Polinom(sukubanyak)

Hal 1

SSSUUUKKKUUU BBB AAANNNYYYAAAKKK ((( PPPOOOLLLIIINNNOOOMMM ))) Tujuan Pembelajaran :

� Menjelaskan algoritma pembagian suku banyak. � Menentukan derajat suku banyak hasil bagi dan sisa pembagian dalam algoritma

pembagian. � Menentukan hasil bagi dan sisa pembagian suku banyak oleh bentuk linear atau kuadrat. � Menentukan sisa pembagian sukubanyak oleh bentuk linear dan kuadrat dengan teorema

sisa.

Materi Dasar Apa Saja yang Harus Dikuasai ? � Aljabar dasar dalam perkalian maupun penjumlahan sukuAljabar dasar dalam perkalian maupun penjumlahan sukuAljabar dasar dalam perkalian maupun penjumlahan sukuAljabar dasar dalam perkalian maupun penjumlahan suku----suku homogen suku homogen suku homogen suku homogen

maupun non homogen.maupun non homogen.maupun non homogen.maupun non homogen. � Persamaan dan fungsi kuadratPersamaan dan fungsi kuadratPersamaan dan fungsi kuadratPersamaan dan fungsi kuadrat � Pemfaktoran baik cara biasa, kuadrat sempurna maupun rumus ABCPemfaktoran baik cara biasa, kuadrat sempurna maupun rumus ABCPemfaktoran baik cara biasa, kuadrat sempurna maupun rumus ABCPemfaktoran baik cara biasa, kuadrat sempurna maupun rumus ABC.

Kilas Balik Aljabar Dasar :

( ) bxaxbaxx −=− 2 - ( ) baxbax +−=−

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xab2bax.baxbax 222 ++=++=+ baz

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xbabaxbaxbaxbax )(2. 222 −++=−−=−

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xbabaxbaxbaxbax )(2. 222 −−++−=−−−−=−−

( ) ( ) ( ) ( )22. baxbaxbax −=+−

Kilas Balik Materi Persamaan Kuadrat.

Persamaan Kuadrat adalah suatu persamaan yang memiliki

bentuk umum : 02 =++ cbxax dengan a,b,c ∈ ℜ dan a ≠ 0. Memiliki derajat tertinggi 2 dan memiliki Koefisien dari x2 = a Koefisien dari x = b Suku tetap / konstanta = c.

Contoh 1 : Tentukanlah koefisien-koefisien dan konstanta dari persamaan-persamaan berikut. a] 6x2 + 5x + 2 = 0. b] x2 – 3x = 0. c] –x2 + 1 = 0.

d] 09

2

3

1

2

1 2 =−− xx

Pada umumnya suatu persamaan memiliki akar-akar / pembuat nol baik rasional maupun irasional, dalam hal ini kita batasi dengan akar-akar yang sifatnya rasional saja.

Contoh 2 : Carilah akar-akar dari persamaan-persamaan berikut.

a] x2 + x - 6 = 0 b] 3x2 - 2x - 1 = 0 c] x2 - 16 = 0 d] x2 - 6 = 0

Kilas Balik Materi Fungsi Kuadrat. Fungsi Kuadrat adalah suatu fungsi yang memiliki bentuk umum : ( ) cbxaxxf ++= 2 dengan a,b,c ∈ ℜ dan a ≠ 0. Memiliki derajat tertinggi 2 dan memiliki

Bag 1

Hal 2

Koefisien dari x2 = a Koefisien dari x = b Suku tetap / konstanta = c.

Contoh 3 : Tentukanlah nilai dari f(-1) , f(0), f(2) dan f(a) dari fungsi-fungsi berikut.

a] f(x) = 6x2 + 5x + 2. b] f(x) = x2 – 3x.

