Posisi&Orientasi dan Transformasi

TH22452 Robotika 1

Transformasi

Nuryono S.W.-UAD

Pengantar

• Robot, sebagaimana definisi dan fungsinya adalah suatu sistem yang bergerak baik dalam gerak 2 dimensi maupun 3 dimensi

• Robotika membahas hal yang terkait dengan

TH22452 Robotika 2

• Robotika membahas hal yang terkait dengan gerak ini

• Suatu benda dinyatakan bergerak jika benda tersebut atau bagian dari benda tersebut melakukan perpindahan(perubahan) lokasi

Pengantar

• Karena pada umumnya pergerakan robot adalah perpindahan dari satu lokasi ke lokasi yang lain, maka “lokasi” ini harus dapat dinyatakan dengan pasti dan konsisten

TH22452 Robotika 3

konsisten• Kaitannya dengan robot,informasi

mengenai lokasi adalah terdiri dari:– Posisi– Orientasi

Planar (2D) Location

• Menggunakan sistem koordinat 2 sumbu (2 Dimensi)

• Terdapat satu sistem Koordinat Acuan(Frame of reference/world

TH22452 Robotika 4

Acuan(Frame of reference/world reference) F0.

• Terdapat sistem koordinat lain yg “ditempelkan” pada suatu benda tertentu(robot), F1dan F2

Planar Location

• Pada gambar sebelumnya,lokasi Robot 1 ditunjukkan oleh posisi koordinat frame F1 terhadap F0 serta sudut orientasi θ1, yaitu sudut yg dibentuk antara x1 dan x0.

TH22452 Robotika 5

yaitu sudut yg dibentuk antara x1 dan x0.• Lokasi Robot 2 ditunjukkan oleh posisi

koordinat frame F2 terhadap F0 serta sudut orientasi θ2, yaitu sudut yg dibentuk antara x2 dan x0.

Planar Location

• Posisi robot 1 dinyatakan sebagai (a1, b1) yang menunjukkan letak titik asal dari F [ ]

a1

TH22452 Robotika 6

titik asal dari F1terhadap F0

• Sehingga lokasi dari Robot 1 dapat dinyatakan sebagai

[ ]Tbab 111

1

1 θθ

=

Planar Location

• Posisi robot 2 dinyatakan sebagai (a2, b2) yang menunjukkan letak titik asal dari F [ ]

a2

TH22452 Robotika 7

titik asal dari F2terhadap F0

• Sehingga lokasi dari Robot 2 dapat dinyatakan sebagai

[ ]Tbab 222

2

2

2

θθ

=

Planar Location

• Matriks yang menyatakan lokasi (posisi&orientasi) robot1 dan robot 2 di atas disebut Pose Matrix, Matriks Pose

• Makna dari matriks tersebut adalah sbb:

TH22452 Robotika 8

• Makna dari matriks tersebut adalah sbb:– Frame F1 sebenarnya adalah suatu frame

yang diturunkan dari frame of reference F0

– Frame F1 diperoleh dari F0 melalui suatu vektor translasi (pergeseran) [ a1 b1]T dan rotasi(peputaran) sebesar θ1

Transformasi Koordinat 2D

• Pada contoh di atas disebutkan Frame F1diperoleh dari F0 melalui suatu vektor translasi (pergeseran) [ a1 b1]T dan rotasi(perputaran) sebesar θ1

TH22452 Robotika 9

rotasi(perputaran) sebesar θ1

• Maka dikatakan F1 mengalami transformasi 2D

Transformasi Koordinat 2D

• Transformasi 2D adalah pergerakan dalam suatu bidang(making a movement in plane),sedangkan yg melakukan pegerakan bisa berupa object,ataupun frame(sistem koordinat) yg bergerak secara relatif terhadap fixed

TH22452 Robotika 10

yg bergerak secara relatif terhadap fixed reference frame(sistem koordinat referensi yg tetap)

• Bentuk transformasi:– Translasi(pergeseran)/pure translation 2D– Rotasi (perputaran)/pure rotation 2D– Kombinasi translasi dan atau rotasi 2D

