunan

Contoh 1

Misalkan suatu himpunan yang tak kosong Z+ adalah himpunan bilanganbulat positif, didefinisikan x * y = |x – y| bila x y dan x * x = x untuksetiap x,y Z+. Tunjukan apakah operasi binernya tertutup, komutatif danassosiatif.Penyelesaian :a. TertutupMisalkan x = 2 dan y = 3,x * y = 2 * 3 = 1x * x = 2 * 2 = 2x * y dan x * x tertutup tehadap Z+, sehingga x, y Z+

b. Komutatifx, y Z+, misalkan x = 2 dan y = 3x * y = 2 * 3 = |2 – 3| = 1y * x = 3 * 2 = |3 – 2| = 1x * y = y * x komutatif

c. Assosiatifx, y, z Z+, misalkan x = 2 dan y = 3, z = 4(x * y) * z = (2 * 3) * 4 = |2 – 3| * 4 = |1 – 4| = 3x * (y * z) = 2 * (3 * 4) = 2 * |3 – 4| = |2 – 1| = 1(x * y) * z x * (y * z) tidak assosiatif

Contoh 2

Jika A, B R didefinisikan A = { x | 1 x 4} = { 1, 2, 3, 4} danB = { x | 2 x 3} = {2, 3}. Tunjukan bahwa A x B B x A !Penyelesaian :Relasi terhadap A x B = {(1,2), (1,3), (2,2), (2,3), (3,2), (3,3), (4,2),(4,3)}

Relasi terhadap B x A = {(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,3),(3,4)}

2.semigrup dan monoid

Contoh 1

Misalkan himpunan bilangan asli N, didefinisikan operasi biner: a * b = a + b + ab Tunjukan bahwa (N, *) adalah suatu semigrup. Penyelesaian: 1. Tertutup Ambil sebarang a, b * N, karena a, b* N, dan ab* N maka a * b = a + b + ab * N. Jadi, N tertutup terhadap operasi biner *. 2. Assosiatif Ambil sebarang a, b, c * N, maka (a * b) * c = (a + b + ab) * c = (a + b + ab) + c + (a + b + ab) c = a + b + ab + c + ac + bc + abc

a * (b * c) = a * (b + c + bc) = a + (b + c + bc) + a (b + c + bc) = a + b + c + bc + ab + ac + abc Maka untuk setiap a, b, c * N berlaku (a * b) * c = a * (b * c). Jadi, (N, *) merupakan suatu semigrup. Jika operasi biner pada semigrup (S, *) tersebut bersifat komutatif, maka semigrup (S, *) disebut juga semigrup abel.

Contoh 2

Misalkan G = {-1, 1} adalah suatu himpunan. Apakah G merupakan suatu grup terhadap penjumlahan (G, +). Penyelesaian: Daftar Cayley G = {-1, 1} terhadap (G, +) sebagai berikut

+ -1 1

-1 -2 0

1 0 2

Berdasarkan daftar Cayley dari tabel di atas, operasi penjumlahan himpunan G = {-1, 1} menghasilkan {-2, 0, 2}. Dikarenakan {-2, 0, 2} adalah bukan merupakan anggota dari himpunan G = {-1, 1}, maka G = {-1, 1} tidak tertutup terhadap operasi penjumlahan. Jadi, (G, +) bukan suatu grup.

3.Dasar2 grup

Contoh 1

tunjukan bahwa H = {0, 2, 4} adalah merupakanSubgrup dari G = {0, 1, 2, 3, 4, 5} terhadap penjumlahan (G, +).Penyelesaian :H = {0, 2, 4} merupakan himpunan bagian dari G = {0, 1, 2, 3, 4, 5},sehingga H G.Dari tabel 3.3. akan ditunjukan H = {0, 2, 4} memenuhi syarat-syaratsuatu Grup :a. TertutupAmbil sebarang nilai dari Hmisalkan 0, 2, 4 H0 + 0 = 00 + 2 = 20 + 4 = 42 + 2 = 42 + 4 = 04 + 4 = 2karena hasilnya 0, 2, 4 H,maka tertutup terhadap H

