PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI - … Besar Program Studi Matematika, terima kasih atas...

METODE KUADRAT TERKECIL TERBOBOT UNTUK

MEMINIMALKAN GALAT PADA PENGUKURAN JARINGAN

KETINGGIAN

MAKALAH

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Matematika

Program Studi Matematika

Disusun Oleh :

Sisilia Nov Ciptaning Pradini

103114018

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2015

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

ii

WEIGHTED LEAST SQUARES METHOD TO MINIMIZE THE ERROR IN

THE MEASUREMENTS OF HEIGHT NETWORK

PAPER

Presented as Partial Fulfillment of the Requirements

To Obtain the Degree of Sarjana Matematika

Mathematics Study Program

By :


103114018

MATHEMATICS STUDY PROGRAM

DEPARTMENT OF MATHEMATICS

FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY

SANATA DHARMA UNIVERSITY

YOGYAKARTA

2015


MAKALAII

METODE KUADRAT TERKECIL TERBOBOT T]NTT]K MEMIMMALKAI\

GALAT PADA PENGUKURAN JARINGAI\I KETINGGIAN

Disusun oleh :


Dr.rer.nat. Herry Pribawanto Suryawan tanggal 16 Februari 2015

ilt


PERT{YATAAN KEASLIAN KARYA

Saya menyatakan dengan sesungguhnya, bahwa makalah yang saya tulis ini tidak

memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam

kutrpan dan daftar pustaka sebagai mana layaknya karya ilmiah.

Yogyakarta 27 Februari 2015

""-wSisilia Nov Ciptaning Pradini


LEMBAR PER}IYATAAN PERSETUJUAN

PIJBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAI\ AKADEMIS

Yang bertanda tangan di bawatr ini, saya matrasiswa Universitas Sanata Dharma :

Nama : SisiliaNov Ciptaning Pradini

Nomormahasiswa : 103114018

Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada PerpustakaanUniversitas Sanata Dharma karya ilmiah saya yang berjudul :

Metode Kuadrat Terkecil Tebobot untuk Meminimalkan Galat padaPengukuran Jaringan Ketinggian

beserta perangkat yang diperlukan (bila ada). Dengan demikian saya memberikankepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma hak untuk menyimpn, mengalihkandalam bentuk media lain, mengelolanya dalam bentuk pangkalan datqmendistribusikan secara terbatas, dan mempublikasikannya di internet atau media lainuntuk kepentingan akademis tanpa perlu meminta ijin dari saya maupun memberikanroyalti kepada saya selamatetap mencantumkan narnasaya sebagai penulis.

Demikian pemyataan ini yang saya buat dengan sebenarnya.

Dibuat di Yogyakarta

Pada tanggal : 3 Februari 2015

Yang menyatakan

(Sisilia Nov Ciptaning Pradini)

vt


vii

MOTTO DAN PERSEMBAHAN

“There Is No Elevator to Success,

You’ve to Take The Stairs”

Ku persembahkan Tugas akhir ini kepada :

My beloved Jesus

Mama dan Bapakku tercinta

Adik-adikku tersayang Fifin, Benny dan Ella

Teman-teman teralienku Anes, Bibi, Nyai, Yoyo, Juna, dan Ayu


viii

ABSTRAK

Dalam pengukuran ketinggian, masalah utamanya adalah menentukan titik-titik

tinggi dengan ukuran galat sekecil mungkin. Salah satu metode yang dapat

meminimalkan galat pada pengukuran ketinggian adalah metode kuadrat terkecil

tebobot.

Tugas akhir ini bertujuan untuk menunjukan hubungan antara masalah jaringan

ketinggian dengan sebuah graf dimana titik-titik tinggi dilambangkan dengan simpul

dan beda ketinggian dilambangkan dengan ruas. Kemudian masalah jaringan

ketinggian yang telah direpresentasikan dengan sebuah graf akan diselesaikan dengan

meggunakan metode kuadrat terkecil tebobot. Pada bagian akhir tugas akhir ini, akan

diberi contoh penerapan dari sebuah graf yang mempresentasikan suatu masalah

jaringan ketinggian dan penyelesaiaannya dengan menggunakan metode kuadrat

terkecil tebobot.

Kata Kunci : galat, jaringan ketinggian, metode kuadrat terkecil terbobot, graf,

simpul, ruas.


ix

ABSTRACT

In the measurements of height, the main problem is to find the point of height which

the size of error as small as possible. One method that can minimize the error in the

measurements of height is weighted least squares.

This paper aims to show the relation of height network with a graph in which the

points of height are assigned by nodes and the differences of height are assigned by edges.

Then the height network’s problems that have been represented by a graph will be solved by

weighted least squares method. At the end of this paper will be given an example of the

application of a graph that presented a height network’s problem and it’s solution by

weighted least squares method.

Keywords : error, height network, weighted least squares, graph, node, edge.


x

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis haturkan kepada Tuhan Yesus Kristus dan Bunda Maria

atas berkatNya yang selalu menyertai penulis dalam menyelesaikan tugas akhir ini.

Penulis menyadari, tugas akhir ini tidak akan selesai tanpa bantuan dari

berbagai pihak, untuk itu dalam kesempatan ini, penulis ingin mengucapkan terima

atas segala bimbingan, dorongan, semangat, sehingga tugas akhir ini terselesaikan

dengan baik, kepada:

1. Ibu Paulina Heruningsih Prima Rosa, S.Si., M.Sc., selaku Dekan Fakultas Sains

dan Teknologi Universitas Sanata Dharma.

2. Bapak Y.G.Hartono, Ph.D., selaku Ketua Program Studi Matematika

Universitas Sanata Dharma.

3. Bapak Dr.rer.nat. Herry Pribawanto Suryawan selaku dosen pembimbing yang

dengan penuh kesabaran, kesungguhan hati serta memberikan banyak ide serta

masukan kepada penulis dalam menyelesaikan tugas akhir ini.

4. Ir. Ignatius Aris Dwiatmoko, M.Sc. yang telah memberikan ide dan masukan

untuk menulis tugas akhir ini dan selaku dosen pembimbing akademik.

5. Seluruh Dosen Program Studi Matematika serta karyawan Fakultas Sains dan

Teknologi. Terima kasih atas bimbingan, doa dan pelajaran yang diberikan

selama berkuliah di Universitas Sanata Dharma.

6. Keluargaku tercinta, my big bos Paternus Dithu dan bu presdir Setyaning

Prihati yang senantiasa memberi dukungan, semangat dan mendoakan anaknya


xi

yang selalu bikin panik ini. Terima kasih atas kesabaran dan kasih sayang

dalam mendidik anak-anaknya. Adik-adik penulis Fifin, Beni, Ella.

7. Sahabat-sahabat penulis di Program Studi Matematika , Anes, Bibi, Nyai, Juna,

Yoyo, Selly, Aster, Ayu, Arga, Tika, Ratri, Pandu, Roy, Yohan, yang selalu

setia mendengar keluh kesah, menemani dan memberi semangat untuk penulis

yang sangat berarti.

8. Keluarga Besar Program Studi Matematika, terima kasih atas segala dukungan

dan bantuannya kepada penulis.

9. Teman-teman sekaligus keluarga penulis, Mbak Rub yang selalu siap

menyediakan keperluan penulis, Apin, Mbak Astrid, Mbak Arin yang terus

memberi semangat, dukungan dan doa. Banyak suka dan duka telah kita lewati

bersama selama ini.

10. Semua pihak yang telah mendukung dan membantu penulis dalam

menyelesaikan tugas akhir ini yang tidak dapat disebutkan satu per satu. Terima

kasih banyak atas semua bantuannya.

Akhirnya penulis menyadari bahwa tugas akhir ini memiliki berbagai

kekurangan. Oleh karena itu penulis mengharapkan kritik dan saran dari pembaca.

Semoga tugas akhir ini dapat menjadi referensi bagi rekan-rekan dalam

mengembangkan ilmu pengetahuan.

