sahabat informasi 3

-4 -3 -2 -1 0 1

-4 -3 -2 -1 0 1

-4 -3 -2 -1 0 1

-4 -3 -2 -1 0 1

http://sahabat-informasi.blogspot.com/2011/08/kalkulus-purcell-bab-1-subbab-3.html

1. Tunjukkan masing-masing selang berikut pada garis riil.

(a) (-4,1)

Pembahasan:

Pada selang (-4,1), di sebelah kiri bilangan -4 menggunakan tanda kurung biasa,

berarti bilangan -4 tidak masuk dalam selang ini, dan di sebelah kanan bilangan 1 juga

menggunakan tanda kurung biasa, berarti bilangan 1 juga tidak masuk dalam selang ini. Jadi yang termasuk dalam selang ini adalah bilangan sepanjang garis hitam tebal.

(b) [-4,1]

Pembahasan:

Pada selang [-4,1], di sebelah kiri -4 menggunakan tanda kurung siku, berarti

bilangan -4 masuk dalam selang ini, dan di sebelah kanan bilangan 1 juga

menggunakan tanda kurung siku, berarti bilangan 1 juga masuk dalam selang ini. Jadi yang termasuk dalam selang ini adalah bilangan -4, bilangan sepanjang garis hitam

tebal dan bilangan 1.

(c) (-4,1]

Pembahasan:

Pada selang (-4,1], di sebelah kiri bilangan -4 menggunakan tanda kurung biasa,

berarti bilangan -4 tidak masuk dalam selang ini dan di sebelah kanan bilangan 1

menggunakan tanda kurung siku berarti bilangan 1 masuk dalam selang ini. Jadi yang termasuk dalam selang ini adalah bilangan sepanjang garis hitam tebal dan bilangan 1.

(d) [-4,1)

Pembahasan:

Pada selang [-4,1), di sebelah kiri bilangan -4 menggunakan tanda kurung siku,

berarti bilangan -4 masuk dalam selang, dan di sebelah kanan bilangan 1

menggunakan tanda kurung biasa, berarti bilangan 1 tidak masuk dalam selang ini. Jadi yang termasuk dalam selang ini adalah bilangan-4 dan bilangan sepanjang garis

hitam tebal.


1

-4

2 3 4 5 6 7

-3 -2 -1 0 1 2 3 4


(e) [1,∞)

Pembahasan:

Pada selang [1,∞), di sebelah kiri bilangan 1 menggunakan tanda kurung siku, berarti bilangan 1 masuk dalam selang, untuk nilai tak hingga (∞) dan nilai min tak hingga (-∞) selalu digunakan tanda kurung biasa. Jadi yang termasuk dalam selang ini adalah bilangan 1 dan semua bilangan sepanjang garis hitam tebal.

(f) (-∞,-4]

Pembahasan:

Pada selang (-∞,-4], untuk nilai tak hingga (∞) dan nilai min tak hingga (-∞) selalu

digunakan tanda kurung biasa, dan di sebelah kanan bilangan -4 menggunakan tanda

kurung siku, berarti bilangan -4 masuk dalam selang ini. Jadi yang termasuk dalam

selang ini adalah semua bilangan sepanjang garis hitam dan bilangan -4.

2. Gunakan cara penulisan Soal 1 untuk memerikan selang-selang berikut.

(a)

Pembahasan:

Pada gambar di atas, titik pada bilangan 2 menggunakan tanda kurung biasa, berarti bilangan 2 tidak masuk dalam selang ini, titik pada bilangan 7 juga menggunakan tanda kurung biasa, berarti bilangan 7 juga tidak masuk dalam selang ini, sehingga bilangan yang masuk dalam selang ini adalah bilangan yang besar dari 2 dan kecil dari 7 atau disimbolkan dengan selang (2,7).

(b)

Pembahasan:

Pada gambar di atas, titik pada bilangan -3 menggunakan tanda kurung siku, berarti

bilangan -3 masuk dalam selang ini, titik pada bilangan 4 menggunakan tanda kurung

biasa, berarti bilangan 4 tidak masuk dalam selang ini, sehingga bilangan yang masuk dalam selang ini adalah bilangan yang besar sama dari -3 dan kecil dari 4 atau

disimbolkan dengan selang [-3,4).


-1 0-2

-1 0 1 2 3

12


(c)

Pembahasan:

Pada gambar di atas, tampak panah menuju ke arah negatif atau menuju min takhingga, berarti untuk penulisan selang di sebelah kiri kita gunakan tanda kurung biasa untuk menyatakan bilangan min takhingga, titik pada bilangan -2 menggunakan

tanda kurung siku, berarti bilangan -2 masuk dalam selang ini, sehingga bilangan

yang masuk dalam selang ini adalah seluruh bilangan yang kecil sama dengan -2 atau

disimbolkan dengan selang (-∞,-2].

(d)

Pembahasan:

Pada gambar di atas, titik pada bilangan -1 menggunakan tanda kurung siku, berarti -1

masuk dalam selang ini, titik pada bilangan 3 juga menggunakan tanda kurung siku berarti bilangan 3 juga masuk dalam selang ini sehingga bilangan yang masuk dalam selang ini adalah bilangan yang besar sama dengan -1 dan kecil sama dengan 3 atau

disimbolkan dengan selang [-1,3].

Dalam tiap Soal 3-34, nyatakanlah himpunan penyelesaian dari ketaksamaan yang diberikan dalam cara penulisan selang dan sketsakan grafiknya.

