BAB 1

PENDAHULUAN

A. TEORI

PYTHAGORAS

Pythagoras (582 SM – 496 SM) adalah seorang matematikawan dan filsuf

Yunani yang paling dikenal melalui teoremanya.

Dikenal sebagai "Bapak Bilangan", dia memberikan sumbangan yang

penting terhadap filsafat dan ajaran keagamaan pada akhir abad ke-6 SM.

Kehidupan dan ajarannya tidak begitu jelas akibat banyaknya legenda dan kisah-

kisah buatan mengenai dirinya.

Salah satu peninggalan Pythagoras yang terkenal adalah teorema

Pythagoras, yang menyatakan bahwa kuadrat hipotenusa dari suatu segitiga siku-

siku adalah sama dengan jumlah kuadrat dari kaki-kakinya (sisi-sisi siku-sikunya).

Walaupun fakta di dalam teorema ini telah banyak diketahui sebelum lahirnya

Pythagoras, namun teorema ini dikreditkan kepada Pythagoras karena ia yang

pertama kali membuktikan pengamatan ini secara matematis.

Pythagoras dan murid-muridnya percaya bahwa segala sesuatu di dunia ini

berhubungan dengan matematika, dan merasa bahwa segalanya dapat

diprediksikan dan diukur dalam siklus beritme. Ia percaya keindahan matematika

disebabkan segala fenomena alam dapat dinyatakan dalam bilangan-bilangan atau

perbandingan bilangan. Terdapat legenda yang menyatakan bahwa ketika

muridnya Hippasus menemukan bahwa , hipotenusa dari segitiga siku-siku

sama kaki dengan sisi siku-siku masing-masing 1, adalah bilangan irasional,

murid-murid Pythagoras lainnya memutuskan untuk membunuhnya karena tidak

dapat membantah bukti yang diajukan Hippasus.

Dalam matematika, teorema Pythagoras adalah suatu keterkaitan dalam

geometri Euklides antara tiga sisi sebuah segitiga siku-siku. Teorema ini

dinamakan menurut nama filsuf dan matematikawan Yunani abad ke-6 SM,

Pythagoras. Pythagoras sering dianggap sebagai penemu teorema ini meskipun

sebenarnya fakta-fakta teorema ini sudah diketahui oleh matematikawan India

(dalam Sulbasutra Baudhayana dan Katyayana), Yunani, Tionghoa dan Babilonia

jauh sebelum Pythagoras lahir. Pythagoras mendapat kredit karena ialah yang

pertama membuktikan kebenaran universal dari teorema ini melalui pembuktian

matematis.

Berikut ini terdapat beberapa pembuktian teorema Phytagoras :

1. Bukti dari sekolah Pythagoras

Sifat pada segitiga siku-siku ini sebenarnya telah dikenal berabad-abad sebelum

masa Phytagoras, seperti di Mesopotamia, Mesir dan juga Cina. Tetapi catatan

tertulis pertama yang memberi bukti berasal dari Phytagoras. Bukti dari sekolah

Phytagoras tersebut tersaji dengan diagram di atas. Perhatikan bahwa :

Luas daerah yang diarsir pada gambar (1) adalah : a2 + b2

Luas daerah yang diarsir pada gambar (2) adalah : c2

Dengan demikian : a2 + b2 = c2

2. Bukti dengan menggunakan diagram Phytagoras

Perhatikan gambar di atas. Keempat segitiga siku-siku yang kongruen disusun

membentuk gambar. Dengan menghitung luas bangun persegi yang terjadi melalui

2 cara akan kita peroleh:

( a+b )2

=c2

+4⋅12⋅ab

a2

+2 ab+b2

=c2

+2ab

a2

+b2

=c2

3. Bukti dari Bhaskara

Pembuktian teorema Phytagoras berikut pertama kali dipublikasikan oleh

Bhaskara, seorang matematikawan India, sekitar abad X. Bangun ABC diatas

berupa bujur sangkar dengan sisi c. Di dalamnya dibuat empat buah segitiga siku-

siku dengan panjang sisi a dan b. Dengan konstruksi bangun tersebut maka:

Luas PQRS + 4 x Luas ABQ = Luas ABCD

(b−a )2

+4⋅12⋅ab=c

2

b2

−2 ab+a2

+2⋅ab=c2

a2

+b2

=c2

B. PERMASALAHAN

1. Pembelajaran tentang Dalil Pythagoras di sekolah masih menggunakan cara-cara manual.

2. Dalam pembuktian Dalil Pythagoras akan sangat menarik apabila disajikan dalam bentuk alat peraga.

3. Pada saat ini dibutuhkan banyak konsep pembelajaran untuk memudahkan para siswa dalam mencerna dan memahami konsep pembelajaran dalam matematika terkhusus dalam hal pembuktian Dalil Pythagoras.

