III. AKAR-AKAR PERSAMAAN

Sewaktu SLTP, kita belajar memperoleh akar-akar suatu persamaan melalui :

x12 , merupakan akar-akar dari suatu persamaan :

Kemudian yang muncul di benak kita adalah apakah arti dari akar suatu persamaan ?

Beberapa definisi dari arti sebuah akar-akar persamaan adalah :

Akar dari suatu f ( x ) adalah suatu nilai sehingga f ( x ) , atau sering juga disebut

sebagai persamaan pembuat nol ( zeros of equation ).

Sebagai contoh dapat diberikan ilustrasi berikut :

Andaikata kita mempunyai suatu parasit yang berkecepatan :

. . . . . persamaan explisit

t : adalah waktu, merupakan independent variable

V : adalah kecepatan, merupakan dependent variable

g : adalah percepatan gravitasi

c : adalah koefisien drag

m : adalah massa

Persamaan explisit diatas, dapat diubah menjadi persamaan implisit berikut :

f ( c ) = 0 akan diperoleh akar-akar dari c

dalam menyelesaikan akar-akar suatu persamaan dikenal beberapa metode sebagai

berikut :

1. Metode Grafis

Andaikata kita mempunyai fungsi :

x f ( x )

0 1

0.2 0.619

0.4 0.270

0.6 -0.051

0.8 -0.351

1.0 -0.632

f ( 0.57 ) = e-0.57 - 0.57

= - 0.0045 0

2. Metode Setengah Interval (Bisection Method)

1 Perkirakan akar terkecil xe dan akar terbesar xu ; kemudian check f ( xe ) . f ( xu ) < 0

2 Perkiraan akar kemudian adalah :

3 Buatlah suatu elevasi :

I II

a. Bila : f ( xe ) . f ( xr ) < 0 akar pada sub interval pertama; sehingga :

xe xr xu

ROOT : 0.570.25

0.5

0.75

1.0

0.60.50.40.30.20.1

xu = xr kembali ke step 2

b. Bila : f ( xe ) . f ( xr ) > 0 akar pada sub interval kedua; sehingga :

xe = xr kembali ke step 2

c. Bila : f ( xe ) . f ( xr ) = 0 maka akar persamaan adalah xr dan proses perhitungan

dihentikan.

Catatan :

Proses di 3.c tergantung pada set-nya akurasi yang dikehendaki, misalnya 0.00001

d.

e. Apakah perhitungan cukup akurat.

Contoh :

f ( x ) = e -x - x

akar persamaannya 0.56714329

- Perkirakan : xe = 0

xu = 1

xr = = 0.5

Et = 0.56714329 - 0.5 = 0.06714329

f ( xe ) . f ( xr ) = 1 . (0.10653) = 0.10653 > 0

Akar pada interval kedua, yaitu antara 0.5 dan 1.0

xe = 0.5

xu = 1

xr =

f ( xe ) . f ( xr ) = f ( 0.5 ) . f ( 0.75 )

= - 0.030 < 0

Jadi akar terletak antara 0.5 dan 0.75

xe = 0.5

xu = 0.75

xr =

f ( xe ) . f ( xu ) = f ( 0.5 ) . f ( 0.625 )

= - 0.010 < 0

Akar diantara 0.5 dan 0.625

xe = 0.5

xu = 0.625

xr =

.

.

.dan seterusnya

Kriteria pembatas :

ditentukan, misalnya 0.1 % dan sebagainya

3. Aturan Descartes

Jumlah akar positip adalah sama dengan jumlah / kali perubahan tanda dari

persamaan

Jumlah akar negatif adalah sama dengan jumlah repetisi dari tanda koefisien

persamaan tadi

Contoh :

Perubahan tanda 2x repetisi 1x

Akar-akar : 11.2 ; 2.5 ; -1.5

Dari batasan yang ada diatas maka :

1. Ada dua akar bertanda positip

2. Ada satu akar bertanda negatip

Memperkirakan akar terbesar dan terkecil .

