PORTFOLIO PERKULIAHAN

MA3231 PENGANTAR ANALISIS REAL

SEMESTER II 2008/2009

oleh

Hendra Gunawan

Jalina Widjaja

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Institut Teknologi Bandung

Juli 2009

A. Silabus MA3231 Pengantar Analisis Real

Kode Kuliah

MA3231

Kredit :

4 SKS

Semeste

r :

VI

KK/Bidang Keahlian

Analisis dan Geometri

Sifat:

Wajib

Sifat kuliah Kuliah

Kelompok Kuliah Matakuliah Keahlian

Nama Kuliah Pengantar Analisis Real

Course Title Introduction to Real Analysis

Short Description

Silabus ringkas

Matakuliah ini membahas sistem bilangan real, barisan dan deret bilangan real,

fungsi bernilai real, limit dan kekontinuan fungsi, turunan dan Teorema Nilai

Rata-rata. Kuliah ini adalah kuliah pertama bagi mahasiswa untuk berlatih

bernalar dan membuktikan pernyataan matematika secara formal.

Goals

Tujuan Instruksional

Umum (TIU)

Setelah mengikuti kuliah ini mahasiswa diharapkan :

• memiliki pengetahuan dasar analisis matematika, khususnya tentang

bilangan, barisan, fungsi, limit, dan turunan.

• mampu bernalar (baik secara intuitif maupun analitis) dan mengekspresikan

hasil pernalarannya secara tertulis, sistematis dan rigorous

Offered To (PS

Peserta)

Dept/PS : MA Fak : --- ITB : ---

Related Course MA2231 Kalkulus Peubah

Banyak (atau yang setara) Prasyarat

Knowledge= 40 Sarana/Medi

a

X Papan tulis /

Whiteboard

Skill= 35 X LCD (Infocus)

Percentage

Attitude= 25 Komputer

(lab)

Course(Kuliah) 4 Courseware

Tutorial(Respon

si)

- e-learning

Lab Works

(Prakt)

- Lainnya

Activity

(hour/week)

Others:........... -

UTS 35% Assesment/Penilaia

n UAS 35%

Tugas 0

Others: Kuis 30%

References/

Bibliography

1. Hendra Gunawan, Pengantar Analisis Real, Seri Analisis

dan Geometri 1, Diktat Kuliah 2009.

2. KG Binmore, Mathematical Analysis: A straightforward

approach, 2nd ed., Cambridge University Press,

Cambridge, 1982.

3. RG Bartle and DR Sherbert, Introduction to Real Analysis,

3rd ed., John Wiley and Sons Inc., New York, 2000

Strategi Pedagogi dan Pesan Untuk Pengajar:

Uraian Rinci Materi Kuliah MA3231

Mg

#

Topik Sub Topik Tujuan Instruksional Khusus Activity

K/P/R/X/U

1. Bilangan Real Sifat Aljabar

• Mengingat kembali dan

mengaitkan perkuliahan

ini dengan perkuliahan

yang sudah diambil

terdahulu

K

2. Bilangan real Kebutuhan atas

bilangan real, urutan

• Memahami urgensi

sistem bilangan real

K

3. Sifat

Kelengkapan

Bilangan Real

Batas atas dan bawah,

terbatas di atas dan

terbatas di bawah,

supremum dan

infimum, Maksimum

dan minimum, Interval

• Memahami perbedaan

mendasar atas bilangan

rasional dan real,

• Memahami perbedaan

antara supremum dan

maksimum, infimum dan

minimum

K

4. Lebih Jauh

tentang

Bilangan Real

Bilangan asli dan

bilangan rasional

sebagai sub

himpunan bilangan

real, Prinsip induksi

matematika.

Kuis 1

• Memahami sifat

Archimedes,

• Membuktikan dengan

menggunakan prinsip

induksi matematika

K/U

5. Barisan Definisi barisan, definisi

limit, kekomutatifan

operasi limit dan

operasi aljabar,

teorema apit dan

teorema tentang

barisan lainnya

• Memahami teorema-

teorema yang sudah

dipelajari di Kalkulus

secara benar

K

6. Barisan Sub Barisan dan

Barisan Cauchy,

Barisan naik dan turun,

Teo. Kekonvergenan

Monoton, Teorema

Bolzano-Weierstrass

• Memahami pengertian

sub barisan dan barisan

Cauchy, dan

keterkaitannya untuk

menentukan

kekonvergenan barisan

• Memahami barisan

monoton dan sifat-

sifatnya.