4. Kurangnya kemampuan siswa dalam memahami konsep Pythagoras.

5. Sulitnya para siswa dalam memahami tentang Pythagoras.

C. TUJUAN

1. Memahami konsep Pythagoras.

2. Memahami beberapa pembuktian Dalil Pythagoras.

3. Menemukan persamaan umum Dalil Pythagoras dengan menggunakan alat peraga.

4. Mempermudah dalam pembelajaran tentang Dalil Pythagoras dengan menggunakan alat peraga.

5. Menemukan pengaplikasian Dalil Pythagoras dalam kehidupan sehari - hari.

D. ALAT DAN BAHAN

No Nama alat dan bahan Jumlah

1 Mistar 1 buah

2 Karton 1 kajang

3 Double tip 1 buah

4 Pensil 2 buah

5 Gunting 3 buah

6 Triplek 1 buah

7 Kardus secukupnya

8 Kertas Origami 1 kajang

9 Spidol 1 buah

BAB II

ISI

PEMBAHASAN

Dari beragamnya konsep pembelajaran matematika yang ada,

pembelajaran menggunakan media alat peraga sangat membantu dalam

menyampaikan materi kepada siswa. Disamping itu, dengan menggunakan alat

peraga, pembelajaran yang sedang berlangsung di dalam kelas tidak terlalu

monoton sehingga memacu siswa untuk lebih aktif, tidak seperti pembelajaran

konvensional yang selama ini , dimana guru lebih aktif dari siswanya

Pembelajaran menggunakan alat peraga ini, selain memudahkan siswa

dalam memahami konsep, juga sangat membantu pengajar dalam menyampaikan

materi.

Oleh sebab itu , kreatifitas para pengajar dalam membuat alat peraga

sangat dibutuhkan dalam menunjang keaktifan siswa dalam pembelajaran. Akan

tetapi, pada kenyataannya media pembelajaran menggunakan alat peraga kurang

diaplikasikan dalam proses belajar – mengajar. Hal ini mungkin disebabkan

terbatasnya kemampuan pengajar dalam membuat alat peraga tersebut.

Dalam makalah ini , penulis akan menguraikan cara pembuatan alat

peraga, salah satunya tentang model Pythagoras.

Dalam pembuatannya penulis menggunakan model alat peraga untuk

mempermudah pembelajaran dalam pemodelan Pythagoras.

Berikut cara kerja dalam membuat alat peraga:

1. Mengambil kardus, lalu membuat gambar 4 buah segitiga siku – siku berukuran a = 6 cm, b = 8 cm, dan c = 10 cm, sebuah persegi berukuran sisi 14 cm, sebuah persegi berukuran sisi 6 cm, sebuah persegi berukuran sisi 8 cm, dan sebuah persegi berukuran 10 cm.

2. Menggunting kedelapan model lingkaran tersebut.

3. Menyusun gambar 4 buah segitiga siku – siku berukuran a = 6 cm, b = 8 cm, dan c = 10 cm dan sebuah persegi berukuran sisi 14 cm menurut gambar berikut :

c

a

bc

a

bc

a

bc

a

b

a + ba + b

a + b

a + b

Disusun menjadi bangun datar

berikut ini

a

Dari bangun diatas, dapat dicari luas daerah persegi yang terbentuk dengan dua cara, yaitu

a. Dengan cara langsung, yaitu :

Luas daerah persegi = sisi x sisi

= (a + b) x (a + b)

= (a + b)2

b. Dengan menjumlahkan luas daerah bangun – bangun yang membentuk persegi tersebut, yaitu :

Luas daerah persegi = (4.luas daerah segitiga siku-siku) + (luas daerah persegi kuning)

= (4.

12 ab) + (c x c)

Dari kedua bentuk tersebut, didapatlah :

(a + b)2 = (4.

12 ab) + (c x c)

a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2

a2 + b2 = c2

Melalui percobaan diatas, terbuktilah Dalil Pythagoras, yaitu a2 + b2 = c2 .