b. AssosiatifAmbil sebarang nilai dari Hmisalkan a = 2, b = 2 dan c = 4 H(a + b) + c = (2 + 2) + 4 = 4 + 4 = 2a + (b + c) = 2 + (2 + 4) = 2 + 0 = 2Sehingga :(a + b) + c = a + (b + c) = 2maka H assosiatif

c. Adanya unsur satuan atau identitas (e = 0, terhadap penjumlahan)Ambil sebarang nilai dari Gmisalkan 0 G0 + e = e + 0 = 0misalkan 2 G2 + e = e + 2 = 2misalkan 4 G4 + e = e + 4 = 4maka G ada unsur satuan atau identitas

d. Adanya unsur balikan atau inversAmbil sebarang nilai dari G, misalkan 0 G, pilih 0 G,sehingga 0 + 0 = 0 = e, maka (0)-1 = 0Ambil sebarang nilai dari G, misalkan 2 G, pilih 4 G,sehingga 2 + 4 = 0 = e, maka (2)-1 = 4Ambil sebarang nilai dari G, misalkan 4 G, pilih 2 G,sehingga 4 + 2 = 0 = e, maka (4)-1 = 2maka G ada unsur balikan atau invers

e. Adanya unsur satuan atau identitasAmbil sebarang nilai dari Hmisalkan 4 H4 + e = 4 + 0 = 4e + 4 = 0 + 4 = 4Sehingga :4 + e = e + 4 = 4maka H ada unsur satuan atau identitas

f. Adanya unsur balikan atau inversAmbil sebarang nilai dari H, misalkan 4 H4 + (-4) = 4 – 4 = 0 = e(-4) + 4 = -4 + 4 = 0 = eSehingga :4 + (-4) = (-4) + 4 = 0 = emaka H ada unsur balikan atau inversJadi, H = {0, 2, 4} memenuhi syarat-syarat suatu Grup, sehingga (H, +)merupakan Subgrup dari (G, +).

Contoh 2tunjukan bahwa H = {1, 2, 3} adalah bukan merupakanSubgrup dari G = {0, 1, 2, 3, 4, 5} terhadap penjumlahan (G, +).

Penyelesaian :H = {1, 2, 3} merupakan himpunan bagian dari G = {0, 1, 2, 3, 4, 5},sehingga H G.Akan ditunjukan H = {1, 2, 3} memenuhi syarat-syarat suatu Grup :Ambil sebarang nilai dari Hmisalkan 2, 3 Hdidapat : 2 + 3 = 55 G tetapi 5 H, sehingga 5 tidak tertutup terhadap operasi biner (H, +)Maka H = {1, 2, 3} bukan merupakan Subgrup dari G = {0, 1, 2, 3, 4, 5}

4.Grup siklikContoh 1Grup (Z,+) merupakan Grup Siklik tak hingga yang dibangunoleh 1.

Penyelesaian :[1] = {…, -2.1, -1.1, 0.1, 1.1, 2.1, …}= {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}Jadi, 1 merupakan genertor yang membentuk Grup Siklik tak hingga.

Contoh 2Misalkan G = {-1, 1} adalah suatu Grup terhadap operasi perkalian (G, .).Tentukan Grup Siklik dari Grup tersebut.Penyelesaian :Generator dari G = {-1, 1} adalah -1 dan 1[-1] = {(-1)n | n Z}= {(-1)0, (-1)1, (-1)2, …}= {-1, 1}[1] = {(1)n | n Z}= {(1)0, (1)1, (1)2, …}= {1}generator -1 adalah membangun suatu Grup Siklik, sehingga :[-1] = {-1, 1}generator 1 adalah membangun Subgrup Siklik, sehingga :[1] = {1}.

5.Grup faktorContoh 1Misalkan (G,+) = Z4 adalah suatu Grup dan H = {0,2} adalah merupakanSubgrup dari G. Tentukan koset kiri dan koset kanan dari H dalam G.Penyelesaian :(G,+) = Z4 = {0, 1, 2, 3}, generatornya 0, 1, 2, dan 3Koset kiri : 0 + H = 0 + {0,2} = {0,2}1 + H = 1 + {0,2} = {1,3}2 + H = 2 + {0,2} = {2,0}3 + H = 3 + {0,2} = {3,1}Koset kanan: H + 0 = {0,2} + 0 = {0,2}H + 1 = {0,2} + 1 = {1,3}H + 2 = {0,2} + 2 = {2,0}H + 3= {0,2} + 3 = {3,1}Sehingga :0 + H = H + 0= {0,2}

1 + H = H + 1= {1,3}2 + H = H + 2 = {0,2}3 + H = H + 3 = {1,3}Maka koset kiri = koset kanan

Contoh 2Misalkan 3Z adalah merupakan Subgrup dari Z. Tentukan koset kiri dankoset kanan dari 3Z dalam Z.

