Selamat Datang Dalam Tutorial Ini

1

Petunjuk

Dalam mengikuti tutorial jarak jauh ini, pertanyakanlah apakah yang disampaikan pada setiap langkah

presenmtasi telah sesuai dengan pendapat anda sendiri. Mungkin saja anda berpendapat lain;

diskusikanlah dengan teman karena layanan tutorial ini belum dapat disajikan secara interaktif.

2

Tutorial kali ini tentang“Analisis Rangkaian Listrik di Kawasan

Waktu”

disajikan olehSudaryatno Sudirham

melaluiwww.darpublic.com

3

Modul 2Model Sinyal

4

1. Teori Singkat

5

Sinyal dan Referensi Sinyal

Referensi sinyal sangat perlu kita perhatikan karena kesesuaian antara hasil perhitungan dengan keadaan sesungguhnya ditentukan oleh penetapan

referensi. Dalam menentukan referensi tegangan dan arus kita mengikuti konvensi pasif yaitu

arah arus digambarkan masuk ke elemen pada titik yang bertanda “+”.

Dengan konvensi ini maka jika daya positif berarti elemen menyerap daya; daya negatif berarti mengeluarkan daya.

tegangan diukur antara dua titik

arus melalui piranti

+ piranti

6

i2

i3

A B

G

2

3

+ v2 -

1i1

+ v1

-

+ v3

-

referensi tegangan umum (ground)

referensi arus

referensi tegangan piranti

Selain referensi arus dan tegangan pada elemen, untuk menyatakan besar tegangan di berbagai titik pada suatu rangkaian kita menetapkan titik referensi

umum yang kita namakan titik pentanahan atau titik nol atau ground. Perhatikan penjelasan pada gambar di samping ini. Tegangan di berbagai titik

dalam rangkaian, dinyatakan sebagai beda tegangan terhadap titik nol ini.

Model Sinyal

7

Bentuk gelombang sinyal dikelompokkan dalam dua kelompok, yaitu:

bentuk gelombang dasar yang meliputi bentuk gelombang anak tangga,

gelombang sinus, gelombang eksponensial.

bentuk gelombang komposit, yaitu bentuk gelombang yang tersusun dari beberapa bentuk gelombang dasar.

Contoh: bentuk gelombang sinus teredam, gelombang persegi, deretan pulsa, gigi gergaji, segi tiga.

8

Persamaan bentuk gelombang anak tangga secara umum adalah

s

ss

TtA

TtvTtAuv

untuk

untuk 0)(

Secara matematis, faktor u(t) maupun menunjukkan domain dari fungsi-fungsi yang dikalikan dengannya.

)( sTtu

Fungsi anak tangga ini beramplitudo A dan tergeser sebesar Ts

Bentuk Gelombang Dasar

Bentuk Gelombang Anak-Tangga. Untuk memodelkan bentuk gelombang anak tangga kita gunakan fungsi anak-tangga satuan atau fungsi step. Fungsi ini didefinisikan sebagai:

0untuk 1

0untuk 0)(

t

ttu Fungsi anak tangga satuan ini beramplitudo 1

u(t)

t

1

u(t)

t

A

Ts

9

Bentuk Gelombang Eksponensial. Bentuk gelombang exponensial merupakan bentuk gelombang anak-tangga yang amplitudonya menurun secara eksponensial menuju nol. Persamaan bentuk gelombang ini adalah:

)( / tuAev t

A : amplitudo, : konstanta waktu (dalam detik).

u(t)

t

A

Makin besar makin lambat amplitudo menurun dan makin kecil makin cepat amplitudo menurun.

u(t) adalah fungsi anak tangga satuan sebagaimana didefinisikan, yang membuat bentuk gelombang ini muncul pada t = 0.

Pada t = 5 sinyal mencapai 0,007A, kurang dari 1% dari A. Oleh karena itu didefinisikan bahwa durasi (lama berlangsung) suatu sinyal eksponensial

adalah 5.

10

Bentuk Gelombang Sinus. Sinus merupakan pengulangan tanpa henti dari suatu osilasi dengan amplitudo tertentu. Jika A adalah amplitudo, To adalah perioda, maka persamaan bentuk gelombang sinus yang dinyatakan menggunakan fungsi cosinus secara umum adalah:

]/)(2cos[ oTTtAv s v(t)

t

A

Ts

Ts menandai posisi puncak yang pertama kali terjadi

Frekuensi siklus: 00 /1 Tf dengan satuan [siklus/detik] atau hertz [Hz].