Yogyakarta, 11 Februari 2015

Penulis


xii

DAFTAR ISI

JUDUL ...................................................................................................................................... i

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING .................................................................... iii

HALAMAN PENGESAHAN................................................................................................. iv

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ................................................................................... v

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH ................... vi

MOTTO DAN PERSEMBAHAN ......................................................................................... vii

ABSTRAK ............................................................................................................................ viii

ABSTRACT ............................................................................................................................ ix

KATA PENGANTAR .............................................................................................................. x

BAB I : PENDAHULUAN ....................................................................................................... 1

I.1 Latar belakang ........................................................................................................... 1

I.2 Rumusan Masalah ..................................................................................................... 6

I.4 Tujuan Penulisan ....................................................................................................... 7

I.5 Metode Penulisan ...................................................................................................... 7

I.6 Manfaat Penulisan ..................................................................................................... 7

I.7 Sistematika Penulisan ................................................................................................ 7

BAB II : LANDASAN TEORI ............................................................................................... 10

II.1 Matriks Singular dan Tak singular .......................................................................... 10

II.2 Ruang Vektor........................................................................................................... 11

II.3 Ruang Bagian .......................................................................................................... 13

II.4 Kebebasan Linear .................................................................................................... 14


xiii

II.5 Basis dan Dimensi ................................................................................................... 18

II.6 Ruang Baris dan Ruang Kolom ............................................................................... 22

II.7 Rank ......................................................................................................................... 24

II.8 Ruang Nol (Kernel/ Nullspace) ............................................................................... 25

II.9 Ruang Hasil Kali Dalam .......................................................................................... 27

II.10 Norma ...................................................................................................................... 28

II.11 Ortogonalitas ........................................................................................................... 33

II.12 Metode Kuadrat Terkecil ......................................................................................... 34

II.13 Matriks Definit Positif ............................................................................................. 37

II.14 Konsep-Konsep Penting Dalam Statistika ............................................................... 37

II.15 Dasar-Dasar Teori Graf ........................................................................................... 39

BAB III : JARINGAN KETINGGIAN .................................................................................. 44

III.1 Pengukuran Ketinggian dengan Menggunakan Metode Kuadrat Terkecil .............. 44

III.2 Kuadrat Terkecil Terbobot ...................................................................................... 66

III.3 Jaringan Ketinggian Dan Graf ................................................................................. 70

BAB IV : PENUTUP .............................................................................................................. 81

IV.1 Kesimpulan .............................................................................................................. 81

IV.2 Saran ........................................................................................................................ 82

Daftar Pustaka ......................................................................................................................... 83


BAB I

PENDAHULUAN

I.1 Latar Belakang

Pada kehidupan sekarang ini, tak dapat dipungkiri bahwa manusia sangat

membutuhkan teknologi demi membantu kelangsungan hidup mereka. Contohnya

adalah manusia sekarang tidak pernah terlepas dari alat komunikasi jarak jauh yang

disebut handphone. Handphone selain dapat membantu manusia untuk dapat

berkomunikasi dari jarak jauh, handphone juga dilengkapi dengan fitur-fitur yang

semakin memanjakan penggunanya. Contohnya adalah fitur kamera, radio, games,

dan lain-lain. Semakin mahal harga handphone maka biasanya semakin lengkap fitur

yang dimilikinya. Salah satu fitur yang dimiliki sebuah handphone adalah GPS. GPS

tidak hanya terdapat pada handphone, tetapi banyak dijumpai juga di mobil. Hal ini

dikarenakan oleh fungsi GPS yang membantu pengguna sebagai penunjuk arah.

GPS (Global Positioning System) adalah sistem satelit navigasi dan penentuan

posisi sebuah objek yang terletak pada permukaan bumi. Teknologi yang dimiliki dan

dikelola oleh Amerika Serikat ini pada awalnya dikembangkan untuk kepentingan

militer. Namun, mengingat kegunaannya terutama dalam bidang navigasi serta

geografi, maka dalam perjalanannya sistem ini juga dikembangkan untuk keperluan

sipil. GPS didesain untuk memberikan informasi dalam menentukan letak/posisi,

kecepatan, percepatan, dan waktu yang teliti.


2

Gambar 1.1 (Global Positioning System)

Dalam menentukan posisi dan letak pada GPS, manusia membutuhkan ilmu

pengetahuan tentang bumi yang disebut geodesi. Menurut IAG (International

Association of Geodesy), geodesi adalah ilmu yang mempelajari pengukuran dan

perepresentasian dari bumi dan benda-benda langit lainnya, termasuk medan gaya

beratnya masing-masing dalam ruang tiga dimensi yang berubah dengan waktu.

Dengan kata lain, geodesi adalah ilmu yang mempelajari tentang bentuk dan ukuran

bumi termasuk berat dan kepadatannya. Dalam prakteknya, ilmuwan geodesi

mengadakan pengamatan dan pengukuran secara teliti untuk menentukan posisi titik

pada permukaan bumi untuk dipetakan.

Salah satu faktor yang berpengaruh dalam menentukan letak dan posisi pada

GPS dengan mengacu pada ilmu geodesi adalah ketinggian. Ketinggian suatu tempat

atau daerah diperoleh dari percobaan-percobaan serta pengukuran matematis. Arti


3

pengukuran secara umum menurut Umar (1991) adalah kegiatan yang sistematis

untuk mendapatkan informasi mengenai suatu objek secara kuantitatif dengan alat

ukur yang dimiliki. Seringkali dalam melakukan pengukuran ketinggian, data yang

didapat untuk suatu tempat tidak selalu akurat karena terdapat galat (kesalahan/error).

Galat yang dimaksud di sini adalah kesalahan dalam proses pengambilan data.

Menurut buku karangan Suntoyo Yitnosumarto (1993), galat adalah keanekaragaman

(variabilitas) hasil pengukuran yang disebabkan oleh ketidakmampuan materi

pengukuran atau objek pengukuran untuk berperilaku sama dalam pengukuran

tersebut. Galat dapat berfungsi untuk menunjukkan efisiensi dari satu jenis

pengukuran ke pengukuran yang lain. Secara normal, yang diharapkan dalam

pengukuran adalah galat yang bernilai kecil. Untuk itu dibutuhkan metode matematis

yang dapat meminimalkan galat pada pengukuran tersebut (dalam hal ini pengukuran

ketinggian).

pengukuran 1 pengukuran 1 Pengukuran 1

galat

Objek pengukuran

Bagan (1.1)


4

Bagan (1.1) menjelaskan pengukuran suatu objek yang dilakukan beberapa

kali. Pengukuran-pengukuran tersebut menghasilkan galat. Selanjutnya, galat

tersebut akan diestimasi untuk memperkirakan ukuran atau bentuk objek yang

sesungguhnya.

Salah satu metode yang dapat membantu meminimalkan galat adalah metode

kuadrat terkecil. Matematikawan besar dari Jerman, Carl Friedrich Gauss adalah

salah satu pencetus ide tentang metode kuadrat terkecil. Selain Gauss ada beberapa

penemu lainnya yaitu Adrien Marie Legendre pada tahun 1805 dan Robert Adrian

tahun 1808. Prinsip dari metode kuadrat terkecil adalah meminimalisasi jumlah

kuadrat deviasi data dari pengukuran yang didapat.

Persamaan untuk meminimalisasi jumlah galat pada metode kuadrat terkecil

adalah x = b, dengan adalah matriks koefisien yang berukuran m x n dan b adalah

vektor yang berisi hasil-hasil pengukuran yang didapat dari data. Dalam hal ini harus

dicari vektor sehingga ‖ ‖ seminimal mungkin, dengan ‖ ‖ adalah

panjang vektor . Maksudnya adalah harus dicari sebuah vektor untuk

yang terdekat ke .

Misalkan = ‖ ‖, menotasikan galat pada perhitungan. Biasanya

jarang ditemukan = 0. Jika = 0 maka perhitungan x adalah perhitungan yang

eksak untuk persamaan Ax = b. Jadi harus ditemukan , sehingga ukuran =

‖ ‖ adalah yang paling kecil. Sebut adalah solusi metode kuadrat terkecil.


5

Yang dimaksud terkecil adalah jumlah kuadrat dari elemen-elemen Ax - b

diminimalisasikan.

Dalam mengukur ketinggian, masalahnya adalah menemukan x1,x2,...,xn

dimana n ditentukan dan x1,x2,...,xn adalah titik-titik ketinggian yang akan dicari.

Sebagai contoh, patokan-patokan pada gambar (1.1) di bawah melambangkan setiap

titik x1,x2,...,x10

Gambar 1.1

Seringkali, dalam mengukur ketinggian, yang kita lakukan adalah

menghitung beda tinggi dari satu titik ke titik yang lain. Maksud dari beda tinggi

adalah jarak vertikal antara dua bidang datar yang melalui kedua titik tersebut (lihat

gambar 1.2). Dalam hal ini, beda dari titik x1 ke titik x2 sama dengan jarak vertikal

dari titik ke titik .


6

Gambar 1.2

Makalah ini akan membahas lebih lanjut tentang minimalisasi galat pada

pengukuran ketinggian dengan menggunakan metode kuadrat terkecil terbobot..

I.2 Rumusan Masalah

a. Apa yang dimaksud dengan metode kuadrat terkecil terbobot?

b. Bagaimana menerapkan metode kuadrat terkecil terbobot tersebut ke

dalam data jaringan ketinggian yang didapat?

