komputasi perpan

download komputasi perpan

of 44

Transcript of komputasi perpan

  • 7/30/2019 komputasi perpan

    1/44

  • 7/30/2019 komputasi perpan

    2/44

    PERPINDAHAN PANAS

    Mekanisme perpindahan kalor yaitu : konduksi, konveksi dan radiasi.

  • 7/30/2019 komputasi perpan

    3/44

    PERSAMAAN PERPINDAHAN PANAS

    Persamaan Konduksi

    Jika k konstan (tidak berubah thd temperatur), maka :

    Dimana :

    persamaan konduksi unsteady

  • 7/30/2019 komputasi perpan

    4/44

    METODE BEDA HINGGA(FINITEDIFFERENCE METHOD)

    Metode beda hingga adalah suatu pendekatan numerik yang

    didasari oleh ekspansi deret Taylor

    3

    33

    2

    22

    !3

    )(

    !2

    )()()()(

    x

    fx

    x

    fx

    x

    fxxfxxf

    DERET TAYLOR

    3

    33

    2

    22

    !3

    )(

    !2

    )()()()(

    x

    fx

    x

    fx

    x

    fxxfxxf

    1 !)()()(

    nn

    nn

    xf

    nxxfxxf

  • 7/30/2019 komputasi perpan

    5/44

    METODE BEDA HINGGA(FINITEDIFFERENCE METHOD)

    Pendekatan beda hingga untuk turunan pertama

    x

    f

    )(1 xx

    ff

    x

    f ii

    211 )(2

    xx

    ff

    x

    f ii

    Pendekatan beda maju (forw ard dif ference)

    Pendekatan beda tengah (central dif ference)

    Pendekatan beda mundur (backw ard dif ference)

    )(1 xx

    ff

    x

    f ii

  • 7/30/2019 komputasi perpan

    6/44

    METODE BEDA HINGGA(FINITEDIFFERENCE METHOD)

    Pendekatan beda hingga untuk turunan kedua

    2

    2

    x

    f

    Untuk turunan kedua pendekatan yang biasa dipakai adalah

    pendektan beda tengah(central dif ference)

    2

    2

    11

    2

    2 2x

    x

    fff

    x

    f iii

  • 7/30/2019 komputasi perpan

    7/44

    METODE BEDA HINGGA(FINITEDIFFERENCE METHOD)

    Persamaan perpindahan panas konduksi 1D

    Persamaan perpindahan panas konduksi

    2

    2

    x

    T

    t

    T

    02

    2

    x

    T

    2

    2

    2

    2

    y

    T

    x

    T

    t

    T

    02

    2

    2

    2

    y

    T

    x

    T

    Persamaan perpindahan panas konduksi 2D

    unsteady

    steady

    unsteady

    steady

  • 7/30/2019 komputasi perpan

    8/44

    METODE BEDA HINGGA(FINITEDIFFERENCE METHOD)

    Keterangan :

    T = temperatur

    x= dimensi ruang arahx

    y= dimensi ruang arah y

    t= dimensi waktu

    = difusivitas thermal

    PENYELESAIAN PERSAMAAN KONDUKSI 1D UNSTEADY

    Metode yang digunakan :

    1. Metode FTCS (forward in time central in space)

    2. Metode Laasonen

    3. Metode Crank-Nicolson

  • 7/30/2019 komputasi perpan

    9/44

    METODE BEDA HINGGA(FINITEDIFFERENCE METHOD)

    1. Metode FTCS (forward in t ime central in s pace)

    i-1 i i+1x

    t

    n

    n+1

    Skema metode FTCS

    i= indeks ruang

    n= indeks waktu

    Diskretisasi persamaan konduksi 1D dengan metode FTCS

    2

    2

    x

    T

    t

    T

    Turunan waktu didiskretisasi dengan pendekatan beda maju

    Turunan ruang didiskretisasi dengan pendekatan beda tengah

  • 7/30/2019 komputasi perpan

    10/44

    METODE BEDA HINGGA(FINITEDIFFERENCE METHOD)