Sudut fasa: ss TfT

T0

022

]2cos[

]22cos[)](2cos[

0

000

tfA

TftfATtfAv ss

Frekuensi sudut :0

002

2T

f

dengan satuan radian per detik [rad/det]

Bentuk Gelombang Komposit

11

Bentuk gelombang komposit diperoleh melalui penggabungan bentuk-bentuk gelombang dasar.

Penggabungan bisa dilakukan dengan penjumlahan ataupun perkalian.

Pulsa. Sinyal pulsa dimodelkan sebagai jumlah dari dua bentuk gelombang anak tangga yang memiliki pergeseran waktu berbeda, dan amplitudo berlawanan tanda. Secara umum sinyal pulsa dituliskan sebagai:

)()( )()( 2121 TtuTtuATtAuTtAuv

Dapat dipandang sebagai satu pulsa-beramplitudo-1 dengan lebar pulsa

(T2 T2), yang secara matematis memiliki domain tertutup.

A : amplitudo pulsa

0 T1 T2 t

1

v

12

Fungsi Ramp. Jika kita melakukan integrasi pada fungsi anak tangga satuan, kita akan mendapatkan fungsi ramp satuan yaitu

)()()( ttudxxutrt

Ramp satuan bernilai nol untuk t < 0 dan sama dengan t untuk t > 0

Secara umum sinyal berbentuk ramp dinyatakan dengan :

)()()( ss TtuTtKtr

r(t)

t

Kemiringan fungsi ramp

13

2.1. Gambarkan dan tentukan persamaan bentuk gelombang sinyal anak tangga berikut ini :a) v1: amplitudo 5 V, muncul pada t = 0.b) v2: amplitudo 10 V, muncul pada t = 1s.c) v3: amplitudo 5 V, muncul pada t = 2s.

Solusi:

a).Persamaan bentuk gelombang ini: V )(51 tuv

b). Persamaan bentuk sinyal ini adalah: V )1(102 tuv

0 1 2 3 detik

10

V

V )1(10 tuv

c). Persamaan sinyal ini adalah: ……………………(cari sendiri)

2. Soal, Solusi, dan Pejelasan

14

)1(10)(5214 tutuvvv

)2(5)(5315 tutuvvv

)2(5)1(10 6 tutuv

2.2. Dari sinyal-sinyal di soal-3.1, gambarkanlah bentuk gelombang sinyal berikut ini.

b).

c).

a).

Solusi:

Sinyal ini terdiri dari dua komponen: komponen-1 beramplitudo 5 V muncul pada t = 0, komponen-2 beramplitudo 10 V yang muncul pada t = 1. Jumlah dari keduanya digambarkan sebagai berikut:

)1(10)(5 a). 214 tutuvvv

0 1 2 3 detik

V )1(10)(5 tutuv15

5

V

Perhatikan bahwa mulai t = 1 amplitudo menjadi 5 + 10 = 15 V

)2(5)(5 b). 315 tutuvvv

0 2 detik

5

V

c). ………………………

15

2.3. Gambarkanlah bentuk gelombang sinyal yang diperoleh dengan cara mengintegrasi bentuk gelombang berikut:

V )(5 a). 1 tuv V )1(10 b). 2 tuv V )2(5 c). 3 tuv

Solusi: V )(5 a). 1 tuv , sinyal ini mempunyai nilai untuk t 0. Integrasinya adalah

)(55)(

0

ttudttuvt

Hasil integrasi berupa ramp yang muncul pada t = 0 dengan laju 5V/det

0 1 detik

5

V

V )1(10 b). 2 tuv , sinyal ini mempunyai nilai untuk t 1. Integrasinya

)1()1(1010)1(1

tutdttuvt

Hasil integrasi berupa ramp dengan laju 10 V/det, muncul pada t = 1

0 1 2 detik

10

V

c). …………….

16

2.4. Gambarkanlah bentuk gelombang sinyal yang diperoleh dengan cara mengintegrasi bentuk gelombang sinyal berikut

)1(10)(5 a). 214 tutuvvv

)2(5)(5 b). 315 tutuvvv

)2(5)1(10 c). 6 tutuv

)1(10)(5 a). 214 tutuvvv

)1()1(10)(510)1(5)(*10

4 tutttudttudttuvtt

Gambar v4 beserta komponen-komponennya (yaitu v1 dan v1) adalah sebagai berikut

1 0

)(51 tuv

)1( 102 tuvv

)1(10)(54 tuttuv

t

Perhatikan bahwa laju kenaikan v4 adalah 5V/detik dalam selang waktu 0 1 meningkat menjadi 15 V/det pada t > 1

b). ………………….c). ………………….