I.3 Batasan Masalah

a. Perhitungan galat ini dilakukan hanya pada matriks yang mempunyai

rank kolom penuh.

b. Makalah ini tidak membahas secara rinci tentang statistik. Dalam hal ini,

tidak akan dibahas secara mendalam mengenai bagaimana memperoleh

variansi yang akan digunakan sebagai entri-entri dari matriks terbobot.


7

I.4 Tujuan Penulisan

a. Memahami metode kuadrat terkecil dalam meminimalkan galat dari suatu

hasil pengukuran.

b. Memahami bagaimana metode kuadrat terkecil terbobot diaplikasikan

dalam jaringan ketinggian.

c. Mengaplikasikan graf sebagai representasi dari jaringan untuk membantu

memecahkan masalah menentukan titik-titik ketinggian.

I.5 Metode Penulisan

Metode yang digunakan adalah studi pustaka dengan menggunakan buku-

buku referensi sebagai acuan penulisan serta pengambilan data.

I.6 Manfaat Penulisan

a. Dapat mengaplikasikan metode kuadrat terkecil untuk meminimalkan

galat pada pengukuran jaringan ketinggian.

b. Membantu berbagai pihak dalam mengukur ketinggian agar galat dari

hasil pengukuran yang diperoleh dapat diminimalkan.

I.7 Sistematika Penulisan

Bab I : Pendahuluan

I.1 Latar Belakang

I.2 Batasan Masalah

I.3 Rumusan Masalah

I.4 Tujuan Penulisan


8

I.5 Metode Penulisan

I.6 Manfaat Penulisan

I.7 Sistematika Penulisan

Bab II : Landasan Teori

II.1 Matriks Singular dan Taksingular

II.2 Ruang Vektor

II.3 Kebebasan Linear

II.4 Basis dan Dimensi

II.5 Ruang Baris dan Ruang Kolom

II.6 Rank

II.7 Ruang Nol (Kernel)

II.8 Ruang Hasil Kali Dalam

II.9 Norma

II.10 Ortogonalitas

II.11 Metode Kuadrat Tekecil

II.12 Matriks Definit Positif

II.13 Konsep-Konsep Penting Dalam Statistika

A. Nilai Harapan Variabel Random

B. Variansi Variabel Random

C. Kovariansi dari Dua Variabel Random

II.14 Dasar-Dasar Teori Graf

A. Teori Graf


9

B. Graf Berarah

C. Graf Lengkap

Bab III : Jaringan Ketinggian

III.1 Pengukuran Ketinggian dengan Menggunakan Metode

Kuadrat Terkecil

III.2 Kuadrat Terkecil Terbobot

III.3 Jaringan Ketinggian dan Graf

Bab IV : Penutup

IV.1 Kesimpulan

IV.2 Saran


BAB II

LANDASAN TEORI

II.1 Matriks Singular dan Tak singular

Definisi (2.1) : Suatu matriks A berorde n x n dikatakan tak singular (nonsingular)

atau dapat dibalik (invertible) jika terdapat matriks B, sehingga AB = BA = I. Matriks

B disebut sebagai invers perkalian (multiplicative inverse) dari A.

Jika B dan C keduanya adalah invers perkalian dari A, maka :

B = BI = B(AC) = (BA)C = IC = C

Jadi, satu matriks memiliki paling banyak satu invers perkalian.

Definisi (2.2) : Suatu matriks n x n dikatakan singular jika tidak memiliki invers

perkalian.

Sebut invers perkalian dari suatu matriks taksingular A sebagai invers dari A dan

ditulis sebagai .

Contoh :

Matriks-matriks 0

1 dan *

+

adalah saling invers karena,

0

1 [

] 0

1

dan


11

[

] 0

1 0

1

Teorema (2.1)

Suatu matriks A berorde n x n adalah singular jika dan hanya jika

( )

Bukti (Leon, teorema 2.2.2, hal.90)

II.2 Ruang Vektor

Misalkan adalah himpunan tak kosong di mana didefinisikan operasi-

operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar. Artinya bahwa untuk setiap

pasangan elemen-elemen dan di dalam dapat diasosiasikan dengan elemen

yang tunggal yang juga berada di , dan dengan setiap elemen di dan

setiap skalar , dapat diasosiasikan dengan elemen yang tunggal di dalam .

Himpunan bersama-sama dengan operasi-operasi penjumlahan dan perkalian

dengan skalar dikatakan membentuk ruang vektor jika aksioma-aksioma berikut

dipenuhi :

A.1. untuk setiap dan di

A.2. ( ) ( ) untuk setiap di

A.3. Terdapat elemen 0 di sehingga = untuk setiap di

A.4. Untuk setiap terdapat elemen – di sehingga (- )

A.5. ( ) untuk setiap skalar dan setiap di


12

A.6. ( ) = untuk setiap skalar dan dan setiap

A.7. ( ) ( ) untuk setiap skalar dan dan setiap

A.8. 1. = setiap

Elemen-elemen dari V disebut vektor. Istilah skalar biasanya adalah suatu bilangan

real, meskipun dalam beberapa kasus adalah bilangan kompleks. Seringkali istilah

ruang vektor real digunakan untuk menyatakan bahwa himpunan skalar-skalar adalah

himpunan bilangan-bilangan real. Simbol 0 telah digunakan dalam Aksioma 3 untuk

membedakan vektor nol dan skalar 0.

Beberapa contoh Ruang vektor :

1. Ruang vektor Euclides

Himpunan semua pasangan terurut dengan entri-entri bilangan real:

*( )| +

2. Ruang vektor

Misalkan himpunan semua matriks dengan entri-entri bilangan

real. Jika ( ) dan ( ), maka jumlahan didefinisikan sebagai

matriks ( ) yang berorde . Jika diberikan skalar , maka dapat

didefinisikan sebagai matriks dimana entri ke- adalah .

3. Ruang vektor , -

Misalkan , - menyatakan himpunan semua fungsi bernilai real yang

didefinisikan dan kontinu pada interval tertutup , -. Dalam kasus ini himpunan


13

semestanya adalah himpunan fungsi-fungsi. Jadi vektornya adalah fungsi-fungsi di

, -. Jumlah dari dua fungsi di , - didefinisikan oleh

( )( ) ( ) ( ),

untuk semua di , -. Fungsi yang baru dari adalah elemen dari , -,

karena jumlahan dari fungsi kontinu adalah kontinu. Jika adalah fungsi di , -

dan suatu bilangan real, maka didefinisikan oleh

( )( ) ( ),

untuk semua di , -. Jelas bahwa berada di dalam , - karena jika konstan

dikalikan dengan fungsi kontinu selalu kontinu.

4. Ruang vektor

Misalkan adalah himpunan semua polinom dengan derajat . Untuk

dan didefinisikan dan oleh

( )( ) ( ) ( )

dan

( )( ) ( )

II.3 Ruang Bagian

Definisi (2.3) : Jika S adalah subhimpunan tak kosong dari suatu ruang vektor . Dan

memenuhi syarat-syarat berikut :

1.


14

2.

maka disebut ruang bagian (subspace) dari .

Contoh :

Misalkan *( ) | +. Maka adalah ruang bagian dari , karena

jika ( ) , maka :

1. ( ) .

jika ( ) dan ( ) maka :

2. ( ) ( )

( )

II.4 Kebebasan Linear

Pada bagian ini, akan dibatasi pada ruang-ruang vektor yang dibentuk dari

himpunan-himpunan berhingga. Setiap vektor dalam ruang vektor yang bersangkutan

dapat dibentuk dari elemen-elemen dalam himpunan penghasil ini hanya dengan

menggunakan operasi-operasi penjumlahan dan perkalian skalar. Himpunan

penghasil ini biasanya disebut himpunan perentang. Lebih khususnya akan dicari

himpunan perentang “minimal”. Kata minimal maksudnya adalah himpunan

perentang tanpa elemen yang tidak diperlukan (artinya, semua elemen dalam

himpunan tersebut diperlukan untuk merentang ruang vektor yang bersangkutan).


15

Untuk melihat bagaimana mencari himpunan perentang yang minimal perlu

diperhatikan bagaimana vektor-vektor di dalam himpunan saling “bergantung” satu

sama lain.

vektor-vektor dalam ruang vektor disebut bebas linear

(linearly independent) jika

mengakibatkan semua skalar harus sama dengan 0.

Contoh :

Vektor-vektor . /dan .

/ adalah bebas linear, karena jika

. / .

/ .

