Selamat Datang Dalam Tutorial Ini

1

Petunjuk

Dalam mengikuti tutorial jarak jauh ini, pertanyakanlah apakah yang disampaikan pada setiap langkah

presenmtasi telah sesuai dengan pendapat anda sendiri. Mungkin saja anda berpendapat lain;

diskusikanlah dengan teman karena layanan tutorial ini belum dapat disajikan secara interaktif.

2

Tutorial kali ini tentang“Analisis Rangkaian Listrik di Kawasan

Waktu”

disajikan olehSudaryatno Sudirham

melaluiwww.darpublic.com

3

Modul 3Pernyataan Sinyal dan Spektrum Sinyal

4

1. Teori Singkat

5

Pernyataan-Pernyataan Gelombang SinyalGelombang Periodik dan Aperiodik. Suatu gelombang disebut periodik jika gelombang itu selalu berulang setiap selang waktu tertentu. Jadi jika v(t) adalah periodik, maka v(t+T0) = v(t) untuk semua nilai t, dengan T0 adalah periodanya yaitu selang waktu terkecil yang memenuhi kondisi tersebut.Sinyal Kausal dan Sinyal Non-Kausal. Sinyal kausal bernilai nol sebelum saat Ts tertentu. Jadi jika sinyal v(t) adalah kausal maka v(t) = 0 untuk t < Ts. Jika tidak demikian maka sinyal itu disebut sinyal non-kausal. Sinyal kausal biasa dianggap bernilai nol pada t < 0, dengan menganggap t = 0 sebagai awal munculnya sinyal.Nilai Sesaat. Nilai amplitudo gelombang v(t), i(t), ataupun p(t) pada suatu saat t tertentu disebut nilai sesaat dari bentuk gelombang itu.

Amplitudo. Pada umumnya amplitudo gelombang berubah terhadap waktu diantara dua nilai ekstrem yaitu amplitudo maksimum, Vmaks, dan amplitudo minimum, Vmin .

Nilai amplitudo puncak-ke-puncak (peak to peak value). Nilai amplitudo puncak-ke-puncak menyatakan fluktuasi total dari amplitudo dan didefinisikan sebagai:

minVVV makspp

Dengan definisi ini maka Vpp selalu positif, walaupun mungkin Vmaks dan Vmin keduanya negatif.

6

Nilai Puncak. Nilai puncak Vp adalah maksimum dari nilai absolut amplitudo

, minVVMaxV maksp

Nilai Rata-Rata. Nilai rata-rata secara matematis didefisikan sebagai

Tt

trr dxxvT

V0

0

)(1

Untuk sinyal periodik, selang waktu T sama dengan perioda T0. Ada tidaknya nilai rata-rata menunjukkan apakah suatu sinyal mengandung komponen konstan (tidak berubah terhadap waktu) atau tidak. Komponen konstan ini disebut juga komponen searah dari sinyal

Nilai efektif ( nilai rms ; rms value). Nilai ini menunjukkan nilai rata-rata daya yang dibawa oleh sinyal. Untuk memahami hal ini kita lihat dulu daya sesaat yang diberikan kepada resistor R oleh tegangan v(t), yaitu:

2)(1

)( tvR

tp

Daya rata-rata yang diberikan kepada resistor dalam selang waktu T adalah:

Tt

t

rr dttpT

P0

0

)]([1

Kalau kedua persamaan di atas ini kita gabungkan, akan kita peroleh

7

Tt

t

rr dttvTR

P0

0

2)]([11

Apa yang berada di dalam kurung besar pada persamaan di atas merupakan nilai rata-rata dari kwadrat gelombang. Akar dari besaran inilah yang digunakan untuk mendefinisikan nilai rms atau nilai efektif

Tt

t

rms dttvT

V0

0

2)]([1

Untuk sinyal periodik, kita mengambil interval satu siklus untuk menghitung nilai rata-rata. Dengan menggunakan nilai rms kita dapat menuliskan daya rata-rata yang diberikan kepada resistor sebagai:

21rmsrr V

RP

Perhatikan bahwa persamaan untuk menghitung Prr dengan menggunakan besaran rms tersebut di atas berbentuk mirip dengan persamaan untuk menghitung daya sesaat pada sinyal searah, yaitu :

2)(1

)( tvR

tp

Oleh karena itulah maka nilai rms juga disebut nilai efektif karena ia menentukan daya rata-rata yang diberikan kepada resistor, setara dengan daya sesaat yang diberikan oleh sinyal searah v(t) = Vas.