K

7. Deret Sifat Deret, Kriteria

Cauchy untuk

kekonvergenan deret.

• Memahami deret

sebagai barisan jumlah

parsial

• Menentukan

kekonvergenan deret

K/U

8. Review Review dan Kuis 2 K/U

9. UTS, Fungsi Fungsi dan grafiknya,

operasi fungsi, fungsi

invers

• Memperdalam

pemahaman tentang

fungsi, dan operasi pada

fungsi.

K/U

10. Limit Fungsi Definisi limit fungsi,

epsilon-delta,

teorema-teorema limit

• Mengkaji limit dari fungsi

secara rigorous

• Memahami teorema-

teorema limit fungsi

K

11. Kekontinuan

fungsi

Definisi kekontinuan

Epsilon-Delta, Teorema

kekontinuan, Fungsi

kontinu pada interval

• Memahami konsep

kekontinuan fungsi

secara rigorous

• Memahami teorema

kekontinuan fungsi dan

menggunakannya untuk

melakukan pernalaran

deduktif

• Memahami kekontinuan

titik dan kekontinuan

seragam

K

12. Turunan Definisi turunan sutu

fungsi. Sifat—sifat

turunan

• Memahami definisi

turunan dan cara

menentukan turunan

secra rigourous

• Memperdalam

K/U

Kuis 3 pemahaman tentang

sifat-sifat turunan

13. Turunan Teorema Nilai Rata-

rata dan Teorema

Taylor

• Memahami Teorema

Nilai Rata-rata dan

Teorema Taylor serta

menggunakananya

untuk mencari hampiran

suatu nilai fungsi

K

14. Fungsi Monoton Definisi dan limit fungsi

monoton, invers fungsi

monoton, turunan

fungsi monoton

• Mempelajari fungsi

monoton dan sifat-

sifatnya.

K

15. Review Review , Kuis 4 K/U

16. UAS U

B. Keterkaitan antara Tujuan Kuliah dan Kompetensi Lulusan

Kompetensi lulusan Program Studi Sarjana Matematika FMIPA ITB, sesuai yang tertera pada

Kurikulum Program Studi Sarjana Matematika FMIPA ITB adalah sebagai berikut:

1. mempunyai pengetahuan dan wawasan yang memadai dalam bidang matematika

khususnya dan bidang lain yang relevan, dengan pemahaman yang cukup mendalam pada

sebagian sub bidang matematika;

2. memiliki keterampilan dasar matematika yang memadai, seperti menghitung, menaksir,

dan keterampilan teknis baku lainnya yang terkait dengan tiap mata kuliah, baik dengan

maupun tanpa bantuan alat pendukung;

3. mempunyai daya matematika yang memadai, yang mencakup kemampuan bernalar,

membuat kaitan, memecahkan masalah, dan berkomunikasi;

4. memiliki pengalaman dan kecakapan dalam melaksanakan tugas serta mengembangkan

sesuatu yang relative baru, baik secara mandiri atau dalam kelompok, termasuk membuat

dan menyajikan laporannya, baik secara lisan maupun tulisan;

5. mempunyai perilaku belajar, etos kerja, sikap dan kepribadian yang baik, yang mencakup

keingintahuan, ketekunan, kecermatan, kreativitas, kejujuran dan kepercayaan diri;

6. memiliki bekal dan kesiapan yang memadai untuk mengembangkan diri lebih lanjut di

bidang matematika khususnya, dan bidang lain yang relevan

Oleh karena itu, matakuliah Pengantar Analisis Real yang bertujuan mendidik peserta kuliah

agar:

• memiliki pengetahuan dasar analisis matematika, khususnya tentang bilangan, barisan,

fungsi, limit, dan turunan.

• mampu bernalar (baik secara intuitif maupun analitis) dan mengekspresikan hasil

pernalarannya secara tertulis, sistematis dan rigorous

berkontribusi dalam membentuk lulusan Program Sarjana Matematika yang mempunyai

kompentensi seperti tercantum di atas, khususnya pada butir 1, 3, 5, dan 6.

