komputasi perpan
-
Upload
hafid-scooterist -
Category
Documents
-
view
256 -
download
0
Transcript of komputasi perpan
-
7/30/2019 komputasi perpan
1/44
-
7/30/2019 komputasi perpan
2/44
PERPINDAHAN PANAS
Mekanisme perpindahan kalor yaitu : konduksi, konveksi dan radiasi.
-
7/30/2019 komputasi perpan
3/44
PERSAMAAN PERPINDAHAN PANAS
Persamaan Konduksi
Jika k konstan (tidak berubah thd temperatur), maka :
Dimana :
persamaan konduksi unsteady
-
7/30/2019 komputasi perpan
4/44
METODE BEDA HINGGA(FINITEDIFFERENCE METHOD)
Metode beda hingga adalah suatu pendekatan numerik yang
didasari oleh ekspansi deret Taylor
3
33
2
22
!3
)(
!2
)()()()(
x
fx
x
fx
x
fxxfxxf
DERET TAYLOR
3
33
2
22
!3
)(
!2
)()()()(
x
fx
x
fx
x
fxxfxxf
1 !)()()(
nn
nn
xf
nxxfxxf
-
7/30/2019 komputasi perpan
5/44
METODE BEDA HINGGA(FINITEDIFFERENCE METHOD)
Pendekatan beda hingga untuk turunan pertama
x
f
)(1 xx
ff
x
f ii
211 )(2
xx
ff
x
f ii
Pendekatan beda maju (forw ard dif ference)
Pendekatan beda tengah (central dif ference)
Pendekatan beda mundur (backw ard dif ference)
)(1 xx
ff
x
f ii
-
7/30/2019 komputasi perpan
6/44
METODE BEDA HINGGA(FINITEDIFFERENCE METHOD)
Pendekatan beda hingga untuk turunan kedua
2
2
x
f
Untuk turunan kedua pendekatan yang biasa dipakai adalah
pendektan beda tengah(central dif ference)
2
2
11
2
2 2x
x
fff
x
f iii
-
7/30/2019 komputasi perpan
7/44
METODE BEDA HINGGA(FINITEDIFFERENCE METHOD)
Persamaan perpindahan panas konduksi 1D
Persamaan perpindahan panas konduksi
2
2
x
T
t
T
02
2
x
T
2
2
2
2
y
T
x
T
t
T
02
2
2
2
y
T
x
T
Persamaan perpindahan panas konduksi 2D
unsteady
steady
unsteady
steady
-
7/30/2019 komputasi perpan
8/44
METODE BEDA HINGGA(FINITEDIFFERENCE METHOD)
Keterangan :
T = temperatur
x= dimensi ruang arahx
y= dimensi ruang arah y
t= dimensi waktu
= difusivitas thermal
PENYELESAIAN PERSAMAAN KONDUKSI 1D UNSTEADY
Metode yang digunakan :
1. Metode FTCS (forward in time central in space)
2. Metode Laasonen
3. Metode Crank-Nicolson
-
7/30/2019 komputasi perpan
9/44
METODE BEDA HINGGA(FINITEDIFFERENCE METHOD)
1. Metode FTCS (forward in t ime central in s pace)
i-1 i i+1x
t
n
n+1
Skema metode FTCS
i= indeks ruang
n= indeks waktu
Diskretisasi persamaan konduksi 1D dengan metode FTCS
2
2
x
T
t
T
Turunan waktu didiskretisasi dengan pendekatan beda maju
Turunan ruang didiskretisasi dengan pendekatan beda tengah
-
7/30/2019 komputasi perpan
10/44
METODE BEDA HINGGA(FINITEDIFFERENCE METHOD)
Diskretisasi turunan waktu
2
21
2
2 21x
x
TTT
xT
n
i
nnii
tt
TT
t
T nn ii
1
Diskretisasi turunan ruang
Sehingga :
211
1
2x
TTTtTT
n
i
n
i
n
i
nn
ii
-
7/30/2019 komputasi perpan
11/44
METODE BEDA HINGGA(FINITEDIFFERENCE METHOD)
Lanjutan
ninininn TTT
x
tTT ii 1121 2
2. Metode Laasonen
t
n+1
n
i+1ii-1
x
i= indeks ruang
n= indeks waktu
Skema metode Laasonen
-
7/30/2019 komputasi perpan
12/44
Diskretisasi persamaan konduksi 1D dengan metode Laasonen
METODE BEDA HINGGA(FINITEDIFFERENCE METHOD)
2
2
xT
tT
tt
TT
t
Tnnii
1