4. Menyusun sebuah persegi berukuran sisi 6 cm, sebuah persegi berukuran sisi 8 cm, dan sebuah persegi berukuran 10 cm menjadi bentuk berikut :

a

a

a

a

bb

b

b

c

c

c

c

5. Partisi persegi yang berukuran b menjadi 3 buah partisi, lalu labelilah persegi yang terbentuk, sehingga :

a

a

a

a

bb

b

b

cc

cc

a

a

a

a

bb

b

b

cc

cc

I

IIIII

IV

6. Susunlah hasil partisi tersebut kedalam persegi merah, sehingga :

Karena partisi – pertisi

tersebut dapat menutupi dengan tepat

pada persegi merah, berarti luas

daerah dari persegi bersisi c adalah gabungan dari

luas daerah persegi bersisi a dan luas daerah persegi bersisi b, sehingga :

a2 + b2 = c2

Terbuktilah Dalil Pythagoras.

Langkah tersebut merupakan salah satu dari model Pythagoras dari lima model

yang lainnya. Keempat model yang lainnya sebagai berikut :

Model Pythagoras II :

a

a

a

a

bb

b

b

cc

cc

Model Pythagoras III :

Model Pythagoras IV :

Model Pythagoras V :

Sehingga terdapat 5 model Pythagoras yang makin ke bawah semakin tinggi

tingkat kesulitannya. Dari masing-masing model ini translasikan potongan-

potongan persegi pada bujursangkar kecil dan sedang ke bujursangkar besar (sisi

miring segitiga). Setelah potongan-potongan tersebut tepat memenuhi luasan

bujursangkar sisi miring, maka kita telah membuktikan kebenaran rumus

Pythagoras.

Beberapa pembuktian Dalil Pythagoras yang terkenal adalah :

1. Bukti dari J. A. Garfield

Pembuktian teorema Phytagoras berikut pertama kali dipublikasikan oleh J. A.

Garfield tahun 1876. Luas daerah trapesium di samping dapat dihitung dengan

dua cara hingga kita dapat membuktikan teorema Phytagoras seperti di bawah ini.

Luas daerah Trapesium =

12 [(Jumlah dua sisi sejajar) x tinggi]

=

12

(a+b ) (a+b )

=

a2

+2 ab+b2

2 …………………….(1)

Dipihak lain diperoleh luas trapesium:

Luas daerah Tapesium = jumlah luas daerah segitiga siku – siku

= [2 (

12 ab) +

12 (c.c) ]

= ab +

12 c2 …………………….(2)

Dari persamaan 1 dan 2 diperoleh :

a2

+2 ab+b2

2 = ab +

12 c2

a2

+2 ab+b2

= 2ab + c2

a

2

+b2

=c2

2. Bukti dengan cara “tambah lalu geser”

Susunlah empat segitiga siku-siku yang kongruen dengan segitiga ABC,

seperti pada gambar kiri, lalu tambahkan sebuah bujursangkar dengan sisi b — a.

Maka akan kita peroleh bahwa:

Luas(KMNPQR) = luas(KSQR) + luas(SMNP)

= a2 + b2

Kemudian pindahkan segitiga 1 dan 4 sehingga membentuk bangun kanan.

Bangun yang terjadi adalah bujursangkar dengan sisi c, sehingga luasnya c2.

3. Bukti dengan menggunakan tinggi dan sifat segitiga sebangun

Perhatikan gambar disamping:

ABC ACD sehingga : bc=c 1

b , atau b2 = c.c1 ………..(1)

ABC ACD sehingga : ac=c 2

a , atau a2 = c.c2 ………..(2)

Dari (1) dan (2) diperoleh:

a2 + b2 = c.c2 + c.c1

a2 + b2 = c (c1 + c2)

a2 + b2 = c . c

a2 + b2 = c2

4. Bukti dengan dasar perbandingan

Pembuktian teorema Phytagoras berikut dipublikasikan oleh Birkhoff.

Diberikan segitiga ABC yang siku-siku di C. Kalikan setiap sisi dengan c, lalu

bentuk dua segitiga sebangun dengan ABC seperti gambar di bawah. Dengan

perbandingan sisi pada segitiga – segitiga sebangun, diperoleh panjang sisi-sisi

lain pada bangun di atas. Dari konstruksi tersebut, jelas telihat bahwa a2 + b2 = c2.

5. Bukti dari Leonardo da Vinci

Diberikan segitiga siku-siku ABC. Buatlah segitiga JHI kongruen dengan

ABC.

