Relasi Tolerans &Relasi EkivalenINDAH SUSILAWATI S.T.,M.ENG

ARITA WITANTI S.T.,M.T

Relasi Relasi dapat digunakan untuk menunjukan berbagai hal penting

Relasi dapat digunakan di teori graph

Sifat-sifat Relasi

Misalkan terdapat sebuah semesta dengan 3 elemen

dinyatakan X = {1, 2, 3}, maka berikut adalah

sifat-sifat relasi yang mungkin:

1. Refleksivitas

relasi refleksif adalah setiap

vertex dalam grafik berasal dari loop tunggal

3

Sifat relasi2. SIMETRI 3. TRANSITIVITAS

Setiap simpul terhubung bolak balik , jika adasimpul relasi dari 1 ke 2 maka ada relasi 2 ke 1

4

Jika ada simpul terhubung secara transitifmissal dari 1 ke 2 dan 2 ke 3 maka ada simpuldari 1 ke 3

Relasi Ekivalen TegasRelasi R merupakan relasi ekivalen jika mempunyai sifat

refleksivitas, simetri, dan transitivitas. Misalkan untuk

relasi matriks, maka sifat-sifat berikut akan terpenuhi.

5

Relasi Tolerans TegasRelasi R pd semesta X dpt dipandang sbg relasi dari X ke X.

Relasi tolerans (relasi proximity) R pada semesta X adalah relasi yang hanya mempunyai sifat

refleksivitas dan simetri.

Relasi tolerans dapat diubah menjadi relasi ekivalen dengan sebanyak (n – 1)komposisi

dengan dirinya sendiri.

n adalah jumlah elemen dalam himpunan

yang mendefinisikan relasi R

yaitu himpunan X, shg

6

ExampleMisalkan pd sebuah sistem transportasi udara melayani 5 kota. Perusahaan ingin

mempelajari lokasi potensial utk menentukan lokasi hubs dengan

mempertimbangkan jarak antar kota dan peraturan takeoff-landing.

X = {x1, x2, x3, x4, x5}

= {Jakarta, Jogja, Changi, KL, Surabaya}

Misalkan kekuatan relasi dinyatakan dlm

matriks berikut:

7

8

Tampak bahwa relasi R bersifat refleksif dan simetrik. Jika digambarkan dlm btk grafik, maka R akan

mpy 5 sudut spt gambar di samping:

◦ Sifat simetri mewakili kedekatan;

Jakarta – Jogja dan

Jogja – Surabaya

◦ Relasi tdk mpy sifat transitivitas

9

Relasi R1 dapat diubah menjadi relasi ekivalen R dengan komposisi n

(dengan n ≤ 5). Misalkan utk

n = 1,

Maka jika digambarkan sebagai grafik,

relasi R menjadi sbb:

Relasi ekivalen

10

Maka terlihat bahwa relasi R mpy sifat transiivitas, yaitu bahwa dalam

relasi R memuat (x1, x5) atau

(x1, x5) R

dan dgn dmk maka R mrpk relasi ekivalen. Relasi ekivalen mjd penting

dlm klasifikasi, misalnya pd contoh ini terlihat bhw matriks R mpy kolom

pertama, kedua, dan kelima yg identik

(berada dlm kelas yg sama); kolom ketiga

dan keempat adl unik (mewakili 2 kelas yg

berbeda). Adanya 3 kelas ini dpt diguna-

kan utk membedakan negara.

Relasi Ekivalen & Tolerans Fuzzy

Relasi fuzzy R pd semesta tunggal X jg mrpk relasi dari X ke X.

Relasi tsb disbt relasi ekivalen jk semua sifat berikut ini terpenuhi:

11

Perhatikan definisi transitivitas; makna dari definisi tsb adl bahwa utk rantai yg lbh pendek

maka relasinya semakin kuat.

Relasi fuzzy disebut relasi tolerans jika hanya mempunyai dua sifat saja, yaitu sifat simetri dan

sifat refleksitivitas.

Relasi fuzzy tolerans dapat diubah menjadi relasi fuzzy ekivalen dengan cara mengkomposisikan

dengan dirinya sendiri (hingga diperoleh relasi ekivalen).

12

ExampleDlm eksperimen bioteknologi, terdeteksi 5 jenis bakteri baru di dlm bahan pembuat

tangki bahan bakar pesawat. Utk mencari metode dlm rangka mengatasi biokorosi

akibat bakteri tsb, 5 jenis bakteri tsb hrs dikategorikan lebih dulu. Salah satu caranya

adl dgn membandingkannya satu sama

lain. Dlm setiap pasangan, dibuat relasi

“kemiripan” R1 berikut.

