1. sukubanyak

1

Ringkasan Materi dan Soal-soal Kelas XI IPA Semester 2

Tri Rusdiyono, S.Pd.

http://berbagimedia.wordpress.com

D E F I N I S I Bentuk umum dari sukubanyak ( polinom ) dengan variabel x , adalah :

012

2...22

11 axaxanxnanxnanxna

Nilai na disebut koefisien dari nx , dan 0a dinamakan konstanta ( suku tetap ).

Derajat dari suatu sukubanyak adalah pangkat tertinggi dari sukubanyak tersebut .

143 236 xxx , adalah sukubanyak berderajat 6 , Koefisien dari 6x adalah 3 , koefisien dari

3x adalah 4 , koefisien dari 2x adalah 1 dan kostantanya 1 .

A . NILAI DARI SUATU SUKUBANYAK UNTUK x = k

Cara menentukan nilai dari sukubanyak

22

11)( nxnanxnanxnaxf

012

2... axaxa , untuk x = k , yaitu :

1. Cara Substitusi

Nilai dari 012

2...2

21

1)( axaxan

xnan

xnan

xnaxf

, untuk x = k ,

dengan cara substitusi adalah :

012

2...22

11)( akakanknanknanknakf

2




Hitunglah nilai dari sukubanyak 105243)( 23456 xxxxxxxf , untuk x = 2 !

Nilai sukubanyak 105243)( 23456 xxxxxxxf , untuk x = 2 adalah

1022.522.22.42.3)2( 23456 f

= 3 . 64 + 4 . 32 + 2 . 16 8 + 5 . 4 + 2 10 = 28

2. Cara Skema

Nilai dari 012

2...22

11)( axaxanxnanxnanxnaxf

, untuk x = k ,

dengan cara skema adalah : k na 1na …. 1a 0a

kan . …. kankna .2...1. kakaka nn ...... 1

22

na 1. nn aka …. 12

1 ..... akaka nn 01

22 ...... akakaka n

n

Hitunglah nilai dari sukubanyak 105243)( 23456 xxxxxxxf , untuk x = 2 !

Nilai sukubanyak 10253425463)( xxxxxxxf , untuk x = 2 , adalah

2 3 4 2 1 5 1 10

6 4 4 10 10 18

3 2 2 5 5 9 28

1. Hitunglah nilai dari sukubanyak berikut dengan cara substitusi :

a. 161022364)( xxxxxf , untuk x = 1

b. 5145)( 10 xxxf , untuk x = 3

c. 102428316)( xxxxf , untuk x = 2

1

d. 621453)( xxxf , untuk x = 4

3




2. Hitunglah nilai dari sukubanyak berikut dengan cara skema :

a. 12823164352)( xxxxxxf , untuk x = 2

b. 1255)( xxf , untuk x = 1

c. 5293648)( xxxxf , untuk x = 4

1

d. 16421237)( xxxxf , untuk x = 3

3. Nilai sukubanyak 4233245)( xaxxxxf , untuk x = 2 samadengan 78.

Hitunglah nilai a !

4. Nilai sukubanyak 223442)( xnxmxxxf , untuk x = 1 samadengan 11 ,

dan untuk x = 2 samadengan 84 . Hitunglah nilai m dan n ! .

OPERASI-OPERASI PADA SUKUBANYAK

B . OPERASI PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN

Jika sukubanyak f ( x ) berderajat m dijumlahkan atau dikurangkan dengan sukubanyak h ( x ) berderajat n , maka hasilnya adalah sukubanyak dengan derajat nilai terbesar dari m dan n .

Diketahui : f ( x ) = 1152543510 xxxx

h ( x ) = 1592736412 xxxx

Hitunglah : a . f ( x ) + h ( x ) b . f ( x ) − h ( x )

Diketahui : f ( x ) = 1152543510 xxxx , berderajat 5

h ( x ) = 1592736412 xxxx , berderajat 4

f ( x ) + h ( x ) = )1152543510( xxxx + )1592736412( xxxx

= )151()915(2)75(364)123(510 xxxxx

= 1462236415510 xxxxx , berderajat 5

f ( x ) h ( x ) = )1152543510( xxxx )1592736412( xxxx

= )151()915(2)75(364)123(510 xxxxx

= 16242123649510 xxxxx , berderajat 5

C . OPERASI PERKALIAN Jika sukubanyak f ( x ) berderajat m dikalikan dengan sukubanyak g ( x ) berderajat n , maka hasil-nya adalah sukubanyak berderajat m + n .