Maka segiempat ABHI, JHBC, ADGC dan EDGF adalah kongruen. Bukti

Teorema Pythagoras dilakukan sebagai berikut:

luas(ADGC) + luas(EDGF) = luas(ABHI) + luas(JHBC)

luas(ADEFGC) = luas(ABCJHI)

Tetapi kedua bangun memuat 2 segitiga yang kongruen dengan segitiga ABC,

sehingga:

luas(ADEFGC) – 2. luas(ABC) = luas(ABCJHI) – 2.luas(ABC)

luas(ABED) + luas(BCGF) = luas(ACJI)

a2 + b2 = c2

BAB III

PENUTUP

A. KESIMPULAN

- Pembuktian – pembuktian Dalil Phytagoras adalah manipulasi aljabar

yang akan menambah pengetahuan dan tentunya akan meningkatkan

pemahaman konsep Dalil Phytagoras

- Dalam membuat alat peraga diperlukan ketelitian dalam menggambar dan

menggunting bidang persegi berserta partisi - partisinya dan segitiga siku -

siku yang terbentuk karena kesalahan dalam menggambar dan

menggunting akan mempengaruhi bangun datar yang terbentuk.

- Model Pythagoras yang dapat disusun oleh penulis ada lima model dimana

tingkat kesulitannya semakin lama semakin tinggi dikarenakan banyaknya

partisi – partisi persegi yang dibuat untuk menutupi persegi besar.

- Banyak sekali pembuktian Dalil Pythagoras yang dapat dilakukan, yaitu

dengan perbandingan geometri, perbandingan luas daerah suatu bangun

datar, transformasi daerah – daerah pembatas, dll.

- Dalam membuktikan dalilnya, Pythagoras menggunakan perbandingan

luas daerah persegi yang didapat dengan penggabungan segitiga – segitiga

dengan persegi kecil yang dibandingkan dengan luas daerah persegi yang

dicari dengan cara langsung.

- Berdasarkan hasil pengerjaan diatas, dapat disimpulkan bahwa kuadrat sisi

miring (hipotenusa) suatu segitiga adalah jumlah dari kuadrat sisi – sisi

lainnya dengan syarat bahwa segitiga tersebut adalah segitiga siku – siku

atau dapat dinotasikan sebagai : a2

+b2

=c2

.

- Dalil Pythagoras sangat berguna dalam kehidupan sehari – hari, terutama

dalam bidang geometri, arsitektur, dll yang sangat membutuhkan

perbandingan jarak antara dua titik.

B. FOTO-FOTO

KEGIATAN PENGERJAAN ALAT PERAGA

HASIL

ALAT DAN BAHAN

DAFTAR PUSTAKA

Mulyono . 2012 . Buku Praktikum Alat Peraga . Medan : UNIMED

filetram.com/4shared/model-pythagoras-pdf-8806920538

http://ebook.p4tkmatematika.org/2010/05/petunjuk-penggunaan-alat-peraga- matematika-loncat-katak/

http://www.slideshare.net/NASuprawoto/pemanfaatan-alat-peraga-sebagai-media-pembelajaran/download

http://id.wikipedia.org/wiki/Pythagoras

http://id.wikipedia.org/wiki/Teorema_Pythagoras

http://www.slideshare.net/guesteb59bed6/beberapa-alternatif-bukti-teorema-pythagoras/download

http://www.scribd.com/doc/53070342/MakalahBerbagaiPembuktianTheoremaPhytagoras

ASISTEN LAB

( Nailul Himmi Hasibuan ) ( Wes Waruwu )

NIM: 409411030NIM: 409111087

NAMA ANGGOTA : BETHESDA BUTAR-BUTAR

CHAIRUNISA

DINAR KRISTINA LUBIS

EKA DENNY FRANATA TARIGAN

ESRON FRANANTA TARIGAN

NOVI TARI SIMBOLON

KELAS : PEND. MATEMATIKA 2010 A

DAFTAR ISI

Daftar Isi ..........................................................................................................i

BAB I : Pendahuluan........................................................................................1

a. Teori......................................................................................................1

b. Permasalahan........................................................................................4

c. Tujuan...................................................................................................4

d. Alat dan Bahan......................................................................................5

BAB II : Isi........................................................................................................6

Pembahasan...........................................................................................6

BAB III : Penutup.............................................................................................17

a. Kesimpulan...........................................................................................17

b. Foto – foto.............................................................................................18

Daftar Pustaka...................................................................................................20

Asisten Lab.......................................................................................................20