PROYEK KOMPUTASI NUMERIK

Nama : Paramita Dona Fitria Siregar

NPM : 1206263383

DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA

UNIVERSITAS INDONESIA

DEPOK 2013

PROYEK KOMPUTASI NUMERIK

Kata Pengantar

Puji syukur kami panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa yang telah melimpahkan

rahmatnya kepada kami sehingga kami dapat menyelesaikan Makalah Proyek Komputasi

Numerik ini. Proyek akhir ini merupakan pengaplikasian materi yang telah kami dapatkan

dan sekaligus pemenuh kewajiban kami sebagai mahasiswa dalam mata kuliah Komputasi

Numerik.

Makalah Proyek Komputasi Numerik ini berisikan mengenai hasil penyelesaian

persamaan dengan menggunakan metode regresi linier. Persamaan yang digunakan adalah

persamaan Antoine yang belum diketahui harga-harga konstanta nya, sehingga makalah ini

bertujuan untuk menentukan harga konstanta tersebut.

Akhir kata, kami ucapkan terima kasih kepada dosen kami, Bapak Setidjo Bismo yang

telah membimbing kami selama mempelajari ilmu Komputasi Numerik dan membuat tugas

ini, juga kepada pihak-pihak yang telah membantu dalam proses pembuatan makalah ini,

serta pihak-pihak yang telah kami jadikan referensi untuk dapat lebih mengembangkan

makalah ini. Semoga makalah ini dapat bermanfaat bagi para pembaca, sekian dan selamat

membaca.

Depok, Oktober 2013

Penulis

2 |

PROYEK KOMPUTASI NUMERIK

BAB 1

PENDAHULUAN

Soal saudara dalam UTS ini harus terus digunakan untuk mengerjakan tugas proyek

ini, yaitu: prediksi sifat-sifat tekanan uap murni suatu fluida hidrokarbon sebagai fungsi dari

suhu (T dalam °C) menggunakan model Persamaan Antoine berikut ini:

y=exp( p− qr T+s )

Untuk menghitung tetapan-tetapan p, q, r dan s, jika diinginkan untuk memprediksi

tekanan uap murni dari fluida “acetone”, maka terlebih dahulu harus melakukan “regresi-

linier” dari pasangan data percobaan pada tabel berikut ini:

T y-

19.9715

3.871613

-9.98185.0131

35

0.00796.3515

01

9.99767.8947

4819.987

39.6485

68

29.97711.616

4439.966

713.799

8149.956

416.198

359.946

118.809

9169.935

821.631

24249.82

15114.83

53

3 |

PROYEK KOMPUTASI NUMERIK

Dengan menggunakan pengetahuan kuliah tentang regresi-linier beserta

pemrogramannya, baik menggunakan FORTRAN-77 (Silverfrost atau Force 3.xx) maupun

PASCAL (Ezy-Pascal ataupun Dev-Pascal), maka diminta untuk menghitung harga-harga

konstanta p, q, r dan s menggunakan metode Eliminasi Gauss yang diprogram dalam file

*.for/*.f ataupun *.pas/*.epas.

Jangan lupa juga, buat TABEL (dalam kesatuan pengerjaan proyek ini) dan program-

program FORTRAN-77 dan PASCAL-nya yang diperlukan untuk penyelesaian tersebut!

BAB II

ISI

Untuk menghitung tetapan-tetapan p, q, r, dan s pada persamaan Antoine terlebih dahulu

mengubah persamaan tersebut menjadi persamaan linear dengan menggunakan “ Eliminasi

Gauss” yaitu sebagai berikut:

ln y=S− RQT +P

ln y=S (QT +P )−R

QT +P

(QT +P ) ln y=S (QT +P )−R

QT ln y+P ln y=SQT +SP−R

Nilai Q dapat dianggap 1 karena pada persamaan awal tidak ada konstanta pada variabel T,

sehingga Q = 1 menghasilkan:

T ln y+P ln y=ST +SP−R

T ln y+P ln y−ST−SP+R=0

4 |

PROYEK KOMPUTASI NUMERIK

Dibagi dengan variabel T:

ln y+ P ln yT

−S−SPT

+ RT

=0

ln y+ P ln yT

−S−( SP−RT )=0

Nilai SP-R dimisalkan dengan X, sehingga:

ln y+ ln yT

P−XT

−S=0

Simpangannya menjadi:

S=∑ ( ln y+ ln yT

P− XT

−S )2

=0

Turunan simpangan terhadap nilai P

dSdP

=∑ ln yT (ln y+ ln y

TP− X

T−S)=0

∑ (ln y )2

T+P∑ ( ln y )2

T 2 −X ∑ ln yT2 −S∑ ln y

T=0

−P∑ (ln y )2

T2 +X ∑ ln yT2 +S∑ ln y

T=∑ (ln y )2

T

Turunan simpangan terhadap nilai c

dSd c

=∑ −1T (ln y+ ln y

TP− X

T−S)=0

∑−ln yT

+P∑−ln y

T 2−X∑−1

T 2−S∑−1

T=0

5 |

PROYEK KOMPUTASI NUMERIK

−P∑ −ln y

T 2+ X∑ −1

T 2+S∑ −1

T=∑ −ln y

T

−P∑ ln y

T 2+X ∑ 1

T 2+S∑ 1

T=∑ ln y

T

Turunan simpangan terhadap nilai S

dSdS

=∑−1(ln y+ ln yT

P− XT

−S)=0

∑−ln y+ P∑−ln yT

−X∑−1T

−S∑−1=0

−∑ ln y−P∑ ln yT

+X ∑ 1T

+S=0

−P∑ ln yT

+X ∑ 1T

+N=∑ ln y

Bentuk matriks dari ketiga hasil turunan tersebut yaitu sebagai berikut:

(∑( ln y )2

T 2 ∑ ln y

T2 ∑ ln yT

∑ ln yT 2 ∑ 1

T2 ∑ 1T

∑ ln yT ∑ 1

TN

)(−PXS )=(∑

( ln y )2

T

∑ ln yT

∑ ln y)

Dengan menggunakan matriks diatas, maka untuk mengetahui nilai –P, X,dan S dapat

menggunakan program “Eliminasi Gauss”. Adapun program FORTRAN yang digunakan

adalah:

6 |

PROYEK KOMPUTASI NUMERIK

C PROGRAM Solusi Sistem Persamaan Aljabar Linier (SPAL) atau

C atau Persamaan Aljabar Linier SimultanC Deklarasi Jenis dan Variabel:

C ---------------------------------------------------------------- IMPLICIT NONE

INTEGER iarg

PARAMETER (iarg = 7) INTEGER i,j,neq

REAL*8 A(iarg,iarg) REAL*8 b(iarg),x(iarg)

CALL system('clear')

C Proses Pemasukan Harga Variabel:

C -------------------------------- WRITE(*,10) 'Jumlah Persamaan : '

READ(*,*) neq

DO i = 1,neq DO j = 1,neq

WRITE(*,20) 'A(',i,',',j,') : ' READ(*,*) A(i,j) ENDDO WRITE(*,30) 'b(',i,') : ' READ(*,*) b(i)

ENDDO

C Proses Pemanggilan Subprogram Eliminasi Gauss-Jordan:C ----------------------------------------------------- CALL EGAUSS(neq,A,x,b)

C Pemaparan/penyajian Hasil Perhitungan:C -------------------------------------- DO i = 1,neq

WRITE(*,40) 'x(',i,') = ',x(i)

ENDDO

10 FORMAT (3X,A,$) 20 FORMAT (3X,A,I1,A1,I1,A,$) 30 FORMAT (5X,A,I1,A,$)

40 FORMAT (5X,A,I1,A,F12.7)

STOP

END

SUBROUTINE EGAUSS(n,A,x,b)

C -------------------------------------------------------------------

C SUBROUTINE ELIMINASI GAUSS (tanpa "PIVOTING"): |C Merupakan solusi SISTEM Persamaan Aljabar Linier (SPAL) dengan |

C format persamaan matriks: [A].[x] = [b], dengan rincian sbb |

C n = jumlah persamaan aljabar linier (dimensi SPAL) |C A = matriks bujur sangkar n x n yang berisi koefisien persamaan, |

7 |

PROYEK KOMPUTASI NUMERIK

C x = vektor variabel persamaan yang akan dicari harga-harganya |

C b = vektor ruas kanan yang berisi harga-harga persamaan tunggal |C -------------------------------------------------------------------

C Deklarasi Variabel:

C -------------------

INTEGER n REAL*8 A(7,7),b(n),x(n)

INTEGER i,j,k REAL*8 PIVOT,MULT,TOP

C Proses solusi: (a) Substitusi dan EliminasiC -------------------------------------------

DO j = 1,n-1 PIVOT = A(j,j)