/

yaitu

maka satu-satunya penyelesaian dari sistem ini adalah dan .

vektor-vektor , dalam ruang vektor disebut bergantung

linear (linearly dependent) jika terdapat skalar-skalar yang tidak

semuanya nol sehingga


16

Contoh :

Diberikan. Vektor-vektor ( ) (

) (

) (

) adalah

bergantung linear karena apabila

( ) (

) (

) (

) (

)

maka diperoleh :

Dalam kasus ini = 1, , , , jadi

.

Teorema (2.2)

Misalkan adalah vektor dalam dan misalkan

( )


17

untuk . Jika ( ), maka vektor-vektor

adalah bergantung linear jika dan hanya jika adalah matriks singular.


Teorema (2.2) dapat digunakan untuk menguji apakah vektor adalah bebas

linear atau bergantung linear dalam . Langkah awalnya adalah bentuk suatu

matriks yang elemen-elemennya adalah vektor-vektor yang akan diuji kebebasan

linearnya, sebut matriks itu adalah matriks . Untuk menentukan apakah matriks

singular atau tidak, hitunglah nilai dari det( ). Jika det( )= 0, maka vektor-

vektornya bergantung linear. Jika det ( ) ≠ 0 maka vektor-vektornya bebas linear.

Contoh :

Tentukan apakah vektor-vektor ( ) ( ) dan ( ) bergantung linear

atau bebas linear?

Penyelesaian :

Misalkan X = (

). Untuk menentukan apakah matriks singular atau tidak

singular adalah dengan mencari nilai determinannya

( ) |

| |

| |

|

( ) ( ) ( )


18

.

Karena ( ) , maka menurut teorema (2.2), vektor-vektor tersebut adalah

bergantung linear.

II.5 Basis dan Dimensi

Definisi (2.4) : Vektor-vektor membentuk basis untuk ruang vektor

jika dan hanya jika :

i. bebas linear

ii. merentang

Contoh :

“Basis baku” untuk adalah { ( ) (

) (

)}, akan tetapi

terdapat banyak basis untuk yang dapat dipilih untuk (basis dari ruang vektor

tidak tunggal). Sebagai contoh

{( ) (

) (

)} dan {(

) (

) (

)}

kedua-duanya adalah basis untuk karena kedua-duanya memenuhi syarat basis

yaitu merentang dan bebas linear.


19

Buktinya adalah :

Diberikan {( ) (

) (

)}, maka :

1. Harus dibuktikan bahwa himpunan vektor-vektor di atas merentang

4 5 (

) (

) (

)

Menghasilkan :

maka,

jadi, 4 5 ( ) (

) ( ) (

) ( ) (

)


20

sehingga ketiga vektor tersebut merentang .

2. Harus dibuktikan bahwa ketiga vektor tersebut bebas linear.

(

| ) (

| ) (

| )

(

| ) (

| )

(

| )

Jadi, . Maka, ketiga vektor di atas adalah bebas linear.

Terbukti bahwa himpunan vektor {( ) (

) (

)} adalah merentang dan bebas

linear. Maka himpunan vektor tersebut adalah basis untuk .

Teorema (2.3)

Jika * + adalah basis dari suatu ruang vektor , maka himpunan sebarang

vektor di , dengan adalah bergantung linear.


Akibat (2.3.1)


21

Jika * + dan * + kedua-duanya adalah basis untuk suatu

ruang vektor , maka .

Bukti (Leon, akibat 3.4.2, hal. 130)

Definisi (2.5) : Misalkan adalah ruang vektor. Jika memiliki basis yang terdiri

dari vektor, maka dapat dikatakan bahwa memiliki dimensi . Ruang bagian * +

dari dikatakan memilik dimensi 0. dikatakan memiliki dimensi hingga jika

terdapat himpunan berhingga vektor yang merentang dan bebas linear; jika tidak

demikian, maka dapat dikatakan bahwa memiliki dimensi tak hingga.

Contoh :

Ruang vektor memiliki basis * +. Karena terdapat vektor dalam

basis tersebut, maka memiliki dimensi n.

Conotoh :

Teorema (2.4)

Jika adalah ruang vektor dengan dimensi

1. Sembarang himpunan n vektor bebas linear merentang

2. Sembarang himpunan vektor yang merentang adalah bebas linear.

Bukti (Leon, Teorema 3.4.3, hal. 131)


22

Contoh :

Tunjukkan bahwa {( ) (

) ( )} adalah basis untuk .

Karena dim , maka hanya perlu ditunjukkan bahwa ketiga vektor ini bebas

linear.

Misalkan (

), maka

( ) |

| |

| |

|

( ) ( )

Karena ketiga vektor di atas bebas linear, maka menurut teorema (2.4) ketiga vektor

di atas merentang . Jadi ketiga vektor di atas adalah basis untuk .

II.6 Ruang Baris dan Ruang Kolom

Jika adalah matriks berorde , maka setiap baris dari adalah tupel-n

bilangan-bilangan real sehingga dapat dianggap sebagai vektor dalam . vektor

yang bersesuaian dengan baris-baris dari akan disebut sebagai vektor-vektor baris

(row vector) dari . Dengan cara yang serupa, setiap kolom dari dapat dianggap

sebagai vektor dan dapat diasosiasikan vektor kolom dengan matriks .


23

Definisi (2.6) : Jika adalah matriks berorde , maka ruang bagian dari

yang direntang oleh vektor-vektor baris dari disebut ruang baris (row space) dari

dilambangkan dengan ( ) . Ruang bagian dari yang direntang oleh vektor-

vektor kolom dari disebut ruang kolom (column space) dari dilambangkan

dengan ( ).

Contoh :

Misalkan .

/

Ruang baris dari adalah himpunan tiga tupel yang berbentuk

( ) ( ) ( )

Ruang kolom dari adalah himpunan semua vektor yang berbentuk

. / .

/ .

/ .

/

Jadi ruang baris dari adalah ruang bagian berdimensi dua dari dan ruang

kolom dari adalah .

Teorema (2.5)

Dua matriks A dan B yang ekivalen baris (B dapat dibetuk dari A dengan serangkaian

operasi baris yang berhingga banyaknya, yaitu vektor-vektor baris dari B merupakan

kombinasi linear dari vektor-vektor baris dari A) memiliki ruang baris yang sama.


24

Bukti (Leon, teorema 3.6.1, hal. 144)

II.7 Rank

Rank dari suatu matriks adalah dimensi dari ruang baris dari . Untuk

menentukan rank dari suatu matriks dapat dilakukan dengan cara mereduksi matriks

yang bersangkutan menjadi bentuk eselon baris. Baris-baris taknol dari matriks

eselon baris akan membentuk basis untuk ruang barisnya.

Contoh :

Misalkan

(

)

Dengan mereduksi menjadi bentuk eselon baris

(

) (

) (

)

(

) (

)

maka diperoleh matriks

(

)


25

Jelas bahwa ( ) dan ( ) membentuk basis untuk ruang baris dari . Karena

dan ekivalen baris, maka matriks memiliki ruang baris yang sama dengan

matriks sehinga rank dari adalah 2.

II.8 Ruang Nol (Kernel/ Nullspace)

Misalkan adalah matriks . Misalkan ( ) menyatakan himpunan

semua penyelesaian dari sistem homogen , maka :

( ) * | +

Akan ditunjukan bahwa ( ) adalah ruang bagian dari sebagai berikut :

Jika ( ) dan suatu skalar, maka

( )

sehingga ( ). ( ), maka :

( )

Oleh karena itu, ( ). Ini berarti bahwa ( ) ruang bagian dari .

Himpunan semua penyelesaian dari sistem homogen membentuk ruang

bagian dari . Ruang bagian ( ) disebut ruang nol (kernel atau nullspace) dari .

Contoh :

Tentukan ( ) jika


26

.

/

Penyelesaian : Dengan menggunakan reduksi Gauss-Jordan untuk menyelesaikan

, maka diperoleh :

.

| / .

| /

.

| / .

| /

Bentuk eselon baris tereduksi melibatkan dua variable bebas dan

jadi, jika didefinisikan = dan , maka

(

) (

) (

) (

)

adalah penyelesaian dari . Ruang vektor ( ) terdiri dari semua vektor

berbentuk


27

(

) (

)

di mana dan adalah skalar.

II.9 Ruang Hasil Kali Dalam

Hasil kali dalam pada ruang vektor adalah sebuah operasi pada yang

memetakan setiap pasang vektor-vektor , dengan sebuah bilangan real ⟨ ⟩

yang memenuhi syarat berikut :

i ⟨ ⟩ , dengan kesamaan jika dan hanya jika

ii ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ untuk semua dan di dalam

iii ⟨ ⟩ ( ) ( ) untuk semua di dalam dan

semua skalar dan

Ruang vektor yang dilengkapi dengan sebuah hasil kali dalam disebut ruang hasil

kali dalam.