Akar terbesar diperkirakan dengan mengambil persamaan linear :

x = - an-1

e.j. : xmax = 12.2

atau :

Dari akar-akar persamaan :

x ( x2 - 12.2 x + 7.45 ) = 0

xmax = 11.55

Perkiraan akar terkecil :

7.45 x + 42 = 0

xsmallest : -5.64

atau :

12.2 x2 - 7.45 x - 42 = 0

xs = -1.58

4. Metode Substitusi

Andaikata kita harus memperoleh akar dari :

x3 - 3 x + 1 = 0

Persamaan tersebut dapat dituliskan pula :

3 x = x3 + 1 x =

x = f ( x )

Sedemikian pula, bila f = 0 sehingga

= F ( )

Bila nilai awal x(1) dari kar diberikan, maka suatu urutan x(2),

x(3) . . .diberikan dalam "RECURRENCE RELATION" :

x(j+i) = F ( x(j) )

hubungan tersebut mempunyai suatu harapan akan converge ke

(yaitu akar persamaan)

Converge akan terjadi untuk suatu nilai

0 < < 1

Sehingga : akan terjadi bila : dengan demikian :

atau

karena

Bila proses dilanjutkan :

Perhatikan : f ( x ) = x3 - 3x + 1 = 0

f ( -2 ) = -8 + 6 + 1 = -1ada satu akar -1 < 3 > -2

f ( -1 ) = -1 + 3 + 1 = +3

f ( 0 ) = +1ada satu akar 0 >

f ( 1 ) = 1 - 3 + 1 = -1

f ( 1 ) = -1ada satu akar 2 >

f ( x ) = x3 - 3x + 1 = 0

x = F ( x ) = ( x3 + 1 )

FI ( x ) = x2

bila

Bila F () (1-k) + k F ()

Sehingga :

Bila : k = -0.5, maka :

F (x ) =

FI (x ) =

=

x2 < 5 ( i )

FI( x ) < 1 dan 3

x (1) = 0.5

x(2) =

x(3) =

.

.x(9) = 0.3471961 akar 1

x(1) = 1.5

x(2) =

x(3) = 1.528319

.

.

x (9) = 1.532089 . . . . . . . akar kedua

x(1) = - 1.5

x(2) =

.

.

.x(11) = -1879385

5. Metode Newton-Raphson

Misalkan :

f ( x ) = e-x - x , Nilai awal = 0

fI ( x ) = - e-x - 1

xi+1 = x1 = 0

x2 = 0 -

x0

i xi % =

0 0 100 % TV = True Value

1 0.5 11.8 RV = Real Value

2 0.566311003 0.47 =

3 0.567143165 0.0000220

4 0.567143290 < 10-8

5.1 Pitfall (blunder) / Masalah Terhadap Metode Newton Raphson

Metode ini sangat effisien kecuali untuk akar-akar ganda, dimana sukar untuk konvergen

Contoh :

f ( x ) = x10 - 1

cari akar positip, dimulai dengan x = 0.5

iterasi xi

0 0.5

1 51.65

2 46.65

3 41.8365

4 37.65285

5 33.887565

Akar sebenarnya adalah x = 1 . Terlihat bahwa konvergensinya adalah sangat lambat.

6. Metode Secant

xi+1 = xi -

Dalam metode ini perlu adanya dua nilai asumsi awal

Contoh :

f ( x ) = e-x - x akar sebenarnya : 0.56714329

x-1 = 0

x-0 = 1

x-1 = 0 f ( x-1 ) = 1

x-0 = 1 f ( x-0 ) = -0.63212

x1 = 1 - = 8 %

x0 = 1 f (x0 ) = -0.63212

x1 = 0.61270 f( x1 ) = -0.07081

Iterasi kedua

x2 = 0.61270 -

= 0.58 %

Iterasi ketiga :

x-1 = 0.61270 f ( x-1 ) = -0.07081

x-2 = 0.56384 f ( x-0 ) = 0.00518

x3 = 0.56384 -

= 0.56717

= 0.0048 %

7. Beberapa Contoh Soal dan Pembahasan

Permasalahan 1:

Frekuensi getaran bebas dari sebuah beam seragam dapat dirumuskan sebagai berikut :

cos ( kl ) cosh ( kl ) = -1

Tuliskan program (dalam FORTRAN) yang dapat menghitung akar-akar persamaan

tersebut dengan metode "Incremental Search Method" yang digabungkan dengan Interval

Halving Method. Hitung tiga frekuensi natural pertama dengan ketepatan 5 digit

dibelakang koma. Bandingkan hasilnya dengan perhitungan manual. Sertakan pula flow

chart, listing program dan out put komputer

Permasalahan 2 :

Pilih dan tentukan suatu persamaan dimana akarnya adalah real. Gunakan program

sederhana untuk menghitung akar nya dan bandingkan dengan perhitungan manual.

Kumpulkan hasilnya berupa listing program, flowchart, dan print out hasil

Perbahasan

Permasalahan 1 :

Perhitungan manual

F ( x ) = Cosh ( kx ) . Cos ( kx ) + 1

Akar dari Cosh x Cos x dalam arah x positif adalah

Mencari akar :

- pilih x1 = 1.6 f ( x1 ) = 0.9247393

x2 = 2.0 f ( x2 ) = -0.5656258

= 1.8

f ( ) = 0.2939756

f ( x ) = Cosh ( x ) Cos x +1

f ( x ) = Cosh ( x ) Cos ( x )

3

3221

10

F ( x)

- akar berada diantara x = 1.8 dan x = 2.0

x1 = 1.8 f ( x1 ) = 0.2939756

x2 = 2.0 f ( x2 ) = -0.5656258

= 1.9

- akar berada diantara x = 1.8 dan x = 2.0

x1 = 1.8 f ( x1 ) = 0.2939756

x2 = 2.0 f ( x2 ) = -0.5656258

= 1.9 f ( ) = -0.1049169

- akar berada diantara x = 1.8 dan x = 1.9

x1 = 1.8 f ( x1 ) = 0.2939756

x2 = 1.9 f ( x2 ) = -0.1049169

= 1.85 f ( ) = 0.1019814

- akar berada diantara x = 1.85 dan x = 1.9

x1 = 1.85 f ( x1 ) = 0.1019814

x2 = 1.9 f ( x2 ) = -0.1049169

= 1.875 f ( ) = 0.0004306

Seperti prosedur sebelumnya :

x1 = 1.875 f ( x1 ) = 0.0004306

x2 = 1.9 f ( x2 ) = -0.1049169

= 1.8875 f ( ) = -0.051764

kemudian :

x1 = 1.875 f ( x1 ) = 0.0004306

x2 = 1.88125 f ( x2 ) = -0.0255476

= 1.878125 f ( ) = -0.0125288

kemudian :

x1 = 1.875 f ( x1 ) = 0.0004306

x2 = 1. 878125 f ( x2 ) = -0.0125288

= 1.8765625 f ( ) = -0.0060416

kemudian :

x1 = 1.875 f ( x1 ) = 0.0004306

x2 = 1. 8765625 f ( x2 ) = -0.0060416

= 1.8757813 f ( ) = -0.0028037

kemudian :

x1 = 1.875 f ( x1 ) = 0.0004306

x2 = 1.8757813 f ( x2 ) = -0.0028037

= 1.8753907 f ( ) = -0.0011862

kemudian :

x1 = 1.875 f ( x1 ) = 0.0004306

x2 = 1.8753907 f ( x2 ) = -0.0011862

= 1.8751954 f ( ) = -0.0003778

kemudian :