8

Spektrum Sinyal

Bentuk Gelombang Periodik dan Komponennya. Di samping sebagai fungsi waktu, suatu sinyal juga dapat dinyatakan sebagai suatu spektrum, yang menunjukkan perilaku sinyal sebagai fungsi frekuensi. Jadi suatu sinyal dapat dipelajari di kawasan waktu dengan memandangnya sebagai bentuk gelombang, atau di kawasan frekuensi dengan memandangnya sebagai suatu spektrum.

Suatu sinyal periodik dapat diuraikan menjadi jumlah dari beberapa komponen sinus, dengan amplitudo, sudut fasa, dan frekuensi yang berlainan. Dalam penguraian itu, sinyal akan terdiri dari komponen-komponen sinyal yang berupa komponen searah (nilai rata-rata dari sinyal), komponen sinus dengan frekuensi dasar f0 , dan komponen sinus dengan frekuensi harmonisa nf0 .

Frekuensi harmonisa adalah nilai frekuensi yang merupakan perkalian frekuensi dasar f0 dengan bilangan bulat n. Frekuensi f0 kita sebut sebagai frekuensi dasar karena frekuensi inilah yang menentukan perioda sinyal T0 = 1/f0. Frekuensi harmonisa dimulai dari harmonisa ke-dua (2fo), harmonisa ke-tiga (3f0), dan seterusnya yang secara umum kita katakan harmonisa ke-n mempunyai frekuensi nf0. Lebar Pita. Pada spektrum sinyal, frekuensi tertinggi merupakan frekuensi komponen harmonisa yang memiliki amplitudo paling rendah; di atas frekuensi ini komponen harmonisa dapat diabaikan. Sebagai contoh, batas frekuensi tertinggi tersebut dapat kita ambil frekuensi harmonisa yang amplitudonya tinggal (misalnya) 2% dari amplitudo sinus dasar.

9

Frekuensi terendah dalam satu spektum adalah frekuensi sinus dasar jika bentuk gelombang yang kita tinjau tidak mengandung komponen searah. Jika mengandung komponen searah maka frekuensi terendah adalah nol. Selisih dari frekuensi tertinggi dan terendah disebut lebar pita (band width).

Deret Fourier. Penguraian suatu sinyal periodik menjadi suatu spektrum sinyal tidak lain adalah pernyataan fungsi periodik kedalam deret Fourier. Jika f(t) adalah fungsi periodik yang memenuhi persyaratan Dirichlet, maka f(t) dapat dinyatakan sebagai deret Fourier:

)2sin()2cos()( 000 tnfbtnfaatf nn

Persyaratan Dirichlet tidak merupakan persoalan yang serius sebab kebanyakan bentuk-bentuk gelombang sinyal yang kita temui dalam analisis rangkaian listrik memenuhi persyaratan ini.

Dalam persamaan uraian f(t) di atas, a0 adalah komponen searah yang merupakan nilai rata-rata sinyal sedangkan suku kedua adalah komponen sinus yang merupakan penjumlahan dari fungsi sinus dan cosinus, masing-masing dengan koefisien Fourier an dan bn. Persamaan tersebut menunjukkan bahwa komponen sinus dari sinyal periodik ditentukan oleh apa yang berada dalam tanda kurung, yaitu

100

100

)sin()cos(

)sin()cos(

n n

nn

nnn

tna

btna

tnbtnaS

10

Jika nn

n

a

btan maka

10

22

100

)co s(

)sin (sin)co s(co sco s

nn

nnn

n

n

tnba

tntna

S

dan uraian sinyal menjadi

)cos()(1

022

0

nnnn tnbaatf

Bentuk persamaan ini lebih jelas memperlihatkan bahwa a0 adalah nilai rata-rata sinyal.