PENGERTIAN DASAR :

Sebuah polinomial (sukubanyak) berderajat n dalam variabel x adalah fungsi dari x yang dapat dinyatakan dalam bentuk :

( ) nnnnn

o axaxaxaxaxf +++++= −−−

12

21

1 ... dengan a0 ≠ 0. Dimana n adalah bilangan bulat positif yang menunjukkan derajat suku banyak tersebut, a0, a1, a2, …, an adalah koefisien dari suku x. Bentuk penulisan suku banyak disusun dengan dasar pangkat yang tertinggi diletakkan pada urutan paling depan, sedangkan pangkat yang lebih kecil berada di sebelah kanannya. Contoh 4 : Bentuk-bentuk khusus dari suku banyak dengan melihat derajat dari masing-masing suku

banyak dan dinyatakan secara lengkap adalah : � suku banyak berderajat 0 berbentuk cx0 = c ( konstanta). � suku banyak berderajat 1 berbentuk ax1 + b.= ax + b � suku banyak berderajat 2 berbentuk ax2 + bx + c � suku banyak berderajat 3 berbentuk ax3 + bx2 + cx + d � suku banyak berderajat 4 berbentuk ax4 + bx3 + cx2 + dx + e …….dst

Contoh 5 : a] Polinom 9x 4 – 4x 3 + 6x 2 + 5x – 7 dapat dinyatakan sebagai 9x 4 – 4x 3 + 6x 2 + 5x 1 – 7x 0. b] Polinom 9x 4 – 5x 3 + 7x – 1 dapat dinyatakan sebagai 9x 4 – 5x 3 + 0.x 2 + 7x 1 – 1x 0

Contoh 6 : Tentukanlah derajat, koefisien dan suku tetap dari polinom di bawah ini :

a] f(x) = 6x 5 – 2x 2 + 5x - 2. b] f(x) = -x 3 – 9.

Contoh 7 : Tentukanlah koefisien dari :

a] x 2 dalam f(x) = 2x 2(x – 3). b] x 4 dalam f(x) = ( x 2 + x – 3 ) ( x 2 + 5 ). c] x 3 dalam f(x) = ( 2x + 5 ) ( x 2 – x – 1 ).

Dua suku banyak dikatakan sama apabila keduanya mempunyai derajat sama dan koefisien-koefisien suku sejenis juga sama. Contoh 8 : Misalnya

a] x 4 + Ax 3 - 4x 2 - 10x + 3 = ( x 2 + 2x + 3 ).( x 2 + Bx + 1 ) maka . x 4 + Ax 3 - 4x 2 - 10x + 3 = x 4 + ( B +2 )x 3 + ( 2B + 4 )x 2 + ( 3B + 2 )x + 3

Bandingkan koefisien dari x 3 : A = B + 2 diperoleh A = -2. Bandingkan koefisien dari x 1 : -10 = 3B + 2. diperoleh B = - 4.

Contoh 9 : Jika suatu polinom dilambangkan dengan P(x) = x2 – 3x - 7, maka nilai polinom itu untuk x = 2 adalah P(2) = x2 – 3x - 7 = [2] 2 – 3[2] – 7 = - 9.

Hal 3

1. Tulislah menurut urutan pangkat dari variabel suku banyak berikut ini

a. 6x2 + 2x + 7x3 – 2 b. x(1 – x)(x – 2) c. (y + 1)(y2 + y + 5) d. (z + 1)(z + 2)(z + 3) e. 10

2. Tentukan koefisien dari :

a. x dalam (x + 1)2 (x – 2) b. x2 dalam (x - 2)2 (x + 1) c. x3 dalam (x - 1)2 (x + 2) d. x3 dalam (2x2 – x - 8)(x3 - 8x + 3) e. x7 dalam (2x6 + 1)2 (x - 1)

3. Hitunglah :

a. Jika P(x) = x3 -3x2 + x + 1, maka P(2) , P(0), dan P(-2) b. Jika P(x) = 2x3 + x2 - 3x + 4, maka P(3) , P(0), dan P(-3) c. Jika P(x) = x12, maka P(1) , P(0), dan P(-1) d. Jika P(x) = x11, maka P(1) , P(0), dan P(-1) e. Jika P(x) = (2x – 4)12 – x2, maka P(2) , P(0), dan P(-2) f. Jika P(x) = x6 – x5, dan Q(x) = x7 – x6, maka P(-1) dan Q(-1)

4. Contoh :

Jika P(x) = x – 3 dan Q(x) = x2 + 1, maka nilai dari P(Q(2)) = … kerjakan secara bertahap (dari belakang) :

i. Q(2) = x2 + 1 = [ 2 ]2 + 1 = 5, maka ii. P(Q(2)) = P(5) = x – 3 = [ 5 ] – 3 = 2.

