sawang

LEMBAGA KAJIAN PENGEMBANGAN PENDIDIKAN (LKPP)

LAPORAN MODUL PEMBELAJARAN BERBASIS SCL

Judul:

PENINGKATAN KUALITAS DAN KUANTITAS TINGKAT KELULUSAN MAHASISWA DENGAN MODEL PEMBELAJARAN

PROBLEM SOLVING-LEARNING (PSL) MATA KULIAH MEKANIKA

Oleh:

Drs. Bansawang BJ, M.Si

Dibiayai oleh Dana DIPA Universitas Hasanuddin

sesuai dengan Surat Perjanjian Pelaksanaan Pekerjaan

Nomor: 469/H4.23/PM.05/2008 Tanggal 04 Pebruari 2008

JURUSAN FISIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS HASANUDDIN PEBRUARI, 2008

ii

LEMBAGA KAJIAN DAN PENGEMBANGAN PENDIDIKAN

Lantai Dasar Gedung Perpustakaan Universitas Hasanuddin

HALAMAN PENGESAHAN

LAPORAN MODUL PEMBELAJARAN

PROGRAM TRANSFORMASI DARI TEACHING KE LEARNING UNIVERSITAS HASANUDDIN 2008

Judul : Peningkatan Kualitas dan Kuantitas Tingkat Kelulusan

Mahasiswa Dengan Model Pembelajaran Problem

Solving Learning (PSL) Mata Kuliah Mekanika

Nama lengkap : Drs. Bansawang BJ, M.Si

NIP : 132 126 374

Pangkat/Golongan : Penata Tk.I / IIId

Jurusan : Fisika

Fakultas /Universitas : MIPA Universitas Hasanuddin

Jangka waktu kegiatan : 1 (satu) bulan

Mulai 04 Januari – 04 Pebruari 2008

Biaya yang diajukan : Rp 4.000.000,00 (Empat juta rupiah),-

Dibiayai oleh Dana DIPA Universitas Hasanuddin sesuai

dengan Surat Perjanjian Pelaksanaan Pekerjaan

Nomor : 469/H4.23/PM.05/2008

Tanggal : 04 Pebruari 2008

Makassar, 04 Pebruari 2008 Mengetahui: a.n Dekan Fakultas MIPA UNHAS Pembuat Modul, Pembantu Dekan I Drs. H. Hasyim Bariun, MS Drs. Bansawang BJ, M.Si Nip. 130 878 519 Nip. 132 126 374

iii

KATA PENGANTAR

Puji syukur kami panjatkan kehadirat Allah SWT atas limpahan rahmat, karunia

dan hidayah-Nya sehingga laporan Modul Pembelajaran Program Transformasi Dari

Teaching ke Learning ini kami dapat selesaikan. Modul berbasis Student Centered

Learning (SCL) ini untuk matakuliah Mekanika diberi judul: Peningkatan Kualitas dan

Kuantitas Tingkat Kelulusan Mahasiswa Dengan Model Pembelajaran Problem

Solving Learning (PSL) Mata Kuliah Mekanika

Isi materi modul ini terdapat dua bagian yakni model pembelajaran sistem SCL dan

materi bahan ajar yang disusun berdasarkan GBBP dan SAP matakuliah Mekanika pada

Jurusan Fisika FMIPA UNHAS.

Akhirnya ucapan terima kasih kepada Ketua UPT-MKU Unhas yang telah

merekomendasikan kami untuk ikut pelatihan SCL dan para pemateri selama pelatihan

yang telah banyak memberi pemahaman tentang metode SCL serta Reviewer yang telah

meluangkan waktunya mengoreksi laporan Modul ini. Dan yang lebih penting kami

ucapkan terima kasih kepada Ketua dan Sekretaris Lembaga Kajian dan Pengembangan

Pendidikan Universitas Hasanuddin (LKPP-Unhas) yang telah memberi kami kesempatan

mengikuti pelatihan dan membiayai pembuatan Modul SCL ini melalui Dana DIPA

Universitas Hasanuddin sesuai dengan Surat Perjanjian Pelaksanaan Pekerjaan Nomor :

469/H4.23/PM.05/2008 Tanggal 04 Pebruari 2008. Demikian pula ucapan terima kasih

kepada Dekan FMIPA dan Ketua Jurusan Fisika sebagai fasilitator untuk kelancaran

pembuatan Modul SCL ini. Semoga modul ini dapat bermanfaat bagi mahasiswa yang

mengambil matakuliah Mekanika serta pembaca yang berminat mempelajari mekanika.

. Dapat dipastikan bahwa isi modul ini masih banyak kekurangannya baik dari segi

materi yang tidak termuat dalam modul ini karena didasarkan pada GBPP maupun

kesalahan-kesalahan teks dan bahkan kesalahan konsep. Oleh karena itu diharapakan

kepada pembaca atas kritik dan sarannya sehingga nantinya dapat dijadikan acuan untuk

memperbaiki isi modul ini.

Makassar, Pebruari 2008

iv

MODUL MATERI

PEMBELAJARAN BERBASIS SCL

Matakuliah : MEKANIKA

BAB I DINAMIKA PARTIKEL DALAM SATU DIMENSI

Oleh:

Drs.Bansawang BJ, M.Si

PROGRAM STUDI FISIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS HASANUDDIN

Makassar Pebruari 2008

v

PETA KEDUDUKAN MODUL

vi

DAFTAR ISI

Modul I

Judul : Dinamika Partikel Dalam Satu Dimensi

BAB I. PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

B. Ruang Lingkup Isi

C. Kaitan Modul

D. Sasaran Pembelajaran Modul

BAB II. PEMBELAJARAN

A. Modul Pegangan Tutor

B. Modul Pegangan Mahasiswa BAB III. PENUTUP

DAFTAR PUSTAKA

vii

RINGKASAN DINAMIKA PARTIKEL DALAM SATU DIMENSI

I.1 Pengantar

Dalam mekanika jika kita hanya menggambarkan gerak suatu benda, maka kita

membatasi diri pada kinematika yaitu dengan pertanyaan dimana (posisi) dan kapan

(waktu); sedangkan jika kita ingin menghubungkan gerak suatu benda terhadap gaya-gaya

penyebabnya dan juga sifat/karakteristik benda yang bergerak tersebut, maka kita

menghadapi permasalahan dinamika. Jadi kinematika zarrah artinya penggambaran gerak

suatu zarrah tanpa menghubungkan dengan gaya penyebabnya, sedangkan dinamika adalah

penggambaran gerak benda dengan mengaitkannya dengan gaya-gaya penyebabnya.

I.2 Dinamika Sistem Banyak Titik Materi

Pada uraian yang lalu telah di bahas mengenai dinamika partikel titik materi, maka

sekarang akan diperluas ke system banyak materi. Dalam rangka perluasan tersebut, maka

harus dibedakan antara gaya luar yang bekerja pada system partikel-partikel dengan gaya

internal yang berasal dari proses interaksi antara partikel ke k dengan yang lainnya. Jika

kedua macam gaya itu bekerja, maka hukum kedua Newton berbentuk:

∑≠

+==kj

ikj

ekkk FFpF )()(

rrv&

r (I.2.1)

di mana suku pertama pada ruas kanan melambangkan gaya luar (gaya eksternal) dan suku

kedua sebagai gaya internal yang berhubungan dengan interaksi partikel ke j dengan ke k.

I.3 Gerak Dengan Gaya Konstan

Secara umum aksi gaya pada sebuah partikel dapat bergantung pada posisi,

kecepatan dan waktu. Persamaan geraknya adalah:

( )trrFrm ,, &rr

&& = (I.3.1)

Persamaan ini adalah sebuah persamaan diferensial orde dua dalam koordina ruang dan

setelah diintegrasi dua kali akan diperoleh lintasan partikel. Bila persamaan (I.3.1)

diintegrasi terhadap waktu, akan diperoleh:

viii

∫∫ =t

t

t

t

dtFdtrm00

&&

atau

∫=−t

t

dtFvrm0

)( 0& (I.3.2)

I.4 Gaya Bergantung Pada Waktu: F=F(t)

Dalam kasus ini, gaya akan diberikan )(tFF = yang bergantung waktu secara

eksplisit, sehingga hokum Newton kedua dapat ditulis sebagai:

)(tFdtdvm = (I.4.1)

bila diintegrakan dengan mengasumsikan bahwa v=v0 pada t=t0, maka:

∫+=t

t

dttFm

vv0

)(10 (I.4.2)

I.5 Gaya Bergantung Pada Kecepatan: F=F(v)

Dalam banyak keadaan sehari-hari, sering ditinjau keadaan dimana dilakukan

penambahan pada gaya konstan dengan gaya yang fungsi dari kecepatan Dalam kasus ini,

persamaan waktu dapat dituliskan sebagai:

∫==)(

)(vF

dvmvtt

Dan posisi adalah:

∫==)(

)(vF

vdvmtxx (I.5.7)