Matriks Translasi 2D

• Matriks yang menyatakan pergeseran yang terjadi antar frame, dalam contoh di atas adalah [ a1 b1]T

• Bentuk umumnya

TH22452 Robotika 11

• Bentuk umumnya

• Pada contoh di atas dx=a1 dan dy=b1

[ ]Tdydxdy

dx=

Matriks Rotasi 2D

• Perputaran/rotasi ini dapat dinyatakan sebagai matriks dengan bentuk

−=

)sin()cos( 11 θθ

TH22452 Robotika 12

• Yang disebut matriks rotasi 2D

−=

)cos()sin(

)sin()cos(

11

11

θθθθ

R

Transformasi Homogenous 2D

• Matrik translasi dan rotasi dapat digabungkan menjadi suatu matriks 3x3 yang disebut matriks transformasi homogenous 2D dengan bentuk

TH22452 Robotika 13

−

100

)cos()sin(

)sin()cos(

11

11

dy

dx

θθθθ

Aplikasi

• Pada contoh di atas Matriks Transformasi Homogenous 2D menyatakan hubungan antara robot 1 dengan F0 , atau dengan kata lain hanya menyatakan posisi ujung

TH22452 Robotika 14

kata lain hanya menyatakan posisi ujung robot1(titik asal F1 ) terhadap F0.

• Bagaimana cara menyatakan letak suatu titik lain pada badan robot 1,misalnya letak roda robot 1 terhadap F0?

Aplikasi

• Sebut saja suatu titik W pada Frame F1 dinyatakan sebagai (x1, y1), maka titik tersebut jika direferensikan terhadap F0 dinyatakan sebagai

TH22452 Robotika 15

−=

1100

)cos()sin(

)sin()cos(

11

1

11

11

0

0

y

x

dy

dx

y

x

θθθθ

Posisi & Orientasi 3D

• Kuliah ini akan membahas secara dalam vektor posisi yang menunjukkan lokasi suatu titik pada

TH22452 Robotika 16

lokasi suatu titik pada ruang 3D

• Orientasi dalam ruang 3D yang dinyatakan dalam bentuk Matriks

Posisi & Orientasi 3D

• Komponen matriks orientasi adalah vektor satuan yang diproyeksikan terhadap arah satuan

TH22452 Robotika 17

terhadap arah satuan dari frame reference

• Transpose dari Matriks rotasi sama dengan inversenya

Sistem Koordinat 3D

• Posisi dan orientasi yang ditentukan hanya akan berarti jika direference terhadap sistem

TH22452 Robotika 18

terhadap sistem kooordinat tertentu

Frames of Reference

• Suatu Frame of Reference menentukan suatu sistem koordinat relatif terhadap suatu titik pada ruang

• Dapat ditunjukkan dengan posisi&orientasi

TH22452 Robotika 19

• Dapat ditunjukkan dengan posisi&orientasi relatif terhadap frame lain

• Frame Inisial diambil dari suatu titik yang dianggap tetap pada ruang

• Ada kebutuhan untuk melakukan transformasi dari frame ke frame

Catatan Penting ttg Notasi

• Secara umum suatu variabel yg dituliskan dgn huruf besar adalah suatu vektor atau suatu matriks.Variabel yg dituliskan dgn huruf kecil adalh skalar.

• Subskrip atau Superskrip memberikan

TH22452 Robotika 20

• Subskrip atau Superskrip memberikan informasi mengenai sistem koordinat yg diacu.– AP adalh suatu titik/posisi yg dinyatakan dlm sistem

koordinat {A}.– APB adalah suatu operasi vektor yg menyatakan titik

asal sistem koordinat {B} terhadap sistem koordinat {A}

Catatan Penting ttg Notasi

• Matriks rotasi yg menyatakan hubungan antara sistem koordinat {A} dan {B} dituliskan sebagai

RAB

TH22452 Robotika 21

• Fungsi trigonometri dituliskan mengikuti aturan sbb:– sinθ1 = sθ1 = s1

– cosθ1 = cθ1 = c1

RB

Transformasi Koordinat 3D

• Transformasi 3D dalam konteks kinematika robot adalah pergerakan dalam suatu ruang(making a movement in space),sedangkan yg melakukan pegerakan bisa berupa object,ataupun frame(sistem koordinat) yg