Sifat-sifat dasar ruang hasil kali dalam

Jika adalah sebuah vektor di dalam sebuah ruang hasil kali dalam , panjang atau

norma dari diberikan oleh

‖ ‖ √⟨ ⟩

Dua vektor dikatakan ortogonal jika ⟨ ⟩ = 0.


28

Teorema (2.6) (Hukum Pythagoras)

Jika dan adalah vektor-vektor ortogonal di dalam sebuah ruang hasil kali dalam

, maka :

‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖


Teorema (2.7) (Ketaksamaan Cauchy-Schwarz)

Jika dan adalah vektor-vektor di dalam sebuah ruang hasil kali dalam , maka

|⟨ ⟩| ‖ ‖‖ ‖

Kesamaan berlaku jika dan hanya jika dan bergantung linear.


II.10 Norma

Definisi (2.7) : Sebuah ruang vektor dikatakan ruang linear bernorma

(normed linear space) jika untuk setiap vektor dikaitkan dengan sebuah

bilangan real ‖ ‖ yang disebut norma dari yang memenuhi :

i ‖ ‖ dengan kesamaan berlaku jika dan hanya jika

ii ‖ ‖ | |‖ ‖ untuk setiap skalar .

iii ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ untuk semua .


29

Teorema (2.8)

Jika sebuah ruang hasil kali dalam, maka

‖ ‖ √⟨ ⟩ untuk semua

mendefinisikan sebuah norma pada .


Ada banyak norma yang dapat didefinisikan pada sebuah ruang vektor yang

diberikan. Sebagai contoh di :

i. ‖ ‖ ∑ | | , untuk setiap = ( )

ii. ‖ ‖ | |

iii. ‖ ‖ (∑ | |

)

⁄

Secara khusus, jika p = 2, maka :

‖ ‖ (∑| |

)

⁄

Bukti bahwa i, ii, iii adalah norma :

i. Misalkan ( ) ‖ ‖ | | | | | |

1. ‖ ‖ | | | | | |

‖ ‖


30

| | | | | |

| | dan | | dan dan | |

dan dan dan

2. ‖ ‖ | | | | | |

| || | | || | | || |

| |(| | | | | |)

| | ‖ ‖

3. Misalkan ( ) ‖ ‖ | | | | | |

‖ ‖ | | | | | |

| | | | | | | | | | | |

(| | | | | |) (| | | | | |)

‖ ‖ ‖ ‖

Jadi, terbutki bahwa (i) adalah norma.

ii. Misalkan ( ) ‖ ‖ *| | | | | |+

1. ‖ ‖ *| | | | | |+

Jelas bahwa nilai mutlak selalu bernilai positif maka ‖ ‖

‖ ‖

*| | | | | |+

| | dan | | dan dan | |


31

dan dan dan

2. ‖ ‖ *| | | | | |+

*| || | | || | | || |+

| |*| | | | | |+

| | *| | | | | |+

| | ‖ ‖

3. Misalkan ( ) ‖ ‖ *| | | | | |+

‖ ‖ *| | | | | |+

*| | | | | | | | | | | |+

*(| | | | | |) (| | | | | |)+

*| | | | | |+ *| | | | | |+

‖ ‖ ‖ ‖

Jadi terbukti bahwa (ii) adalah norma.

iii. Misalkan ( ) ‖ ‖ (∑ | |

)

⁄ √⟨ ⟩

1. ‖ ‖ √⟨ ⟩

√

‖ ‖

√⟨ ⟩


32

√

dan

dan dan

dan dan dan

2. ‖ ‖ √⟨ ⟩

√

√ (

)

√ √

| |‖ ‖

3. Misalkan ( ) ‖ ‖ (∑ | |

)

⁄ √⟨ ⟩

‖ ‖ ⟨ ⟩

⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩

⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩

‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖

Ketaksamaan Cauchy-Schwarz

(‖ ‖ ‖ ‖ )

Diperoleh ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ .

Jadi terbukti bahwa (iii) adalah norma.


33

Contoh :

Misalkan adalah vektor ( ) di . Hitung ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖

Penyelesaian :

‖ ‖ | | | | | |

‖ ‖ √ √

‖ ‖ (| | | | | |)

II.11 Ortogonalitas

Definisi (2.8) : Dua ruang bagian dan dari dikatakan ortogonal jika

untuk setiap dan . Notasi yang digunakan jika dan ortogonal adalah

Definisi (2.9) : Misalkan adalah ruang bagian dari . Himpunan semua vektor-

vektor di dalam yang ortogonal pada setiap vektor di akan dinotasikan dengan

. Jadi,

* | +

Himpunan disebut komplemen ortogonal dari .

Teorema (2.9)

Jika adalah sebuah matriks , maka ( ) ( ) dan ( ) ( )


34

Bukti (Leon, teorema 5.2.1, hal.196).

II.12 Metode Kuadrat Terkecil

Masalah kuadrat terkecil pada umumnya dapat dirumuskan sebagai sebuah

sistem kelebihan persamaan linear. Sistem kelebihan persamaan linear melibatkan

lebih banyak persamaan daripada peubah yang tidak diketahui. Sistem yang demikian

biasanya tidak konsisten (sistem persamaan tidak dapat diselesaikan). Jadi, jika

diberikan sebuah sistem yaitu dengan .

Misalkan adalah sebuah matriks dengan . Untuk setiap ,

definisikan

‖ ‖ √⟨ ⟩ √

Tinjau sistem persamaan . Untuk setiap dapat dibentuk sebuah vektor

sisa (residual)

( )

Jarak antara dan diberikan oleh

‖ ‖ ‖ ( )‖

Akan dicari sebuah vektor sehingga ‖ ( )‖ minimum. Meminimumkan

‖ ( )‖ adalah sama dengan meminimumkan ‖ ( )‖ . Alasannya adalah dalam

fungsi kuadrat, untuk setiap dan tak negatif, jika maka . Sebuah


35

vektor yang memenuhi ini disebut sebagai penyelesaian kuadrat terkecil untuk

sistem .

Jika adalah penyelesaian kuadrat terkecil untuk sistem dan ,

maka adalah sebuah vektor di dalam ruang kolom dari yang terdekat ke .

Teorema (2.10)

Misalkan adalah ruang bagian dari . Untuk setiap terdapat

sebuah elemen tunggal dari yang terdekat ke , artinya:

‖ ‖ ‖ ‖

untuk semua di dalam . Lebih lanjut, vektor yang diberikan dalam akan

paling dekat dengan vektor jika dan hanya jika .

Bukti (Leon, Teorema 5.4.1, hal. 212)

Sebuah vektor akan menjadi penyelesaian masalah kuadrat terkecil jika

dan hanya jika adalah vektor di dalam ( ) yang terdekat ke . Vektor

dikatakan sebagai proyeksi dari pada ( ). Berdasarkan Teorema (2.10)

( )

harus merupakan sebuah elemen dari ( ) . Jadi ( ) adalah sebuah penyelesaian

masalah kuadrat terkecil jika dan hanya jika


36

( ) ( )

Kunci penyelesaian dari masalah kuadrat terkecil diberikan oleh Teorema (2.9) yang

menyatakan bahwa :

( ) ( )

Sebuah vektor akan menjadi penyelesaian kuadrat terkecil dari sistem jika

dan hanya jika:

( ) ( )

atau, ekivalen dengan :

( ) ( )

Jadi, untuk menyelesaikan masalah kuadrat terkecil , harus diselesaikan :

Persamaan di atas menggambarkan sebuah persamaan linear . Persamaan di atas

disebut sebagai persamaan normal (normal equation).

Teorema (2.11).

Jika adalah matriks yang memiliki rank , maka persamaan normal


37

mempunyai sebuah penyelesaian tunggal

( )

dan adalah penyelesaian kuadrat terkecil yang tunggal dari sistem

Bukti (Leon, Teorema 5.4.2, hal. 214).