I.6 Gaya Bergantung Pada Posisi: F=F(x) Ada beberapa keadaan dimana persamaan gerak obyek bergantung pada posisi,

misalnya gaya gravitasi, gaya Coulomb dan gaya elastic. kasus

ix

∫=−x

x

dxxFmvmv0

)(21

21 2

02 (I.6.1)

Dan bila ditinjau energi potensial dengan menamakan V(x) sebagai fungsi potensial,

maka:

∫−=−x

x

dxxFxVxV0

)()()( 0 (I.6.2)

Dengan melakukan penggabungan persamaan (I.6.3) dengan (I.6.4), diperoleh:

ExV

dtdxm

ataukonsExVTxVT

=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=+=+

)(21

tan)()()(2

00

(I.6.3)

Sebagai gambaran gerak partikel dapat diperoleh dengan menyelesaikan persamaan (I.6.3),

yaitu:

[ ]m

xVEdtdxv )(2 −

±=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= (I.6.4)

Integrasinya menghasilkan:

[ ]

∫−

±=−

)(20

xVEm

dxtt (I.6.5)

x

BAB I. PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Dalam mekanika jika kita hanya menggambarkan gerak suatu benda, maka kita

membatasi diri pada kinematika yaitu dengan pertanyaan dimana (posisi) dan kapan

(waktu); sedangkan jika kita ingin menghubungkan gerak suatu benda terhadap gaya-gaya

penyebabnya dan juga sifat/karakteristik benda yang bergerak tersebut, maka kita

menghadapi permasalahan dinamika.

Jadi kinematika zarrah artinya penggambaran gerak suatu zarrah tanpa

menghubungkan dengan gaya penyebabnya, sedangkan dinamika adalah penggambaran

gerak benda dengan mengaitkannya dengan gaya-gaya penyebabnya. Dalam hal ini gaya

sebagai penyebab gerak beragam jenisnya yakni ada gaya konstan, bergantung waktu,

bergantung posisi dan bergantung pada kecepatan.


Dalam modul ini anda akan mempelajari konsep hukum Newton yang menjelaskan

gerak sebuah benda, baik ditinjau sebagai sistem titik materi maupn sebagai sistem banyak

titik materi yang didalamnya memuat defenisi kecepatan dan percepatan, Pengantar

hukum-hukum Newton tentang gerak, Dinamika Sistem Banyak Titik materi, Aplikasi

gaya konstan, Gaya bergantung waktu, Gaya bergantung kecepatan, Gaya konservatif dan

energi potensial. Contoh-contoh penerapannya diambil dalam kehidupan sehari-hari.

C. Kaitan Modul

Modul ini merupakan modul pertama yang disajikan tiga Minggu (6 kali

pertemuan). Setelah mahasiswa mempelajari ( memahami ) Fisika Dasar ( Dinamika

Partikel ) dan sebelum mahasiswa mempelajari Modul ke dua Dinamika Partikel Dalam

Dua dan Tiga Dimensi


Setelah mempelajari modul ini, mahasiswa diharapkan dapat:

1. Menjelaskan Hukum-hukum Newton dalam koordinat Cartesian satu dimensi

untuk sistem titik materi dan sistem banyak titik materi.

2. Menjelaskan dinamika partikel oleh gaya konstan, gaya bergantung waktu, posisi

dan kecepatan

3. Menentukan gaya konservatif dan merumuskan energi potensial

xi

BAB II. MODUL PROSES PEMBELAJARAN SCL

A. Modul Pegangan Tutor a. Kompetensi yang akan dicapai adalah:

Dapat menyelesaikan soal dengan benar yang memuat gerak sistem dalam satu

dimensi untuk macam-macam aplikasi gaya yang bergantung pada waktu, posisi

dan kecepatan.

Skenario

Matakuliah : Mekanika

Pendekatan SCL : Collaborative Learning (Problem Solving Learning)

Project : Membuat makalah dan menyelesaikan soal-soal latihan

pada Modul Pembelajaran

b. Kegiatan Mahasiswa:

Langkah-langkah kegiatan yang akan dilakuan mahasiswa selama dalam proses

pembelajaran berbasis SCL.

1. Mahasiswa mengikuti kuliah pengantar dari dosen pakar.

2. Mahasiswa didampingi oleh dosen membentuk kelompok-kelompok kecil (5-

7 mahasiswa), yang dipimpin oleh seorang ketua dan seorang sekretaris.

3. Melakukan aktivitas pembelajaran mandiri dari sumber-sumber belajar

(Bahan Ajar, Jurnal, Referensi, dll.), baik yang sudah disiapkan oleh dosen

maupun sumber-sumber lainnya.

4. Melakukan diskusi kelompok mandiri (tanpa tutor), melakukan curah

pendapat bebas (brainstorming) antar anggota dalam membahas penyelesaian

soal.

5. Berkonsultasi kepada narasumber yang ahli pada permasalahan-permasalahan

yang ditemukan untuk memperoleh pengertian yang benar dan mendalam.

6. Masing-masing kelompok menyerahkan laporan final penyelesaian soal

beserta agenda kegitan masing-masing anggota kelompoknya kepada dosen

pengampuh matakuliah dan mempresentasikan dalam panel diskusi.

7. Mengikuti kuliah khusus (kuliah pakar) untuk masalah yang belum jelas atau

belum ditemukan jawabannya dari sumber lainnya.

xii

c. Proses Pembelajaran

Agar dapat memahami materi pembelajaran dan menyelesaikan soal-soal latihan,

yang perlu dilakukan oleh setiap kelompok dalam pembelajaran SCL adalah:

1. Identifikasi semua istilah-istilah yang penting dan mencari artinya. Bila ada

yang belum jelas ditanyakan kepada narasumber.

2. Identifikasi semua persamaan-persamaan dan kegunaannya.

3. Uraikan langkah-langkah setiap persamaan ke persamaan berikutnya.

4. Identifikasi persamaan-persamaan yang digunakan dalam menyelesaikan

Soal-soal latihan

5. Buat penyelesaian soal-soal latihan.

d. Jadwal Kegiatan

Minggu ke

I - III Materi Aktivitas

Pertemuan ke-1

• Kontrak Perkuiahan • Dinamika Partikel Titik Materi dan Sistem

Partikel Banyak Titik Materi Kuliah/Ceramah

Pertemuan ke-2

Dinamika Partikel untuk gaya konstan, gaya bergantung waktu, posisi dan kecepatan

Kuliah/Ceramah

Pertemuan ke-3

Kerja kelompok (tanpa tutor)

Pertemuan ke-4

Makalah: Dinamika Partikel untuk Gaya Konstan dan Gaya Bergantung Waktu

Presentasi Kelompok/diskusi

Pertemuan ke-5

Makalah: Dinamika Partikel untuk Gaya Bergantung Posisi dan Kecepatan


xiii

Pertemuan ke-6

Pembahasan Soal-soal Latihan Diskusi

e. Strategi Pembelajaran

1. Diskusi kelompok difasilitasi oleh tutor 2. Diskusi kelompok tanpa tutor 3. Konsultasi pada pakar 4. Kuliah khusus dalam kelas. 5. Aktivitas pembelajaran individual menggunakan sumber-sumber belajar lainnya.

f. Bahan bacaan dan Sumber Informasi Lainnya.

1. Referensi/Buku Ajar/Jurnal 2. Diktat/Hand-Out 3. Nara sumber (Dosen Pengampuh). 4. Petunjuk Untuk Tutor

h. Lembar Penilaian

No. NIM Nilai/Bobot

Deskripsi Kinerja Keterangan

Membuat tulisan yang memuat aplikasi hukum Newton untuk gaya konstan, gaya bergantung pada waktu, posisi dan kecepatan.

1. Kelengapan isi yang inovatif, jelas, terurai dan kerjasama kelompok (12%)

2. Kelengapan isi yang inovatif, jelas namun kurang terurai (10%)

3. Kelengkapan isi lengkap, kurang jelas dan kurang terurai tidak ada kerjasama kelompok (8%)

4. Kelengkapan isi, kejelasan, keteruraian dan kerjasama kelompok sangat kurang (6%)

xiv

B. Modul Pegangan Mahasiswa

LEMBAR KERJA MAHASISWA

Nama :

Nim :

Klp :

Membuat tulisan yang memuat aplikasi hukum Newton untuk gaya konstan, gaya bergantung pada waktu, posisi dan kecepatan

BAB. III PENUTUP

Setelah menyelesaikan modul ini, anda berhak mengikuti tes evaluasi untuk

menguji kompetensi yang telah anda pelajari. Apabila anda telah mempelajari dan

memahami modul ini hingga dinyatakan memenuhi syarat kelulusan dari hasil evaluasi,

maka anda berhak untuk melanjutkan ke topik/ modul berikutnya.

Apabila anda telah menyelesaikan seluruh evaluasi dari setiap modul, maka hasil

yang berupa nilai dari fasilitator dapat dijadikan sebagai bahan rujukan sebagai penentu

standar kelulusan mata kuliah mekanika.