3. Pembahasan soal Kalkulus Edwin J. Purcell dan Dale Varberg bab I sub bab 3 no. 3

4 x−7<3 x+54 x−3 x<5+7x<12

x kecil dari 12, berarti bilangan 12 tidak masuk dalam selang ini, maka himpunanpenyelesaiannya adalah: (−∞ , 12) dan grafiknya adalah sebagai berikut:



9

3

5

6


2 x+16<x+252 x−x<25−16x<9

x kecil dari 9, berarti bilangan 9 tidak masuk dalam selang ini, maka himpunanpenyelesaiannya adalah: (−∞ ,9 ) , dan grafiknya adalah sebagai berikut:


7 x−1≤10 x+47 x−10 x≤4+1−3 x≤5

x≥−53

x besar sama dengan −53

, berarti bilangan −53

masuk dalam selang ini, maka

himpunan penyelesaiannya adalah:[−53,∞) dan grafiknya adalah sebagai berikut:


6 x−10≥5 x−166 x−5 x≥−16+10x≥−6

x besar sama dengan −6 , berarti bilangan −6 masuk dalam selang ini, makahimpunan penyelesaianya adalah: [−6 ,∞) , dan grafiknya adalah sebagai berikut:



2

3

22

9


10 x+1>8 x+510 x−8 x>5−12 x>4

x>42

x>2

x besar dari 2, berarti bilangan 2 tidak masuk dalam selang ini, maka himpunan penyelesaiannya adalah: (2,∞), dan grafiknya adalahsebagai berikut:


3 x+5>7 x+173 x−7 x>17−5−4 x>124 x<−12

x<−124

x<−3

x kecil dari −3 , berarti bilangan −3 tidak masuk dalam selang ini, maka himpunan penyelesaiannya adalah: (−∞ ,−3) , dan grafiknya adalahsebagai berikut:


−6<2x+3<−1−6−3<2 x<−1−3−9<2x<−4

−92

< x<−42

−92

< x<−2

x besar dari −92

dan kecil dari −2, berarti bilangan −92

dan −2 tidak masuk

dalam selang ini, maka himpunan penyelesaiannya adalah: (−92,−2) dan

grafiknya adalah sebagai berikut:


52

3

5

3

5

2



−3<4 x−9<11−3+9<4 x<11+96<4 x<2062

<42x<20

23<2 x<1032

<x<102

32

<x<5

x besar dari 32

dan kecil dari 5 , berarti bilangan 32

dan 5 tidak masuk dalam

selang ini, maka himpunan penyelesaiannya adalah: (32,5) dan grafiknya

adalah sebagai berikut:


−2<1−5x≤3−2−1<−5x≤3−1−3<−5 x≤235

>x≥−25

x besar sama dengan −25

dan kecil dari 35, berarti bilangan −2

5 masuk dalam

selang ini dan bilangan 35

tidak masuk dalam selang ini, maka himpunan

penyelesaiannya adalah: [−25,35

) dan grafiknya adalah sebagai berikut:



3

2

3

1

32

1


4<5−3x<74−5<3x<7−5−1<3 x<2

−13

<x<23

x besar dari −13

dan kecil dari 23, berarti bilangan −1

3 dan

23

tidak masuk dalam

selang ini, maka himpunan penyelesaiannya adalah: (−13,23 ) dan grafiknya



2+3 x<5x+1<16

selesaikan sisi kiri:2+3 x<5x+12−1<5 x−3 x1<2 x12

<x

selesaikan sisi kanan:5 x+1<165 x<16−15 x<15

x<155

x<3

x besar dari 12

dan kecil dari 3 , berarti bilangan 12

dan 3 tidak masuk dalam selang

ini, maka himpunan penyelesaiannya adalah: (12 ,3) dan grafiknya adalah sebagai

berikut:


9

100



2 x−4≤6−7 x≤3 x+6

selesaikan sisi kiri:2 x−4≤6−7 x2 x+7 x≤6+49 x≤10

x≤109

selesaikan sisi kanan:6−7 x≤3 x+66−6≤3x+7 x0≤10 x0≤x

x besar sama dengan 0 dan kecil sama dengan 109

, berarti bilangan 0 dan 109

masuk dalam selang ini, maka himpunan penyelesaiannya adalah: [0 ,109 ] dan

grafiknya adalah sebagai berikut:


x2+x−12<0( x+4 ) (x−3 )<0

untuk ( x+4 )=0 maka x=−4anggap x1=−4

untuk ( x−3 )=0 maka x=3anggap x2=3

buat garis bilangan untuk x1 dan x2 :


34

34++

34

32


lakukan pemeriksaan nilai untuk tiga bilangan, apakah bernilai positifatau negatif jika x disubstitusikan ke dalam x2+x−12 , tiga bilangan ituadalah bilangan yang terletak antara −∞ dengan −4, bilangan yang terletakantara −4 dengan 3 , dan bilangan yang terletak antara 3 dengan ∞ , makadidapatkan hasil grafiknya seperti berikut:

daerah bernilai negatif adalah himpunan penyelesaian dari persamaan, karenapersamaannya adalah <0 , yaitu x besar dari −4 dan kecil dari 3, berarti bilangan−4 dan 3 tidak masuk dalam selang ini, maka himpunan penyelesaiannya adalah: (−4,3 ) dan gambar grafiknya adalah sebagai berikut:


x2−5x+6>0( x−3 ) ( x−2 )>0

untuk x−3=0 maka x=3anggap x1=3



lakukan pemeriksaan nilai untuk tiga bilangan, apakah bernilai positifatau negatif jika x disubstitusikan ke dalam x2−5 x+6 , tiga bilangan itumasing-masing adalah bilangan yang terletak antara −∞ dengan 2,bilangan yang terletak antara 2 dengan 3 , dan bilangan yang terletak antara 3 dengan ∞ , maka didapatkan hasil grafiknya seperti berikut:


++ 32

32

43

1

++ 4

3

1


daerah bernilai positif adalah himpunan penyelesaian dari persamaan, karenapersamaannya adalah >0 , yaitu x kecil dari 2 dan x besar dari 3, berarti bilangan2 dan 3 tidak masuk dalam selang ini, maka himpunan penyelesaiannya adalah: (−∞ ,2 )∪(3 ,∞ ) dan gambar grafiknya adalah sebagai berikut:


3 x2−11 x−4≤0(3 x+1 ) ( x−4 )≤0

untuk (3x+1 )=0 maka x=−13

anggap x1=−13



lakukan pemeriksaan nilai untuk tiga bilangan, apakah bernilai positifatau negatif jika x disubstitusikan ke dalam 3 x2−11 x−4 , tiga bilangan itu

masing-masing adalah bilangan yang terletak antara −∞ dengan −13,

bilangan yang terletak antara −13

dengan 4 , dan bilangan yang terletak

antara 4 dengan ∞ , maka didapatkan hasil grafiknya seperti berikut:


43

1

2

35

++ 2

35

2

35


daerah bernilai negatif adalah himpunan penyelesaian dari persamaan, karena

persamaannya adalah ≤0 , yaitu x besar sama dengan −13

dan kecil sama dengan

dari 4, berarti bilangan −13

dan 4 masuk dalam selang ini, maka himpunan

penyelesaiannya adalah: [−13

,4] dan gambar grafiknya adalah sebagai berikut:


2 x2+7 x−15≥0(2 x−3 ) ( x+5 )≥0

untuk 2x−3=0 maka x=32

anggap x1=32

untuk x+5=0 maka x=−5anggap x2=−5


lakukan pemeriksaan nilai untuk tiga bilangan, apakah bernilai positifatau negatif jika x disubstitusikan ke dalam 2 x2+7 x−15 , tiga bilangan itumasing-masing adalah bilangan yang terletak antara −∞ dengan −5 ,

bilangan yang terletak antara −5 dengan 32, dan bilangan yang terletak

antara 32

dengan ∞ , maka didapatkan hasil grafiknya seperti berikut:

daerah bernilai positif adalah himpunan penyelesaian dari persamaan, karenapersamaannya adalah ≥0 , yaitu x kecil sama dengan −5 dan x besar sama

dengan 32

, berarti bilangan −5 dan 32

masuk dalam selang ini, maka himpunan

penyelesaiannya adalah: (−∞ ,−5 ]∪[32,∞) dan gambar grafiknya adalah

sebagai berikut:



2

13

++ 2

13

2

13


2 x2+5 x−3>0(2 x−1 ) (x+3 )>0

untuk (2x−1 )=0 maka x=12

anggap x1=12



lakukan pemeriksaan nilai untuk tiga bilangan, apakah bernilai positifatau negatif jika x disubstitusikan ke dalam 2 x2+5 x−3 , tiga bilangan itumasing-masing adalah bilangan yang terletak antara −∞ dengan −3 ,


antara 12


daerah bernilai positif adalah himpunan penyelesaian dari persamaan, karena

persamaannya adalah >0 , yaitu x kecil dari −3 dan x besar dari 12

, berarti

bilangan −3 dan 12


penyelesaiannya adalah: (−∞ ,−3 )∪(12 ,∞) dan gambar grafiknya adalah

sebagai berikut:



24

3

++ 2

4

3

24

3


4 x2−5 x−6<0(4 x+3 ) ( x−2 )<0

untuk (4 x+3 )=0 maka x=−34

anggap x1=−34



lakukan pemeriksaan nilai untuk tiga bilangan, apakah bernilai positifatau negatif jika x disubstitusikan ke dalam 4 x2−5 x−6 , tiga bilangan itu


bilangan yang terletak antara −34

dengan 2 , dan bilangan yang terletak

antara 2 dengan ∞ , maka didapatkan hasil grafiknya seperti berikut:


persamaannya adalah <0 , yaitu x besar dari −34

dan kecil dari 2, berarti

bilangan −34

dan 2 tidak masuk dalam selang ini, maka himpunan

penyelesaiannya adalah: (−34,2) dan gambar grafiknya adalah sebagai

berikut:



2

15

++ 2

15


x+52 x−1

≤0

untuk x+5=0 maka x=−5anggap x 1 =−5


anggap x2=12


Pada garis bilangan di atas tampak titik pada bilangan −5 dihitamkankarena persamaan ≤0, berarti bilangan −5 masuk dalam himpunan

penyelesaiannya dan titik pada bilangan 12

tidak dihitamkan karena

jika bilangan 12

dianggap masuk sebagai himpunan penyelesaian

akan membuat penyebut pecahan bernilai nol sehingga persamaan nilaipersamaan menjadi tidak terdefinisi .lakukan pemeriksaan nilai untuk tiga bilangan, apakah bernilai positif

atau negatif jika x disubstitusikan ke dalam x+52x−1

, tiga bilangan itu

masing-masing adalah bilangan yang terletak antara −∞ dengan −5 ,


antara 12



2

15

2

31

++ 2

31



persamaannya adalah ≤0 , yaitu x besar sama dengan −5 dan kecil dari 12

, berarti

bilangan −5 masuk dalam selang ini dan bilangan 12

tidak masuk dalam selang

ini, maka himpunan penyelesaiannya adalah: [−5 ,12

) dan gambar grafiknya



2 x−3x+1

>0


anggap x1=32



Pada garis bilangan di atas tampak titik pada bilangan 32

tidak

dihitamkan karena persamaan >0, berarti bilangan 32

tidak

masuk dalam himpunan penyelesaiannya dan titik pada bilangan −1 tidak dihitamkan karena jika bilangan −1 dianggap masuk dalamhimpunan penyelesaian, maka penyebut dari pecahan akanbernilai nol, sehingga nilai dari pecahan menjadi tidak terdefinisi .lakukan pemeriksaan nilai untuk tiga bilangan, apakah bernilai positif