13

14

Bakteri 1 mpy kemiripan 0.8 dgn bakteri 2

Bakteri 1 mpy kemiripan 0 (tak ada relasi) dgn bakteri 3

….. dst

Krn relasinya berdasar kemiripan scr

berpasangan, maka relasi tsb akan

bersifat reflektif dan simetrik, namun

tdk bersifat transitif karena

15

tetapi

Supaya relasi R dpt mjd relasi ekivalen, maka akan dicoba dengan komposisi sbb:

namun ternyata transitivitas jg blm ada,

karena

dan

16

Setelah satu atau dua kali komposisi lagi, maka:

Maka terlihat bahwa:

Dan telah diperoleh relasi ekivalen.

17

Relasi komposisi R1 ○ R1 jg dpt ditampilkan dlm btk kontur 2 dimensi sbb:

18

Relasi komposisi R1 ○ R1 ○ R1 ○ R1 dlm btk kontur 2 dimensi menjadi

sbb:

R1 ○ R1 ○ R1 ○ R1 =

Menentukan Nilai KeanggotaanPertanyaan: Bagaimana menentukan nilai-nilai keanggotaan dlm

suatu relasi? Ada bbrp cara utk menentukan nilai keanggotaan, yaitu:

1. Hasil-kali kartesian

2. Ekspresi closed-form

3. Lookup table

4. Linguistic rules of knowledge

5. Klasifikasi

6. Metode otomatis dari data input/ouput

7. Metode kemiripan dlm manipulasi data

19

20

1.Hasil kali kartesian telah dibahas

2.Ekspresi closed-form Misal melalui observasi sederhana pada suatu proses fisika. Utk satu set input maka diobservasi outputnya. Jika tdk ada variasi maka dpt digunakan relasi closed-form dlm btk y = f(x).

3.Look-up TableJika pada ekspresi closed-form ternyata ditemukan banyak variasi, maka dptdigunakan look-up table.

4.Linguistic rule of knowledgeMisalnya menggunakan aturan if-then. Biasanya pengetahuan semacam inidiperoleh dari seorang ahli di bidangnya, dari polling atau dari sejenis konsensus.

5.KlasifikasiMisalnya menggunakan neural network.

6.Otomamatisasi input-outputMelibatkan pembangunan fungsi keanggotaan

dari prosedur yg digunakan pada input-ouput

(bisa jadi mrpk proses yg rumit)

Metode Kemiripan1. Metode Amplitude Cosinus

Menggunakan koleksi sampel data, sejumlah n. Misalkan sampel data yg ada

membtk array X

dan setiap elemen xi dlm array X mrpk

vektor dgn panjang m, yaitu:

Matriks relasi yg terbtk berukuran mxn, serta

bersifat refleksif dan simetrik (relasi tolerans)

21

22

Kekuatan relasi antara xi dan xj ditentukan sbb:

Jika dua vektor semakin mirip maka

nilainya mendekati 1, dan jika semakin

tidak-mirip maka nilainya mendekati 0.

ExampleLima wilayah di Jogja mengalami kerusakan akibat gempa 2006. Utk keperluan jaminan asuransi maka ke-5 wilayah tsb hrs diklasifikasikan menurut tingkat kerusakannya shg dengan demikian menyatakan kerusakan dlm btk relasi akan sangat membantu.

Dilakukan survey kondisi bangunan pd

setiap wilayah kabupaten dan dicatat dlm

3 jenis status kerusakannya yaitu tanpa

kerusakan, kerusakan tingkat medium, dan

kerusakan parah. Maka dlm hal ini n = 5

dan m = 3. Hasil survai dinyatakan dlm

tabel berikut.

23

24

Wilayah Sleman G. Kidul Bantul Kodya Jogja Kulonprogo

Xi1 – Rasio tanpa kerusakan 0.3 0.2 0.1 0.7 0.4

Xi2 – Rasio dengan kerusakan

medium

0.6 0.4 0.6 0.2 0.6

Xi3 – Rasio dengan kerusakan

parah

0.1 0.4 0.3 0.1 0.0

Maka data tsb dpt dinyatakan dlm relasi fuzzy menggunanakan

amplitude cosinus sbb:

25

Misalkan untuk i=1 dan j=2 maka:

Hasil selengkapnya adl relasi fuzzy R1 yg mrpk relasi tolerans sbb:

PR : Buktikan dengan hasil perhitungan

untuk semua elemen,

Buktikan bahwa R1 adl relasi

tolerans

26

Komposisi dari relasi fuzzy R1 yang diperoleh:

PR :Buktikan dengan hasil perhitungan untuk semua elemen,

Buktikan bahwa R13 adl relasi ekivalen

2. Metode Maks – Min

Metode ini lbh sederhana drpd metode

amplitude cosinus. Ditentukan menggunakan

operasi maks dan min pd pasangan data

xij dengan formula sbb;

27

Utk data pd contoh di atas maka akan diperoleh:

PR:

Temukan semua nilai relasi yang lain

Questions?