    Diskretisasi turunan waktu

    2

    21

    2

    2 21x

    x

    TTT

    xT

    n

    i

    nnii

    tt

    TT

    t

    T nn ii

    1

    Diskretisasi turunan ruang

    Sehingga :

    211

    1

    2x

    TTTtTT

    n

    i

    n

    i

    n

    i

    nn

    ii

  • 7/30/2019 komputasi perpan

    11/44

    METODE BEDA HINGGA(FINITEDIFFERENCE METHOD)

    Lanjutan

    ninininn TTT

    x

    tTT ii 1121 2

    2. Metode Laasonen

    t

    n+1

    n

    i+1ii-1

    x

    i= indeks ruang

    n= indeks waktu

    Skema metode Laasonen

  • 7/30/2019 komputasi perpan

    12/44

    Diskretisasi persamaan konduksi 1D dengan metode Laasonen

    METODE BEDA HINGGA(FINITEDIFFERENCE METHOD)

    2

    2

    xT

    tT

    tt

    TT

    t

    Tnnii

    1

    Turunan waktu didiskretisasi dengan pendekatan beda maju

    Turunan ruang didiskretisasi dengan pendekatan beda tengah

    Diskretisasi turunan waktu

    2

    2

    1

    1

    11

    2

    2 21x

    x

    TTT

    x

    Tn

    i

    nnii

    Diskretisasi turunan ruang

  • 7/30/2019 komputasi perpan

    13/44

    METODE BEDA HINGGA(FINITEDIFFERENCE METHOD)

    Sehingga :

    n1n

    1i

    1n1n

    1i iiTTTT

    222

    11

    1

    11

    12

    1

    1

    11

    12

    1

    2

    1

    1

    11

    1

    1

    21

    2

    2

    2

    x

    t

    x

    t

    x

    t

    TTTTTx

    t

    TTTx

    t

    TT

    x

    TTT

    t

    TT

    nnn

    i

    n

    i

    n

    i

    n

    i

    n

    i

    n

    i

    nn

    n

    i

    n

    i

    n

    i

    nn

    ii

    ii

    ii

  • 7/30/2019 komputasi perpan

    14/44

    iiii dcba 1n

    1i1n1n

    1i TTT i

    METODE BEDA HINGGA(FINITEDIFFERENCE METHOD)

    Lanjutan

    Persamaan diatas disebut persamaan tridiagonal matriks

    Dimana :

    n

    iT

    i

    i

    i

    i

    d

    xtc

    x

    tb

    x

    ta

    2

    2

    2

    21

  • 7/30/2019 komputasi perpan

    15/44

    METODE BEDA HINGGA(FINITEDIFFERENCE METHOD)

    Persamaan Tridiagaonal matriks dapat dinyatakan dalam bentuk matriks

    sebagai berikut :

    a2

    b2

    c2

    a3

    b3

    c3

    a4

    b4

    c4

    anx-2 bnx-2 cnx-2

    anx-1

    bnx-1

    cnx-1

    T1

    T2

    T3

    T4

    Tnx-2

    Tnx-1

    Tnx

    =

    d2

    d3

    d4

    dnx-2

    dnx-1

    T1 dan Tnxberada pada kondisi batas (boundary candition)

    Untuk menyelesaikan persamaan tridiagonal matriks digunakan

    Algoritma Thomas (dalam program komputer berupa Subroutine Tridi)

  • 7/30/2019 komputasi perpan

    16/44

    METODE BEDA HINGGA(FINITEDIFFERENCE METHOD)

    3. Metode Crank-Nicolson

    n+1/2

    t/2

    n+1

    i+1ii-1

    x

    n

    t/2

    i= indeks ruang

    n= indeks waktu

    Skema metode Crank-Nicolson

  • 7/30/2019 komputasi perpan

    17/44

    METODE BEDA HINGGA(FINITEDIFFERENCE METHOD)