Penyelesaian :Kita akan selidiki koset kiri dan koset kanan terhadap operasi penjumlahandan operasi perkalian.Diketahui :Z = { …, -2, -1, 0, 1, 2, …}3Z = {…., -6, -3, 0, 3, 6, …}

a. Terhadap operasi penjumlahan

Koset kiri :-2 + 3Z = {…., -8, -5, -2, 1, 4, …}-1 + 3Z = {…., -7, -4, -1, 2, 5, …}0 + 3Z = {…., -6, -3, 0, 3, 6, …}1 + 3Z = {…., -5, -2, 1, 4, 7, …}2 + 3Z = {…., -4, -1, 2, 5, 8, …}

Koset kanan:3Z + (-2) = {…., -8, -5, -2, 1, 4, …}3Z + (-1) = {…., -7, -4, -1, 2, 5, …}3Z + 0 = {…., -6, -3, 0, 3, 6, …}3Z + 1 = {…., -5, -2, 1, 4, 7, …}3Z + 2 = {…., -4, -1, 2, 5, 8, …}Koset kiri = Koset kanan

b. Terhadap operasi perkalian

Koset kiri :-2 . 3Z = {…., 12, 6, 0, -6, -12, …}-1 . 3Z = {…., 6, 3, 0, -3, -6, …}0 . 3Z = {0}1 . 3Z = {…., -6, -3, 0, 3, 6, …}2 . 3Z = {…., -12, -6, 0, 6, 12, …}

Koset kanan:3Z . (-2) = {…., 12, 6, 0, -6, -12, …}

3Z . (-1) = {…., 6, 3, 0, -3, -6, …}3Z . 0 = {0}3Z . 1 = {…., -6, -3, 0, 3, 6, …}3Z . 2 = {…., -12, -6, 0, 6, 12, …}

Koset kiri = Koset kanan

6.RINGContoh 1Buktikan bahwa himpunan Zn = {0, 1, 2, . . ., n-1} merupakan ring.Bukti :Untuk membuktikan bahwa Zn merupakan ring dilakukan dengan cara menemukan suatu fungsi yang menyatakan relasi antara Zn dengan ring Z. Bila fungsi yang didapat tersebut mengawetkan operasi maka peta dari fungsi mermpunyai sifat-sifat yang sama dengan daerah asal (domain) dari fungsi.Misalkan f : Z → Zn dengan f (x) = r dan r merupakan sisa pembagian bila x di bagi n. Dalam contoh sudah dibuktikan bahwa f mengawetkan operasi +. Bila diambil sebarang x, y dalam Z maka:x = nq1 + r1 dan y = nq2 + r2 untuk suatu q1, q2, r1 dan r2 dalam Zsehingga:xy = (nq1 + r1) (nq2 + r2 ) = n(nq1 + r1 + nq2 + r2) + r1 r2 dan r1 r2 dapat dinyatakan sebagai nq + r.Akibatnya:xy = n (n q1 q2 + q1 r2 + r1 q2 + q) + r.Oleh karena itu, f (xy) = r dan f (x) f (y) = r1 r2 .Dengan mengingat definisi perkalian dalam Zn maka , r1 r2 = r dan berarti f(xy) = f(x) f(y)Karena f mengawetkan operasi penjumlahan dan penggandaan maka berakibat Zn ring