Solusi:

17

3.5. Gambarkan dan tentukan persamaan bentuk gelombang pulsa tegangan berikut ini :a). Amplitudo 5 V, lebar pulsa 1 s, muncul pada t = 0.b). Amplitudo 10 V, lebar pulsa 2 s, muncul pada t = 1s.c). Amplitudo 5 V, lebar pulsa 3 s, muncul pada t = 2 s.

Solusi:

0 1 detik

5

V

a).

Pulsa beramplitudo 5 V, muncul pada t = 0 dengan lebar 1 s, dapat dipandang sebagai sinyal anak tangga beramplitudo 5 yang muncul pada t = 0 ditambah sinyal anak tangga beramplitudo 5 yang muncul pada t = 1. Persamaannya adalah:

V )1()(5 )1(5)(51 tutututuv

Perhatikan: Amplitudo pulsapulsa-beramplitudo-1 yang muncul pada t = 0 dan hilang pada t = 1

Secara umum, persamaan pulsa-beramplitudo-1 yang muncul pada t1 dan hilang pada t2 adalah: )()( 2121 ttuttup tt

lebar pulsa = t2 – t1

Semua bentuk sinyal, jika dikalikan dengan pulsa ini akan mempunyai nilai hanya dalam selang waktu (t2 – t1)

18

b).

0 1 3 detik

10

V

Persamaan pulsa ini dapat kita tulis sebagai sinyal konstan 10 dikalikan pulsa-beramplitudo-1

)3()1(21 tutup tt

Jadi persamaan pulsa ini adalah

V )3()1(10 tutuv

c). …………………..

19

2.6. Gambarkan dan tentukan persamaan bentuk gelombang sinyal eksponensial yang muncul pada t = 0 dan konstanta waktu , berikut ini: a). va = amplitudo 5 V, = 20 ms.b). vb = amplitudo 10 V, = 20 ms.c). vc = amplitudo 5 V, = 40 ms.Solusi:

b). Sinyal eksponensial mempunyai durasi 5; jika amplitudonya A maka nilainya sudah menurun sampai 0,37A pada t = . Sinyal eksponensial dengan A = 10 V, = 20 ms dapat kita gambarkan:

0 20 30 40 50 60 70 80 90 100 ms detik

3,7

10 V

Persamaannya adalah: 20/10 ta ev

c). ………………..

a). ………………..

20

2.7. Gambarkanlah bentuk gelombang sinyal berikut.40/20/ 55 a). tt

d eev 30/20/ 1010 b). tte eev

Solusi: 40/20/ 55 a). tt

d eev

0 20 30 40 50 60 70 80 90 100 ms detik

1,85

5

V

40/5 te

dv

5

20/5 te

b). ………….

21

2.8. Tentukan persamaan bentuk gelombang sinyal sinus berikut ini :a). Amplitudo 10 V, puncak pertama terjadi pada t = 0, frekuensi 10 Hz.b). Amplitudo 10 V, puncak pertama pada t = 10 ms, frekuensi 10 Hz.c). Amplitudo 10 V, pergeseran sudut fasa 0o, frekuensi 10 rad/detik.d). Amplitudo 10 V, pergeseran sudut fasa +30o, frekuensi 10 rad/detik.

Solusi: a). Persamaan umum sinyal sinus dengan menggunakan fungsi cosinus, dengan puncak pertama terjadi pada t = Ts, adalah )](2cos[ 0 sTtfAv

Untuk sinyal sinus dengan amplitudo 10 V, puncak pertama terjadi pada t = 0, frekuensi 10 Hz, persamaan sinyal adalah: ] 20cos[10 )]0( 10 2cos[10 ttv

b). …………….

c). Persamaan umum sinyal sinus dengan menggunakan frekuensi sudut adalah

)]cos[)](cos[ 00 tATtAv s

Untuk sinyal sinus dengan amplitudo 10 V, pergeseran sudut fasa 0o, frekuensi 10 rad/detik, persamaannya adalah ]10cos[10)]010cos[10 ttv

d). ………………..

22

2.9. Gambarkanlah bentuk gelombang komposit berikut.

V )( ) 10sin(1 10 d).