    Diskretisasi persamaan konduksi 1D dengan metode Crank-Nicolson

    2

    2

    xT

    tT

    x

    t

    TT

    t

    Tnnii

    2/

    2/1

    Turunan waktu didiskretisasi dengan pendekatan beda maju

    Turunan ruang didiskretisasi dengan pendekatan beda tengah

    Metode Crank-Nicoson terdiri dari dua langkah waktu yaitu :

    Langkah waktu ( nn+1/2)Diskretisasi turunan waktu

    Diskretisasi turunan ruang

    2

    2

    1

    2

    2 21x

    x

    TTT

    x

    Tn

    i

    nnii

  • 7/30/2019 komputasi perpan

    18/44

    METODE BEDA HINGGA(FINITEDIFFERENCE METHOD)

    Langkah waktu ( n+1/2n+1)

    Diskretisasi turunan waktu

    x

    t

    TT

    t

    Tnnii

    2/

    2/11

    2

    2

    1

    1

    11

    2

    2 21x

    x

    TTT

    x

    Tn

    i

    nnii

    Diskretisasi turunan ruang

    211

    2/1 2

    2/ x

    TTT

    t

    TT ninininn ii

    Lanjutan

  • 7/30/2019 komputasi perpan

    19/44

    Lanjutan

    METODE BEDA HINGGA(FINITEDIFFERENCE METHOD)

    21

    1

    11

    1

    2/11 2

    2/ x

    TTT

    t

    TT ni

    n

    i

    n

    i

    nnii

    211

    2/1 2

    2/ x

    TTT

    t

    TT ni

    ni

    ni

    nnii

    2

    1

    1

    11

    1

    2

    11

    122

    2/ x

    TTT

    x

    TTT

    t

    TT ni

    n

    i

    n

    i

    n

    i

    n

    i

    n

    i

    nnii

    Jika langkah waktu ( nn+1/2) dan ( n+1/2n+1) dijumlahkan menjadi :

    2

    1

    1

    11

    1

    2/112

    2/ x

    TTT

    t

    TT ni

    n

    i

    n

    i

    nnii

    +

  • 7/30/2019 komputasi perpan

    20/44

    n

    i

    n

    i

    n

    i TTTx

    t

    x

    t

    x

    t

    x

    t

    112

    222

    22

    21

    2

    n

    1n

    1i

    1n1n

    1i

    i

    i

    T

    TTT

    iiii dcba

    1n

    1i

    1n1n

    1iTTT i

    nininiii

    ii

    TTTx

    td

    x

    tc

    x

    tb

    x

    ta

    1122

    22

    222

    12

    n

    iT

    METODE BEDA HINGGA(FINITEDIFFERENCE METHOD)

    Lanjutan

    Dimana :

    Persamaan tridiagonal matriks diselesaikan dengan Algoritma thomas

  • 7/30/2019 komputasi perpan

    21/44

    METODE BEDA HINGGA(FINITEDIFFERENCE METHOD)

    Jawab :

    1 ft

    T1=300FT2=300F

    xi=1 i=nx

    Diketahui L=1 ft, To=100F, T1=300F

    dan T2=300F =0.1 ft2/hr.

    Membagi domain menjadi nx=41 grid

    dengan lebar tiap grid x=0.025

    Menentukan langkah waktu t=0.01

    Menentukan batas waktu Tmax( 0.1,

    0.2, 0.3, 0.4 dan 0.5 jam)

    Menghitung Tn+1 dengan metode

    FTCS, Lasonen dan Crank-Nicolson

    Hasil perhitungan ditampilkan dalam

    bentuk grafik T-x

    Urutan penyelesaian

  • 7/30/2019 komputasi perpan

    22/44

    METODE BEDA HINGGA(FINITEDIFFERENCE METHOD)

    Program ditulis dengan perangkat lunak Matlab

    1. Program FTCS

    nx=41; % Jumlah grid

    i1=1; % awal grid

    dx=0.025; % Langkah ruang x

    dt=0.001; % Langkah waktu t

    x=0.:0.025:1.0; % x array

    v=0.1; % Difusivitas thermal us=ones(1,41).*100.; % Temperatur awal Tous(1)=300.; % Temperatur sisi kiri T1us(41)=300.; % Temperatur sisi kanan T2

    u=us;

    tmax=input(' tmax= ') % Input batas waktu Tmax

    t=0.;s=v*dt/dx/dx;