DAFTAR PUSTAKA

1. Arya, P.Atam, 1990, Introduction to Classical Mechanics, Prentice Hall,

Englewood Cliffs, New Jersey

2. Takwale, R.G and Puranik, P.S, 1983, Introduction to Classical Mechanics, Tata

McGraw-Hill Publising Company Ltd, New Delhi

3. Goldstein, Herbert, 1980, Classical Mechanics, 2nd Ed, Addison-Wesley Publishing

Company, Massachusetts

xv

MODUL MATERI



BAB II DINAMIKA PARTIKEL DALAM DUA DAN TIGA DIMENSI

Oleh:





xvi


xvii

DAFTAR ISI

Modul II

Judul : Dinamika Partikel Dalam Dua dan Tiga Dimensi

BAB I. PENDAHULUAN

A. Latar Belakang


C. Kaitan Modul





BAB III. PENUTUP

DAFTAR PUSTAKA

xviii

RINGKASAN DINAMIKA PARTIKEL DALAM DUA DAN TIGA DIMENSI

Dalam modul ini akan ditinjau kecepatan dan percepatan dalam system koordinat

selinder maupu koordinat bola. Untuk maksud tersebut, tinjua hubungan antara koordinat

Cartesian (x,y,z) dengan koordinat silinder ),,( zφρ ), yakni:

dan hubungan inversnya adalah:

( )

22

1

22

11

21

22

cossintanyx

yyx

xyxyx

+=

+==

+=

−−−φ

ρ

Vektor posisi rr dapat diperoleh dengan meninjau suatu posisi dalam koordinat

silinder adalah:

zzr ˆˆ += ρρr

Dengan mendiferensialkan vector posisi di atas, maka kita dapat menurunkan vektor

kecepatan, yaitu:

( )

zz

dtzdzz

dtdz

dtd

dd

dtd

zzdtd

dtrdv

ˆˆˆ

ˆˆˆˆ

ˆˆ

&&&

rr

++=

+++=

+==

φφρρρ

φφρρρρ

ρρ

dimana 0ˆ=

dtzd , sehingga:

zzv ˆˆˆ &&&r

++= φφρρρ

Selanjutnya dengan cara yang sama, percepatan dalam koordinat silinder dapat diperoleh

xix

( )

zz

zz

xzzzdtd

dd

dtd

dd

dtzdzzz

dtd

dd

zzdtd

dtrd

dtvda

)&&

)&&&&

)&&&

)&&

)&)&&

)&&

)&&

)&&

&)&&

)&

)&&

)&&

)&

)&&

)&

)&&

)&

)&&

)&&

)&

)&&

&&&rr

r

+++−=

+−+++=

++++++=

++++++=

++===

φφρφρρφρρ

ρφρφφρφφρφφρρρ

φφφφρφφρφφρφ

φρρρρ

φφρφφρφφρφρρρρ

φφρρρ

)2()(

0.

ˆˆˆ

2

2

2

2

Dengan demikian percepatan dalam system koordiant selinder adalah :

( ) ( ) zza ˆˆ2ˆ2 &&&&&&&&&r

+++−= φφρφρρφρρ

Selanjutnya kita tinjau sistem dalam koordinat bola ( )φθ ,,r . Penggunaan system

koordinat ini seringkali digunakan pada keadaan system simetri bola, seperti pada kasus

gaya Coulomb dan gaya gravitasi. Juga dapat diperlihatkan hubungan ketiga vektor satuan

ρ̂dan ˆ,ˆ,ˆ kji dalam koordinat Cartesian dengan vector satuan dalam koordiant bola, yakni:

θφθφθθθρ cossinsinˆcossinˆcosˆsinˆˆ kjizr ++=+=

θφθφθθθρθ cosˆsincosˆcoscosˆsinˆcosˆˆ kjiz −+=−=

φφφ cosˆsinˆˆ ji +−=

Selanjutnya kita dapat menyatakan kecepatan dan percepatan dalam sistem

koordinat bola, yakni:

( )[ ]

dtrdrrr

rrdtd

dtrdv

ˆˆ

,ˆ

+=

==

&

rr φθ

maka akan diperoleh kecepatan dalam system koordinat bola, sebagai berikut:

( )φθφθθ ˆsinˆˆ &&&r rrrrv ++=

xx

Hambatan Gaya Gesek Sebagai Fungsi Kecepatan

Kita asumsikan bahwa gesekan udara berubah linear dengan kecepatan. Karena

gesekan udara selalu merupakan dengan gerak benda, arah gaya gesekan berlawanan arah

dengan vr . Jadi persamaan yang menjelaskan gerak tersebut adalah:

vbgmdt

rdm rrr

−=2

2

dimana b adalah konstanta perbandingan untuk gaya gesek, dan

kzixr ˆˆ +=r

kzixv ˆˆ &&r

+=

kgg ˆ−=r

Persamaan-persamaan ini, dapat diintegralkan dengan metode penyelesaian kasus satu

dimensi. Jadi, asumsikan bahwa pada t = 0, ( ) ( )0,0, 00 =zx pada ( )000 , zxv &&= dan dengan

mengintegralkan didapatkan:

( )mbtxx −= exp0&&

( )mbtzb

mgb

mgz −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++−= exp0&&

dan diintegralkan lagi:

( )( )mbtbmxx −−= exp10&

( )( )mbtbzm

bgmt

bmgz −−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−= exp10

2

2 &

xxi

BAB I. PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Pada modul I yang lalu telah diuraikan tentang gerak titik materi maupun system

banyak titik materi, namun terbatas pada gerak satu dimensi. Pada hal dalam kehidupan

sehari-hari banyak dijumpai gerak benda dalam dua dan tiga dimensi dengan berbagai

macam system koordianat. Dalam hal ini, akan diturunkan gerak partikel tanpa

memperhatikan gaya yang menghasilkan gerak. Akan diturunkan posisi, kecepatan dan

percepatan sebuah partikel dalam dua dan tiga dimensi untuk system koordianat yang

berbeda. Misalkan posisi sebuah partikel di titik P dalam bidang XY dapat dinyatakan oleh

koordianat (x,y) atau dalam vector posisi r = (x,y), dimana r adalah jarak dari titik asal.


Dalam modul ini, akan ditinjau gerak sistem dalam dua dan tiga dimensi dalam

berbagai macam system koordianat. Dalam hal ini, akan diturunkan gerak partikel tanpa

memperhatikan gayanya dalam dua dan tiga dimensi dengan sistem koordianat yang

berbeda. Pokok-pokok bahasan yang akan dibahas adalah Kinematika dalam sistem

koordinat berbeda, Operator del dalam koordinat silinder dan bola, Dinamika dalam dua

dan tiga dimensi, Gerak Peluru dengan tanpa gesekan dan dengan gesekan udara

C. Kaitan Modul

Modul ini merupakan modul ke dua yang disajikan dua minggu ( 4 kali )

pertemuan setelah mahasiswa telah memahami Dinamika Partikel Dalam Satu Dimensi

dan sebelum mahasiswa mempelajari Modul ke tiga Gerak Dalam Medan Gaya Sentral.



1. Menurunkan kecepatan dan percepatan dalam koordinat Cartesian dalam dua dan

tiga dimensi, koordinat polar, selinder dan bola

2. Menurunkan operator del dalam selinder dan bola

3. Menentukan dan merumuskan energi potensial

4. Merumuskan dan menyelesaikan persamaan gerak peluru baik dengan maupun

tanpa gesekan udara

xxii

BAB II. MODUL PROSES PEMBELAJARAN SCL


a. Kompetensi yang akan dicapai adalah:

Dapat menjelaskan kecepatan dan percepatan dalam beberpa sistem koordinat yang

berbeda dan menyelesaikan soal dengan benar yang memuat gerak sistem dalam

dua dan tiga dimensi dengan mengambil contoh gerak osilator dan gerak peluru.

b. Skenario



Project : Menyelesaikan soal-soal latihan pada Modul Pembelajaran

c. Kegiatan Mahasiswa:





3. 7 mahasiswa), yang dipimpin oleh seorang ketua dan seorang sekretaris.

4. Melakukan aktivitas pembelajaran mandiri dari sumber-sumber belajar (Bahan

Ajar, Jurnal, Referensi, dll.), baik yang sudah disiapkan oleh dosen maupun

sumber-sumber lainnya.

5. Melakukan diskusi kelompok mandiri (tanpa tutor), melakukan curah pendapat

bebas (brainstorming) antar anggota dalam membahas penyelesaian soal.