a. Jika P(x) = x + 2, dan Q(x) = x + 1 Hitunglah P(Q(2)) dan Q(P(2)) b. Jika P(x) = x2 - 3, dan Q(x) = x + 3 Hitunglah P(Q(0)) dan Q(P(0)) c. Jika P(x) = 3x2 + x, dan Q(x) = x2 - 1 Hitunglah P(Q(1)) dan Q(P(1)) d. Jika P(x) = 4x3 - x, dan Q(x) = x2 + 1 Hitunglah P(Q(2)) dan Q(P(2))

5. Tentukan nilai suku banyak berikut ini unutk nilai x yang diketahui :

a. x2 - 7x + 10, untuk x = 5. b. 3x2 -13x + 4, untuk x = 4. c. x3 - 4x2 - 2, untuk x = -1. d. x6 + 3x3 – 2x - 1, untuk x = 2.

Menghitung Nilai Dari Polinom (Suku Banyak) Dengan Cara Horner. Contoh 10 : Hitunglah P(5) jika P(x) = 2x3 – 4x2 + 3x + 8 Jawab :

i. Tulislah hanya nilai koefisien-koefisien dari polinom tsb : 2 ; - 4 ; 3 ; 8 ii. Nyatakanlah dalam bentuk skema berikut :

Maka P(5) = 173

2 - 4 3 8 5

+

2

10

6

30

33

165

173

x

Mengurutkan disini, prinsipnya adalah menyusun dari pangkat tertinggi hingga terendah

Hal 4

Menghitung Pembagian Dari Polinom (Suku Banyak) Dengan Cara BIASA. Perhatikan Dasar-dasar pembagian panjang berikut in i : Contoh 11 : Hitunglah Hasil Bagi dan Sisa Pembagian jika 679 dibagi oleh 21.

3 2 �� Hasil bagi

21 679 63 ( - )

49 42 ( - )

7 �� Sisa pembagian

9

38

3

5 −x �� Hasil bagi = h(x)

Pembagi = p(x) �� 3x + 4 5x2 - 6x + 7 � polinom (sukubanyak) = f (x)

xx

3

205 2 +

( - )

73

38 +x

9

152

3

38 −− x ( - )

9

215

9

1527 =

+ �� Sisa pembagian = s(x)

Hasil Pengamatan : Jika derajat polinom f(x) berderajat 2 di bagi oleh polinom p(x) berderajat 1 ( yaitu 3x + 4 ) maka

hasil baginya h(x) adalah polinom berderajat 1. Dan sisa pembagian berderajat 0 ( yaitu 9

215 )

sehingga dapat

Contoh 12 : Hitunglah Hasil Bagi dan Sisa Pembagian jika f(x) = ax3 + bx2 + cx + d dibagi oleh (x – h).

( ) ( )22 ahbhcxahbax +++++ �� Hasil bagi = h(x)

x - h ax3 + bx2 + cx + d

23 ahxax − ( - )

( ) dcxxahb +++ 2

( ) ( ) dxahbhxahb ++−+ 22 ( - )

( ) dxahbhc +++ 2

( ) ( )322 ahbhchxahbhc ++−++ ( - )

( )32 ahbhchd +++ �� Sisa pembagian = s(x)

Jadi 679 : 21 dapat di tulis 32

sisa 7 atau 32 + 21

7

Jika pembagi f(x) adalah p(x) berderajat n, maka sisa pembagian s(x) berderajat maksimal ( n – 1 ).

Hal 5

Dari proses pembagian di atas diperoleh :

� Hasil baginya : ax2 + ( b + ah ) x + ( c + bh + ah2 ) � Sisa pembagian : ( d + ch + bh2 + ah3 )

Menghitung Pembagian Dari Polinom (Suku Banyak) Den gan Sintetik Cara

HORNER 1.