V; )( ) 10sin(510 c).

V )( 510 b).

V; )( 1 10 a).

4

3

1002

1001

tutev

tutv

tuev

tuev

t

t

t

Solusi:

a). Persamaan sinyal ini dapat ditulis

V )(10)(10)( 1 10 1001001 tuetutuev tt

10

V

)(10)(10 1001 tuetuv t

)(10 tu

)(10 100 tue t

b). ………………….. c). ………………….. d). ………………….

23

2.10. Tentukan persamaan siklus pertama dari bentuk gelombang periodik yang digambarkan berikut ini.

5

-5

0 t (detik)

v[V]

perioda

1 2 3 4 5 6

Solusi:

Bentuk sinyal ini dapat kita pandang sebagai dua pulsa, masing-masing beramplitudo 5 dan 5. Persamaannya:

)5(5)3(5)2()(5 tutututuv

Pernyataan ini sebenarnya tidak jelas menampakkan berapa perioda sinyal. Perioda terlihat dari gambar yang diberikan.

24

2.11. Tentukan persamaan siklus pertama dari bentuk gelombang periodik yang digambarkan berikut ini.

5

-3

0 t (detik)

v[V]

perioda

1 2 3 4 5 6

Solusi: Sinyal ini mirip dengan soal sebelumnya dengan perbedaan pada pulsa yang ke-dua. Persamaan:

V )5()3(3)2()(5 tutututuv

25

3.12. Tentukan persamaan siklus pertama dari bentuk gelombang periodik yang digambarkan berikut ini.

5

-3

0 t (detik)

v[V]

perioda

1 2 3 4 5

Solusi:

)6()3(3)3()(5 tutututuv

Bentuk gelombang ini dapat kita pandang sebagai dua pulsa, karena fungsi pulsa-beramplitudo-1 memiliki domain tertutup.

26

2.13. Tentukan persamaan siklus pertama dari bentuk gelombang periodik yang digambarkan berikut ini.

5

-5

0 t (detik)

v[V]

perioda

1 2 3 4 5 6

Solusi: Sinyal ini terdiri dari dua fungsi ramp. Ramp r1 adalah ramp positif dalam selang waktu 0 2 detik, dan r2 adalah ramp negatif tergeser dalam selang waktu 3 5 detik. Masing-masing fungsi ramp dapat kita pandang sebagai fungsi linier dikalikan dengan pulsa. Persamaan sinyal ini menjadi:

)5()3()3(5)2()(521 tututtututrrv

Perhatikan bahwa 5t bukanlah fungsi ramp, melainkan fungsi linier. Ia akan menjadi fungssi ramp jika dikalikan dengan u(t). Lihat gambar berikut:

27

t

v

5t

t

v

5tu(t)

Fungsi linier Ramp

Fungsi linier yang tergeser dengan mudah dapat kita turunkan seperti halnya pergeseran fungsi ramp. Fungsi linier yang tergeser sejauh t1 ke arah positif menjadi . Perhatikan bahwa fungsi ini tetap merupakan fungsi linier dan bukan ramp.

tv 5)(5 11 ttv

Fungsi linier tergeser ini menjadi ramp tergeser jika dikalikan dengan fungsi anak tangga satuan yang tergeser.

t

v

t1

)(5 11 ttv

t t1

v )()(5 111 ttuttv

Fungsi linier tergeser Ramp tergeser

Pengertian-pengertian ini akan kita gunakan untuk memecahkan soal berikut.

28

2.14. Tentukan persamaan siklus pertama dari bentuk gelombang periodik yang digambarkan berikut ini.

-5

0 t (detik)

v[V]

perioda

5

1 2 3 4 5

Solusi: Sinyal ini dapat dipandang terdiri dari 3 bagian yaitu: ramp dengan kemiringan 5V/det dalam selang 0 1 detik; fungsi linier tergeser dengan kemiringan –5V/det dalam selang 1 3 detik; ramp dengan kemiringan 5V/det dalam selang 3 4 detik. Persamaan mereka masing-masing adalah:

Ramp antara 0 1 detik: V )1()(51 tututr

Fungsi linier antara 1 3 detik: V )3()1(51 tututl

Ramp antara 3 4 detik: V )5()3(52 tututr

Jadi persamaan sinyal adalah:

)4()3(5 )3()1(5)1()(5 211

tututtututtutut

rlrv

TutorialModel Sinyal

Sudaryatno Sudirham

29