7. Masing-masing kelompok menyerahkan laporan final penyelesaian soal beserta

agenda kegitan masing-masing anggota kelompoknya kepada dosen pengampuh

matakuliah dan mempresentasikan dalam panel diskusi.



d. Proses Pembelajaran



xxiii





4. Identifikasi persamaan-persamaan yang digunakan dalam menyelesaikan soal-

soal latihan


e. Jadwal Kegiatan

Minggu ke IV-V Materi Aktivitas

Pertemuan ke-7

Dinamika Partikel Dalam Dua dan Tiga Dimensi Kuliah/Ceramah

Pertemuan ke-8

1. Kinematika Dalam Sistem Koordinat Berbeda

2. Operator Del Dalam Koordianat Selinder Dan Bola

3. Fungsi Energi Potensial


Pertemuan ke-9

• Gerak Peluru Tanpa Hambatan (Gaya Gesek) Udara

• Gerak Peluru Hambatan Gaya Gesek Sebagai Fungsi Kecepatan


Pertemuan ke-10


f. Strategi Pembelajaran

1. Diskusi kelompok difasilitasi oleh tutor 2. Diskusi kelompok tanpa tutor 3. Konsultasi pada pakar 4. Kuliah khusus dalam kelas. 5. Aktivitas pembelajaran individual menggunakan sumber-sumber belajar

lainnya.

g. Bahan bacaan dan Sumber Informasi Lainnya. 1. Referensi/Buku Ajar/Jurnal 2. Diktat/Hand-Out 3. Nara sumber (Dosen Pengampuh). 4. Petunjuk Untuk Tutor

xxiv

h. Lembar Penilaian

No. NIM Nilai/Bobot


Membuat tulisan yang memuat gerak sistem dalam dua dan tiga dimensi dengan mengambil contoh gerak osilator dan gerak peluru.







Nama :

Nim :

Klp :

Membuat tulisan yang memuat gerak sistem dalam dua dan tiga dimensi dengan mengambil contoh gerak osilator dan gerak peluru

xxv

BAB. III PENUTUP

Setelah menyelesaikan modul ini, anda berhak untuk mengikuti tes evaluasi untuk

menguji kompetensi yang telah anda pelajari. Apabila anda dinyatakan memenuhi syarat

kelulusan dari hasil evaluasi dalam modul ini, maka anda berhak untuk melanjutkan ke

topik/ modul berikutnya.


yang berupa nilai dari fasilitator dapat dijadikan sebagai bahan verifikasi sebagai penentu


DAFTAR PUSTAKA







xxvi

MODUL MATERI



BAB III GERAK DALAM MEDAN-GAYA SENTRAL

Oleh:





xxvii


xxviii

DAFTAR ISI

Modul III

Judul : Gerak Dalam Medan –Gaya Sentral

BAB I. PENDAHULUAN

A. Latar Belakang


C. Kaitan Modul





BAB III. PENUTUP

DAFTAR PUSTAKA

xxix

RINGKASAN

GERAK DALAM MEDAN-GAYA SENTRAL III.1 Gaya Sentral dan Energi Potensial

Gaya sentral adalah gaya yang bekerja pada sebuah partikel yang selalu mengarah

pada satu titk yang dinamakan pusat (asal) dari gaya. Jadi aksi gaya sentral pada partikel

yang berjarak r dari pusat gaya dapat dinyataka sebagai:

rrFrF )rrr)()( = (III.1.1)

dimana r) adalah vector satuan ke arah radial. Dari bentuk gaya ini, mempunyai implikasi

bahwa momentum sudut partikel adalah kekal atau tidak berubah. Dengan kata lain, jika

gaya sentral adalah isotropik yakni rrFrF )rr)()( = , maka gaya sentral adalah gaya

konservatif., sehingga energi mekanik partikel adalah kekal. Jadi kita akan sampai pada

kesimpulan bahwa untuk gaya sentral, momentum sudut dan energi akan kekal (konstan)

Hukum kekekalan ini adalah hasil dari sifat simetri radial dalam kasus ini. Selanjutnya

vector satuan dapat ditulis sebagai rrrv

) = , sehingga persamaan di atas dapat dituli sebagai:

rrrFFv

)(= (III.1.2)

Jika gaya sentral adalah gaya konservatif dan diasosiakan dengan sebuah fungsi energi

potensial V(r) sedemikian bahwa:

)()()( rVrVgradrF ∇−=−=vr

(III.1.3)

Dalam koordinat bola, operator gradient ∇ adalah:

φθ

φθ

θ∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇sin11ˆ

rrrr

))r

III.2 Gerak Gaya Sentral Sebagai Benda Sistem Satu Badan

xxx

Sistem yang terdiri atas beberapa titik massa yang paling sederhana adalah system

dua badan , namun masih cukup umum untuk memperoleh gambaran mengenai dinamika

system banyak titik massa. Yang menarik bagi system dua badan ini ialah dapatnya

direduksi menjadi system satu badan .

Selanjutnya vector letak ttik pusat massa bila diterapkan untuk system dua badan

ditentukan oleh:

21

2211

mmrmrm

mrm

Ri

ii

++

==∑∑r

(III.2.1)

Untuk sistem dua badan, energi kinetic dinyatakan sebagai:

2

21

212212

1

2222

12112

1

)(21)( r

mmmm

Rmm

rmrmT

&&

r&

r&

+++=

+= (III.2.2a)

atau

2212

21 rRMT

r&& µ+= (III.2.2b)

dimana telah diambil 21 mmM += sebagai massa total system, )( 21

21

mmmm+

=µ sebagai

massa tereduksi system yakni system dua badan. Berdasarkan uraian ini, Lagrangian

system akan dapat dinyatakan sebagai:

;),(

...),,(2

212

21 rrUrRML

rrrUTL&&&

r&&

r&

r

−+=

−=

µ (III.2.3)

III.3 Persamaan Gerak Dalam Medan Potensial Sentral

Hukum Kepler II yang membicarakan luasan yang disapu oleh garis hubung

planet dengan matahari pada asasnya hanyalah merupakan konsekuensi hokum kekekalan

momentum sudut.

=== θν sinrmL

dtdA konstan (III.3.1)

xxxi

Selanjutnya akan diturunkan persamaan orbit yakni hubungan r = r( θ ) atau θ =

θ (r). Dalam hal ini, waktu sebenarnya merupakan parameter dan lebih menguntungkan

jika dinyatakan dalam sudut karena keliling daripada suatu lingkaran adalah π2 , maka :

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

==

)(2

22

222

rVr

LE

drrLdt

rLd

µµ

µµθ (III.3.2)

atau

∫⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=−

)(22 2

22 rV

rLEr

drLo

µµµ

θθ (III.3.3)

III.4 Orbit Medan Gaya Sentral Dan Potensial Efektif

Untuk menurunkaan gerak partikel dibawah aksi sebuah gaya sentral, kita telah

perlihatkan bahwa geraknya masih terbatas pada dua dimensi. Selanjutnya dengan

menggunakan kekekalan momentum sudut dan energi, kita telah mereduksi gerak dua

dimensi menjadi gerak satu dimensi. Tinjau kekekalan energi total, yakni:

)(

)(2 2

22

21

rVVT

rVr

LrE

senrad ++=

++=µ

µ& (III.4.1)

dimana Trad dan Vsent adalah adalah masing-masing menyatakan energi kinetic ke arah

radial dan gerak ke arah sudut. Seperti halnya gerak 1-D dalam potensial, jika kita

ungkapkan θ& dalam bentuk momentum sudut, persamaan gerak dalam arah radial dapat

ditulis sebagai :

3

2

)(r

LrFrµ

µ +=&& (III.4.2)

xxxii

BAB I. PENDAHULUAN A. Latar Belakang

Untuk mendapatkan persamaan gerak dibawah pengaruh medan-gaya sentral, selain

dengan hukum Newton dapat pula diperoleh melalui persamaan Euler-Lagrange dengan

merumuskan fungsi keadaan system yang disebut fungsi Lagrange. Suatu system yang

bergerak terhadap satu titik dimana potensial interaksi dimisalkan hanya bergantung pada

jarak relatifnya saja.

Gerak partikel dibawah aksi gaya sentral masih terbatas pada dua dimensi. Dengan

menggunakan kekekalan momentum sudut dan energi, dapat direduksi gerak dua dimensi

menjadi gerak satu dimensi. Dapat ditegaskan bahwa gaya sentral adalah gaya yang

bergantung posisi dan konservatif.


Dalam modul ini, akan ditinjau Gaya sentral dan energi Potensial, Gerak gaya

sentral sebagai benda sistem satu badan, Sifat-sifat umum gaya sentral, Persamaan-

persamaan gerak di bawah pengaruh medan-gaya sentral, Orbit medan gaya sentral dan

potensial efektif

C. Kaitan Modul

Modul ini merupakan modul ke tiga yang disajikan selama dua minggu ( 4x

pertemuan) setelah mahasiswa mempelajari Dinamika Partikel Dalam Dua dan Tiga

Dimensi dan sebelum mahasiswa mempelajari Formulasi Lagrange.



1. Menjelaskan hubungan antara gaya sentral dengan energi potensial.

2. Menurunkan gaya sentral sebagai sistem satu badan dan menyebutkan sifat-sifat

umum gaya sentral.