Turunan waktu didiskretisasi dengan pendekatan beda maju
Turunan ruang didiskretisasi dengan pendekatan beda tengah
Diskretisasi turunan waktu
2
2
1
1
11
2
2 21x
x
TTT
x
Tn
i
nnii
Diskretisasi turunan ruang
-
7/30/2019 komputasi perpan
13/44
METODE BEDA HINGGA(FINITEDIFFERENCE METHOD)
Sehingga :
n1n
1i
1n1n
1i iiTTTT
222
11
1
11
12
1
1
11
12
1
2
1
1
11
1
1
21
2
2
2
x
t
x
t
x
t
TTTTTx
t
TTTx
t
TT
x
TTT
t
TT
nnn
i
n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
nn
n
i
n
i
n
i
nn
ii
ii
ii
-
7/30/2019 komputasi perpan
14/44
iiii dcba 1n
1i1n1n
1i TTT i
METODE BEDA HINGGA(FINITEDIFFERENCE METHOD)
Lanjutan
Persamaan diatas disebut persamaan tridiagonal matriks
Dimana :
n
iT
i
i
i
i
d
xtc
x
tb
x
ta
2
2
2
21
-
7/30/2019 komputasi perpan
15/44
METODE BEDA HINGGA(FINITEDIFFERENCE METHOD)
Persamaan Tridiagaonal matriks dapat dinyatakan dalam bentuk matriks
sebagai berikut :
a2
b2
c2
a3
b3
c3
a4
b4
c4
anx-2 bnx-2 cnx-2
anx-1
bnx-1
cnx-1
T1
T2
T3
T4
Tnx-2
Tnx-1
Tnx
=
d2
d3
d4
dnx-2
dnx-1
T1 dan Tnxberada pada kondisi batas (boundary candition)
Untuk menyelesaikan persamaan tridiagonal matriks digunakan
Algoritma Thomas (dalam program komputer berupa Subroutine Tridi)
-
7/30/2019 komputasi perpan
16/44
METODE BEDA HINGGA(FINITEDIFFERENCE METHOD)
3. Metode Crank-Nicolson
n+1/2
t/2
n+1
i+1ii-1
x
n
t/2
i= indeks ruang
n= indeks waktu
Skema metode Crank-Nicolson
-
7/30/2019 komputasi perpan
17/44
METODE BEDA HINGGA(FINITEDIFFERENCE METHOD)
Diskretisasi persamaan konduksi 1D dengan metode Crank-Nicolson
2
2
xT
tT
x
t
TT
t
Tnnii
2/
2/1
Turunan waktu didiskretisasi dengan pendekatan beda maju
Turunan ruang didiskretisasi dengan pendekatan beda tengah
Metode Crank-Nicoson terdiri dari dua langkah waktu yaitu :
Langkah waktu ( nn+1/2)Diskretisasi turunan waktu
Diskretisasi turunan ruang
2
2
1
2
2 21x
x
TTT
x
Tn
i
nnii
-
7/30/2019 komputasi perpan
18/44
METODE BEDA HINGGA(FINITEDIFFERENCE METHOD)
Langkah waktu ( n+1/2n+1)
Diskretisasi turunan waktu
x
t
TT
t
Tnnii
2/
2/11
2
2
1
1
11
2
2 21x
x
TTT
x
Tn
i
nnii
Diskretisasi turunan ruang
211
2/1 2
2/ x
TTT
t
TT ninininn ii
Lanjutan
-
7/30/2019 komputasi perpan
19/44
Lanjutan
METODE BEDA HINGGA(FINITEDIFFERENCE METHOD)
21
1
11
1
2/11 2
2/ x
TTT
t
TT ni
n
i
n
i
nnii
211
2/1 2
2/ x
TTT
t
TT ni
ni
ni
nnii
2
1
1
11
1
2
11
122
2/ x
TTT
x
TTT
t
TT ni
n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
nnii
Jika langkah waktu ( nn+1/2) dan ( n+1/2n+1) dijumlahkan menjadi :
2
1
1
11
1
2/112
2/ x
TTT
t
TT ni
n
i
n
i
nnii
+
-
7/30/2019 komputasi perpan
20/44
n
i
n
i
n
i TTTx
t
x
t
x
t
x
t
112
222
22
21
2
n
1n
1i
1n1n
1i
i
i
T
TTT
iiii dcba
1n
1i
1n1n
1iTTT i
nininiii
ii
TTTx
td
x
tc
x
tb
x
ta
1122
22
222
12
n
iT
METODE BEDA HINGGA(FINITEDIFFERENCE METHOD)
Lanjutan
Dimana :
Persamaan tridiagonal matriks diselesaikan dengan Algoritma thomas
-
7/30/2019 komputasi perpan
21/44
METODE BEDA HINGGA(FINITEDIFFERENCE METHOD)
Jawab :
1 ft
T1=300FT2=300F
xi=1 i=nx
Diketahui L=1 ft, To=100F, T1=300F
dan T2=300F =0.1 ft2/hr.