atau negatif jika x disubstitusikan ke dalam 2x−3x+1

, tiga bilangan itu



antara 32



2

31

5

10



persamaannya adalah >0 , yaitu x kecil dari −1 dan x besar dari 32

, berarti

bilangan −1 dan bilangan 32


penyelesaiannya adalah: (−∞ ,−1 )∪(32,∞) dan gambar grafiknya



1x

<5

1x−5<0

1−5 xx

<0

untuk 1−5 x=0 maka x=15

anggap x1=15

untuk x=0 maka anggap x2=0

buat garis bilangan untuk x1 dan x2


5

10

5

10



tidak

dihitamkan karena persamaan <0, berarti bilangan 15

tidak

masuk dalam himpunan penyelesaiannya dan titik pada bilangan 0 tidak dihitamkan karena jika bilangan 0 dianggap masuk dalamhimpunan penyelesaian, maka penyebut dari pecahan akanbernilai nol, sehingga nilai dari pecahan menjadi tidak terdefinisi .

lakukan pemeriksaan nilai untuk tiga bilangan, apakah bernilai positif

atau negatif jika x disubstitusikan ke dalam 1−5 xx

, tiga bilangan itu

masing-masing adalah bilangan yang terletak antara −∞ dengan 0 ,

bilangan yang terletak antara 0 dengan 15, dan bilangan yang terletak

antara 15



persamaannya adalah <0 , yaitu x kecil dari 0 dan x besar dari 15

, berarti

bilangan 0 dan bilangan 15


penyelesaiannya adalah: (−∞ ,0 )∪(15 ,∞) dan gambar grafiknya




6

70

6

70


72 x

<3

72 x

−3<0

7−6 x2 x

<0

untuk 7−6 x=0 maka x=76

anggap x1=76

untuk 2x=0 maka x=0anggap x2=0



tidak

dihitamkan karena persamaan <0, berarti bilangan 76

tidak

masuk dalam himpunan penyelesaiannya dan titik pada bilangan 0 tidak dihitamkan karena jika bilangan 0 dianggap masuk dalamhimpunan penyelesaian, maka penyebut dari pecahan akanbernilai nol, sehingga nilai dari pecahan menjadi tidak terdefinisi .lakukan pemeriksaan nilai untuk tiga bilangan, apakah bernilai positif

atau negatif jika x disubstitusikan ke dalam 7−6 x2x

, tiga bilangan itu

masing-masing adalah bilangan yang terletak antara −∞ dengan 0 ,

bilangan yang terletak antara 0 dengan 76, dan bilangan yang terletak

antara 76



6

70

4

3

3

2



persamaannya adalah <0 , yaitu x kecil dari 0 dan x besar dari 76

, berarti

bilangan 0 dan bilangan 76


penyelesaiannya adalah: (−∞ ,0 )∪(76 ,∞) dan gambar grafiknya


25. Pembahasan soal Kalkulus Edwin J. Purcell dan Dale Varberg bab I sub bab 3 no. 2513 x−2

≤4

13 x−2

−4≤0

1−4 (3 x−2 )3 x−2

≤0

1−12 x+83 x−2

≤0

−12 x+93 x−2

≤0

untuk −12 x+9=0 maka x=34

anggap x1=34


anggap x2=23

buat garis bilangan untuk x1 dan x2:


4

3

3

2

4

3

3

2



dihitamkan

karena persamaan ≤0, berarti bilangan 34

masuk dalam himpunan

penyelesaiannya dan titik pada bilangan 23

tidak dihitamkan karena

jika bilangan 23

dianggap masuk dalam himpunan penyelesaian,

maka penyebut dari pecahan akan bernilai nol, sehingga nilai daripecahan menjadi tidak terdefinisi .


atau negatif jika x disubstitusikan ke dalam −12x+93 x−2

, tiga bilangan itu

masing-masing adalah bilangan yang terletak antara −∞ dengan 23,

bilangan yang terletak antara 23

dengan 34, dan bilangan yang terletak

antara 34



persamaannya adalah ≤0 , yaitu x kecil dari 23

dan x besar sama dengan 34,

berarti bilangan 23

tidak masuk dalam selang ini dan bilangan 34

masuk dalam

selang ini, maka himpunan penyelesaiannya adalah: (−∞ ,23 )∪[ 3

4,∞) dan

gambar grafiknya adalah sebagai berikut:



2

75

2

75


3x+5

>2

3x+5

−2>0

3−2 ( x+5 )x+5

>0

3−2x−10x+5

>0

−2 x−7x+5

>0

untuk −2 x−7=0 maka x=−72

anggap x1=−72



Pada garis bilangan di atas tampak titik pada bilangan −72

tidak

dihitamkan karena persamaan >0, berarti bilangan 72

tidak masuk

dalam himpunan penyelesaiannya dan titik pada bilangan −5 tidakdihitamkan karena jika bilangan −5 dianggap masuk dalam himpunan penyelesaian, maka penyebut dari pecahan akan bernilai nol, sehingga nilai dari pecahan menjadi tidak terdefinisi .