4




Diketahui : f ( x ) = 23462 xx

h ( x ) = 53345 xxx

Hitunglah : f ( x ) × h ( x )

Diketahui : f ( x ) = 23462 xx , berderajat 6

g ( x ) = 53345 xxx , berderajat 4

f ( x ) . g ( x ) = )23462( xx . )53345( xxx

= xxxxxxxxxxxxx .3433.3445.345.62.6233.6245.62

5.2233.245.25.34 xxxx

= 410320134331243206101623664610 xxxxxxxxx

10236 xx

= 102364103204461272061072961010 xxxxxxxxxxx

=

1023)620(4)104(6)1210(7)202(961010 xxxxxxx

= 10232641462718961010 xxxxxxx

1. Diketahui f ( x ) = 23462 xx , dan

g ( x ) = 8293642 xxxx

Hitunglah : a. f ( x ) + g ( x ) c. f ( x ) . g ( x )

b. f ( x ) g ( x ) d. 2 f ( x ) + 5 g ( x )

2. Diketahui f ( x ) = 238 x , dan

g ( x ) = 142 xx

Hitunglah : a. f ( 3 ) + g ( 2 ) c. f ( 8 ) . g ( 4 )

b. f ( 6 ) g ( 5 ) d. 2 f ( 3 ) + 5 g ( 1 )

5




D . OPERASI PEMBAGIAN

Bentuk Umum Pembagian : Yang dibagi = pembagi × hasil bagi + sisa Jika sukubanyak f ( x ) berderajat m , dibagi oleh sukubanyak p ( x ) berderajat n , dengan m > n , hasilnya adalah sukubanyak H ( x ) dan sisa pembagiannya S ( x ) , jika ditulis dengan bentuk umum pembagian, bentuknya adalah sbb : f ( x ) = p ( x ) × H ( x ) + S ( x )

Derajat dari S ( x ) maksimal sama dengan n 1 . Ada dua cara untuk menentukan hasil bagi dan sisa pembagian , jika sukubanyak f (x ) dibagi oleh sukubanyak p ( x ) , yaitu :

1 . Pembagian Bersusun : Bentuk Umum : p ( x ) f ( x ) H ( x )

p ( x ) . H ( x )

S ( x )

Diketahui : f ( x ) = 65212335 xxxx

g ( x ) = 322 xx

Tentukan hasil bagi dan sisa dari f ( x ) : g ( x ) dengan cara pembagian bersusun !

Hasil bagi dan sisa dari f ( x ) : g ( x ) dengan cara pembagian bersusun dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut :

322 xx 65212335 xxxx 74223 xxx

33425 xxx

6521242 xxx

253442 xxx

6521534 xxx Jadi :

xxx 122834 hasil bagi = H ( x ) = 74223 xxx

Sisa = S ( x ) = 1521 x

6727 xx

211427 xx

1521 x

Jika f ( x ) dinyatakan dengan bentuk umum pembagian, maka bentuknya adalah sebagai berikut :

65212335 xxxx = )322( xx . )74223( xxx 1521 x

−

6




2 . Pembagian Sintetik : Bentuk pembagian sintetik sama dengan cara menentukan nilai sukubanyak dengan skema . Pembagian dengan cara ini disebut juga pembagian dengan metode Hörner .

Jika sukubanyak 012

2...22

11)( axaxanxnanxnanxnaxf

dibagi

dengan

x b , caranya sebagai berikut : b na 1na …. 1a 0a

ban . …. banbna .2...1. bababa nn ...... 1

22

na 1. nn aba …. 12

1 ..... ababa nn 01

22 ...... abababa n

n Koefisien hasil bagi Sisa Jadi :

Pembagi = x b

Hasil bagi = ).....(...).( 1212

11 ababaxabaxa n

nn

nnn

n

Sisa = 012

2 ...... abababa nn

Bentuk umum pembagiannya adalah :

f ( x ) = ( x b ) [ ).....(...).( 1212

11 ababaxabaxa n

nn

nnn

n

] + ....( nn ba

).. 012

2 ababa

Tentukan hasil bagi dan sisa jika 51822103)( 345 xxxxxxf dibagi oleh x 10 !

