DOUBLE

INTEGRAL MK. Kalkulus Lanjut

MKMAT3315

©Aswad2016 1

©Aswad2016

2

©Aswad2016

3

Perhatikan bahwa jika double integral F terdapat di R

maka dapat didefinisikan double integral f di D

sebagai berikut:

©Aswad2016

4

Type 1

Apabila D terletak antara dua fungsi kontinu g(x) dengan D adalah

g1 dan g2 kontinu di [a, b].

©Aswad2016

5

Perhatikan bahwa by Theorama Fubini:

F(x, y) = 0 jika

y < g1(x)

atau y >

g2(x) karena

(x, y) terletak

di luar D.

Sehingga:

©Aswad2016

6

Sehingga jika f kontinu berdasarkan type 1 dengan D adalah

maka

©Aswad2016

7

Type 2

Dengan h1 dan h2 kontinu.

©Aswad2016

8

Contoh 1

Periksalah integral

Dengan D dibatasi oleh y = 2x2 dan y = 1 + x2

©Aswad2016

9

Penyelesaian

Perhatikan bahwa:

2x2 = 1 + x2 → x2 = 1 → x = ±1

Perhatikan bahwa D

merupakan Tipe 1

©Aswad2016

10

E.o.E.1

©Aswad2016

11

Contoh 2

Tentukan volume dari daerah yg terletak di

bawah paraboloid z = x2 + y2, dengan D

terletak pada bidang xy yang dibatasi oleh

garis y = 2x dan parabola y = x2.

©Aswad2016

12

Penyelesaian

Perhatikan bahwa:

2x = x2 → x2 – 2x = 0

→ x(x – 2) = 0

→ x = 0 atau x = 2

Solusi 1. By Type 1

©Aswad2016

13

Sehingga, besar volume di bawah z = x2 + y2 dan

dipersekitaran D adalah:

©Aswad2016

14

Solusi 2. By Type 2

©Aswad2016

15

Sehingga, besar volume di bawah z = x2 + y2 dan

dipersekitaran D adalah:

E.o.E.2

Sifat-sifat Double Integral Diasumsikan semua integral berikut ada.

maka beberapa sifat double integral

diberikan sebagai berikut:

©Aswad2016

16

1

2

©Aswad2016

17

3

4

©Aswad2016

18

5

6

Latihan

©Aswad2016

19

Selesaikan iterated integral berikut

©Aswad2016

20

Tentukan besar volume dari kasus berikut

©Aswad2016

21

7. Selesaikan integral

berikut apabila

diketahui luas D

seperti yang terlihat

pada gambar.

©Aswad2016

22

Selesai

©Aswad2016

23