TH22452 Robotika 22

object,ataupun frame(sistem koordinat) yg bergerak secara relatif terhadap fixed reference frame(sistem koordinat referensi yg tetap)

• Bentuk transformasi:– Translasi(pergeseran)/pure translation 3D– Rotasi (perputaran)/pure rotation 3D– Kombinasi translasi dan atau rotasi 3D

Transformasi Koordinat 3D

• Jika {B} di translasi terhadap {A} tanpa rotasi, maka kita peroleh

TH22452 Robotika 23

Pure Translation

• Pada pure translation scr sederhana bisa dikatakan bahwa arah masing-masing sumbu x,y,z utk kedua frame yg dibahas adalah sama.Sehingga matriks

TH22452 Robotika 24

adalah sama.Sehingga matriks translasinya

• Translasi adalah operasi pemindahan/ penggeseran dlm tiga arah vektor satuan

Translasi 3D

= dy

dx

PA

TH22452 Robotika 25

=dz

dyPBA

Transformasi Koordinat 3D

• Jika {B} di rotasi terhadap {A} tanpa translasi, maka kita peroleh

TH22452 Robotika 26

Rotasi 3D

• Rotasi adalah operasi pemutaran terhadap sumbu tertentu sebesar θ

−=θθθθθ

cs

scxRAB

0

0

001

),(

θθ sc 0

TH22452 Robotika 27

• Ada tiga tipe rotasi yaitu terhadap sb X, sb Y, dan sb Z

−=

θθ

θθθ

cs

sc

yRAB

0

010

0

),(

−=

100

0

0

),( θθθθ

θ cs

sc

zRAB

Koordinat Transformasi 3D

• Jika {B} ditranslasi& dirotasi terhadap {A} , maka kita peroleh

TH22452 Robotika 28

Transformasi Koordinat3D

• Representasi yang singkat dari Translasi dan Rotasi 3D disebut Transformasi Homogenous 3D

TH22452 Robotika 29

Homogenous 3D• Operasi Translasi dan

Rotasi digabung jadi satu matriks

Transformasi Koordinat 3D

• Transformasi Orthonormal dasar dapat dinyatakan dalam bentuk

TH22452 Robotika 30

Transformasi Koordinat 3D

• Transformasi Koordinat dapat digabungkan

TH22452 Robotika 31

Catatan tentang Orientasi

• Orientasi dinyatakan dalam tiga vektor orthonormal

• Hanya tiga nilai dari vektor-vektor ini yang unik dan adakalanya kita nyatakan suatu

TH22452 Robotika 32

unik dan adakalanya kita nyatakan suatu rotasi dengan tiga nilai

• Tidak ada metode yg unik untuk memilih sudut yg menentukan transformasi-transformasi ini

Sudut Tetap X-Y-Z • Satu metode untuk menunjukkan orientasi dari frame {B} adalah

dengan cara:• Mulai dari frame yg koinsiden dengan reference yg diketahui{A}.

Rotasikan{B} terhadap XA dgn sudut γ, terhadap YAdgn sudut β dan terhadap ZA dgn sudut α.

TH22452 Robotika 33

Sudut Tetap Z-Y-X• Metode lain untuk menunjukkan orientasi dari frame {B} adalah

dengan cara:• Mulai dari frame yg koinsiden dengan reference yg diketahui{A}.

Rotasikan{B} terhadap ZB dgn sudut α, terhadap YBdgn sudut βdan XB dgn sudut γ.

TH22452 Robotika 34

Referensi

• Yoram Koren,”Robotics for Engineers”, McGrawHill International halaman 83-126

• J.J. Craig,”Introduction to Robotics Mechanics & Control”, Addison Wesley Publ. Co.

halaman 15-96

TH22452 Robotika 35

halaman 15-96• Saeed B Niku, Introduct. To Robotics Analysis,

Systems, Appl.”, Prentice Hall halaman 29-94• R.J. Schilling, Fundamental of Robotics Analysis

& Control”, Prentic Hall halaman 25-115• Peter I Corke,”Robotics Toolbox for

Matlab”,CSIRO