22nn ba adalah amplitudo-amplitudo sinyal sinus dan n adalah sudut fasanya.

Dengan demikian maka persamaan ini merupakan pernyataan matematis dari sinyal periodik secara umum. Nilai n tergantung dari tanda an dan bn.

11

Koefisien Fourier ditentukan melalui hubungan berikut.

2/

2/ 00

2/

2/ 00

2/

2/00

0

0

0

0

0

0

)2sin()(2

)2cos()(2

)(1

T

Tn

T

Tn

T

T

dttnftfT

b

dttnftfT

a

dttfT

a

Perhitungan koefisien Fourier dengan menggunakan formula ini dapat dilakukan jika sinyal periodik memiliki persamaan yang diketahui dan mudah di-integrasi. Jika sinyal tersebut sulit dicari persamaannya, misalnya sinyal diketahui dalam bentuk kurva (grafik), maka perhitungan dapat dilakukan dengan pendekatan numerik.

Koefisien Fourier Beberapa Bentuk Gelombang. Pada sinyal-sinyal periodik yang sering kita temui, banyak diantara koefisien-koefisien Fourier yang bernilai nol. Hal ini tergantung dari kesimetrisan sinyal f(t). Mengenai hal ini dapat dibaca pada buku Analisis Rangkaian Listrik Jilid-1. Beberapa koefisien Fourier dari bentuk-bentuk gelombang tersebut adalah sebagai berikut.

12

1 0 ; 2/

ganjil 0 genap; 1

/2

/

1

2

0

nbAb

nann

Aa

Aa

n

nn

Penyearahan Setengah Gelombang:

nb

nann

Aa

Aa

n

nn

semuauntuk 0

ganjil 0 genap; 1

/4

/2

2

0

Penyearahan Gelombang Penuh Sinyal Sinus:

genap 0 ganjil; 4

; semua 0

00

nbnn

Ab

na

a

nn

n

Sinyal Persegi:

semuauntuk 0

sin2

/

0

00

nb

T

Tn

n

Aa

TATa

n

n

Deretan Pulsa:

nb

nann

Aa

a

n

n

semuauntuk 0

genap 0 ganjil; )(

8

0

n2

0

Sinyal Segitiga:

nn

Ab

na

Aa

n

n

semuauntuk

semuauntuk 0

2/0

Sinyal Gigi Gergaji:

13

2. Soal, Solusi, dan Penjelasan

2.1. Hitung nilai rata-rata dan nilai efektif sinyal berikut. 5

-5

0 t (detik)

v[V]

perioda

1 2 3 4 5 6

Solusi:

Formulasi untuk nilai rata-rata adalah

Tt

trr dttv

TV

0

0

)(1

Formulasi untuk nilai efektif

Tt

t

rms dttvT

V0

0

2)]([1

Kita tahu bahwa integrasi suatu fungsi merupakan luas bidang yang dibatasi fungsi itu dengan sumbu horizontal. Karena amplitudo berupa tetapan, maka kita cukup menghitung integrasi sebagai luas bidang.

0)2525(6

1rrV V 4)100(

6

12525

6

1 22 rmsVdan

14

2.2. Hitung nilai rata-rata dan nilai efektif sinyal berikut.

5

-3

0 t (detik)

v[V]

perioda

1 2 3 4 5 6

Solusi:3/2)2325(

6

1rrV

V 37,3)68(6

12325

6

1 22 rmsV

15

2.3. Hitung nilai rata-rata dan nilai efektif sinyal berikut

5

-5

0 t (detik)

v[V]

perioda

1 2 3 4 5 6

0556

1)(

15

3

2

0

0

0

tdttdtdttv

TV

Tt

trrSolusi: Tidak perlu kita hitung integrasinya karena

kita tahu bahwa jumlah luas kedua bagian dari sinyal saling meniadakan

Jika [v(t)]2 kita gambarkan kita peroleh:

25

0 t (detik)

v[V]

1 2 3 4 5 6

perioda

V 7,4)08(18

50

18

50

6

50]5[

2

2

0

3

2

0

22

0

2

t

dttdttT

Vrms

16

2.4. Hitung nilai rata-rata dan nilai efektif sinyal berikut.

-5

0 t (detik)

v[V]

perioda

5

1 2 3 4 5

Solusi: Gambar ini hanya memperlihatkan 1½ perioda. Tanpa dihitung, kita tahu bahwa nilai rata-rata adalah nol karena fungsi ini simetris terhadap sumbu t.