Hasil bagi dan sisa jika 51822103)( 345 xxxxxxf dibagi oleh x 10 , adalah :

10 3 10 1 2 18 5

30 400 4010 40080 400620

3 20 401 4008 40062 400615 Jadi :

Hasil bagi = 400624008401403 234 xxxx

Sisa = 400615

Jika f ( x ) dibagi oleh c x b , maka bentuk umum pembagiannya adalah :

)()()()()()()()( xSxHc

bxcxfxSxH

c

bxxf

)()(

)()( xSc

xHbxcxf

7




Tentukan hasil bagi dan sisa jika 120256)( 45 xxxxxf dibagi oleh 2 x 1 !

Hasil bagi dan sisa jika 120256)( 45 xxxxxf dibagi oleh 2 x 1 , adalah :

2

1 6 1 0 5 20 1

3 2 1 2 9

6 4 2 4 18 10 Jadi :

Hasil bagi = 9223)184246(2

1 234234 xxxxxxxx

Sisa = 10

1. Tentukan hasil bagi , sisa , dan bentuk umum pembagian , dari operasi pembagian berikut dengan cara pembagian bersusun :

a. )67248( 345 xxxx : )3124( 23 xxx

b. )51129( 234 xxxx : )124( 2 xx

2. Tentukan hasil bagi , sisa , dan bentuk umum pembagian , dari operasi pembagian berikut dengan cara pembagian Hörner :

a. )285103( 234 xxxx : )5( x

b. )11494( 23 xxx : )14( x

E . TEOREMA SISA Teorema Sisa :

Jika sukubanyak f ( x ) dibagi oleh x , maka sisa pembagiannya adalah f ( )

Jika sukubanyak f ( x ) dibagi oleh x , maka sisa pembagiannya adalah f (

) .

1 . Hitunglah sisa pembagian jika 10223453)( xxxxxf dibagi oleh x + 1.

2. Jika sukubanyak f ( x ) dibagi dengan x – 5 sisanya 5 , sedangkan jika dibagi x + 1 sisanya

3 . Hitunglah sisanya jika f ( x ) dibagi dengan 322 xx !

8




1. Sisa yang diperoleh jika 10223453)( xxxxxf dibagi oleh x + 1 , adalah :

1 3 0 4 2 1 10

3 3 1 3 9

3 3 1 3 2 8 = f ( 1 ) = sisa

2. Jika f ( x ) dibagi )1()3(322 xxxx , misal sisanya qxp , jadi :

)()()1()3()( qxpxHxxxf , untuk x = 3 , diperoleh :

53)3(5)3.()3()13()33()3( qpfqpHf …….. 1 )

untuk x = 1 , diperoleh :

3)1(3))1(.()1()11()31()1( qpfqpHf ……. 2 )

Dari 1 ) dan 2 ) diperoleh : 53 qp

3 qp

284 pp , 1q

Jadi sisa pembagiannya adalah 12 x

1. Tentukan hasil bagi dan sisa dari fungsi f ( x ) berikut :

a. 862233410)( xxxxxf dibagi x + 4

b. 1928445)( xxxxxf dibagi x 11

c. 62532410612)( xxxxxf 1821234 xxax dibagi 2 x + 3

d. 1624324856)( xxxxxxf dibagi 4 x 1

2. Sukubanyak 128346)( xnxxmxxf dibagi x 1 sisanya 33.

Jika f ( x ) dibagi x + 1 sisanya 8 . Hitunglah nilai dari m dan n !

3. Sukubanyak )( xf dibagi x + 5 sisanya 6. Jika f ( x ) dibagi x 3 sisanya 10 .

Hitunglah sisanya jika )( xf dibagi x + 5 !

4. Sukubanyak )( xf dibagi 4822 xx sisanya 3 x + 9 . Jika dibagi 862 xx sisanya

x 3 . Hitunglah sisanya jika )( xf dibagi 32122 xx !

9




F . TEOREMA FAKTOR

x adalah faktor dari f ( x ) , jika dan hanya jika , f ( ) = 0

1. Tunjukkan bahwa x + 1 adalah faktor dari 75233 xxx

2. Jika x 3 adalah faktor dari 1821234 xxax , tentukan nilai a !

1. Sukubanyak x + 1 adalah faktor dari 75233 xxx sebab :

1 1 3 5 7

1 2 7

1 2 7 0 =sisa

Karena sisa = 0 , berarti x + 1 adalah faktor dari 75233 xxx .