  • 7/30/2019 komputasi perpan

    23/44

    METODE BEDA HINGGA(FINITEDIFFERENCE METHOD)

    while t

  • 7/30/2019 komputasi perpan

    24/44

    METODE BEDA HINGGA(FINITEDIFFERENCE METHOD)

    t=0.1

    t=0.2

    t=0.3

    t=0.4

    t=0.5

    Grafik Distribusi Temperatur, Metode FTCS

  • 7/30/2019 komputasi perpan

    25/44

    METODE BEDA HINGGA(FINITEDIFFERENCE METHOD)

    nx=41; % Jumlah grid

    i1=1; % Awal grid

    x=0.:0.025:1.; % x array

    dx=0.025; %Langkah ruang x

    dt=0.01; %Langkah waktu tv=0.1; % Difusivitas thermal

    u=ones(1,41).*100.; % Temperatur awal To

    u(i1)=300.; % Temperatur sisi kiri T1

    u(nx)=300.; % Temperatur sisi kanan T2

    tmax=input(' tmax= ') % Input batas waktu Tmax

    t=0.;s=v*dt/dx/dx;

    2. Program Laasonen

  • 7/30/2019 komputasi perpan

    26/44

    METODE BEDA HINGGA(FINITEDIFFERENCE METHOD)

    while t

  • 7/30/2019 komputasi perpan

    27/44

    METODE BEDA HINGGA(FINITEDIFFERENCE METHOD)

    % plot grafik

    hold on

    grid

    xlabel('==> x(ft)')

    ylabel('Temperatur (F)')

    title(' Grafik distribusi temperatur, Metode

    Laasonen')

    plot(x,u)

    hold off

    clear

    Lanjutan laasonen

  • 7/30/2019 komputasi perpan

    28/44

    METODE BEDA HINGGA(FINITEDIFFERENCE METHOD)

    Grafik Distribusi Temperatur, Metode Laasonen

    t=0.5

    t=0.4

    t=0.3

    t=0.2

    t=0.1

  • 7/30/2019 komputasi perpan

    29/44

    METODE BEDA HINGGA(FINITEDIFFERENCE METHOD)

    3. Program Crank-Nicolson

    nx=41; % Jumlah grid

    i1=1; % Awal grid

    x=0.:0.025:1.; % x array

    dx=0.025; %Langkah ruang x

    dt=0.01; %Langkah waktu tv=0.1; % Difusivitas thermal

    u=ones(1,41).*100.; % Temperatur awal To

    u(i1)=300.; % Temperatur sisi kiri T1

    u(nx)=300.; % Temperatur sisi kanan T2

    tmax=input(' tmax= ') % Input batas waktu Tmax

    t=0.;s=v*dt/dx/dx;

  • 7/30/2019 komputasi perpan

    30/44

    METODE BEDA HINGGA(FINITEDIFFERENCE METHOD)

    while t

  • 7/30/2019 komputasi perpan

    31/44

    METODE BEDA HINGGA(FINITEDIFFERENCE METHOD)

    % plot grafik

    hold on

    grid

    xlabel('==> x(ft)')

    ylabel('Temperatur (F)')

    title(' Grafik distribusi temperatur, Metode

    crank nicolson')

    plot(x,u)

    hold off

    clear

    Lanjutan Crank-Nicolson

  • 7/30/2019 komputasi perpan

    32/44

    METODE BEDA HINGGA(FINITEDIFFERENCE METHOD)

    function u=tridi(a,b,c,d,i1,ny)

    for i=i1+1:ny

    r=-a(i)/b(i-1);

    b(i)=b(i)+c(i-1).*r;

    d(i)=d(i)+d(i-1).*r;

    end

    d(ny)=d(ny)/b(ny);

    for i=1:ny-1

    j=ny-i;

    d(j)=(d(j)-c(j).*d(j+1))./b(j);

    end

    for i=1:nyu(i)=d(i);

    end

    Function Tridi

  • 7/30/2019 komputasi perpan

    33/44

    METODE BEDA HINGGA(FINITEDIFFERENCE METHOD)