C. Metode Pelaksanaan Perkuliahan

Kuliah MA3231 Pengantar Analisis Real pada Semester II 2008/2009 ini, disampaikan pada 2

kelas parallel secara tatap muka 4 jam /minggu. Pengajar melaksanakan perkuliahan dengan cara

:

- menyampaikan materi kuliah dengan mengacu kepada diktat yang disusun oleh salah satu

pengajar (Hendra Gunawan).

- memperdalam materi kuliah melalui pengetahuan yang telah dimiliki peserta sebelumnya

dari matakuliah-matakuliah prasyarat.

- mengenalkan konsep baru dengan menunjukkan dasar pemikiran konsep tersebut maupun

penggunaannya, serta kaitannya dengan matakuliah-matakuliah lain.

- berdiskusi dengan peserta mengenai materi kuliah untuk meilhat sejauh mana

pengetahuan dan pemahaman mereka.

- menugaskan peserta untuk mengerjakan soal-soal latihan yang terdapat pada diktat

kuliah, kemudian beberapa di antaranya dibahas bersama di kelas.

- memberikan umpan balik kepada peserta secara lisan maupun melalui tugas yang telah

dikoreksi dan diberi komentar.

- mengadakan tutorial menjelang ujian tengah semester maupun ujian akhir semester.

- memberikan tugas (PR) sebanyak 2 kali untuk dikumpulkan oleh peserta, diperiksa dan

diberi komentar oleh para asisten di bawah arahan pengajar.

Jadwal perkuliahan

Kuliah tatap muka dilaksanakan dalam 2 kelas parallel pada hari Senin pukul 09:00-11:00 di

TVST B dan TVST C; dan pada hari Rabu pukul 09:00-11:00 di 9128 dan 9213.

D. Metode Evaluasi Perkuliahan serta Sistem Penilaian

Pada mulanya evaluasi perkuliahan dirancang sebagai berikut:

- mengadakan 4 kali kuis (dengan jadwal seperti tertera pada jadwal ujian

- mengadakan 1 ujian tengah semester,

- mengadakan 1 ujian akhir semester

dengan bobot kuis 30% (diambil dari 3 kuis terbaik, sehingga setiap kuis berbobot 10%), bobot

UTS dan UAS masing-masing 35%.

Nilai akhir sementara dihitung dengan pembobotan di atas dan nilai ditentukan dengan

penskalaan sebagai berikut :

Keterangan :

NK

Nilai kuis, yaitu jumlah dari 3 nilai kuis

terbaik

NAS= 3.5*(UTS/6+UAS/4)+NK

Nilai A NAS>75

AB 67<NAS<=75

B 60<NAS<=67

BC 52<NAS<=60

C 45<NAS<=52

D 30<NAS<=45

E NAS<=30

Setelah penghitungan tersebut, diambil kebijakan bahwa mahasiswa yang mendapat nilai D dan

E diberi kesempatan untuk mengikuti ujian reevaluasi dengan nilai maksimum yang dapat

dicapai adalah C, dan dengan perhitungan nilai akhir sebagai berikut :

Nilai Akhir = 0.35 Nilai Akhir Sementara + 0.65 Nilai Ujian Reevaluasi

E. Hasil Penilaian Mahasiswa terhadap Pelaksanaan Perkuliahan

Pada minggu ke 13 pada masa perkuliahan, mahasiswa diminta mengisi Angket Evaluasi Diri,

dengan hasil sebagai berikut:

A. Tingkat pemahaman peserta mengenai materi kuliah berikut:

No Materi Kuliah 1 2 3 4 5

1 Bilangan Real 0 2 41 51 6

2 Sifat Kelengkapan Bilangan Real 0 8 63 27 1

3 Lebih Jauh tentang Bilangan Real 1 18 61 20 1

4 Barisan 2 17 59 21 1

5 Sub Barisan 4 28 57 10 0

6 Barisan Cauchy 6 30 51 12 1

7 Deret 3 33 55 9 0

8 Fungsi 4 18 58 19 1

9 Limit dan Kekontinuan 4 25 56 14 1

10 Fungsi Kontinu pada Interval 9 31 48 11 0

11 Turunan 7 23 47 19 3

12 Teorema Nilai Rata-rata 11 28 47 14 0

13 Fungsi Monoton 14 37 38 11 0

Keterangan :

Pemahaman materi dinyatakan dalam skala 1-5, dengan angka 1 menunjukkan

pemahaman materi yang sangat kurang dan angka 5 menunjukkan pemahaman materi

yang sangat baik.