Contoh 2.Didefinisikan Q(√2 ) = { a + b √2 │a, b dalam Q }. Buktikan bahwa Q(√2 ) merupakan ring bagian dari RJawab:Bila didefinisikan Q(√2 ) = { a + b √2 │a, b dalam Q } maka akan dibuktikan bahwa Q(√2 ) merupakan ring bagian dari R.Karena Q himpunan yang tidak kosong maka jelas bahwa Q(√2 ) juga himpunan yang tidak kosong.Terhadap operasi pergandaan bersifat( a + b √2 ) ( c + d √2 ) = ( ac + 2bd ) + ( ad + bc ) √2dan terhadap operasi pengurangan bersifat( a + b ) √2 – ( c + d ) √2 = ( a – c ) + ( b – d ) √2Karena ac + 2bd, ad + bc, a – c dan a – d tetap dalam Q maka hasil pergandaan dan hasi pengurangannya tetap dalam Q (√2 ).Oleh karena itu Q (√2 ) merupakan ring bagian dari R.Perlu dicatat bahwa Q (√2 ) similar dengan himpunan bilangan kompleksC = { a + b i │a, b dalam R }

Karena bentuk a + b i analog dengan bentuk a + b√2 dan dalam hal ini ring Q ( √2 ) mengandung Q, seperti juga C mengandung R.

7.subring

Contoh 1Akan kita tunjukan bahwa S = {0, 2} memenuhi syarat-syarat dari suatuRing.1. S , syarat terpenuhi karena S = {0, 2}2. a - b SMisalkan 0, 2 S2 – 0 = 22 – 2 = 00 – 2 = 2Sehinigga 0, 2 S3. a . b SMisalkan 0, 2 S2 . 0 = 02 . 2 = 00 . 2 = 0

Sehingga 0 SSyarat (1), (2), dan (3) terpenuhi maka S adalah Subring dari Z4.

Contoh 2

Diketahui R ring komutatif dan himpunan bagian X ⊆ R . DidefinisikanI X = { I ideal di R I X ⊆I } = dan (X)= ∩ Jika A,B ⊆ R , maka (A) ∩(B) merupakan I∈IX. ideal pada (A) .Bukti.Karena (A),(B) ideal-ideal di R, maka (A) ∩ (B) juga merupakan ideal di R. Karenaberlaku hubungan (A)∩ (B) ⊆ (A) , maka untuk setiap x ∈(A)∩(B) dan r ∈(A)selaluberlaku rx =xr∈(A) ∩(B) . Jadi, terbukti bahwa (A) ∩(B) merupakan ideal pada A . ��

8.ring faktor & homomorfisma

Contoh 1

Bila K = {0, 2, 4} adalah suatu Ideal yang dibangun oleh 2 dalam Z6.Tunjukan Z6/K adalah merupakan Ring Faktor.Penyelesaian :Ada dua koset / Ideal dari Ring Z6, yaitu :K = {0, 2, 4}K + 1 = {1, 3, 5}Sehingga Z6/K = {K, K + 1}

Tabel 8.1.Daftar Cayley (Z6/K = Z6/{0, 2, 4}, +) dan (Z6/K = Z6/{0, 2, 4}, .)

Tabel 8.1. menunjukan penjumlah dan perkalian unsur-unsur dari Z6/K.Selanjutnya dari tabel, kita akan membuktikan bahw Z6/K dengan syaratsyaratsuatu Ring merupakan Ring Faktor dari Z6/K. Adapun syaratsyaratnyasebagai berikut :1. Tertutup terhadap penjumlahan (+) di Z6/KK, K + 1 Z6/Kberlaku K + (K + 1) = K + (0 + 1) = K + 1Sehingga K + 1 Z6/K

2. Assosiatif terhadap penjumlahan (+) di Z6/KK, K + 1 Z6/K[K + (K + 1)] + (K + 1) = K + [(K + 1) + (K + 1)][K + (0 + 1)] + (K + 1) = K + [K + (1 + 1)](K + 1) + (K + 1) = K + (K + 0)K + (1 + 1) = K + (0 + 0)K = KSehingga [K + (K + 1)] + (K + 1) = K + [(K + 1) + (K + 1)] = K

3. Adanya unsur satuan atau identitas terhadap penjumlahan (+) di Z6/KK + 1 Z6/K(K + 0) + (K + 1) = K + (0 + 1) = K + 1(K + 1) + (K + 0) = K + (1 + 0) = K + 1Sehingga (K + 0) + (K + 1) = (K + 1) + (K + 0) = K + 1