    Grafik Distribusi Temperatur, Metode Crank-Nicolson

    t=0.2

    t=0.1

    t=0.15

    t=0.3

    t=0.4

  • 7/30/2019 komputasi perpan

    34/44

    METODE BEDA HINGGA(FINITEDIFFERENCE METHOD)

    PENYELESAIAN PERSAMAAN KONDUKSI 2D UNSTEADY

    Metode Alternating Directional Implicit (ADI)

    2

    2

    2

    2

    y

    T

    x

    T

    t

    T

    n

    n+1/2

    n+1

    t/2

    t/2

    x

    y

    (x-sweep)

    (y-sweep)

    Skema metode ADI

  • 7/30/2019 komputasi perpan

    35/44

    METODE BEDA HINGGA(FINITEDIFFERENCE METHOD)

    Diskretisasi persamaan konduksi 2D dengan metode ADI

    2/

    ,

    2/1

    ,

    t

    TT

    t

    Tn

    ji

    n

    ji

    22/1

    ,1

    2/1

    ,

    2/1

    ,1

    2

    2 2

    x

    TTT

    x

    Tn

    ji

    n

    ji

    n

    ji

    21,,1,

    2

    2 2

    y

    TTT

    y

    Tnji

    nji

    nji

    Turunan waktu didekati dengan beda maju

    x-sweep (nn+1/2)

    Turunan ruang didekati dengan beda tengah

  • 7/30/2019 komputasi perpan

    36/44

    METODE BEDA HINGGA(FINITEDIFFERENCE METHOD)

    Sehingga :

    2

    1,,1,

    2

    2/1

    ,1

    2/1

    ,

    2/1

    ,1,

    2/1

    , 222/ y

    TTTx

    TTTt

    TTn

    ji

    n

    ji

    n

    ji

    n

    ji

    n

    ji

    n

    ji

    n

    ji

    n

    ji

    i

    n

    jii

    n

    jii

    n

    jii dTcTbTa

    2/1

    ,1

    2/1

    ,

    2/1

    ,1

    2

    2

    1

    2

    x

    tb

    x

    ta

    i

    i

    njinjinjinjii

    i

    TTTy

    tTd

    x

    tc

    1,,1,2,

    2

    22

    2

    Dimana :

  • 7/30/2019 komputasi perpan

    37/44

    METODE BEDA HINGGA(FINITEDIFFERENCE METHOD)

    2/

    2/1

    ,

    1

    ,

    t

    TT

    t

    Tn

    ji

    n

    ji

    2

    2/1

    ,1

    2/1

    ,

    2/1

    ,1

    2

    2 2

    x

    TTT

    x

    Tn

    ji

    n

    ji

    n

    ji

    2

    1

    1,

    1

    ,

    1

    1,

    2

    2 2

    y

    TTT

    y

    Tn

    ji

    n

    ji

    n

    ji

    Turunan waktu didekati dengan beda maju

    y-sweep (n+1/2n+1)

    Turunan ruang didekati dengan beda tengah

  • 7/30/2019 komputasi perpan

    38/44

    METODE BEDA HINGGA(FINITEDIFFERENCE METHOD)

    Sehingga :

    2

    1

    1,

    1

    ,

    1

    1,

    2

    2/1

    ,1

    2/1

    ,

    2/1

    ,1

    2/1

    ,

    1

    , 222/ y

    TTTx

    TTTtTT

    n

    ji

    n

    ji

    n

    ji

    n

    ji

    n

    ji

    n

    ji

    n

    ji

    n

    ji

    j

    n

    jij

    n

    jij

    n

    jij dTcTbTa

    1

    1,

    1

    ,

    1

    1,

    2

    2

    1

    2

    y

    tb

    y

    ta

    j

    j

    2/1

    ,1

    2/1

    ,

    2/1

    ,12

    2/1

    ,

    2

    22

    2

    n

    ji

    n

    ji

    n

    ji

    n

    jij

    j

    TTTx

    tTd

    y

    tc

    Dimana :