3. Merumuskan dan menyelesaikan persamaan gerak dibawah pengaruh medan-

gaya sentral

4. Menjelaskan potensial efektif dan orbit medan-gaya sentral.

xxxiii

II. MODUL PROSES PEMBELAJARAN SCL


Dapat menjelaskan gerak dibawah pengaruh medan-gaya sentral dan

konsekuensinya serta menyelesaikan soal dengan benar yang memuat gerak sistem

dibawah pengaruh medan-gaya sentral.

Skenario






pembelajaran berbasis SCL adalah:
















xxxiv








4. Identifikasi persamaan-persamaan yang digunakan dalam menyelesaikan soa-

soal latihan


d. Jadwal Kegiatan

Minggu ke VI-VII Materi Aktivitas

Pertemuan ke-11

• Gaya sentral dan energi Potensial • Gerak gaya sentral sebagai benda system

satu badan • Sifat-sifat umum gerak di bawah pengaruh

gaya sentral

Kuliah/Ceramah/

diskusi

Pertemuan ke-12

• Persamaan-persamaan gerak di bawah

medan gaya sentral

Kuliah/Ceramah/

diskusi

Pertemuan ke-13

• Orbit medan gaya sentral dan potensial efektif

• Hukum Kepler untuk Gerak Planet

Kuliah/Ceramah/

diskusi

Pertemuan ke-14


Minggu ke

VIII

EVALUASI (MID TES)

xxxv



lainnya.



g. Lembar Penilaian

No. NIM Nilai/Bobot


Menyelesaikan soal-soal yang diberikan secara analitik pada buku kerja.

.





xxxvi



Nama :

Nim :

Klp :

Soal Evaluasi:

1. Sesuai dengan teori nuklir Yukawa, gaya tarik-menarik antara sebuah neutron dan

proton di dalam inti atom digambarkan sebuah fungsi potensial yang berbentuk:

r

rkrV )exp()( α−=

dimana k dan α adalah konstanta dan k<0.

a. Carialah gaya F(r) dan buatkan plot gambarnya

b .Hitung E dan L jika partikel bergerak dalam lingkaran berjari-jari r0

2. Sebuah partikel bermassa m bergerak di dalam gaya tarik-menarik berbading

terbalik pangkat tiga (kubik) yang diberikan oleh:

a. Bicarakan gerak secara kualitatif dengan metode potensial efektif

b. Carialah E dan L ketika partikel bergerak dalam orbit lingkaran.

Dapatkan perioda waktu orbit.

3. Sebuah benda bermassa m bergerak dalam orbit lingkaran dibawah pengaruh gaya

sentral sedemikian bahwa orbitnya dapat ditulis sebagai θcosorr = . Perlihatkan

bahwa gaya sentral adalah berbading pangkat lima jari-jarinya.

4. Tinjau sebuah osilator harmonic isotropik yang mempunyai potensial yang

diberikan

oleh V(r)=(1/2)kr2 .Hitunglah:

a. Gaya F(r) dan buatlah plot pada V(r) dan F(r)

b. Buatlah plot potensial efektif untuk partikel bermassa m yang bergerak

dengan energi E dan momentum sudut.

xxxvii

BAB. III PENUTUP






yang berupa nilai dari fasilitator dapat dijadikan sebagai bahan rujukan sebagai penentu


DAFTAR PUSTAKA







xxxviii

MODUL MATERI



BAB IV FORMULASI PERSAMAAN LAGRANGE

Oleh:





xxxix


xl

DAFTAR ISI

Modul IV

Judul : Formulasi Persamaan Lagrange

BAB I. PENDAHULUAN

A. Latar Belakang


C. Kaitan Modul





BAB III. PENUTUP

DAFTAR PUSTAKA

xli

RINGKASAN

FORMULASI PERSAMAAN LAGRANGE

I. Persamaan Kendala

Secara matematis, dikira bahwa pemecahan masalah mekanika cukup dengan

menemukan penyelesaian kombinasi persamaan diferensial:

)(ei

jjii FFrm += ∑rr

&&

setelah menyatakan gaya-gaya yang bersangkutan. Akan tetapi dari sudut fisika,

pandangan semacam ini terlalu menyederhanakan gambaran situasi fisis yang

sesungguhnya. Dalam hubungan tersebut masih perlu dipertimbangkan pula kendala-

kendala yang membatasi gerak system. Contoh kendala semacam itu misalnya gerak benda

tegar, dimana vector letak relative ijrr haruslah tetap.

Kendala-kendala yang dimaksud berfungsi membatasi gerak system; yang secara

teknis dapat sebagai syarat batas. Adapun kendala-kendala itu dapat diperinci dalam

berbagai bentuk khas; tetapi secara umum polanya cukup dikelompokkan dalam dua

bentuk; yakni yang disebut holonomik dan nonholonomik . Dalam hubungan ini, bila

terdapat suatu fungsi scalar yang berhubungan dengan persamaan yang mengaitkan

koordinat partikel pada suatu saat sedemikian dipenuhi:

0),...,,( 321 =trrr rrrϕ (1)

maka dikatakan kendala itu bersifat holonomik. Contoh sederhana kendala holonomik

adallah kendala bagi gerak benda tegar yang dapat disajikan dengan persamaan:

( ) 022 =−− ijji Crr rr

II. Prinsip d’Alembert

Pergeseran maya rvδ (sesaat) didefenisikan sebagai perubahan konfigurasi system

akibat perpindahan infinitesimal sembarang dengan gaya-gaya dan kendala-kendala yang

menimbulkannya pada suatu waktu. (digunakan untuk membedakan terhadap pengertian

perpindahan sesungguhnya)

xlii

Suatu system dalam keadaan setimbang , maka menurut hukum pertama Newton,

yakni 0=∑i

iF sehingga akibatnya kerja semu 0=⋅=∑i

ii rFdW δ . Kalau gaya Fi

dikupas atas gaya yang bekerja aiF dan gaya kendala (fi ) , yakni:

ii

aii fFF += ∑ (2)

Bila kita batasi diri dengan system dimana kerja semu oleh gaya kendala fi , maka

kerja semu oleh gaya total terhadap system dalam keadaan setimbang, adalah:

0=⋅∑ ii

ai rF δ (3)

karena rvδ tidak selalu lenyap karena tidak bebas betul mengingat keterkaitannya dengan

kendala-kendala. Oleh karena itu , agar aiF lenyap (dalam arti statis maupun dinamis),

maka d’Alembert mengemukakan:

“ Zarah-zarah dalam system akan sebanding dibawah aksi gaya sesungguhnya

bila ditambahkan gaya efektif ipr& yang sama besar tetapi berlawanan, yang

berarti telah mengubah dari keadaan dinamis menjadi statis semu”

( )∑ ∑ =⋅+⋅−i

ii

iiia

i rfrpF 0δδrr

&r

(4)

Jadi prinsip d’Alembert , yakni:

( )∑ =⋅−i

iia

i rpF 0δr&

r (5a)

yaitu usaha dari semua gaya yang diterapkan dikurang turunan momentum terhadap waktu

0=• irδ (perkalian dot) dengan syarat:

0=⋅∑ i

ikendalai rf δ

(5b)

III Persamaan Gerak Euler-Lagrange

Dengan menandai Tvm iii

=∑ 2

21 sebagai energi kinetic system, maka dari prinsip

d’Alembert dapat diturunkan persamaan:

0=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

−∂∂∑ j

jj

jj

qQqT

qT

dtd δ

&

(6)

xliii

Dengan mengingat bahwa kendala yang kita tinjau hanya yang holonomik, maka

jqδ bersifat bebas diantara anggotanya, dan karena itu jqδ sembarang sehingga koefiennya

haruslah lenyap, maka;

jjj

QqT

qT

dtd

=∂∂

−∂∂&

(7)

dimana j

i

ii

j

ii

iij q

rFqrrmQ

∂∂

=∂∂

= ∑∑ &&,

adalah gaya umum.

Selanjutnya bila Qj diganti dengan mengandaikan bahwa system yang ditinjau

bersifat konservatif , yakni VFi ∇−= , maka:

0=∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

ii qL

qL

dtd

& (8)

yang dikenal sebagai persamaan gerak Euler-Lagrange yang diturunkan untuk gerak

partikel (benda titik) didalam medan-gaya konservatif.

Sekarang kita tinjau perluasan pada system monogenic yaitu gaya yang dapat

diperoleh dari potensial yang bergantung pada kecepatan atau dengan kata lain energi

potensial yang kita tinjau bersifat tidak konservatif yang kita andai dengan ),( jj qqU & ,

maka syarat bagi gaya umum Qj adalah:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+∂∂

−=jj

j qU

dtd

qUQ

& (9)

dengan ),( jj qqU & dinamakan sebagai “potensial umum “

xliv


Secara matematis, dikira bahwa pemecahan masalah mekanika cukup dengan

menemukan penyelesaian persamaan diferensial yang diturunkan dari hukum Newton.

Akan tetapi dari sudut fisika, pandangan semacam ini terlalu menyederhanakan gambaran

situasi fisis yang sesungguhnya. Dalam hubungan tersebut masih perlu dipertimbangkan

pula kendala-kendala yang membatasi gerak system.