Membagi domain menjadi nx=41 grid
dengan lebar tiap grid x=0.025
Menentukan langkah waktu t=0.01
Menentukan batas waktu Tmax( 0.1,
0.2, 0.3, 0.4 dan 0.5 jam)
Menghitung Tn+1 dengan metode
FTCS, Lasonen dan Crank-Nicolson
Hasil perhitungan ditampilkan dalam
bentuk grafik T-x
Urutan penyelesaian
-
7/30/2019 komputasi perpan
22/44
METODE BEDA HINGGA(FINITEDIFFERENCE METHOD)
Program ditulis dengan perangkat lunak Matlab
1. Program FTCS
nx=41; % Jumlah grid
i1=1; % awal grid
dx=0.025; % Langkah ruang x
dt=0.001; % Langkah waktu t
x=0.:0.025:1.0; % x array
v=0.1; % Difusivitas thermal us=ones(1,41).*100.; % Temperatur awal Tous(1)=300.; % Temperatur sisi kiri T1us(41)=300.; % Temperatur sisi kanan T2
u=us;
tmax=input(' tmax= ') % Input batas waktu Tmax
t=0.;s=v*dt/dx/dx;
-
7/30/2019 komputasi perpan
23/44
METODE BEDA HINGGA(FINITEDIFFERENCE METHOD)
while t
-
7/30/2019 komputasi perpan
24/44
METODE BEDA HINGGA(FINITEDIFFERENCE METHOD)
t=0.1
t=0.2
t=0.3
t=0.4
t=0.5
Grafik Distribusi Temperatur, Metode FTCS
-
7/30/2019 komputasi perpan
25/44
METODE BEDA HINGGA(FINITEDIFFERENCE METHOD)
nx=41; % Jumlah grid
i1=1; % Awal grid
x=0.:0.025:1.; % x array
dx=0.025; %Langkah ruang x
dt=0.01; %Langkah waktu tv=0.1; % Difusivitas thermal
u=ones(1,41).*100.; % Temperatur awal To
u(i1)=300.; % Temperatur sisi kiri T1
u(nx)=300.; % Temperatur sisi kanan T2
tmax=input(' tmax= ') % Input batas waktu Tmax
t=0.;s=v*dt/dx/dx;
2. Program Laasonen
-
7/30/2019 komputasi perpan
26/44
METODE BEDA HINGGA(FINITEDIFFERENCE METHOD)
while t
-
7/30/2019 komputasi perpan
27/44
METODE BEDA HINGGA(FINITEDIFFERENCE METHOD)
% plot grafik
hold on
grid
xlabel('==> x(ft)')
ylabel('Temperatur (F)')
title(' Grafik distribusi temperatur, Metode
Laasonen')
plot(x,u)
hold off
clear
Lanjutan laasonen
-
7/30/2019 komputasi perpan
28/44
METODE BEDA HINGGA(FINITEDIFFERENCE METHOD)
Grafik Distribusi Temperatur, Metode Laasonen
t=0.5
t=0.4
t=0.3
t=0.2
t=0.1
-
7/30/2019 komputasi perpan
29/44
METODE BEDA HINGGA(FINITEDIFFERENCE METHOD)
3. Program Crank-Nicolson
nx=41; % Jumlah grid
i1=1; % Awal grid
x=0.:0.025:1.; % x array
dx=0.025; %Langkah ruang x
dt=0.01; %Langkah waktu tv=0.1; % Difusivitas thermal
u=ones(1,41).*100.; % Temperatur awal To
