BARISAN MK. Kalkulus Lanjut

MKMAT3315

©Aswad2016 1

Suatu barisan secara umum dituliskan

dalam bentuk berikut:

a1, a2, a3, a4, ..., an, ...

a1 = sebagai suku pertama

a2 = sebagai suku ke-dua

an = sebagai suku ke-n

Barisan {a1, a2, a3, a4, ...,} biasa juga

dinotasikan dengan

{an} atau an n=1∞

©Aswad2016

2

©Aswad2016

3

Contoh 1

E.o.E.1

©Aswad2016

4

Contoh 2

Tentukan bentuk formula umum dari bentuk

barisan berikut:

Diketahui bahwa:

©Aswad2016

5

Perhatikan bahwa:

o Pembilang (numerator)

Mulai dari 3, kemudian bertambah 1 untuk suku

kedua, dst. Secara umum, numerator untuk

pembilang ke-n adalah n + 2

o Penyebut (denominator)

Merupakwan power dari 5 sehingga untuk

denominator ke-n adalah 5n

©Aswad2016

6

o Untuk tanda negatif, setiap suku berarti

dikalikan dengan (-1)

o Karena barisan dimulai dengan positif maka

kemungkinannya adalah detiap suku

dikalikan dengan (-1)n-1 atau (-1)n+1

o Sehingga bentuk umum dari bariasn tersebut

adalah:

E.o.E.2

©Aswad2016

7

Definisi 1.

Barisan {an} memiliki limit L dan ditulis

apabila barisan an dapat dibuat mendekati L

untuk n yang bergerak mendekati tak hingga.

Apabila limn→∞ an ada maka barisan an

disebut konvergen, sebaliknya disebut

divergen.

©Aswad2016

8

©Aswad2016

9

Definisi 2.

Barisan {an} memiliki limit L dan ditulis

Jika ∀ 𝜀 > 0 ∃ ℕ > 0 ∋

©Aswad2016

10

Perhatikan bahwa untuk n > N barisan {an} terdapat pada interval y = L + 𝜀 dan y = L - 𝜀.

Perbedaannya dengan konsep limit yang ada pada Slide 2, adalah pada barisan barisan,

daerah asalnya dibatasi pada bilangan bulat positif.

©Aswad2016

11

Sifat-Sifat Limit Barisan

©Aswad2016

12

Contoh 3.

Tentukan

penyelesaian limit

barisna berikut

©Aswad2016

13

E.o.E.3

Penyelesaian

©Aswad2016

14

Contoh 4.

Periksa apakah barisan

berikut konvergen atau

divergen?

©Aswad2016

15

E.o.E.4

Penyelesaian

Barisan tersebut dapat ditulis seperti bentuk

berikut:

Perhatikan bahwa barisan

tersebut berosilasi antara 1

dan -1. dalam hal ini an tidak

mendekati satu bilangan

tertentu. Akibatnya

tidak ada Artinya, barisan {(-1)n}

divergent.

©Aswad2016

16

Contoh 5.

Tunjukkan bahwa limit

barisan berikut adalah ½.

©Aswad2016

17

Penyelesaian

Adit bahwa ∀ 𝜀 > 0 ∃ ℕ > 0 ∋

Jika diselesaikan, diperoleh:

Sehingga, kita harus temukan sebuah bilangan

N > 0 sedemikian sehingga

©Aswad2016

18

1

4 21

2 12

1 2

4

n

n

n

Artinya,

Dalam hal ini, jika N = (1-2

𝜀)/4𝜀, maka Definisi 2

terpenuhi.

©Aswad2016

19

Misalkan ambil 𝜀 = 1/8, maka diperoleh N =

3/2. sehingga berlaku

E.o.E.5

Misalkan pilih n = 4, maka

©Aswad2016

20

Contoh 6.

Tunjukkan apakah barisan

berikut konvergen atau

divergen?

©Aswad2016

21

Penyelesaian

Terlebih daulu akan ditunjukkan nilai limitnya

ada. Selanjutnya, pandang barisan tersebut

sebagai suatu fungsi real f(x) = 4x2 / (2x2 + 1).

Dengan menyelesaikan bentuk limitnya

diperoleh:

Dalam hal ini:

Artinya, barisan

tersebut

konvergen ke 2. E.o.E.6

Latihan

©Aswad2016

22

Tunjukkan bahwa barisan berikut memiliki limit L

©Aswad2016

23

Tunjukkan apakah barisan berikut konvergen atau

divergen?

©Aswad2016

24

Selesai

©Aswad2016

25