Dengan persamaan Lagrange, maka persamaan gerak Newton telah digeneralisir.

Akan tetapi bila hanya terbatas pada sistem yang konservatif saja, maka generalisasi itu

kurang berarti. Untuk itu akan ditunjukkan bahwa perumusan ini masih tetap berlaku

sekalipun tidak konservatif; asalkan dipenuhi syarat tertentu.


Dalam modul ini anda akan mempelajari Kendala dan koord. Umum, Prinsip

d’Alembert, Sajian energi kinetik dalam koordinat umum, Persamaan gerak Euler-

Lagrange.

C. Kaitan Modul

Modul ini merupakan modul ke empat yang disajikan selama dua minggu ( 4x

pertemuan) setelah mahasiswa mempelajari Gerak Dalam Medan-Gaya Sentral dan

sebelum mahasiswa mempelajari Prinsip Variasi: Persamaan Lagrange dan Hamilton.



1. Melakukan transformasi dari koordinat biasa ke koordinat umum.

2. Menjelaskan perpindahan semu dan kerja semu

3. Menurunkan sajian energi kinetik dalam sistem koordinat umum yang tidak

mengandung waktu secara eksplisit dalam transformasi koordinatnya..

4. Menurunkan persamaan Euler- Lagrange dari Hukum Newton dengan

menggunakan prisip d’Alembert.

5. Menentukan energi potensial pada berbagai sistem fisis dan merumuskan

fungsi Lagrangenya.

6. Menerapkan Persamaan Euler-Lagrange untuk berbagai macam sistem

dalam Fisika.

xlv

BAB II MODUL PROSES PEMBELAJARAN SCL



Dapat melakukan transformasi koordinat dan menjelaskan konsekuensinya, serta

merumuskan Lagrangian pada berbagai sistem fisis dan menerapkannya pada

persamaan gerak Euler-Lagrange untuk mendapatkan persamaan dinamikanya.

Skenario




b. Kegiatan Mahasiswa











5. Berkonsultasi kepada narasumber yang ahli pada permasalahan-permasalahan yang

ditemukan untuk memperoleh pengertian yang benar dan mendalam.




7. Mengikuti kuliah khusus (kuliah pakar) untuk masalah yang belum jelas atau belum

ditemukan jawabannya dari sumber lainnya.

xlvi








4. Menidentifikasi persamaan-persamaan yang digunakan dalam

menyelesaikan soal-soal latihan dan menyelesaikan soal-soal latihan.

d. Jadwal Kegiatan

Minggu ke IX-X Materi Aktivitas

Pertemuan ke-17

• Kendala dan koord. umum • Prinsip d’Alembert • Sajian energi kinetik dalam

koordinat umum • Gaya umum dan kendala

Kuliah/Ceramah/

diskusi

Pertemuan ke-18

• Persamaan gerak Euler- Lagrange untuk partikel tunggal

• Persamaan gerak Euler-Lagrange untuk system partikel

Kuliah/Ceramah/

diskusi

Pertemuan ke-19

• Perluasan Persamaan Euler-Lagrange untuk

sistem Monogenik Kuliah/Ceramah/

diskusi

Pertemuan ke-20




lainnya.

xlvii



g. Lembar Penilaian

No. NIM Nilai/Bobot


Memformulasikan persamaan Lagrange melalui Hukum Newton dengan benar dan menyelesaikan soal-soal yang diberikan

.







Nama :

Nim :

Klp :

xlviii

TES EVALUASI

1.Tinjaulah gerak partikel bermassa m bergerak dalam bidang. Dengan menggunakan

koordinat polar (r, θ) sebagai koordinat umum, hitunglah:

a. Perpindahan δx dan δy

b. Gaya umum pada partikel yang digerakkan oleh gaya zyx kFjFiFF ++=

2. Tentukan fungsi Lagrange bagi bandul ganda seperti pada gbr.1 di bawah ini dan cari

pula

persamaan geraknya.

2. Bandul titik materi m bergerak sepanjang bidang datar, digantungkan padanya suatu

titik

materi M yang dapat bergerak

mendatar seperti pada gbr. Tentukan Lagrangian sistem dan cari persamaan gerak.

xlix

BAB. III PENUTUP






yang berupa nilai dari fasilitator dapat dijadikan sebagai bahan rujukan dalam menentukan


DAFTAR PUSTAKA







l

MODUL MATERI



BAB V PRINSIP VARIASI :

PERSAMAAN LAGRANGE DAN HAMILTON

Oleh:





li


lii

DAFTAR ISI

Modul V

Judul : Prinsip Variasi: Persamaan Lagrange dan Hamilton

BAB I. PENDAHULUAN

A. Latar Belakang


C. Kaitan Modul





BAB III. PENUTUP

DAFTAR PUSTAKA

liii

RINGKASAN

PRINSIP VARIASI: PERSAMAAN LAGRANGE DAN HAMILTON

I Asas Variasi Hamilton dan Penurunan Persamaan Lagrange

Jika sebuah sistem mempunyai n derajat kebebasan maka konfigurasi dari sistem

tersebut akan dapat didefinisikan oleh n koordinat. Misalnya konfigurasi sistem pada saat t,

dinyatakan oleh (q1, q2, q3, ….qn) ≡ [q(t)] dan pada saat lain konfigurasi sistem adalah

[q(t’)], maka sistem seperti ini selalu terdapat sebuah fungsi keadaan yang disebut

Lagrangian ),,( tqqL ii & dengan dt

dqq i

i =& .

Integrasi Lagrangian terhadap waktu sepanjang suatu lintasan disebut integral aksi

(I), yakni:

dttqqLIt

tii∫=

2

1

),,( & (1)

Prinsip Hamilton menyatakan bahwa untuk sistem monogenic (potensial system

yang bergantung pada koordinat dan kecepatan), perubahan sistem dari t’=t1 ke t’=t2

melewati lintasan yang membuat integral aksi I stasioner (ekstremum). Supaya I

merupakan suatu ekstremum (mencapai nilai ekstrim) maka variasi dari I haruslah sama

dengan nol dalam selang waktu t1 dan t2, ( prinsip Hamilton), yakni:

0''2

1

2

1

2

1

'

'

=−≡= ∫∫∫ dtLdtLdtLIt

t

t

t

t

t

δδ (2)

dimana

]),(),([ ],'),'('),'('[''

ttqtqLLttqtqLL

ii

ii&

&

==

dan

')'('

)'('

,'),()()'('

dttdq

tq

ttttqtqtq

ii

iii

=

+=+=

&

δδ

Sekarang kita coba menerapkan variasi persamaan (2) di atas, dengan menuliskan

kembali sebagai:

liv

dtqqLq

qLI

t

ti

iii∫∑ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

=2

1

&&δδδ (3a)

sehingga:

∫∑∫∑ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

=2

1

2

1

t

t ii

ii

t

t i ii

qqLddtq

qL

dtd

qLI δδδ

&& (3b)

Karena q(t1) dan q(t2) tertentu, maka 0)()( 21 == tqtq δδ , sehingga suku ke dua otomatis

lenyap. Karena δq dan dt sembarang , maka haruslah dipenuhi

0=∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

ii qL

qL

dtd

& (4)

Tampak bahwa dengan metode variasi dapat diperoleh persamaan Lagrange. Hal

yang penting mengenai metode variasi, kita dapat memperluasnya bukan hanya terbatas

dalam mengungkapkan persamaan gerak suatu system fisis, melainkan juga berbagai

system yang mempunyai harga ekstremum. Seperti diketahui, metode ini pertama kali

diketahui relevansinya dalam matematika yang dinamakan kalkulus variasi yang pertama

kali diperkenalkan oleh Euler.

II Persamaan Lagrange Untuk Sistem Non-Holonomik dan Pengali Lagrange

Penurunan persamaan Lagrange dari prinsip d’Alembert disyaratkan bahwa

kendala harus holonomik. Demikian pula dengan prinsip variasi dapat dipertahankan

untuk kendala non-holonomik dimana hubungan antara koordinat-koordinat umum

diketahui, yang dapat dituliskan sebagai:

mldtadqa ltk

n

klk ,...3,2,1,0

1==+∑

=

(5)

dan

,01

=+∑=

ltk

n

klk aqa & (6)

III Hukum Kekekalan dan Sifat Simetri

lv

Meskipun besaran ii qq &dan yang menentukan keadaan sistem berubah terhadap

waktu, akan tetapi dari sistem niscaya terdapat besaran-besaran kekal sebagai fungsi dari

)(dan)( tqtq ii & yang harganya merupakan tetapan. Di antara beberapa tetapan, ada yang

sangat penting yang diturunkan dari sifat homogenitas dan isotropi ruang dan waktu.