  • 7/30/2019 komputasi perpan

    39/44

    METODE BEDA HINGGA(FINITEDIFFERENCE METHOD)

    Contoh soal :

    Perpindahan panas konduksi 2-D unsteady dengan difusivitas thermal = 0.645 ft2/hr. Kotak 2-D mempunyai ukuran 3.5 ft x 3.5 ft. Mula-mula

    memiliki temperatur T0=0 F (t=0), kemudian pada t>0 T1=200 F,

    T2=200 F, T3=0 F ,T4=0 F.

    Tentukan distribusi temperatur saat t=0.1 hr dan 0.4 hr.

    T1

    T4

    T3

    T2

    T0

    3.5 ft

    3.5 ft

  • 7/30/2019 komputasi perpan

    40/44

    x=0.:0.1:3.5; y=x; % x dan y array

    nx=36; ny=nx; i1=1; j1=i1; % menentukan jumlah grid

    dx=0.1; dy=dx; dt=0.01; % langkah ruang dan langkah waktu

    alpa=0.645; % difusivitas termal

    u=zeros(ny); % kondisi awal

    u(:,ny)=0.; % batas kananu(nx,:)=200; % batas atas

    u(:,1)=200.; % batas kiri

    u(1,:)=0.; % batas bawah

    tmax=input(' tmax= '); % batas waktu (t= 0.1 dan 0.4jam)

    t=0.; s=alpa*dt/dx/dx;

    METODE BEDA HINGGA(FINITEDIFFERENCE METHOD)

    Program ADI

  • 7/30/2019 komputasi perpan

    41/44

    while t0)t=t+dt;

    % x-sweep

    for j=j1+1:ny-1

    for i=i1+1:nx

    a(i)=-s/2; b(i)=1.+s; c(i)=-s/2;

    d(i)=u(i,j)+(u(i,j-1)-u(i,j)*2+u(i,j+1))*s/2;

    end

    a(1)=0.; b(1)=1.; c(1)=0; d(1)=u(1,j);

    a(nx)=0.; b(nx)=1.; c(nx)=0; d(nx)=u(nx,j);

    d=tridi(a,b,c,d,i1,nx); % call tridi

    u(:,j)=d(:);

    end

    METODE BEDA HINGGA(FINITEDIFFERENCE METHOD)

    Lanjutan ADI

  • 7/30/2019 komputasi perpan

    42/44

    % y-sweep

    for i=i1+1:nx-1for j=j1+1:ny-1

    a(j)=-s/2; b(j)=1.+s; c(j)=-s/2;

    d(j)=u(i,j)+(u(i-1,j)-u(i,j)*2+u(i+1,j))*s/2;

    end

    a(1)=0.; b(1)=1.; c(1)=0; d(1)=u(i,1);

    a(ny)=0.; b(ny)=1.; c(ny)=0; d(ny)=u(i,ny);

    d=tridi(a,b,c,d,i1,ny); % call tridi

    u(i,:)=d(:)';

    end

    end

    % plot grafik

    hold on

    box on;contourf(y,x,u,50);

    contour(y,x,u,50);%colorbar;

    hold off

    clear

    METODE BEDA HINGGA(FINITEDIFFERENCE METHOD)

    Lanjutan ADI

  • 7/30/2019 komputasi perpan

    43/44

    METODE BEDA HINGGA(FINITEDIFFERENCE METHOD)

    Distribusi temperatur untuk t= 0.1 jam

  • 7/30/2019 komputasi perpan

    44/44

    METODE BEDA HINGGA(FINITEDIFFERENCE METHOD)

    Distribusi temperatur untuk t= 0.4 jam