2. Jika x 3 adalah faktor dari 1821234 xxax , maka nilai a dapat ditentukan sbb :

f ( 3 ) = 0 0183.2123.43 a 4a

Faktorisasi Sukubanyak : Faktor rasional dari sukubanyak

012

2...2

21

1)( axaxan

xnan

xnan

xnaxf

, adalah x dengan

q

p , diperoleh jika p adalah faktor-faktor bulat dari 0a dan q adalah faktor-faktor bulat dari

na , dan 0)( q

pf .

Catatan :

1. Jika jumlah koefisien-koefisien f ( x ) sama dengan nol , maka x 1 adalah faktor dari f ( x ) . 2. Jika jumlah koefisien variabel berpangkat genap sama dengan jumlah koefisien variabel

berpangkat ganjil , maka x + 1 faktor dari f ( x ) . 3. Jika sukubanyak f ( x ) berderajat n , maka f ( x ) mempunyai maksimal n buah akar rasional.

Akar-akar tersebut mungkin sama atau berbeda.

1. Faktorkan sukubanyak : 61132)( 23 xxxxf

2. Faktorkan sukubanyak : 81823

214

75

3)( xxxxxxf

10




1. Faktor-faktor dari sukubanyak : 61132)( 23 xxxxf , dapat ditentukan dengan cara

sbb: Faktor-faktor bulat dari 6 = ± 1, ± 2 , ± 3 , ± 6 . Faktor-faktor bulat dari 2 = ± 1, ± 2 .

Nilai yang mungkin = ± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 6 , ± 2

1, ±

2

3

2 2 3 11 6

4 14 6

2 7 3 0

2

1 1 3

2 6 0

Jadi faktor-faktor dari f ( x ) adalah : f ( x ) = ( x + 2 ) ( x 2

1 ) ( 2 x 6 )

= ( x + 2 ) 2

1( 2 x 1 ) ( 2 x 6 )

= ( x + 2 ) ( 2 x 1 ) ( x 3 )

2. Faktor-faktor dari sukubanyak : 8182321475

3)( xxxxxxf , dapat

ditentukan dengan cara sebagai berikut : Faktor-faktor bulat dari 6 = ± 1, ± 3 .

Faktor-faktor bulat dari 6 = ± 1, ± 2 , ± 4 , ± 8 , ± 3

1 ,

Nilai yang mungkin = ± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 6 , ± 2

1, ±

3

1, ±

3

2 , ±

3

4 , ±

3

8

Karena jumlah koefisien f ( x ) = 3 + 7 21 + 1 + 18 8 = 0 , maka x 1 merupakan faktor . Jadi :

1 3 7 21 1 18 8

3 10 11 10 8

3 10 11 10 8 0

Karena 3 + 10 11 10 + 8 = 0 , maka x 1 merupakan faktor

1 3 10 11 10 8

3 13 2 8

3 13 2 8 0

Karena 3 + 2 = 13 8 , maka x + 1 merupakan faktor

1 3 13 2 8

3 10 8

3 10 8 0

Jadi bentuk faktornya : f ( x ) = )8103()1()1()1( 2 xxxxx

= 3

)23()123()1()1()1(

2

xxxxx

= )23()4()1()1()1( xxxxx

11




G . PERSAMAAN SUKU BANYAK Bentuk umum dari persamaan sukubanyak dengan variabel x adalah :

012

2...22

11)( 0

axaxanxnanxnanxnaxf

Akar-akar rasional dari persamaan tersebut adalah q

p, dengan p adalah faktor bulat dari 0a dan

q adalah faktor bulat dari na , dan 0)( q

pf .

Teorema Dasar Aljabar :

Persamaan sukubanyak f ( x ) = 0 yang berderajat n mempunyai n akar bilangan kompleks. Dari teorema aljabar tersebut dapat disimpulkan bahwa persamaan f ( x ) = 0 yang berderajat n mempunyai maksimal n buah akar rasional. Akar-akar rasional tersebut mungkin sama atau berbeda. Contoh :

Himpunan penyelesaian dari persamaan : 01522152)( 23 xxxxf dapat ditentukan sbb

Faktor-faktor bulat dari 15 = 1 , 3 , 5 , 15

Faktor-faktor dari 2 = 1 , 2 .