Contoh 13 : Hitunglah Hasil Bagi dan Sisa Pembagian jika f(x) = 4x2 + 6x + 6 dibagi oleh x – 1. Jawab :

i. Tulislah hanya nilai koefisien-koefisien dari polinom tsb : 4 ; 6 ; 6 ; 8 ii. x – 1 = 0 jadi x = 1 iii. Nyatakanlah dalam bentuk skema berikut :

Dari proses pembagian di atas diperoleh : � Hasil baginya : 4x + 10 � Sisa pembagian : 16

Menghitung Pembagian Dari Polinom (Suku Banyak) Den gan Kesamaan Suku Banyak. Contoh 14 : Hitunglah Hasil Bagi dan Sisa Pembagian jika f(x) = 4x2 + 6x + 6 dibagi oleh x – 1. Jawab :

i. Harus mengetahui bahwa yang dibagi (polinom) atau

f(x) = pembagi [ p(x) ] ×××× hasil bagi [ h(x) ] + sisa [ s(x) ] , singkatnya f(x) = p(x) ×××× h(x) + s(x)

ii. Mengetahui derajat f(x) , p(x) , h(x) dan s(x) (berderajat maksimal). 8 iii. Karena yang dibagi { f(x) } yaitu = 4x2 + 6x + 6 berderajat 2 dan pembagi { p(x) } berderajat 1

yaitu = x – 1 maka dapat ditentukan sbb : ☯ Hasil bagi { h(x) } akan berderajat ( 2 – 1 ) = 1 dan ☯ Sisa bagi { s(x) } akan berderajat (1– 1) = 0 .

iv. Misalkan hasil bagi h(x) = ax + b (berderajat 1) dan sisa bagi s(x) = c (berderajat 0) v. Nyatakanlah dalam bentuk hubungan berikut f(x) = p(x) ×××× h(x) + s(x) :

4 6 6 8 1

+

4

4

10

10

16

165

173444444 8444444 76bagi hasil suku-sukukoefisien

x

� Sisa pembagian

Hal 6

4x2 + 6x +6 = (x – 1) ×××× (ax + b) ++++ c = ax2 + bx – ax - b + c 4x2 + 6x +6 = ax2 + (b – a)x – b + c

Dari kesamaan di atas diperoleh : 4 = a 6 = b – a, karena a = 4 maka 6 = b – 4, jadi b = 10 dan 6 = -b + c, karena b = 10 maka c = 16.

Hasil bagi atau h(x) = ax + b = 4x + 10 Sisa atau s(x) = c = 16.

Latihan : Latihan : Latihan : Latihan :

1. Tentukanlah hasil dan sisa bagi pada pembagian berikut dengan 3 cara yaitu cara biasa; cara

sintetik dan cara kesamaan suku banyak. a. ( x2 - 3x + 8 ) : ( x – 4 ). b. ( x3 – 4x2 + 5x + 10 ) : ( 2x + 1 ) c. ( 4x4 – 3x2 – x + 11 ) : ( 3x + 2 ) d. ( 2x6 + 3x5 – 12x2 + 19 ) : ( x + 2 )

Menghitung Pembagian Dari Polinom (Suku Banyak) Den gan Sintetik

Cara HORNER 2 untuk pembagian dengan ( ax + b )

Telah diketahui bahwa jika sukubanyak f(x) dibagi x – m dengan memberikan hasil bagi h(x) dan bersisa s(x) yang dapat ditulis dalam bentuk. f (x) = ( x – m ) h(x) + s(x)

Jika m = - a

b maka bentuk x – m dapat dinyatakan dalam x – m = x –

−a

b=

+a

bx

f (x) = ( x – m ) h(x) + s(x)

( )

)()(

).()(

)()(.1

)(

)()(.)(

)()(.)(

xsa

xhbaxxf

xsxhbaxa

xf

xsxha

baxxf

xsxha

bxxf

++=⇔

++=⇔

+

+=⇔

+

+=⇔

Jadi jika f(x) dibagi oleh ax + b hasil baginya adalah a

xh )( dan bersisa s(x).

Contoh 15 : Hitunglah Hasil Bagi dan Sisa Pembagian jika f(x) = 10x3 + 6x2 - 5x + 2 dibagi oleh 5x + 3. Jawab :

i. Tulislah hanya nilai koefisien-koefisien dari polinom tsb : 10 ; 6 ; -5 ; 2 8

ii. 5x + 3 = 0 jadi a = 5 ; b = 3 maka 5

3−=x

Hal 7

iii. Nyatakanlah dalam bentuk skema berikut :

Jadi jika f(x) = 10x3 + 6x2 - 5x + 2 di bagi 5x + 3 hasil baginya 125

510)( 22

−=−= xx

a

xh dan sisa 5.