V 36,218

100

18

100

6

100]5[

6

4)]([

1

1

0

3

1

0

21

0

220

0

t

dttdttdttvT

V

Tt

t

rms

Jika kita gambarkan kurva [v(t)]2

kita peroleh

0 t (detik)

v[V]

perioda

25

1 2 3 4 5

17

2.5. a). Gambarkan bentuk gelombang deretan pulsa tegangan beramplitudo 10 V, lebar pulsa 20 ms, perioda 50 ms. b). Hitung nilai rata-rata dan nilai efektif sinyal.

a).

Solusi:

10

0 t (ms)

v[V]

perioda

20 50

b). V 4 1050

110

50

1)(

1 200

20

0

0

0

tdtdxxv

TV

Tt

trr

V 32,6210050

1

1050

1)]([

1

200

20

0

20

0

220

0

tdt

dtdttvT

V

Tt

t

rms

18

2.6. a). Gambarkan sinyal tegangan gigi gergaji ber-amplitudo 10 V dengan perioda 0,5 s. b). Hitung nilai rata-rata dan nilai efektif sinyal.

10

0 t (detik)

v[V]

perioda

0,5 1 1,5

Solusi:a).

b). Laju perubahan sinyal adalah V/det 205,0/10 a

V 5)025,0(20 2

20

5,0

120

5,0

1 5,0

0

25,0

0

ttdtVrr

V 77,50125,05,1

400

3

1

5,0

400

5,0

400]20[

5,0

1

5,0

0

3

5,0

0

25,0

0

2

t

dttdttVrms

19

2.7. Untuk menggerakkan sebuah bandul diperlukan pulsa arus 50 mA dengan lebar pulsa 3 ms, yang harus diberikan setiap detik. Jika pulsa arus itu diambil dari batere berkapasitas 0,5 Ah, berapa lamakah batere akan bertahan ?

50

0t (ms)

i[mA]

perioda

3 1000//

Solusi:

Arus pada setiap pulsa C/det 1050mA 50 3i

Lebar pulsa 3 ms, jadi muatan per pulsa (yang berarti juga per detik):

As 101501031050 -633 tiq

Muatan tersedia di batere: As 36000,5Ah 5.0 Q

Muatan ini dapat mencatu jumlah pulsa: pulsa 101210150

36005,0 66

Jadi batere bertahan tidak lebih dari

hari. 138atau jam, 3333detik 1012 6

20

2.8. Gambarkan spektrum amplitudo dan sudut fasa dari gelombang tegangan berikut.

V 80002sin2,0 40002cos220002sin54 a). tttv

V 8000cos2 20002sin2-)6010002cos(3 b). o tttv

Solusi:a). Pernyataan sinyal dalam fungsi cosinus adalah:

)9080002cos(2,040002cos2)9020002cos(54

80002sin2,0 40002cos220002sin54oo

ttt

tttv

Tabel amplitudo dan sudut fasa: Frekuensi 0 f1 2f1 4f1

Amplitudo [V] 4 5 -2 0,2Sudut fasa [o] 90 0 90

Spektrum amplitudo:

Frek: 0 f1 f2 f3 f4

V

Spektrum sudut fasa:

Frek: 0 f1 f2 f3 f4

][o90 90

21

ttt

tttv

8000cos2)9020002cos(2)6010002cos(3

8000cos2 20002sin2 )6010002cos(3 b).oo

o

Frekuensi 0 f1 2f1 4f1

Amplitudo [V] 0 3 -2 1

Sudut fasa [o] 60 90 0

Gambarkan sendiri spektrum amplitudo dan spektrum sudut fasa.

TutorialPernyataan Sinyal dan Spektrum Sinyal

Sudaryatno Sudirham

22