Sebagai konsekuensi homogenitas waktu, maka Lagrangian sistem yang tertutup

tak bergantung waktu secara eksplisit, atau dengan kata lain bersifat invarian terhadap

translasi waktu secara infinitesimal. Turunan total Lagrangian terhadap waktu ditentukan

oleh:

qqLq

qL

dtdL

i ki

i i

&&&

& ∑∑ ∂∂

+∂∂

= (7)

Sebagai catatan bahwa jika Lagrangian bergantung waktu secara eksplisit, maka ruas

kanan pada persamaan di atas masih harus ditambahkan tL∂∂ . Kemudian dengan bantuan

persamaan Lagrange, ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=∂∂

ii qL

dtd

qL

&, sehingga diperoleh:

LqLqH

iii −∂∂

= ∑&

& (8)

adalah fungsi Hamilton yang merupakan besaran energi yang senantiasa tetap (tidak

berubah sepanjang waktu) selama gerakan sistem tertutup Dengan demikian, Hamiltonian

tiada lain adalah energi total dengan syarat:

• Transformasi ke koordinat umum tidak mengandung waktu

• Sistemnya konservatif

Selanjutnya ” persamaan Hamilton” dalam perubah p dan q yang disebut sebagai variabel-

variabel kanonik adalah:.

i

ii

i qHp

pHq

∂∂

−=∂∂

= && ; (9)

Dan karena bentuknya sederhana maka disebut “persamaan kanonik Hamilton”.

lvi


Setelah kita mengikuti penurunan persamaan gerak suatu system melalui asas

d’Alembert pada modul 4 yang lalu, maka pada uraian modul ini akan ditunjukkan metode

umum memperoleh persamaan Lagrange tanpa harus memperkenalkan konsep gaya semu

dan perpindahan semu.

Fungsi yang menentukan keadaan fisis suatu system ditentukan oleh fungsi

Lagrange. Dalam memperoleh persamaan gerak system melalui asas d’Alembert kita telah

mengenalkan konsep perindahan semu infinitesimal dan mensyaratkan koefisiennya lenyap

untuk memperoleh persamaan gerak tesebut. Dalam formulasi hukum-hukum fisika

dinyatakan dalam fungsi Lagrange dan persamaan Lagrange.


Dalam modul ini anda akan mempelajari Asas variasi Hamilton dan Penurunan

Persamaan Lagrange, Aplikasi kalkulus variasi untuk persoalan jarak terpendek dan

persoalan waktu tersingkat, Persamaan Lagrange untuk system non – holonomik dan

Metode pengali Lagrange, Persamaan Lagrange dengan Kendala, Hukum kekekalan dan

sifat simetri: Koordinat siklik, Persamaan gerak Hamilton, Beberapa aplikasi metode

pengali Lagrange dan persamaan gerak Hamilton.

C. Kaitan Modul

Modul ini merupakan modul ke 5 (lima) yang disajikan selama tiga minggu ( 6x

pertemuan) setelah mahasiswa mempelajari Formulasi Persamaan Lagrange dan sebelum

mahasiswa mempelajari Transformasi Kanonik.

D Sasaran Pembelajaran Modul


1. Menurunkan persamaan Euler-Lagrange dari prinsip variasi aksi.

2. Menerapkan kalkulus variasi untuk mendapatkan jarak terpendek dan waktu

tersingkat.

3. Menjelaskan persamaan Lagrange untuk sistem non-holonomik dan metode

pengali Lagrange.

lvii

4. Menjelaskan sifat-sifat simetri kaitannya dengan koordinat siklik pada

fungsi Lagrange

5. Menentukan kendala pada berbagi sistem fisis dan menerapkan pada

persamaan Euler-Lagrange dengan kendala untuk mendapatkan persamaan

gerak dan gaya kendalanya.

6. Menurunkan formulasi Hamiltonian suatu sistem dari Lagrangian atau

sebaliknya. dan mencari persamaan kanonik Hamilton.

lviii




Dapat mencari Hamiltonian sistem dari Lagrangian atau sebaliknya dan mencari

persamaan kanonik Hamilton.

Skenario















soal.









lix







4. Menidentifikasi persamaan-persamaan yang digunakan dalam menyelesaikan

soal-soal latihan dan menyelesaikan soal-soal latihan.

d. Jadwal Kegiatan


Pertemuan ke-21

• Asas variasi Hamilton dan Penurunan

Persamaan Lagrange

• Aplikasi kalkulus variasi: Persoalan jarak

terpendek dan Persoalan waktu tersingkat

Kuliah/Ceramah/

diskusi

Pertemuan ke-22

• Persamaan Lagrange untuk system non – holonomik dan Metode pengali Lagrange, Persamaan Lagrange dengan Kendala

• Hukum kekekalan dan sifat simetri: Koordinat siklik, Persamaan gerak Hamilton

Kuliah/Ceramah/

diskusi

Pertemuan ke-23

• Penurunan Persamaan gerak Hamilton

• Beberapa aplikasi metode pengali Lagrange dan persamaan gerak Hamilton

Kuliah/Ceramah/

diskusi

Pertemuan ke-24



1. Diskusi kelompok difasilitasi oleh tutor

2. Diskusi kelompok tanpa tutor

3. Konsultasi pada pakar

lx

4. Kuliah khusus dalam kelas.

5. Aktivitas pembelajaran individual menggunakan sumber-sumber belajar

lainnya.


1. Referensi/Buku Ajar/Jurnal

2. Diktat/Hand-Out

3. Nara sumber (Dosen Pengampuh).

4. Petunjuk Untuk Tutor

h. Lembar Penilaian

No. NIM Nilai/Bobot


Memformulasikan persamaan Lagrange melalui Hukum Newton dengan benar dan menyelesaikan soal-soal yang diberikan

.





5. Modul Pegangan Mahasiswa


Nama :

Nim :

Klp :

lxi

TES EVALUASI

1. Lagrangian suatu system diberikan

( ) θθωθ cossin21 2222 mgrrrmVTL −+=−= &

a) Carilah persamaan gerak

b) Cari harga stasioner θ0 (syarat θ&& )

2. Hamiltonian suatu system diberikan

22

21)exp(

2kqtbqp

apH +−−= α

dengan a,b,α,k konstan. Carilah Lagrangian system

3. Lagrangian suatu system dengan satu derajat kebebasan diberikan oleh:

( )2222 2sinsin21 ωωωω qtqqtqmL ++= &&

a. Carilah Hamiltonian system tersebut. Periksa apakah Hamiltonian kekal

b. Definisikan koordinat baru Q=qsinwt. Tuliskan Lagrangian dan Hamiltonian

dalam koordinat yang baru. Apakah Hamiltonian dalam koordinat yang baru juga

kekal.

4. Diberikan Hamiltonian suatu system:

121

22

21

21 2

121),( qqpqppqH α−+=

α adalah tetapan, p1 dan p2 adalah momentum umum.

a. Dapatkan 2 buah besaran yang kekal (tetapan gerak)

b. Tuliskan Lagrangian sistem

lxii

BAB. III PENUTUP

Setelah menyelesaikan modul ini, anda berhak untuk mengikuti tes evaluasi untuk





yang berupa nilai dari fasilitator dapat dijadikan sebagai bahan verifikasi sebagai penentu


DAFTAR PUSTAKA







lxiii

MODUL MATERI



BAB VI TRANSFORMASI KANONIK DAN TEORI HAMILTON-JACOBI

Oleh:





lxiv


lxv

DAFTAR ISI

Modul VI

Judul : Transformasi Kanonik dan Teori Hamilton-Jacobi

BAB I. PENDAHULUAN

A. Latar Belakang


C. Kaitan Modul





BAB III. PENUTUP

DAFTAR PUSTAKA

lxvi

RINGKASAN

TRANSFORMASI KANONIK DAN TEORI HAMILTON-JACOBI

I. Transformasi Kanonik

Persamaan Lagrange tak berubah dibawah transformasi titk, maka persamaan

Hamilton juga demikian. Akan tetapi untuk persamaan Hamilton sesungguhnya

dimungkinkan rangkuman yang lebih luas. Ini disebabkan karena dalam persamaan

Hamilton, perlakuan terhadap momentum p juga merupakan perubah yang sama

kedudukannya dengan koordinat q. Oleh karena itu transformasi titik buat persamaan

Hamilton, dapat diperluas hingga meliputi 2s perubah bebas p dan q. Jadi kedua-duanya

harus ditransformasikan menurut:

),,(),,(

tpqPPptpqQQq

iiiii

iiiiii

=⇒

=⇒ (1)

Mulai sekarang p dan P adalah momentum umum dan variabel Q dan P disebut

variabel kanonik.

Untuk merumuskan transformasi kanonik kita meninjau kembali prinsip variasi,

yakni:

02

1

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−∫ ∑ dtHqp

t

t iii &δ (2)

yang pada uraian lalu telah digunakan menurunkan persamaan gerak Hamilton. Menurut

keterangan di atas, variasi ini berlaku untuk sembarang system koordinat dan momentum.