u(i1)=300.; % Temperatur sisi kiri T1
u(nx)=300.; % Temperatur sisi kanan T2
tmax=input(' tmax= ') % Input batas waktu Tmax
t=0.;s=v*dt/dx/dx;
-
7/30/2019 komputasi perpan
30/44
METODE BEDA HINGGA(FINITEDIFFERENCE METHOD)
while t
-
7/30/2019 komputasi perpan
31/44
METODE BEDA HINGGA(FINITEDIFFERENCE METHOD)
% plot grafik
hold on
grid
xlabel('==> x(ft)')
ylabel('Temperatur (F)')
title(' Grafik distribusi temperatur, Metode
crank nicolson')
plot(x,u)
hold off
clear
Lanjutan Crank-Nicolson
-
7/30/2019 komputasi perpan
32/44
METODE BEDA HINGGA(FINITEDIFFERENCE METHOD)
function u=tridi(a,b,c,d,i1,ny)
for i=i1+1:ny
r=-a(i)/b(i-1);
b(i)=b(i)+c(i-1).*r;
d(i)=d(i)+d(i-1).*r;
end
d(ny)=d(ny)/b(ny);
for i=1:ny-1
j=ny-i;
d(j)=(d(j)-c(j).*d(j+1))./b(j);
end
for i=1:nyu(i)=d(i);
end
Function Tridi
-
7/30/2019 komputasi perpan
33/44
METODE BEDA HINGGA(FINITEDIFFERENCE METHOD)
Grafik Distribusi Temperatur, Metode Crank-Nicolson
t=0.2
t=0.1
t=0.15
t=0.3
t=0.4
-
7/30/2019 komputasi perpan
34/44
METODE BEDA HINGGA(FINITEDIFFERENCE METHOD)
PENYELESAIAN PERSAMAAN KONDUKSI 2D UNSTEADY
Metode Alternating Directional Implicit (ADI)
2
2
2
2
y
T
x
T
t
T
n
n+1/2
n+1
t/2
t/2
x
y
(x-sweep)
(y-sweep)
Skema metode ADI
-
7/30/2019 komputasi perpan
35/44
METODE BEDA HINGGA(FINITEDIFFERENCE METHOD)
Diskretisasi persamaan konduksi 2D dengan metode ADI
2/
,
2/1
,
t
TT
t
Tn
ji
n
ji
22/1
,1
2/1
,
2/1
,1
2
2 2
x
TTT
x
Tn
ji
n
ji
n
ji
21,,1,
2
2 2
y
TTT
y
Tnji
nji
nji
Turunan waktu didekati dengan beda maju
x-sweep (nn+1/2)
Turunan ruang didekati dengan beda tengah
-
7/30/2019 komputasi perpan
36/44
METODE BEDA HINGGA(FINITEDIFFERENCE METHOD)
Sehingga :
2
1,,1,
2
2/1
,1
2/1
,
2/1
,1,
2/1
, 222/ y
TTTx
TTTt
TTn
ji
n
ji
n
ji
n
ji
n
ji
n
ji
n
ji
n
ji
i
n
jii
n
jii
n
jii dTcTbTa
2/1
,1
2/1
,
2/1
,1
2
2
1
2
x
tb
x
ta
i
i
njinjinjinjii
i
TTTy
tTd
x
tc
1,,1,2,
2
22
2
Dimana :
-
7/30/2019 komputasi perpan
37/44
METODE BEDA HINGGA(FINITEDIFFERENCE METHOD)
2/
2/1
,
1
,
t
TT
t
Tn
ji
n
ji
2
2/1
,1
2/1
,
2/1
,1
2
2 2
x
TTT
x
Tn
ji
n
ji
n
ji
2
1
1,
1
,
1
1,
2
2 2
y
TTT
y
Tn
ji
n
ji
n
ji
Turunan waktu didekati dengan beda maju
y-sweep (n+1/2n+1)
Turunan ruang didekati dengan beda tengah
-
7/30/2019 komputasi perpan
38/44