DO i = j+1,n

MULT = A(i,j)/PIVOT DO k = j+1,n

A(i,k) = A(i,k) - MULT*A(j,k) ENDDO b(i) = b(i) - MULT*b(j) ENDDO ENDDO

C Proses solusi: (b) Substitusi BalikC ----------------------------------- x(n) = b(n)/A(n,n) DO i = n-1,1,-1

TOP = b(i) DO k = i+1,n TOP = TOP - A(i,k)*x(k) ENDDO

x(i) = TOP/A(i,i)

ENDDO

RETURN END

Program dijalankan dengan bantuan Microsoft Excel untuk mengolah datanya, sebagai

berikut:

No. T Y T2 ln y ln y/T

8 |

PROYEK KOMPUTASI NUMERIK

1 -19.9715 3.871613 398.8608123 1.353671216 -0.067780148

2 -9.9818 5.013135 99.63633124 1.612061468 -0.161500077

3 0.0079 6.351501 0.00006241 1.848691163 234.0115396

4 9.9976 7.894748 99.95200576 2.066197728 0.206669373

5 19.9873 9.648568 399.4921613 2.266809511 0.113412492

6 29.977 11.61644 898.620529 2.452421336 0.081810099

7 39.9667 13.79981 1597.337109 2.624654824 0.065671042

8 49.9564 16.198298 2495.641901 2.784906175 0.055746735

9 59.9461 18.809906 3593.534905 2.934383646 0.048950368

10 69.9358 21.631238 4891.016122 3.074138474 0.043956578

Ʃ

114.835257 14474.0919423.01793554 234.3984761

ln Y/T2 1/T 1/T2 (ln y)2/T (ln y)2/T2

0.003393844 -0.050071352 0.00250714 -0.091752035 0.004594148

0.016179454 -0.100182332 0.0100365 -0.260348051 0.026082275

29621.71387 126.5822785 16023.07323 432.6150653 54761.40067

0.020671899 0.100024006 0.010004802 0.42701979 0.04271223

0.005674228 0.05003177 0.002503178 0.257084517 0.012862393

0.002729096 0.033358908 0.001112817 0.200632832 0.006692892

0.001643144 0.02502083 0.000626042 0.172363816 0.004312686

0.001115908 0.020017455 0.000400699 0.155249426 0.003107698

0.000816573 0.016681652 0.000278278 0.143639159 0.002396139

0.000628528 0.014298828 0.000204456 0.135128609 0.00193218129621.76673 126.6914582 16023.1009 433.7540834 54761.50536

Dengan memasukkan nilai berdasarkan perhitungan pada Microsoft Excel, maka tampilan

program FORTRAN sebagai berikut:

9 |

PROYEK KOMPUTASI NUMERIK

Dari hasil program FORTRAN tersebut maka didapatkan bahwa

x ⟨1 ⟩=−304.5308313

x ⟨2 ⟩=562.9299935

x ⟨3 ⟩=8.6158984

Sehingga,

x ⟨1 ⟩=−P=−304.5308313

P=304.5308313

x ⟨3 ⟩=S=8.6158984

S=8.6158984

x ⟨2 ⟩=X=562.9299935

SP−R=562.9299935

R=(8.6158984 ×304.5308313 )−562.9299935

R=2060.876709

Dapat disimpulkan bahwa dari hasil program FORTRAN menggunakan “Eliminasi Gauss”,

harga konstanta yag didapatkan yaitu:

10 |

PROYEK KOMPUTASI NUMERIK

P=304.530831 3

Q=1,0 0

R=2060.87670 9

S=8.615898 4

BAB III

PENUTUP

Program “Eliminasi Gauss” dapat digunakan untuk menentukan harga-harga

konstanta p, q, r dan s pada persamaan Antoine. Penentuan harga konstanta tersebut

dilakukan dengan terlebih dahulu melakukan pengolahan data dengan menggunakan

Microsoft Excel.

Harga konstanta acetone yang didapatkan adalah:

P=304.530831 3

Q=1,0 0

R=2060.87670 9

S=8.615898 4

sehingga persamaan Antoine untuk acetone yaitu:

y=exp( p− qr T+s )

11 |

PROYEK KOMPUTASI NUMERIK

y=exp(304.530831 3− 12060.87670 9 T+8.615898 4 )

BAB IV

DAFTAR PUSTAKA

http://www.eng.auburn.edu/users/drmills/mans486/diffusion%20tube/ antoine_coefficient_table.pdf

12 |