Akar-akar yang mungkin = 1 , 3 , 5 , 15 , 2

1 ,

2

3 ,

2

5 ,

2

15

Untuk x = 3 diperoleh :

3 2 15 22 15

6 27 15

2 9 5 0 Jadi faktor-faktor dari f ( x ) = 0 adalah :

0)12()5()3(02

)12()102()3(0)592()3( 2

xxx

xxxxxx

Akar-akar dari persamaan tersebut , adalah : 03 x atau 05 x atau 012 x

Jadi x = 3 atau x = 5 atau x = 2

1 . HP = { 5 , 3 ,

2

1 }

1. Jika x + 3 adalah faktor dari sukubanyak 30113)( 234 xxaxxxf

a. Hitunglah nilai a

b. Tentukan faktor-faktor yang lain.

2. Jika 81)( 34 xqxpxxf habis dibagi 322 xx , hitunglah nilai p dan q ,

kemudian tentukan semua faktornya ! 3. Faktorkan sukubanyak berikut :

a. 123 xxx

b. 151723 xxx

c. 24269 23 xxx

d. 4392 23 xxx

e. 623268 23 xxx

f. 67 234 xxxx

g. 3071984 234 xxxx

12




4. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan berikut :

a. 0421296 23 xxx

b. 01074 23 xxx

c. 06173112 23 xxx

d. 08676 234 xxxx

e. 0246116192 234 xxxx

H . SIFAT – SIFAT AKAR PERSAMAAN SUKU BANYAK

1 . Persamaan Kuadrat

Bentuk umum : 02 cxbxa , Rcba ,, dan 0a

Jika 1x dan 2x adalah akar-akar persamaan tersebut , maka :

a

bxx 21 ………………… jumlah akar-akar

a

cxx 21 . ………………… hasil kali akar-akar

2 . Persamaan Pangkat Tiga

Bentuk umum : 023 dxcxbxa , Rdcba ,,, dan 0a

Jika 1x , 2x , dan 3x adalah akar-akar persamaan tersebut , maka :

a

bxxx 321 ………………… jumlah akar-akar

a

cxxxxxx 323121 ...

a

dxxx 321 .. ………………… hasil kali akar-akar

3 . Persamaan Pangkat Empat

Bentuk umum : 0234 exdxcxbxa , dan 0a

Jika 1x , 2x , 3x dan adalah akar-akar persamaan tersebut , maka :

a

bxxxx 4321 ………………… jumlah akar-akar

a

cxxxxxxxxxxxx 434232413121 ......

a

dxxxxxxxxxxxx 421432431321 ........

a

exxxx 4321 ... ………………… hasil kali akar-akar

Diketahui persamaan 08)( 23 mxxxxf . Jika )( xf mempunyai dua akar yang

sama, tentukan nilai m !

Jika 1x , 2x , dan 3x adalah akar-akar persamaan tersebut, maka :

8... 323121 xxxxxx

Misal 1x = 2x , maka : 12 31 xx …………….. 1 )

8.2 312

1 xxx …………….. 2 )

mxx 32

1 . …………….. 3 )

Redcba ,,,,

4x

1321 xxx

13




Dari 1 ) 13 21 xx substitusi ke 2 )

diperoleh : 8)21(.2 112

1 xxx

0823 12

1 xx

0)43()63( 11 xx

21 x atau3

41 x

Untuk 21 x , 22 x , 32.213 x 12)3(.2. 23

21 xxm

Untuk 3

41 x ,

3

42 x ,

3

11)

3

4(.213 x

27

176)

3

11(.)

9

16(. 3

21 xxm

1. Hitunglah jumlah dan hasil kali akar-akar dari persamaan sukubanyak berikut :

a. 021624 23 xxx

b. 07462 23 xxx

c. 036128 234 xxxx

d. 0149716 234 xxxx

2. Diketahui persamaan 04723 xxmx . Persamaan tersebut mempunyai 2 akar

yang sama . Hitunglah nilai m yang memenuhi dengan syarat m bilangan bulat !

L A T I H A

N 7

L A T I H A

N 6

L A T I H A

N 5

L A T I H A

N 4

L A T I H A

N 3

L A T I H A

N 2

L A T I H A

N 1

O n m B A P

BA

B

1. sukubanyak

Documents

Transcript of 1. sukubanyak