4. Adanya unsur balikan atau invers terhadap penjumlahan (+) di Z6/K

+ k K+1

k k k-1

K+1 K+1 k

. k K+1

k k k

K+1 k k-1

K + 1 Z6/K(K + 1) + (K + (-1)) = K + (1 + (-1)) = K + 0 = K(K + (-1)) + (K + 1) = K + ((-1) + 1) = K + 0 = KSehingga (K + 1) + (K + (-1)) = (K + (-1)) + (K + 1) = K + 0 = K

5. Komutatif terhadap penjumlahan (+) di Z6/KK, K + 1 Z6/KK + (K + 1) = (K + 1) + KK + (0 + 1) = K + (1 + 0)K + 1 = K + 1Sehingga K + (K + 1) = (K + 1) + K = K + 1

6. Tertutup terhadap perkalian (.) di Z6/KK, K + 1 Z6/Kberlaku K . (K + 1) = K + (0 . 1) = K + 0 = KSehingga K Z6/K

7. Assosiatif terhadap perkalian (.) di Z6/KK, K + 1 Z6/K[K . (K + 1)] . (K + 1) = K . [(K + 1) . (K + 1)][K + (0 . 1)] . (K + 1) = K . [K + (1 . 1)](K + 0) . (K + 1) = K . (K + 1)K + (0 . 1) = K + (0 . 1)K = KSehingga [K . (K + 1)] . (K + 1) = K . [(K + 1) . (K + 1)] = K

8. Adanya unsur satuan atau identitas terhadap perkalian (.) di Z6/KK Z6/K(K + 1) . K = K + (1 . 0) = K + 0 = KK . (K + 1) = K + (0 . 1) = K + 0 = KSehingga (K + 1) + K = K + (K + 1) = K + 0 = K

9. Distributif perkalian (.) terhadap penjumlahan (+) di Z6/KK, K + 1 Z6/KMisalkan a = K , b = K + 1 dan c = K + 1a. (b + c) = (a . b) + (a . c)K . [(K + 1) + (K + 1)] = [K . (K + 1)] + [K . (K + 1)]K . [K + (1 + 1)] = [K + (0 . 1)] + [K + (0 . 1)]K + [0 . (1 + 1)] = K + [(0 . 1) + (0 . 1)]K + (0 . 0) = K + (0 + 0)K = KSehingga K . [(K + 1) + (K + 1)] = [K . (K + 1)] + [K . (K + 1)] = KJadi, Z6/K = {K, K + 1} adalah merupakan suatu Ring Faktor

Contoh 2

Tunjukan apakah f : Z èR dengan f(a) = a adalah suatu HomomorfismaRing.Penyelesaian :Akan kita buktikan bahwa a, b R berlaku :1. f(a + b) = f(a) + f(b)2. f(a . b) = f(a) . f(b)Sehingga :1. f(a + b) = f(a) + f(b), a, b R(a + b) = (a) + (b)a + a = a + b

2. f(a . b) = f(a) . f(b), a, b R(a . b) = (a) . (b)a . b = a . bDikarenakan untuk f(a + b) = f(a) + f(b) dan f(a . b) = f(a) . f(b) makaf : Z èR untuk f(a) = a adalah merupakan suatu HomomorfismaRing.

9.ring polinom

Contoh 1

Tentukan hasil bagi dari polinom-polinom berikut terhadap Z3[x], dimanap(x) = 2x2 + 2 dan q(x) = 2x + 2, p(x) adalah polinom yang dibagi dang(x) polinom pembagi.

Diposkan oleh alwan salwani di 09.34 Kirimkan Ini lewat Email BlogThis! Berbagi ke Twitter Berbagi ke Facebook

Tidak ada komentar:

Poskan Komentar

Posting Lebih Baru Posting Lama Beranda Langganan: Poskan Komentar (Atom)

Mengenai Saya

alwan salwani Lihat profil lengkapku

Arsip Blog

►   2012 (5)

▼   2013 (24) o ▼   Januari (6)

makalah kepala sekolah sistem periodik unsur Belajar microsoft excel CIRI-CIRI GURU PROFESIONAL PENGERTIAN BAHASA CONTOH SOAL STRUKTUR ALJABAR

o ►   Februari (5) o ►   April (4) o ►   Juli (5) o ►   September (4)

Template Travel. Gambar template oleh compassandcamera. Diberdayakan oleh Blogger.