Angka dalam kolom menunjukkan persentase jawaban 98 mahasiswa yang mengisi

angket ini.

B. Yang akan peserta lakukan dalam menghadapi Kuis 4 dan UAS mata kuliah ini

- Belajar materi secra mandiri maupun kelompok

- Mengerjakan soal-soal latihan

C. Komentar lain:

- Peserta merasa kesulitan dalam menuliskan ide yang telah didapat.

- Matakuliah ini adalah matakuliah yang cukup berat karena berisi pembuktian-

pembuktian.

- Perlu ada tutorial dan lebih banyak tugas.

- Pembahasan soal dan cara menuliskan bukti dengan baik dan benar lebih banyak

dibahas dalam kuliah.

- Peserta merasa telah mengerjakan soal dengan benar, namun ternyata masih belum

tepat.

- Soal kuis dan ujian jangan yang susah.

- Cara pengajaran sudah baik (HG), perlu lebih sabar (JW).

Sampai pada pembuatan portfolio ini, kami belum mengetahui hasil kuisioner ITB yang diisi

oleh mahasiswa di akhir semester.

Dari data di atas, beberapa hal yang diperoleh adalah :

- Terlepas dari cara penyampaian materi pada 2 kelas parallel tersebut, mahasiswa

mengalami kesulitan dalam menemukan ide yang diperolehnya dan terlebih lagi

menuliskan ide dan pemahaman tersebut dengan baik dan tepat.

- Pembahasan soal dan contoh penulisan bukti/jawaban yang benar perlu lebih ditekankan

dalam kuliah.

- Peserta merasa memerlukan waktu yang lebih banyak untuk belajar secara terbimbing,

dengan menyatakan perlunya penyelenggaraan tutorial.

F. Refleksi dosen tentang pelaksanaan perkuliahan

Pengajar merasa dapat menyampaikan materi kuliah dnegan cukup lancar. Kekurangpahaman

mahasiswa tercermin dalam diskusi dalam kuliah, maupun dalam evaluasi, baik kuis maupun

ujian. Pengajar berusaha untuk menjelaskan kembali dan memberi strategi belajar kepada

mahasiswa. Namun karena dihadapkan pada dilemma: menyampaikan materi sesuai rencana

perkuliahan dan yang tertera pada silabus mata kuliah ini di Kurikulum Program Sarjana

Matematika ITB atau menghentikan/ memperlambat laju penyampaian materi untuk lebih

memperdalam pemahaman mahasiswa terhadap materi yang telah diajarkan, akhirnya – setelah

mempertimbangkan berbagai hal – pengajar mengambil pilihan yang pertama, meskipun sadar

bahwa perkuliahan ini selanjutnya menjadi rapuh. Salah satu usaha yang dilakukan pengajar

adalah memberikan tutorial bagi mahasiswa yang memerlukan sebanyak 2 kali, dan asisten

kuliah diminta memberikan tutorial secara kelompok bagi sebagian mahasiswa, namun hasilnya

masih kurang memuaskan.

Peserta kuliah sendiri telah berulang kali dihimbau untuk tak ragu-ragu bertanya kepada pengajar

di dalam kelas, terlebih lagi di luar kelas. Tetapi hanya sedikit dari para peserta yang datang

bertanya kepada pengajar. Kami beranggapan bahwa mereka lebih merasa nyaman untuk

bertanya kepada teman atau asisten daripada kepada pengajar yang bersangkutan.

Pada dasarnya, kami berpendapat bahwa mahasiswa telah menangkap ide/konsep yang diajarkan,

namun cara mereka mengekspresikan pemahaman tersebut secara lisan, terutama tulisan,

sebagian besar masih belum tepat. Pembahasan soal di kelas, berkas kuis dan ujian yang

dikembalikan, serta solusi ujian yang ada di situs, rupanya masih belum cukup mengatasi hal

tersebut.