x1 = 1.875 f ( x1 ) = 0.0004306

x2 = 1.8751954 f ( x2 ) = -0.0003778

= 1.8750977 f ( ) = -0.0000264

kemudian :

x1 = 1.8750977 f ( x1 ) = -0.0000264

x2 = 1.8751954 f ( x2 ) = -0.0003778

= 1.8751466 f ( ) = -0.0001758

kemudian :

x1 = 1.8750977 f ( x1 ) = -0.0000264

x2 = 1.8751466 f ( x2 ) = -0.0001758

= 1.8751222 f ( ) = -0.0000748

kemudian :

x1 = 1.8750977 f ( x1 ) = -0.0000264

x2 = 1.8751222 f ( x2 ) = -0.0000748

= 1.87511 f ( ) = -0.0000243

kemudian :

x1 = 1.8750977 f ( x1 ) = -0.0000264

x2 = 1.87511 f ( x2 ) = -0.0000243

= 1.8751039 f ( ) = -0.0000009

kemudian :

x1 = 1.8751039 f ( x1 ) = -0.0000009

x2 = 1.87511 f ( x2 ) = -0.0000243

= 1.875107 f ( ) = -0.0000119

akar pertama adalah x = 1.875107

- Akar kedua :

Ditentukan : x1 = 4.6 f ( x1 ) = -4.5792724

x2 = 4.8 f ( x2 ) = 6.3136791

= 4.7 f ( ) = 0.3188944

kemudian :

x1 = 4.6 f ( x1 ) = -4.5792724

x2 = 4.7 f ( x2 ) = 0.3188944

= 4.65 f ( ) = -2.2606573

kemudian :

x1 = 4.65 f ( x1 ) = -2.2606573

x2 = 4.7 f ( x2 ) = 0.3188944

= 4.675 f ( ) = -1.0043654

kemudian :

x1 = 4.675 f ( x1 ) = -1.0043654

x2 = 4.7 f ( x2 ) = 0.3188944

= 4.6875 f ( ) = -0.3512151

kemudian :

x1 = 4.6875 f ( x1 ) = -0.3512151

x2 = 4.7 f ( x2 ) = 0.3188944

= 4.69375 f ( ) = -0.0182938

kemudian :

x1 = 4.69375 f ( x1 ) = -0.0182938

x2 = 4.7 f ( x2 ) = 0.3188944

= 4.696875 f ( ) = 0.1497652

kemudian :

x1 = 4.69375 f ( x1 ) = -0.0182938

x2 = 4.696875 f ( x2 ) = 0.1497652

= 4.6953125 f ( ) = 0.0656021

kemudian :

x1 = 4.69375 f ( x1 ) = -0.0182938

x2 = 4.6953125 f ( x2 ) = 0.0656021

= 4.6945313 f ( ) = 0.0236208

kemudian :

x1 = 4.69375 f ( x1 ) = -0.0182938

x2 = 4.6945313 f ( x2 ) = 0.0236208

= 4.6941407 f ( ) = 0.0026565

kemudian :

x1 = 4.69375 f ( x1 ) = -0.0182938

x2 = 4.6941407 f ( x2 ) = 0.0026565

= 4.6939454 f ( ) = -0.0078194

kemudian :

x1 = 4.6939454 f ( x1 ) = -0.0078194

x2 = 4.6941407 f ( x2 ) = 0.0026565

= 4.6940431 f ( ) = -0.0025793

kemudian :

x1 = 4.6940431 f ( x1 ) = -0.0025793

x2 = 4.6941407 f ( x2 ) = 0.0026565

= 4.6940919 f ( ) = 0.0000412

kemudian :

x1 = 4.6940431 f ( x1 ) = -0.0025793

x2 = 4.6940919 f ( x2 ) = 0.0000412

= 4.6940675 f ( ) = -0.0012678

kemudian :

x1 = 4.6940675 f ( x1 ) = -0.0012678

x2 = 4.6940919 f ( x2 ) = 0.0000412

= 4.6940797 f ( ) = -0.006133

kemudian :

x1 = 4.6940797 f ( x1 ) = -0.006133

x2 = 4.6940919 f ( x2 ) = 0.0000412

= 4.690858 f ( ) = -0.1728719

Akar kedua adalah x = 4.6940797

- Akar ketiga :