METODE BEDA HINGGA(FINITEDIFFERENCE METHOD)
Sehingga :
2
1
1,
1
,
1
1,
2
2/1
,1
2/1
,
2/1
,1
2/1
,
1
, 222/ y
TTTx
TTTtTT
n
ji
n
ji
n
ji
n
ji
n
ji
n
ji
n
ji
n
ji
j
n
jij
n
jij
n
jij dTcTbTa
1
1,
1
,
1
1,
2
2
1
2
y
tb
y
ta
j
j
2/1
,1
2/1
,
2/1
,12
2/1
,
2
22
2
n
ji
n
ji
n
ji
n
jij
j
TTTx
tTd
y
tc
Dimana :
-
7/30/2019 komputasi perpan
39/44
METODE BEDA HINGGA(FINITEDIFFERENCE METHOD)
Contoh soal :
Perpindahan panas konduksi 2-D unsteady dengan difusivitas thermal = 0.645 ft2/hr. Kotak 2-D mempunyai ukuran 3.5 ft x 3.5 ft. Mula-mula
memiliki temperatur T0=0 F (t=0), kemudian pada t>0 T1=200 F,
T2=200 F, T3=0 F ,T4=0 F.
Tentukan distribusi temperatur saat t=0.1 hr dan 0.4 hr.
T1
T4
T3
T2
T0
3.5 ft
3.5 ft
-
7/30/2019 komputasi perpan
40/44
x=0.:0.1:3.5; y=x; % x dan y array
nx=36; ny=nx; i1=1; j1=i1; % menentukan jumlah grid
dx=0.1; dy=dx; dt=0.01; % langkah ruang dan langkah waktu
alpa=0.645; % difusivitas termal
u=zeros(ny); % kondisi awal
u(:,ny)=0.; % batas kananu(nx,:)=200; % batas atas
u(:,1)=200.; % batas kiri
u(1,:)=0.; % batas bawah
tmax=input(' tmax= '); % batas waktu (t= 0.1 dan 0.4jam)
t=0.; s=alpa*dt/dx/dx;
METODE BEDA HINGGA(FINITEDIFFERENCE METHOD)
Program ADI
-
7/30/2019 komputasi perpan
41/44
while t0)t=t+dt;
% x-sweep
for j=j1+1:ny-1
for i=i1+1:nx
a(i)=-s/2; b(i)=1.+s; c(i)=-s/2;
d(i)=u(i,j)+(u(i,j-1)-u(i,j)*2+u(i,j+1))*s/2;
end
a(1)=0.; b(1)=1.; c(1)=0; d(1)=u(1,j);
a(nx)=0.; b(nx)=1.; c(nx)=0; d(nx)=u(nx,j);
d=tridi(a,b,c,d,i1,nx); % call tridi
u(:,j)=d(:);
end
METODE BEDA HINGGA(FINITEDIFFERENCE METHOD)
Lanjutan ADI
-
7/30/2019 komputasi perpan
42/44
% y-sweep
for i=i1+1:nx-1for j=j1+1:ny-1
a(j)=-s/2; b(j)=1.+s; c(j)=-s/2;
d(j)=u(i,j)+(u(i-1,j)-u(i,j)*2+u(i+1,j))*s/2;
end
a(1)=0.; b(1)=1.; c(1)=0; d(1)=u(i,1);
a(ny)=0.; b(ny)=1.; c(ny)=0; d(ny)=u(i,ny);
d=tridi(a,b,c,d,i1,ny); % call tridi
u(i,:)=d(:)';
end
end
% plot grafik
hold on
box on;contourf(y,x,u,50);
contour(y,x,u,50);%colorbar;
hold off
clear
METODE BEDA HINGGA(FINITEDIFFERENCE METHOD)
Lanjutan ADI
-
7/30/2019 komputasi perpan
43/44
METODE BEDA HINGGA(FINITEDIFFERENCE METHOD)
Distribusi temperatur untuk t= 0.1 jam
-
7/30/2019 komputasi perpan
44/44
METODE BEDA HINGGA(FINITEDIFFERENCE METHOD)
Distribusi temperatur untuk t= 0.4 jam