Dari proses pembagian di atas diperoleh : � Hasil baginya : 2x2 - 5 � Sisa pembagian : 5

Contoh 16 : Hitunglah Hasil Bagi dan Sisa Pembagian jika f(x) = 6x3 + x2 -4x + 5 dibagi oleh 1 - 3x. Jawab :

i. Tulislah hanya nilai koefisien-koefisien dari polinom tsb : 6 ; 1 ; -4 ; 5 8

ii. 1 - 3x = 0 jadi a = -3 ; b = 1 maka 3

1=x ..

iii. Nyatakanlah dalam bentuk skema berikut :

Jadi jika f(x) = 6x3 + x2 - 4x + 5 di bagi 1 - 3x hasil baginya 123

336)( 22

+−−=−

−+= xxxx

a

xh dan sisa 4.

Dari proses pembagian di atas diperoleh : � Hasil baginya : - 2x2 – x + 1 � Sisa pembagian : 4.

Latihan : Latihan : Latihan : Latihan : 1. Tentukanlah hasil dan sisa bagi pada pembagian berikut dengan cara sintetik horner 2.

a. ( 6x2 - x + 4 ) : ( 2x – 1 ). b. ( 3x3 – 4x2 + 7x - 5 ) : ( 3x - 1 ) c. ( 9x4 – 6x3 - 2x + 5 ) : ( 3x + 1 ) d. ( 5x5 - 19x4 + 6x3 + 27x2 + 14 ) : ( 5x + 1 )

10 6 - 5 2

5

3−

+

10

- 6

0

0

-5

3


x

� Sisa pembagian 5

6 1 - 4 5

3

1

+

6

2

3

1

-3

-1


x


Hal 8

2. Tentukanlah nilai a, hasil bagi pada pembagian berikut dengan cara sintetik horner 2. a. ( 4x4 – 12x3 + 13x2 - 8x + a ) habis dibagi ( 2x + 1 ) b. ( 6x2 – x2 + 9x + a ) habis dibagi ( 2x + 3 )

Menghitung Pembagian Dari Polinom (Suku Banyak) Den gan Sintetik Cara HORNER 2 untuk pembagian dengan ax2 + bx + c dengan a = 1

Dimana ( ax2 + bx + c) tidak dapat difaktorkan.

Contoh 17 : Hitunglah Hasil Bagi dan Sisa Pembagian jika f(x) = 2x4 + 7x3 - 2x2 - 2x + 3

dibagi oleh x2 + x + 1.

Jawab :

i. Tulislah hanya nilai koefisien-koefisien dari polinom tsb : 2 ; 7 ; -2 ; -2 ; 3 8 ii. x2 + x + 1 = 0 jadi a = 1 ; b = 1 dan c = 1 iii. Nyatakanlah dalam bentuk skema berikut: ( Gunakanlah lawan dari b = 1 � -1 dan c = 1 � -1)


� Hasil baginya : 2x2 + 5x - 9 � Sisa pembagian : 2x + 12.

Latihan : Latihan : Latihan : Latihan : 1. Tentukanlah hasil dan sisa bagi pada pembagian berikut dengan cara sintetik horner 2.

a. ( x3 - 4x2 - x + 4 ) : ( x2 + 4 ). b. ( 4x3 – 2x2 + x - 1 ) : ( 2x2 + x + 1 )

2 7 - 2 -2

+

- 2

12

-5

-2

9


x

� Sisa pembagian

-5

-1

-1

2 5

3

-9 2

9

b

c

Habis dibagi artinya sisanya adalah sama dengan 0 (nol)

Untuk (1.b)karena a ≠ 1, supaya jadi a = 1, bagilah dengan 2

sehingga 2

1

2

1

2

12 22

++=++xx

xx, setelah diperoleh hasil baginya

H(x) bagi kembali dengan 2. tetapi sisanya tidak perlu dibagi. Silahkan mencoba !

Hal 9

Menghitung Pembagian Dari Polinom (Suku Banyak) Den gan Sintetik Cara HORNER 2 untuk pembagian dengan ax2 + bx + c

Dimana ( ax2 + bx + c) dapat difaktorkan.