Ditentukan : x1 = 7.8 f ( x1 ) = 66.841864

x2 = 7.9 f ( x2 ) = -61.040369

= 7.85 f ( ) = 6.1078946

kemudian :

x1 = 7.85 f ( x1 ) = 6.1078946

x2 = 7.9 f ( x2 ) = -61.040369

= 7.875 f ( ) = -26.644331

kemudian :

x1 = 7.85 f ( x1 ) = 6.1078946

x2 = 7.875 f ( x2 ) = -26.644331

= 7.8625 f ( ) = -10.065256

kemudian :

x1 = 7.85 f ( x1 ) = 6.1078946

x2 = 7.8625 f ( x2 ) = -10.065256

= 7.85625 f ( ) = -1.9282546

kemudian :

x1 = 7.85 f ( x1 ) = 6.1078946

x2 = 7.85625 f ( x2 ) = -1.9282546

= 7.853125 f ( ) = 2.1023872

kemudian :

x1 = 7.853125 f ( x1 ) = 2.1023872

x2 = 7.85625 f ( x2 ) = -1.9282546

= 7.8546875 f ( ) = 0.090213

kemudian :

x1 = 7.8546875 f ( x1 ) = 0.090213

x2 = 7.85625 f ( x2 ) = -1.9282546

= 7.8554688 f ( ) = -0.9182981

kemudian :

x1 = 7.8554688 f ( x1 ) = 0.090213

x2 = 7.85625 f ( x2 ) = -0.9182981

= 7.8550782 f ( ) = -0.4138458

kemudian :

x1 = 7.8554688 f ( x1 ) = 0.090213

x2 = 7.8550782 f ( x2 ) = -0.4138458

= 7.8548829 f ( ) = -0.161864

kemudian :

x1 = 7.8554688 f ( x1 ) = 0.090213

x2 = 7.8548829 f ( x2 ) = -0.161864

= 7.8547852 f ( ) = -0.0358132

kemudian :

x1 = 7.8554688 f ( x1 ) = 0.090213

x2 = 7.8547852 f ( x2 ) = -0.0358132

= 7.8547364 f ( ) = 0.027203

kemudian :

x1 = 7.8547364 f ( x1 ) = 0.027203

x2 = 7.8547852 f ( x2 ) = -0.0358132

= 7.8547608 f ( ) = -0.0043366

kemudian :

x1 = 7.8547364 f ( x1 ) = 0.027203

x2 = 7.8547608 f ( x2 ) = -0.0043366

= 7.8547486 f ( ) = 0.0114011

Akar ketiga adalah x =7.8547608

Jadi ketiga akar tersebut adalah :

x = 1.875107

x = 4.694797

x = 7.8547608

Penyelesaian dengan menggunakan komputer didapatkan akar-akar sebagai berikut :

x = 1.875104

x = 4.694090

x = 7.854758

Dari hasil tersebut, maka perhitungan tangan cukup akurat.

Adapun flowchart nya dapat dilihat pada halaman berikut.

S T A R T

WRITETHE ROOT ARE

DO 8 I = 1,3 8

DC = 0,5XEN = XST+ DXXST = XST+ DX

4

FXST = COSH(XST) * COS(XST) + 1FXEN = COSH(XEN) * COS(XEN) + 1

IS FXST * FXEN. LT. 0,0

XST = XST + DX XEN = XST - DX FXST = COSH(XST) * COS(XST) + 1

YES 3

COSH X = e + e

ITER = L . 0.5 /1.10L . 2

XST = - 0.1

X -X

N6

N

2