II.13 Matriks Definit Positif

Suatu matriks A berorde dikatakan definit positif jika matriks tersebut

simetris dan memenuhi

untuk setiap = , -

II.14 Konsep-Konsep Penting Dalam Statistika

A. Nilai Harapan Variabel Random

Definisi (2.10) : Nilai harapan suatu variabel random didefinisikan oleh

Jika variabel random kontinu

dengan fungsi densitas ( )

Jika variabel random diskret

dengan fungsi probabilitas ( )

B. Variansi Variabel Random

( )

{

∫ ( )

∑ ( )


38

Definisi (2.11) : Variansi dari suatu variabel random dengan ( ) adalah

nilai harapan dari ( ) . Yaitu

,( ) -

Contoh :

Dalam suatu keluarga, yang memiliki dua anak, distribusi probabilitas dari banyaknya

anak yang terlahir, akan mengikuti ketentuan di bawah ini :

Banyaknya anak

perempuan X

0 1 2

Probabilitas ( ) ¼ ½ ¼

Nilai harapan dan variansi dari banyaknya anak yang terlahir perempuan akan

dihitung sebagai berikut :

( ) ∑ ( )

(

) (

) (

)

,( ) - ( ) (

) ( ) (

) ( ) (

)

C. Kovariansi Dari Dua Variabel Random


39

Definisi (2.12) : Diberikan dan adalah variabel random dengan distribusi

probabilitas bersama ( ). Kovariansi dari dan adalah

[( )( )]

dengan ( ) dan ( )

II.15 Dasar-Dasar Teori Graf

A. Teori Graf

Definisi (2.13) : Graf didefinisikan sebagai pasangan himpunan ( ), yang

dalam hal ini adalah himpunan tidak kosong dari simpul-simpul, yaitu

* + dan adalah himpunan sisi yang menghubungkan sepasang simpul,

yaitu * +, atau dapat ditulis dengan notasi ( ). Bila sisi

menghubungkan simpul dan maka dapat ditulis .

Contoh :

Gambar 2.1 menyatakan graf ( ) dengan:

* +

* +

Gambar 2.1


40

Definisi (2.14) : Dua buah simpul pada graf dikatakan berhubungan bila keduanya

terhubung langsung oleh suatu sisi.

Untuk sebarang sisi , sisi dikatakan bersisian dengan titik dan titik .

Contoh :

Pada gambar 2.1, simpul berhubungan dengan simpul , tetapi simpul tidak

berhubungan dengan simpul .

Definisi (2.15) : Misal adalah graf, dan adalah titik-titik dalam graf , jalan

dari didefinisikan sebagai barisan titik-titik dan rusuk-rusuk yang dimulai

dari dan diakhiri dengan sedemikian sehingga titik-titik dan rusuk-rusuk yang

berurutan saling bersisian.

Sebuah jalan tanpa titik yang berulang disebut lintasan dan lintasan yang

menghubungkan titik dan disebut lintasan .

Definisi (2.16) : Misalkan adalah graf. Graf merupakan graf terhubung bila

hanya bila untuk setiap simpul dan di , ada jalan dari titik ke titik .

Contoh :

Gambar 2.2


41

Graf merupakan graf terhubung, sedangkan graf merupakan graf tidak

terhubung.

B. Terminologi Graf

Berikut ini diberikan diberikan beberapa definisi dari jenis-jenis graf

Definisi (2.17) : Garis parallel adalah dua buah garis yang menghubungkan titik

yang sama. Loop adalah garis yang titik awal dan titik ujungnya sama.

Contoh:

Gambar 2.3

Gambar 2.3 adalah contoh graf yang memuat garis parallel dan loop.

C. Graf Lengkap


42

Definisi (2.18) : Graf lengkap adalah graf yang memiliki titik dan setiap titik

dihubungkan satu sama lain oleh sebuah rusuk. Graf lengkap disebut juga graf

trivial.

Contoh :

Gambar 2.4

Gambar 2.4 merupakan beberapa contoh graf lengkap.

D. Graf Berarah

Definisi (2.19): Suatu graf berarah (Directed Graph) D terdiri atas dua himpunan :

(1) Himpunan V, anggotanya disebut simpul

(2) Himpunan A, merupakan himpunan pasangan terurut, yang disebut sisi

berarah.

Graf berarah dinotasikan dengan D(V,A).

Simpul anggota V, digambarkan sebagai titik. Sedangkan sisi a = (u,v), digambarkan

sebagai garis dilengkapi dengan tanda panah mengarah dari simpul u ke simpul v.

simpul u disebut titik pangkal, dan simpul v disebut titik terminal.

Contoh :

Gambar 2.5


43

Gambar di atas adalah sebuah contoh dari graf berarah dengan :

(1) V mengandung 4 simpul, yakni 1,2,3 dan 4

(2) A mengandung 4 sisi berarah yakni (1,4), (2,1),(4,2),(2,3),(4,3) dan (2,2)

Definisi (2.18) : Apabila sisi berarah suatu graf berarah menyatakan suatu bobot,

maka Graf Berarah tersebut dinamakan jaringan (network).

Contoh :

Gambar 2.6

Gambar (2.5) menyatakan suatu jaringan karena setiap sisi berarahnya diberi bobot.


BAB III

JARINGAN KETINGGIAN

III.1 Pengukuran Ketinggian dengan Menggunakan Metode Kuadrat

Terkecil

Pertama diberikan sebuah contoh permasalahan di dalam geodesi yaitu

masalah leveling, dalam hal ini adalah penentuan tinggi. Masalahnya adalah

menentukan ketinggian dari n titik yang ditentukan x1, x2, ... , xn. Di dalam

prakteknya yang seringkali diukur adalah beda ketinggian. Ketinggian dari titik i

diukur dari titik j, dengan menggunakan prinsip beda ketinggian bij (mungkin tidak

eksak) adalah:

( )

Beda-beda ketinggian ini diukur untuk pasangan tertentu (i,j). Dari pengukuran

bij dapat diperkirakan ketinggian yang sebenarnya.

Pertama, diasumsikan tidak ada galat dalam pengukuran. Maka diharapkan

penyelesaian dapat diselesaikan secara eksak. Tapi, jika dilihat pada persamaan

dengan n = 3 variabel dan m = 3 persamaan, akan ditemukan masalah yaitu :

} ( )

Sistem persamaan linear ini bersifat singular. Matriks koefisien dari persamaan

di atas adalah :


45

A = [

]

Matriks A tidak dapat dibalik (tidak invertibel). Determinan dari A sama

dengan nol :

det (A) = 0 |

| |

| |

|

= 0 (-1 – 0)+1(0-1)+1(1-0)

= 0.

Jika ketiga persamaan pada (3.2) tersebut dijumlahkan akan menghasilkan :

0 = (3.3)

Sebuah sistem persamaan linear singular mempunyai dua kemungkinan, tidak ada

penyelesaian atau ada banyak penyelesaian :

1. Tidak konsisten, artinya adalah tidak ada penyelesaian. Jumlahan dari

tidak sama dengan nol. (kasus 1)

2. Persamaan konsisten tapi penyelesaian x1, x2, x3 tidak tunggal. Ada tak hingga

banyak penyelesaian ketika kekonsistenan pada (3.3) dipenuhi. (kasus 2)

Bukti penyelesaian tidak tunggal adalah :


46

[

|

]R3:R3+R1[

|

]R3:R3+R2

[

|

]

Jika x3 = , x1 = x2 + b12, x2 = x3 + b23

Maka x2 = 23, x1 = ( + b23) + b12 , x3 = , suatu skalar.

Untuk perhitungan dengan galat, diharapkan berada pada kasus 1 : tidak ada

penyelesaian. Untuk perhitungan yang eksak, harus berada pada kasus 2 : banyak

penyelesaian. Penjelasannya adalah sebagai berikut:

Tidak dapat menentukan ketinggian yang sebenarnya semata-mata hanya dari

perhitungan beda tinggi. Satu atau lebih dari tinggi xj harus ditetapkan. Titik tinggi

yang telah ditetapkan akan dihilangkan dari variabel.

Misalkan titik ketinggian yang diketahui adalah x3 = H. Persamaan menjadi :

} ( )

Sekarang terdapat tiga persamaan dan hanya dengan dua variabel. Catat bahwa

persamaan tersebut memiliki kekonsistenan yang sama dengan ( ) yakni 0 =

. Masih terdapat dua kemungkinan, tetapi persamaan ( ) berbeda

dengan ( ) karena matriks koefisiennya berbeda:


47

1. Tidak ada penyelesaian (perhitungan tidak konsisten)

2. Hanya ada satu penyelesaian (jika kekonsistenan dipenuhi)

Bukti bahwa hanya ada satu penyelesaian :

[

|

]R3:R3+R1[

|

]R3:R3-R2

[

|

]

x1 = x2 + b12, x2 = b23+H, jika .

Kolom-kolom dari matriks koefisien dari sistem persamaan (3.4) adalah bebas linear

jika:

c1v1+c2v2 = 0

c1[

] + c2 [

] = [ ]

[

] R3:R3+R1 [

] R3:R3+R2 [

]

maka,

c1= c2 = 0.


48

Selanjutnya, dinotasikan :

Areduced =[

]

Rank dari matriks Areduced adalah 2 (rank kolom penuh). Hanya terdapat dua

kemungkinan yaitu tidak ada penyelesaian atau hanya ada satu penyelesesaian. Ruang

nol dari matriks Areduced hanya terdiri dari vektor 0.