Contoh 18 : Hitunglah Hasil Bagi dan Sisa Pembagian jika f(x) = x3 + 4x2 - 10x - 8

dibagi oleh x2 - 2 x - 3.

Jawab :

i. Tulislah hanya nilai koefisien-koefisien dari polinom tsb : 1 ; 4 ; -10 ; - 8 8 ii. x2 - 2x - 3 = 0 difaktorkan menjadi ( x – 3 ) ( x + 1 ) iii. Nyatakanlah dalam bentuk skema berikut: iv. Pertama bagilah dengan ( x – 3 ) kemudian hasil baginya dibagi lagi oleh ( x + 1 ).


� Hasil baginya H(x) = x + 6 � Sisa pembagian S(x) = 5 (x – 3) + 25 = 5x – 15 + 25 = 5x + 10.

1 4 -10 - 8

+

3 21

1

33



3

-1

1

-1 -6

+

7 11

6 5 � Sisa pembagian

Hal 10

Contoh 19 : Hitunglah Hasil Bagi dan Sisa Pembagian jika

f(x) = 6x3 + x2 + x + 1 dibagi oleh 2x2 + x - 1.

Jawab :

i. Tulislah hanya nilai koefisien-koefisien dari polinom tsb : 6 ; 1 ; 1 ; 1 8 ii. 2x2 + x - 1 = 0 difaktorkan menjadi ( 2x - 1 ) ( x + 1 ) iii. Nyatakanlah dalam bentuk skema berikut: iv. Pertama bagilah dengan ( 2x - 1 ) kemudian hasil baginya dibagi lagi oleh ( x + 1 ).


� Hasil baginya H(x) = 3x - 1 � Sisa pembagian S(x) = 5/2 (2x - 1) + 5/2 = 5x + 0 = 5x .

Ca Cara penyelesaian untuk pembagi yang pangkat tertingginya 2 (bentuk kuadratik) lebih ringkas dengan cara sintetik Horner 2 ( baik bentuk kuadratiknya dapat difaktorkan maupun tidak dengan syarat a = 1, jika a ≠ 1 maka harus diusahakan menjadi 1 lihat Tips ),cara ini lebih mudah dibandingkan dengan cara pembagian bersusun. Lebih jelasnya perhatikan pembahasan berikut ini :

Hitunglah Hasil Bagi dan Sisa Pembagian jika f(x) = x3 + 4x2 - 10x - 8 dibagi oleh x2

- 2 x - 3.

6 1 1 1

Dibagi 2

3 2

6

3/2

� Sisa pembagian 5/2

½ -

-1

3

2 3/2

+

4 3

-3 1 � Sisa pembagian

3

-1 5/2

1 4 -10 -8

+

2

12

12

3

52


x

� Sisa pembagian

18

2

3

1 6

3

5 10

9

b

c

Hal 11


� Hasil baginya H(x) = x + 6 � Sisa pembagian S(x) = 5x + 10.

Hitunglah Hasil Bagi dan Sisa Pembagian jika f(x) = 6x3 + x2 + x + 1 dibagi oleh 2x2

+ x - 1.

Karena pembagi a = 2 , a ≠ 1. maka pembagi dirubah menjadi

2

1

2

12 −+ xx , dengan b= - ½ (lawannya) dan c = ½ (lawannya).


� Hasil baginya H(x) = 6x – 2, bagilah dengan 2 maka H(x) = 3x - 1 � Sisa pembagian S(x) = 5x + 0 = 5x

Tentang penulis : Elven Soekirno,S.Si (Elven Soe), lahir di Cirebon tahun 1977. Lulus dari SMAN 1 Bandung melanjutkan studinya di Jurusan Matematika Unpad dan Program Akta IV FKIP Unla, Dari tahun 2002 - 2005 tentor di beberapa bimbingan belajar di Bandung. Dari tahun 2005 – sekarang mengajar di SMA Astha Hannas - Boarding School (Subang).

6 1 1 1

+

-3

12

1

3

52


x

� Sisa pembagian

-1

-1/2

1/2

6 -2

3

5 0

9

b

c

Polinom(sukubanyak)

Documents

Transcript of Polinom(sukubanyak)