Kuis 1-4 diperiksa oleh para asisten (3 orang) di bawah pengawasan dan arahan pengajar,

sedangkan UTS dan UAS diperiksa secara bersama-sama oleh pengajar. Penilaian yang

dilakukan oleh para asisten ternyata lebih keras dari pada yang dilakukan oleh pengajar,

meskipun skema penilaian secara tertulis dan arahan lisan dari pengajar telah diberikan.

Hasil yang diperoleh dari evaluasi seperti yang direncanakan semula adalah

A 10

AB 6

B 7

BC 27

C 26

D 37

E 19

Melihat hasil seperti itu, ujian reevaluasi diadakan sehingga hasil terakhir yang diperoleh adalah:

Dengan melihat persentase pemahaman mahasiswa dan membandingkannya dengan hasil

evaluasi, terdapat sedikit perbedaan antara penilaian peserta terhadap pemahamannya dan

dengan evaluasi yang dilakukan oleh pengajar dan asisten.

A 10

AB 6

B 7

BC 27

C 44

D 25

E 13

G. Rencana Tindak Lanjut

Pada perkuliahan sebelumnya (semester II 2007/2008) telah dilakukan tutorial dalam 2 kelas

parallel 2 jam per minggu, sedangkan penyampaikan materi dilakukan dalam kelas besar 2 atau 4

jam per minggu. Cara seperti itu ternyata kurang efektif, karena tutorial dilakukan pada kelas

yang relative besar. Berdasarkan hal itu dan pengalaman pada semester II 2008/2009, pengajar

mengusulkan hal-hal berikut:

- Perkuliahan dilakukan dengan cara menyampaikan materi dalam satu kelas besar 2 atau 4

jam per minggu sesuai kebutuhan; dan tutorial dalam kelas kecil (@ 15-20 mahasiswa per

kelas) 2 jam per minggu. Selain itu, peserta diminta mengerjakan dan mengumpulkan PR

tiap 2 minggu, dan setelah PR tersebut diperiksa (tanpa dinilai) dan diberi komentar,

dikembalikan kepada peserta kuliah sebagai umpan balik. Peserta kuliah secara

berkelompok, atau dalam tutorial diminta memberikan presentasi dari suatu konsep atau

pemecahan masalah.

- Sistem modul diterapkan dalam perkuliahan. Sistem ini akan membagi materi kuliah

dalam 4 modul. Peserta secara bertahap akan dipisahkan dalam kelas-kelas berbeda

melalui tes yang dilakukan pada tiap akhir modul. Misalkan pada 3 minggu pertama,

seluruh peserta mempelajari modul 1, setelah itu diadakan tes untuk modul 1. Bagi para

peserta yang telah lulus tes tersebut, dapat melajutkan ke modul 2. Bagi yang tidak lulus

dberi kesempata untuk mengulang sekali lagi modul 1. Dengan demikian terdapat 2 kelas

berbeda pada perkuliahan ini. Bagi perserta yang setelah mengulang modul 1 dan tetap

tidak lulus tes, maka akan diberi nilai D/E. Dengan cara demikian perkuliahan diteruskan

untuk modul-modul berikutnya, sehingga pada setiap saat pada masa perkuliahan

tersebut, paling banyak terdapat 2 kelas berbeda yang mempelajari modul n dan modul

(n-1) untuk n=2,3,4. Penilaian dapat disesuaikan dengan banyaknya modul yang

dipahami oleh peserta. Peserta yang tidak lulus modul 1 atau modul berikutnya tetap

diberi kesempatan untuk mengikuti kuliah namun tetap harus lulus setiap modul secara

berurutan.

H. Daftar Lampiran

1. Silabus MA3231 Pengantar Analisi Real (sesuai kurikulum)

2. Rencana Perkuliahan MA3231 Pengantar Analisi Real yang dibagikan kepada peserta

3. Soal-soal Kuis, UTS, UAS, Ujian Reevaluasi dan tugas

4. Nilai akhir peserta beserta komponen-komponennya.

5. Angket evaluasi diri peserta

6. Contoh berkas pekerjaan peserta dalam kuis, UTS, UAS, dan Ujian Reevaluasi, serta

tugas.

7. Diktat kuliah MA3231 Pengantar Analisi Real