Bukti bahwa rank dari matriks Areduced adalah 2 :

Areduced = [

]

Dengan mereduksikan matriks A menjadi bentuk eselon baris, maka diperoleh

matriks U

[

]R3:R3+R1 [

]R3:R3+R2 [

]

Misalkan,

U = [

]

Jelas bahwa (1,-1) dan (0,1) membentuk basis untuk ruang baris dari U.

Karena U dan Areduced ekivalen baris, maka matriks U memiliki ruang baris yang sama

sehingga rank dari matriks Areduced adalah 2.


49

Bukti ruang nol dari matriks Areduced hanya terdiri dari vektor nol :

misalkan N(A) menyatakan himpunan semua penyelesaian dari sistem homogen Ax =

0. Jadi,

[

] R3:R3+R1 [

]R3 :R3 +R2[

]R1 :R1 +R2 [

]

Dan diperoleh x1 = 0, x2 = 0

( ) * | + 2 0 13

Ulasan 3.1

Masalah ini mirip dengan permasalahan menghitung tegangan pada sebuah

jaringan listrik. Kekonsistenan pada permasalahan jaringan listrik, yakni persamaan 0

= dijamin oleh hukum tegangan Kirchhoff (perbedaan tegangan

pada suatu jaringan listrik tertutup adalah nol). Tinggi yang telah ditetapkan pada

ketinggian x3 = H sama seperti tegangan yang telah ditetapkan, yang memungkinkan

tegangan lain ditemukan secara tunggal. Menetapkan x3 = 0 adalah kasus untuk

tegangan yang bagian ujung dari jaringan diletakan di tanah. Selanjutnya dapat

dikembangkan lebih lanjut analogi antara ketinggian pada jaringan ketinggian dan

tegangan pada jaringan listrik (tidak akan dibahas dalam makalah ini)

Untuk perhitungan yang eksak, kekonsistenan akan dipenuhi. Dua dari

persamaan dapat diselesaikan untuk x1 dan x2 dan persamaan yang ketiga akan secara


50

otomatis terselesaikan. Walaupun hal ini adalah kasus yang mudah, tapi dalam

prakteknya hampir tidak pernah terjadi.

Untuk perhitungan dengan galat, diharapkan ketiga persamaan pada (3.4)

menjadi tidak konsisten. Persamaan-persamaan tersebut tidak dapat diselesaikan,

akan dicari sebuah penyelesaian terbaik, yang mana dapat membuat pengukuran dari

galat seluruh sistem menjadi sekecil mungkin. Penyelesaian tersebut diharapkan

menjadi penyelesaian terbaik untuk pengukuran galat. Salah satu metode yang

memiliki penyelesaian terbaik untuk meminimalkan galat adalah kuadrat terkecil,

dimana kuadrat terkecil meminimalkan jumlah kuadrat dari m persamaan :

( )

( ) ( )

Persamaan di atas adalah kuadrat terkecil biasa. Ada beberapa pengukuran

galat lain yang dapat memberikan penyelesaian-penyelesaian terbaik, yaitu :

…..................................................(norma l

2 terbobot)

2. | | | | | |.......................................................................(norma l1)

3. *| | | | | |+........................................................(norma l∞)

Bukti bahwa ketiga pengukuran di atas adalah norma :

1. Bukti

adalah norma


51

Misalkan r=( ), ‖ ‖= (∑| |

)

√⟨ ⟩

i. ‖ ‖ √⟨ ⟩

√

‖ ‖

√⟨ ⟩

√

dan

dan

dan dan

ii. ‖ ‖ √⟨ ⟩

√

√ (

)


52

√ √

| |‖ ‖

iii. Misalkan t= (t1t2,t3), ‖ ‖ √⟨ ⟩ √

‖ ‖ ⟨ ⟩

⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩

= ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩

‖ ‖ ‖ ‖‖ ‖ ‖ ‖ Cauchy-Schwarz

(‖ ‖ ‖ ‖)

Jadi, terbukti bahwa

adalah norma (norma l

2 terbobot).

2. Bukti | | | | | | adalah norma

Misalkan r=( ), ‖ ‖ | | | | | |

i. ‖ ‖ | | | | | |

‖ ‖

| | | | | |

| | dan | | dan | |

dan dan

r = 0

ii. ‖ ‖ | | | | | |


53

| || | | || | | || |

| | (| | | | | |)

| | ‖ ‖

iii. Misalkan t= (t1t2,t3), ‖ ‖= | | | | | |

‖ ‖ | | | | | |

| | | | | | | | | | | |

(| | | | | |) (| | | | | |)

‖ ‖ ‖ ‖

Jadi, terbukti bahwa | | | | | | adalah norma (norma l1).

3. Bukti bahwa *| | | | | |+ adalah norma

Misalkan r=( ), ‖ ‖ *| | | | | |+

i. ‖ ‖ *| | | | | |+

Jelas bahwa nilai mutlak selalu bernilai positif maka ‖ ‖ .

‖ ‖ = 0

*| | | | | |+

| | dan | | dan | |

dan dan

ii. ‖ ‖ *| | | | | |+


54

*| || | | || | | || |+

| |*| | | | | |+

| | *| | | | | |+

| |‖ ‖

iii. Misalkan t= (t1t2,t3), ‖ ‖ *| | | | | |+

‖ ‖ *| | | | | |+

*| | | | | | | | | | | |+

*(| | | | | |) (| | | | | |)+

*| | | | | |+ *| | | | | |+

‖ ‖ + ‖ ‖

Jadi, terbukti bahwa *| | | | | |+ adalah norma.

Selanjutnya, makalah ini akan lebih banyak terfokus pada kuadrat terkecil

terbobot. Pertama, harus dijelaskan kenapa bobot tertentu dipilih dalam

dan bagaimana bobot-bobot tersebut mempengaruhi penyelesaian dari estimasi .

Kuantitas

disebut variansi-variansi. Variansi-variansi tersebut

menentukan tingkat kekonsistenan ketiga pengukuran. Semakin konsisten

pengukuran akan mempunyai variansi-variansi yang kecil dan bobot yang besar

(karena bobot 1/ adalah kebalikan dari variansi). Persamaan-persamaan yang

mempunyai bobot lebih besar akan diselesaikan lebih tepat ketika keseluruhan

kesalahan diminimalkan.


55

Ulasan 3.2

Pada bagian selanjutnya akan dibahas lebih detail mengenai variansi dan

kovariansi. Output dari masalah ini harus menjadi perkiraan ketinggian

dan juga merupakan indikasi dari kekonsistenan perkiraan-perkiraan

tersebut. Akan dicari variansi dari output galat-galat ,

diberikan variansi-variansi dari input perhitungan galat-galat . Hal ini akan

membuktikan bahwa output variansi-variansi adalah yang terkecil ketika bobot

bersifat berkebalikan dengan input variansi. Hal ini yang menjadi alasan untuk bobot

1/ .

Lebih umum, suatu matriks bobot yang optimum adalah invers dari matriks

kovariansi.

Ulasan 3.3

Pengukuran galat = ∑ | | dan = *| | + tidak

kuadratik dan tidak terdiferensialkan karena adanya fungsi nilai mutlak.

Bukti dan tidak terdiferensialkan


56

Gambar 3.1

( ) tidak terdiferensialkan di titik 0.

Turunan kiri fungsi f di titik 0 adalah :

( )

( ) ( )

Turunan kanan fungsi f di titik 0 adalah :

( )

( ) ( )


57

Karena turunan kanan fungsi f di titik 0 tidak sama dengan turunan kiri fungsi f di

titik 0, maka ( ) tidak ada, yaitu fungsi f tidak terdiferensialkan di titik 0.

Pada prakteknya hampir selalu ada galat-galat besar pada perhitungan-

perhitungan . Hal ini terjadi karena seringkali pengamatan diidentifikasi secara

salah yang menyebabkan nilai-nilai pengamatan diproduksi kembali secara salah.

Beberapa ilmuwan geodesi memperkirakan bahwa terdapat galat 5% dari data

mereka.

Sebuah kuadrat-terkecil yang sesuai akan memperkecil galat-galat tersebut.

Dengan meminimalkan bukan E, galat-galat besar dapat diidentifikasi pada sisa

.

Penyelesaian dari sistem (3.3)

Kembali pada ketiga persamaan dengan dua variabel :

} ( )


58

Sistemnya adalah yang akan diselesaikan dengan kuadrat terkecil dan

juga dengan kuadrat terkecil terbobot. Pada kuadrat terkecil terbobot akan dipilih

bobot-bobot yang tepat agar dapat menghasilkan perkiraan yang baik.