Oleh karena itu, buat perubah baru P dan Q juga harus memenuhi asas variasi:

02

1

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−∫ ∑ dtKQP

t

t ii&δ (3)

Dengan demikian menurut uraian di atas, dari kedua persamaan (2) dan (3)

haruslah dipenuhi syarat:

( ) ( )tFKQPHqp iiii ∂∂

+−=− &&λ (4)

dimana :

F adalah fungsi sembarang yang punya turunan kedua yang kontinu

λ adalah konstanta skala yang selalu dapat dibuat sama dengan satu

dengan melakukan transformasi yang tepat.

lxvii

Berdasarkan persamaan (4), maka dapat dilihat bahwa F adalah merupakan fungsi dari

perubah koordinat lama dan baru serta waktu; yakni ),,( tQqFF = . Fungsi pembangkit ini

dikenal sebagai fungsi pembangkit jenis pertama . Dengan demikian transformasi ini

bersifat kanonik karena memenuhi persamaan transformasi dari Lagrangian, yakni:

),,(),,(),,( tQqFdtdtQQLtqqL +′= && (5)

Daftar fungsi pembangkit persamaan kanonik

),,(1 tQqF ),,(2 tPqF ),,(3 tQpF ),,(4 tPpF

qFp∂∂

= 1 qFp∂∂

= 2 pFp∂∂

−= 3 pFp∂∂

−= 4

QFP∂∂

−= 1 PFQ∂∂

= 2 QFP∂∂

−= 3 PFQ∂∂

= 4

tFHK∂∂

+= 1 t

FHK∂∂

+= 2 t

FHK∂∂

+= 3 t

FHK∂∂

+= 4

II. Kurung Poisson

Misalakan f(q,p,t) suatu fungsi terhadap koordinat, momentum dan waktu. Turunan

totalnya terhadap waktu adalah:

∑ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

=k

kk

kk

ppfq

qf

tf

dtdf

&& (6)

Dengan memasukkan harga kk pq && dan dari persamaan Hamilton pada persamaan (6), kita

dapat menyatakan :

[ ]fHtf

dtdf ,+

∂∂

= (7)

dengan

[ ] ∑ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

−∂∂

∂∂

=k kkkk p

fqH

qf

pHfH , (8)

Pernyataan (8) dikenal sebagai “ kurung Poisson” (Poisson bracket) besaran H dan f.

lxviii

Selanjutnya dapat pula ditunjukkan bahwa syarat yang harus dipenuhi suatu

transformasi QPqp ,, ⇒ bila dinyatakan dalam kurung Poisson bersifat kanonik adalah:

[ ] [ ] [ ] ikkikiki qpppqq δ=== ,,0,, (9)

[ ] [ ][ ] ikqpki

qpkiqpki

PQ

PPQQ

δ=

==

,

,,

,

0,,

(10)

III. Persamaan Hamilton-Jacobi

Pada uraian yang lalu besaran aksi telah diketahui sebagai fungsi dari koordinat dan

waktu. Dalam hal ini, menurut persamaan integral aksi, perubahan aksi dari suatu lintasan

ke lintasan lain, adalah:

dtttLq

qLq

qLI

t

t∫ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

=2

1

δδδδ &&

Disisi lain );,();,( i tqqLpqtpqH iiii

ii && −= ∑ , maka akan diperoleh persamaan buat aksi

I(q,t) yang ditentukan oleh:

0);,( =+∂∂ tpqH

tI (11)

Sementara pqI=

∂∂ , maka dengan mengganti dari dalam Hamiltonian diperoleh:

0;,...,,,,,,21

21 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

∂∂

+∂∂ t

qI

qI

qIqqqH

tI

nn (12)

yang menentukan besaran aksi I(q,t). Persamaan diferensial parsial orde satu terhadap

waktu ini dikenal sebagai persaman Hamilton-Jacobi. Seperti halnya persamaan Lagrange

dan persamaan kanonik Hamilton, maka juga persamaan Hamilton-Jacobi adalah

merupakan adalah basis dalam menentukan metode umum mengintegralkan persamaan

gerak.

Selanjutnya persamaan Hamilton-Jacobi akan mengambil bentuk yang lebih

sederhana bila H tidak bergantung pada waktu secara eksplisit; yaitu bila system

konservatif. Ketergantungan aksi terhadap waktu ditentukan oleh suku –Et, sehingga aksi

akan dapat dinyatakan sebagai:

EtqItqI −= )(),( 0 (13)

yang dikenal sebagai solusi umum persamaan Hamilton-Jacobi

lxix


Perlu dikemukakan bahwa transformasi kanonik dalam sajian Hamiltonian

memiliki banyak sekali kemungkinan yang tidak mengubah arti perubah lama dan

keperubah baru. Dalam hal ini karena transformasi dari koordinat dan momentum lama ke

koordinat dan momentum yang baru kiranya tidak lagi mesti sebagai perubah yang

berhubungan dengan ruang.

Pilihan koordinat umum q sebenarnya tidak ada pembatasan; dan dapat berupa s besaran

yang secara tunggal menentukan kedudukan system dalam ruang..Dalam hal ini persamaan

Lagrange sama sekali tak bergantung pada pilihan koordinat, atau dengan kata lain

persamaan Lagrange bersifat invariant (tak berubah) terhadap transformasi kumpulan

q1,q2,q3,…ke koordinat lain yang bebas Q1,Q2,Q3 yang dikenal sebagai transformasi titik


Dalam modul ini anda akan mempelajari Transformasi kanonik dan Fungsi

generator, Beberapa gambaran tentang transformasi kanonik, Kurung Poisson, Persamaan

Hamilton-Jacobi

C. Kaitan Modul

Modul ini merupakan modul ke 6 (terakhir) yang disajikan selama 2 (dua)

minggu ( 3x pertemuan) setelah mahasiswa mempelajari Prinsip Variasi: Persamaan

Lagrange-Hamilton



1. Menjelaskan manfaat transformasi kanonik dan menurunkan jenis-jenis fungsi

generatornya.

2. Menentukan suatu transformasi sistem fisis adalah kanonik dengan menggunakan

fungsi generator.

3. Menerapkan kurung Poisson dalam menjelaskan suatu transformasi bersifat

kanonik.

4. Menentukan solusi persamaan gerak dari suatu Hamiltonian dengan menggunakan

persamaan Hamilton-Jacobi.

lxx



Dapat menentukan apakah suatu transformasi bersifat kanonik dengan

menggunakan berbagai macam metode.

Skenario















soal.









lxxi







4. Menidentifikasi persamaan-persamaan yang digunakan dalam menyelesaikan soal-

soal latihan dan menyelesaikan soal-soal latihan.

d. Jadwal Kegiatan


Pertemuan ke-25

• Transformasi kanonik dan Fungsi

generator,

• Beberapa gambaran tentang transformasi

kanonik,

Kuliah/Ceramah/

diskusi

Pertemuan ke-26

• Kurung Poisson,

• Persamaan Hamilton-Jacobi Kuliah/Ceramah/

diskusi

Pertemuan ke-27

• Pembahasan Soal-soal Latihan Kuliah/Ceramah/

diskusi

Pertemuan ke-28

EVALUASI (Final Tes) Diskusi



lainnya.


1. Referensi/Buku Ajar/Jurnal

lxxii

2. Diktat/Hand-Out 3. Nara sumber (Dosen Pengampuh). 4. Petunjuk Untuk Tutor

h. Lembar Penilaian

No. NIM Nilai/Bobot


Menentukan transformasi kanonik dan menyelesai-kan soal-soal latihan yang diberikan

.







Nama :

Nim :

Klp :

TES EVALUASI

1. Transformasi berikut:

αααα

cossinsincos

pqPpqQ

+=−=

a. Tunjukkan bahwa transformasi ini adalah kanonik untuk semua harga α.

lxxiii

b. Dapatkan generatornya (gunakan tipe II)

2. Carilah syarat agar transformasi berikut:

2, xPxpQ βα

==

dimana α dan β adalah konstan, merepresentasikan sebuah transformasi kanonik

untuk system satu derajat kebebasan.

3. Persamaan transformasi:

122222

21

2211

211

2sin,seccos2

2cos,

qpPpqQpq

qppPqQ

−==

−==

adalah kanonik. Tentukan fungsi generatornya.

4. Jika Lagrangian ),,( tqqL & diganti oleh:

dt

tqdFtqqLtqqL ),(),,(),,( +=′ &&

dimana F(q,t) adalah sebuah fungsi tetapan, persamaan gerak Lagrange akan invariant.

Buktikan bahwa transformasi ini kanonik dan carilah fungsi generator yang berkaitan

dengan transformasi ini.

BAB. III PENUTUP

Setelah menyelesaikan modul terakhir ini, anda berhak untuk mengikuti tes

evaluasi untuk menguji kompetensi yang telah anda pelajari. Apabila anda telah

menyelesaikan seluruh evaluasi dari setiap modul, maka hasil yang diperoleh berupa nilai

dari fasilitator dapat dijadikan sebagai bahan rujukan dalam menentukan standar

kelulusan mata kuliah mekanika.

lxxiv

DAFTAR PUSTAKA







sawang

Documents

Transcript of sawang