atau negatif jika x disubstitusikan ke dalam −2 x−7x+5

, tiga bilangan itu

masing-masing adalah bilangan yang terletak antara −∞ dengan −5 ,

bilangan yang terletak antara −5 dengan −72, dan bilangan yang terletak

antara −72



2

75

410



persamaannya adalah >0 , yaitu x besar dari −5 dan kecil dari −72

, berarti

bilangan −5 dan−72


penyelesaiannya adalah: (−5 ,−72 ) dan gambar grafiknya adalah sebagai

berikut:


x−2x+4

<2

x−2x+4

−2<0

( x−2 )−2 ( x+4 )x+4

<0

x−2−2x−8x+4

<0

−x−10x+4

<0

untuk −x−10=0 maka x=−10anggap x1=−10



Pada garis bilangan di atas tampak titik pada bilangan −10 tidakdihitamkan karena persamaan <0, berarti bilangan −10 tidak masukdalam himpunan penyelesaiannya dan titik pada bilangan −4 tidakdihitamkan karena jika bilangan −4 dianggap masuk dalam himpunan penyelesaian, maka penyebut dari pecahan akan bernilai nol, sehingga nilai dari pecahan menjadi tidak terdefinisi .


410

410

32



atau negatif jika x disubstitusikan ke dalam −x−10x+4

, tiga bilangan itu

masing-masing adalah bilangan yang terletak antara −∞ dengan −10 ,bilangan yang terletak antara −10 dengan −4 , dan bilangan yang terletak antara −4 dengan ∞ , maka didapatkan hasil grafiknya seperti berikut:

daerah bernilai negatif adalah himpunan penyelesaian dari persamaan, karenapersamaannya adalah <0 , yaitu x kecil dari −10 dan x besar dari −4, berarti bilangan −10 dan−4 tidak masuk dalam selang ini, maka himpunan penyelesaiannya adalah: (−∞ ,−10 )∪(−4 ,∞ ) dan gambar grafiknya adalahsebagai berikut:


2 x−1x−3

>1

(2 x−1 )−1 ( x−3 )x−3

>0

2 x−1−x+3x−3

>0

x+2x−3

>0




Pada garis bilangan di atas tampak titik pada bilangan −2 tidakdihitamkan karena persamaan >0, berarti bilangan −2 tidak masukdalam himpunan penyelesaiannya dan titik pada bilangan 3 tidakdihitamkan karena jika bilangan 3 dianggap masuk dalam himpunan penyelesaian, maka penyebut dari pecahan akan bernilai nol, sehingga nilai dari pecahan menjadi tidak terdefinisi .


32

32

23

7

2

1



atau negatif jika x disubstitusikan ke dalam x+2x−3

, tiga bilangan itu

masing-masing adalah bilangan yang terletak antara −∞ dengan −2 ,bilangan yang terletak antara −2 dengan 3 , dan bilangan yang terletak antara 3 dengan ∞ , maka didapatkan hasil grafiknya seperti berikut:

daerah bernilai positif adalah himpunan penyelesaian dari persamaan, karenapersamaannya adalah >0 , yaitu x kecil dari −2 dan x besar dari 3 , berarti bilangan −2 dan 3 tidak masuk dalam selang ini, maka himpunan penyelesaiannya adalah: (−∞ ,−2 )∪(3,∞ ) dan gambar grafiknya adalah sebagai berikut:

29. Pembahasan soal Kalkulus Edwin J. Purcell dan Dale Varberg bab 1 sub bab 3 no. 29

( x+2 ) (2x−1 ) (3 x+7 )≥0



anggap x2=12


anggap x3=−73

buat garis bilangan untuk x1 , x2 , dan x3 :


, −2 ,

dan 12

dihitamkan karena persamaan ≥0, berarti bilangan −73

, −2 ,

dan 12

masuk dalam himpunan penyelesaiannya.


23

7

2

1

23

7

2

1

3

1

2

3 2


lakukan pemeriksaan nilai untuk empat bilangan, apakah bernilai positifatau negatif jika x disubstitusikan ke dalam ( x+2 ) (2 x−1 ) (3x+7 ) , empat bilangan itu masing-masing adalah bilangan yang terletak antara −∞

dengan −73

, bilangan yang terletak antara −73

dengan −2 , bilangan yang

terletak antara −2 dengan 12

, dan bilangan yang terletak antara 12

dengan

∞ , maka didapatkan hasil grafiknya seperti berikut:

daerah bernilai positif adalah himpunan penyelesaian dari persamaan, karenapersamaannya adalah ≥0 , ada 2 daerah bernilai positif pada selang ini,yaitu:

(a ) x besar sama dengan −73

dan kecil sama dengan −2

(b ) x besar sama dengan 12

berarti bilangan −73

, −2 , dan 12

masuk dalam selang ini, maka himpunan

penyelesaiannya adalah: [−73,−2]∪[1

2,∞) dan gambar grafiknya adalah

sebagai berikut:


(2 x+3 ) (3 x−1 ) ( x−2 )<0


anggap x1=−32


anggap x2=13




3

1

2

3 2

3

1

2

3 2



, 13,

dan 2 tidak dihitamkan karena persamaan <0, berarti bilangan

−32

, 13,dan 2 tidak masuk dalam himpunan penyelesaiannya .

lakukan pemeriksaan nilai untuk empat bilangan, apakah bernilai positifatau negatif jika x disubstitusikan ke dalam (2x+3 ) (3 x−1 ) ( x−2 ) , empat bilangan itu masing-masing adalah bilangan yang terletak antara −∞

dengan −32


dengan 13, bilangan yang

terletak antara 13

dengan 2, dan bilangan yang terletak antara 2 dengan


daerah bernilai negatif adalah himpunan penyelesaian dari persamaan, karenapersamaannya adalah <0 , ada 2 daerah bernilai negatif pada selang ini, yaitu:

(a ) x kecil dari −32

(b ) x besar dari 13

dan kecil dari 2


, 13, dan 2 tidak masuk dalam selang ini, maka

himpunan penyelesaiannya adalah:(−∞ ,−32 )∪(13 ,2) dan




3

1

2

3 5

3

1

2

3 5


(2 x+3 ) (3 x−1 )2 ( x−5 )<0(2 x+3 ) (3 x−1 ) (3 x−1 ) (x−5 )<0


anggap x1=−32


anggap x2=13




, 13,

dan 5 tidak dihitamkan karena persamaan <0, berarti bilangan

−32

, 13,dan 5 tidak masuk dalam himpunan penyelesaiannya .

lakukan pemeriksaan nilai untuk empat bilangan, apakah bernilai positifatau negatif jika x disubstitusikan ke dalam (2x+3 ) (3 x−1 )2 ( x−5 ) , empat bilangan itu masing-masing adalah bilangan yang terletak antara −∞

dengan −32


dengan 13, bilangan yang

terletak antara 13

dengan 5, dan bilangan yang terletak antara 5 dengan



3

1

2

3 5

252

1


daerah bernilai negatif adalah himpunan penyelesaian dari persamaan, karenapersamaannya adalah <0 , ada 2 daerah bernilai negatif pada selang ini, yaitu:

(a )x besar dari −32

dan kecil dari 13

(b )x besar dari 13

dan kecil dari 5


, 13

, dan 5 tidak masuk dalam selang ini, maka himpunan

penyelesaiannya adalah:(−32,13 )∪(13 ,5) dan



( x+5 ) ( x+2 )2 (2x−1 )>0

untuk ( x+5 )=0 maka x=−5anggap x 1 =−5



anggap x3=12


Pada garis bilangan di atas tampak titik pada bilangan −5 , −2 ,

dan 12

tidak dihitamkan karena persamaan >0, berarti bilangan

−5 , −2 ,dan 12

tidak masuk dalam himpunan penyelesaiannya .


25

2

1

52

1

01 6


lakukan pemeriksaan nilai untuk empat bilangan, apakah bernilai positifatau negatif jika x disubstitusikan ke dalam ( x+5 ) ( x+2 )2 (2 x−1 ) , empat bilangan itu masing-masing adalah bilangan yang terletak antara −∞dengan −5 , bilangan yang terletak antara −5 dengan −2 , bilangan yang

terletak antara −2 dengan 12

, dan bilangan yang terletak antara 12

dengan


daerah bernilai positif adalah himpunan penyelesaian dari persamaan, karenapersamaannya adalah >0 , ada 2 daerah bernilai positif pada selang ini, yaitu:(a ) x kecil dari −5

(b ) x besar dari 12

berarti bilangan −5 dan 12


penyelesaiannya adalah: (−∞ ,−5 )∪(12 ,∞) dan



x3−5x2−6 x<0x (x−6 ) ( x+1 )<0

untuk x=0 maka x1=0




Pada garis bilangan di atas tampak titik pada bilangan −1 , 0 ,dan 6 tidak dihitamkan karena persamaan <0, berarti bilangan −1 , 0 ,dan 6 tidak masuk dalam himpunan penyelesaiannya .


01 6

01 6

11

11


lakukan pemeriksaan nilai untuk empat bilangan, apakah bernilai positifatau negatif jika x disubstitusikan ke dalam x3−5 x2−6 x , empat bilangan itu masing-masing adalah bilangan yang terletak antara −∞dengan −1 , bilangan yang terletak antara −1 dengan 0 , bilangan yang terletak antara 0 dengan 6 , dan bilangan yang terletak antara 6 dengan∞ , maka didapatkan hasil grafiknya seperti berikut:

daerah bernilai negatif adalah himpunan penyelesaian dari persamaan, karenapersamaannya adalah <0 , ada 2 daerah bernilai negatif pada selang ini, yaitu:(a ) x kecil dari −1(b ) x besar dari 0 dan kecil dari 6berarti bilangan −1 , 0 dan 6 tidak masuk dalam selang ini, maka himpunan penyelesaiannya adalah: (−∞ ,−1 )∪ (0,6 ) dan gambar grafiknya adalah sebagai berikut:


x3−x2−x+1>0(x2−1 ) ( x−1 )>0( x+1 ) (x−1 ) ( x−1 )>0




Pada garis bilangan di atas tampak titik pada bilangan −1 dan 1 tidakdihitamkan karena persamaan >0, berarti bilangan −1 dan 1 tidak masuk dalam himpunan penyelesaiannya .lakukan pemeriksaan nilai untuk tiga bilangan, apakah bernilai positifatau negatif jika x disubstitusikan ke dalam x3−x2−x+1 , tiga bilangan itu masing-masing adalah bilangan yang terletak antara −∞dengan −1 , bilangan yang terletak antara −1 dengan 1 , bilangan yang terletak antara 1 dengan ∞ , maka didapatkan hasil grafiknya seperti berikut:


11


daerah bernilai positif adalah himpunan penyelesaian dari persamaan, karenapersamaannya adalah >0 , ada 2 daerah bernilai positif pada selang ini, yaitu:(a ) x besar dari −1 dan kecil dari 1(b ) x besar 1berarti bilangan −1 dan 1 tidak masuk dalam selang ini, maka himpunan penyelesaiannya adalah: (−1,1 )∪(1 ,∞ ) dan gambar grafiknya adalah sebagai berikut:

35. Pembahasan soal Kalkulus Edwin J. Purcell dan Dale Varberg bab I sub bab 3 no. 35Carilah semua nilai x yang memenuhi kedua ketaksamaan secara serentak (simultan).(a) Pembahasan soal Kalkulus Edwin J. Purcell dan Dale Varberg bab I sub bab 3 no. 35a

3 x+7>1 dan 2 x+1<3

untuk 3x+7>13 x>−6x>−2hp1 : (−2 ,∞ )

untuk 2x+1<32 x<2x<1hp2 : (−∞ ,1 )

daerah yang beririsan dari hp1 dengan hp2 adalah (−2,1 ) .Jadi nilai x yang memenuhi kedua ketaksamaan secaraserentak (simultan ) adalah (−2,1 )

(b) Pembahasan soal Kalkulus Edwin J. Purcell dan Dale Varberg bab I sub bab 3 no. 35b



3 x+7>1 dan 2 x+1>−4

untuk 3x+7>13 x>−6x>−2hp1 : (−2 ,∞ )

untuk 2x+1>−42 x>−5

x>−52

hp2 :(−52,∞)

daerah yang beririsan dari hp1 dengan hp2 adalah (−2 ,∞ ) .Jadi nilai x yang memenuhi kedua ketaksamaan secaraserentak (simultan ) adalah (−2 ,∞ )

(c) Pembahasan soal Kalkulus Edwin J. Purcell dan Dale Varberg bab I sub bab 3 no. 35c

3 x+7>1 dan 2 x+1<−4

untuk 3x+7>13 x>−6x>−2hp1= (−2 ,∞ )

untuk 2x+1<−42 x<−5

x<−52

hp2=(−∞ ,−52 )

tidak ada daerah yang beririsan dari hp1 dengan hp2 , dengankata lain daerah yang beririsan dari hp1 dengan hp2 adalahhimpunan kosong .Jadi tidak ada nilai x yang memenuhi kedua ketaksamaansecara serentak (simultan )

36. Pembahasan soal Kalkulus Edwin J. Purcell dan Dale Varberg bab I sub bab 3 no. 36Carilah semua nilai x yang memenuhi paling sedikit satu dari dua ketaksamaan.



(a) Pembahasan soal Kalkulus Edwin J. Purcell dan Dale Varberg bab I sub bab 3 no. 36a





37. Pembahasan soal Kalkulus Edwin J. Purcell dan Dale Varberg bab I sub bab 3 no. 37Tentukan x, dan nyatakan jawabannya dalam notasi selang (interval).(a) Pembahasan soal Kalkulus Edwin J. Purcell dan Dale Varberg bab I sub bab 3 no. 37a

( x+1 ) ( x2+2x−7 )≥x2−1

( x+1 ) ( x2+2x−7 )−x2+1≥0x3+2 x2−7x+x2+2x−7−x2+1≥0x3+2 x2−5x−6≥0( x+1 ) ( x2+x−6 )≥0( x+1 ) (x+3 ) ( x−2 )≥0untuk x+1=0 maka x=−1anggap x1=−1





13 2

13 2

13 2


Pada garis bilangan di atas tampak titik pada bilangan −3 , −1 ,dan 2 dihitamkan karena persamaan ≥0, berarti bilangan −3 , −1 , dan 2 masuk dalam himpunan penyelesaiannya .lakukan pemeriksaan nilai untuk empat bilangan, apakah bernilai positifatau negatif jika x disubstitusikan ke dalam ( x+1 ) (x2+2x−7 )−x2+1 ,empat bilangan itu masing-masing adalah bilangan yang terletak antara −∞ dengan −3 , bilangan yang terletak antara −3 dengan −1 , bilangan yang terletak antara −1 dengan 2 , dan bilangan yang terletak antara 2 dengan ∞ , maka didapatkan hasil grafiknya seperti berikut:

daerah bernilai positif adalah himpunan penyelesaian dari persamaan, karenapersamaannya adalah ≥0 , ada 2 daerah bernilai positif pada selang ini, yaitu:(a ) x besar sama dengan −3 dan kecil sama dengan −1(b ) x besar sama dengan 2berarti bilangan −3 ,−1 , dan 2 masuk dalam selang ini, maka himpunan penyelesaiannya adalah: [−3 ,−1 ]∪[2 ,∞) dan gambar grafiknya adalah sebagai berikut:


x2−2x2≥8−x2≥8−x2−8≥0x2+8≤0

ketaksamaan tidak dapat difaktorkan, jadi tidak ada nilai x yangmemenuhi ketaksamaan, sehingga himpunan penyelesaianadalah himpunan kosong



12 1 2

12 1 2


(x2+1 )2−7 (x2+1 )+10<0x4+2 x2+1−7 x2−7+10<0x4−5 x2+4<0( x−1 ) (x3+x2−4 x−4 )<0

( x−1 ) ( x+1 ) (x2−4 )<0

( x−1 ) ( x+1 ) (x2−22)<0( x−1 ) ( x+1 ) ( x−2 ) ( x+2 )<0untuk ( x−1 )=0 maka x=1anggap x1=1




buat garis bilangan untuk x1 , x2 , x3 , dan x4

Pada garis bilangan di atas tampak titik pada bilangan −2 , −1,1, dan 2 tidak dihitamkan karena persamaan <0, berarti bilangan −2 , −1 , 1, dan 2 tidak masuk dalam himpunan penyelesaiannya .lakukan pemeriksaan nilai untuk empat bilangan, apakah bernilai positifatau negatif jika x disubstitusikan ke dalam (x2+1 )−7 (x2+1 )+10 ,empat bilangan itu masing-masing adalah bilangan yang terletak antara −∞ dengan −2 , bilangan yang terletak antara −2 dengan −1, bilangan yang terletak antara −1 dengan 1 , bilangan yang terletak antara 1 dengan 2 , dan bilangan yang terletak antara 2 dengan ∞ , maka didapatkan hasil grafiknya seperti berikut:


12 1 2


daerah bernilai negatif adalah himpunan penyelesaian dari persamaan, karenapersamaannya adalah <0 , ada 2 daerah bernilai negatif pada selang ini, yaitu:(a ) x besar dari −2 dan kecil dari −1(b ) x besar dari 1 dan kecil dari 2berarti bilangan −2,−1 , 1, dan 2 tidak masuk dalam selang ini, maka himpunan penyelesaiannya adalah: (−2 ,−1 )∪(1,2 ) dan gambar grafiknya adalah sebagai berikut:




1+x+x2+x3+. ..+x99≤0( x+1 ) ( x98+x96+x94+x 92 +…+x6+x 4+x2+1 )untuk x>0 maka( x+1 ) akan bernilai positif, dan(x98+x96+x94+x92+…+x6+x4+x2+1 ) akan bernilai positif,sehingga( x+1 ) ( x98+x96+x94+x92+…+x6+x4+x2+1 )akan bernilai=positif × positif = positifJadi x>0 tidak memenuhi ketaksamaan ini untuk x=0 maka( x+1 ) akan bernilai 1, dan(x98+x96+x94+x92+…+x6+x4+x2+1 ) akan 1,sehingga( x+1 ) ( x98+x96+x94+x92+…+x6+x4+x2+1 )=1×1=1,Jadi x=0 tidak memenuhi ketaksamaan ini untuk −1<x<0 maka( x+1 ) akan bernilai positif, dan(x98+x96+x94+x92+…+x6+x4+x2+1 ) akan bernilai positif,karena walaupun x bernilai negatif, tapi pangkat dari x semuanya genapsehingga nilai dari bilangan negatif yang berpangkat genap akan bernilaipositif, sehingga (x98+x96+x94+x92+x…+x6+x4+x2+1 ) akan positifOleh karena itu,( x+1 ) ( x98+x96+x94+x92+…+x6+x4+x2+1 ) akan bernilai =positif×positif = positifJadi −1< x<0 tidak meemenuhi ketaksamaan iniuntuk x=−1 maka,( x+1 ) akan bernilai 0, karena ( x+1 ) sudah bernilai 0, tidak perlu lagi untuk diketahui apakah(x98+x96+x94+x92+x…+x6+x4+x2+1 ) bernilai positif ataunegatif, maka sudah jelas diketahui bahwa ( x+1 ) ( x98+x96+x94+x92+…+x6+x4+x2+1 ) akan bernilai 0Jadi x=−1 memenuhi ketaksamaan ini



untuk x<−1 maka( x+1 ) akan bernilai negatif, dan(x98+x96+x94+x92+x…+x6+x4+x2+1 ) akan bernilai positif,karena walaupun x bernilai negatif, tapi pangkat dari x semuanya genap,sehingga bilangan negatif yang berpangkat genap akan bernilai positifOleh karena itu (x+1 ) (x98+x96+ x94+ x92+…+x6+ x4+x2+1 )akan bernilai = negatif × positif = negatifJadi x<−1 memenuhi ketaksamaan ini

Dari penjabaran di atas didapat bahwa yang memenuhi ( x+1 ) ( x98+x96+x94+x92+…+x6+x4+x2+1 )≤0 adalah x=−1 danx<−1 , dengan kata lain yang memenuhi ( x+1 ) ( x98+x96+x94+x92+…+x6+x4+x2+1 )≤0 adalah x≤−1


Persamaan 1R

=1R1

+1R2

+1R3

menyatakan hambatan total R

dalam suatu rangkaian listrik yang mengandung tiga hambatan,R1 , R2 , dan R3 dihubungkan secara paralel . Bila 10≤R1≤20 ,20≤R2≤30 , dan 30≤R3≤40 , tentukan batas harga untuk R .

menentukan batas harga minimum untuk R :

R akan bernilai minimum jika 1R

bernilai maksimum,

1R

akan bernilai maksimum jika 1R1

,1R2

, dan 1R3

bernilai maksimum,

1R1

akan bernilai maksimum jika R1 bernilai minimum, maka R1=10 ,

begitu juga 1R2

akan bernilai maksimum jika R2 bernilai minimum,

maka R2=20 , begitu juga 1R3

akan bernilai maksimum jika R3

bernilai minimum, maka R3=30 .



sehingga:1R

=1R1

+1R2

+1R3

1R

=110

+120

+130

1R

=6+3+260

1R

=1160

R=6011

R≈5 ,4545455

Jadi batas harga minimum untuk R adalah sekitar 5,4545455

menentukan batas harga maksimum untuk R :

R akan bernilai maksimum jika 1R

bernilai minimum,

1R

akan bernilai minimum jika 1R1

,1R2

, dan 1R3

bernilai minimum,

1R1

akan bernilai minimum jika R1 bernilai maksimum, maka R1=20 ,

begitu juga 1R2

akan bernilai minimum jika R2 bernilai maksimum,

maka R2=30 , begitu juga 1R3

akan bernilai minimum jika R3

bernilai maksimum, maka R3=40.

sehingga:1R

=1R1

+1R2

+1R3

1R

=120

+130

+140

1R

=6+4+3120

1R

=13120

R=6013

R=9 ,230769231

Jadi batas harga maksimum untuk R adalah 9 ,230769231


sahabat informasi 3

Documents

Transcript of sahabat informasi 3