Jika melihat persamaan (3.5), matriks koefisien A dan b adalah :

A = [

] dan b = [

].

Untuk kuadrat terkecil biasa dengan bobot satuan, persamaan normalnya

adalah . Penyelesaian dari persamaan normal tersebut adalah perkiraan

( ) dari tinggi-tinggi yang tidak diketahui pada dua lokasi pengamatan

pertama dan lokasi yang ketiga sudah ditetapkan sebagai .

Mengalikan dengan matriks 2 x 3 untuk menemukan persamaan

0

1 [

] [

] 0

1 [

]

0

1 [

] [

] ( )

Matriks ini memiliki sifat-sifat yang diharapkan yaitu matriks

adalah simetris dan dapat dibalik. Kolom ketiga dari A sudah dihilangkan dengan

menetapkan , meninggalkan dua kolom bebas linear. Invers dari matriks


59

tidak mudah dihitung dalam masalah yang memiliki ukuran matriks besar, tapi dalam

masalah ini penyelesaiannya dapat dengan mudah dicari.

mempunyai sebuah penyelesaian tunggal :

( )

[

]

0

1 [

]

[

]

0

1 [

]

[

]

0

1 [

] ( )

Hal ini memberikan perkiraan kuadrat terkecil tidak terbobot :

[

]

[

( ) ( )

( ) ( )]

[

]

[

]

( )

( )

} ( )

Perhatikan bagaimana semua ketinggian muncul dengan nilai H yang sama.


60

Catat juga kemungkinan bahwa persamaan-persamaan asli (3.3) adalah

konsisten : 0 = . Pada kasus ini, perkiraan juga merupakan

penyelesaian x. Perkiraan adalah penyelesaian tunggal untuk .

Mengganti dengan nol memberikan penyelesaian yang tepat

ketika hal tersebut muncul :

} ( )

Sekali lagi, semua ketinggian memuat H. Tapi kuadrat terkecil mengatakan

bahwa (3.8) adalah perkiraan yang lebih baik dari pada (3.9) ketika persamaan

menjadi tak konsisten.

Selanjutnya, ubah perhitungan galat tidak terbobot mejadi perhitungan galat

terbobot, yaitu :

menjadi

Variansi

mewakili penyebaran dari rata-rata pengukuran galatnya.

Untuk masalah jaringan ketinggian, ada sebuah aturan empiris yaitu : variansi

adalah sebanding dengan jarak antar titik-titik pengamatan. Jadi, dipilih


61

Faktor merupakan suatu satuan bobot dari variansi (variance of unit

weight).

Untuk menyelesaikan kasus pada bagian sebelumnya tapi dengan

menambahkan bobot, masih tetap dibutuhkan penempatan dari satu ketinggian yaitu

. Ketiga persamaan masih tetap memiliki galat :

( )

Penyelesaian terbaik meminimalkan . Variansi-variansi

menjadi penyebut. Ketika diambil turunan dari

terhadap

dan , maka akan didapat :

Dengan :

( )

( )

( )

Dengan :

( ) ( )


62

( ) ( )

( ) ( )

Jika diturunkan terhadap dan maka akan didapat :

Diturunkan terhadap :

( )

( )

( )

4

5

( )

Diturunkan terhadap


63

( )

( )

( )

4

5

( )

( )

sehingga :

( )

} (3.11)

Jika dilihat, akan sedikit susah untuk menentukan penyelesaian dari (3.11).

Namun dengan notasi matriks, persamaan (3.11) di atas dapat diselesaikan dengan

lebih mudah. Bilangan 1/( ) = 1/(

) akan menjadi elemen-elemen dari sebuah

matriks terbobot C. Pada kasus sebelumnya (mencari penyelesaian terbaik

pada persamaan (3.10)) memiliki matriks diagonal terbobot, karena ketiga galat

diasumsikan bebas linear :


64

C = *

( )

( )

( )

+ *

+

Ketika Ax = b terbobot oleh C, persamaan normal menjadi

Kalimat di atas merujuk pada persamaan (3.11). Akan digunakan notasi

daripada notasi 1/( ) (dengan ), tapi akan ditemukan koefisien yang

sama dari (3.11) pada matriks

= 0

1 *

+ [

] 0

1 ( )

Misalkan,

F = 0

1

F adalah simetri dan invertibel (punya invers) dan positif definit. Dengan

akan didapat matriks tidak terbobot yang sudah dihitung di

sebelumnya. Determinan dari matriks F adalah:

Det (F) = |

|

= ( )( ) -

=


65

Jadi determinan dari matriks F adalah

Pada bagian kanan juga mudah diselesaikan :

0

1 *

+ [

] [

] (3.13)

Secara eksplisit, matriks dapat dibalik sehingga = dapat

diselesaikan:

[

]

0

1 [

]

[

( ) ( )

( ) ( ) ] 0

1

[

( ) ( )

( ) ( ) ] 0

1

( ) ( )

( ) ( )

Sekali lagi, semua ketinggian yang diperkirakan berubah naik atau turun

dengan H. Ketinggian satuan membawa kembali hasil perkiraan

tidak terbobot yang sudah dihitung sebelumnya.


66

III.2 Kuadrat Terkecil Terbobot

Pada bagian sebelumnya telah dibahas contoh dari kuadrat terkecil terbobot.

Matriks terbobot C adalah matriks diagonal, karena pengamatan dari galat-galat tidak

berkorelasi. Matriks C menjadi C = (atau sungguh menjadi ketika seluruh galat

mempunyai variansi yang sama. Hal ini termasuk pada kasus galat bebas linear dan

teridentifikasi secara identik ( independent and identically distributed errors).

Ketika galat-galat tidak bebas linear, maka setiap matriks simetris definit positif C =

∑ dengan C = ∑ adalah invers dari matriks kovariansi ∑

Pada bagian ini akan dikembangkan suatu persamaan normal

dan dasar teori untuk membentuk matriks C. Ukuran kuadrat yang sebelumnya

menjadi , termasuk juga bobot-bobot :

‖ ‖ berubah menjadi ‖ ‖ .

Ketika ukuran berubah, maka hasil kali dalam menjadi juga

berubah. Sudutnya juga berubah, dua vektor a dan b sekarang menjadi tegak lurus

ketika

Pengertiannya adalah, matriks hasil dari kolom-kolom masih sebuah

proyeksi tegak lurus dari b. Persamaan mendasar dari kuadrat terkecil masih

mengharuskan galat tegak lurus tehadap semua kolom-kolom dari .

Perkalian dalam , di antara kolom-kolom dari dan galat semuanya harus

nol, maka kolom-kolomnya adalah baris-baris dari , jadi


67

atau ( ) atau (3.14)

Persamaan (3.14) adalah persamaan normal terbobot.

Vektor dipilih untuk membuat ‖ ‖

sekecil mungkin :

Meminimalkan ‖ ‖ ( ) ( ) (3.15)

Jabarkan (3.15) menjadi ( ) ( )

. Sekarang yang ada adalah murni masalah kalkulus. Untuk dapat

mencari nilai minimal dari (3.15) dapat dilakukan dengan menurunkan persamaan

(3.15). Penyelesaian dari masalah tersebut memberikan persamaan-persamaan

untuk setiap komponen dari . Persamaan-persamaan menjadi linear karena ‖ ‖

adalah kuadratik.

Dalam aljabar, dapat ditemukan persamaan untuk mencari nilai (ada

komponen) dengan menggunakan notasi matriks. Persamaan-persamaan tersebut

adalah dengan dan :

Teorema (3.1):

Ketika adalah matriks simetri positif definit, bentuk kuadratik ( )

diminimalkan pada titik dimana . Suatu nilai minimum dari ,

pada adalah ( )


68

Bukti :

Bandingkan ( ) dengan semua ( ), untuk membuktikan bahwa ( )

adalah yang terkecil :

( ) ( ) ( )

( ) ( )

Karena adalah matriks definit positif, maka selisih dari ( ) ( ) tidak

pernah negatif. ( ) adalah nilai terkecil yang mungkin. Pada titik ,

minimum dari adalah :

( ) ( ) ( ) (3.16)

Akibat (3.1.1):

Minimum dari galat terbobot ‖ ‖ tercapai ketika ( ) . Nilai

minimumnya adalah :

‖ ‖


69

( )

Jika adalah sebuah matriks persegi yang invertibel (dapat dibalik), maka

keseluruhan galat akan dihilangkan menjadi nol! Penyelesaian akan

menjadi penyelesaian yang eksak. Invers dari dapat ditulis menjadi

( ) . Tapi penulisan seperti ini tidak dapat dilakukan pada sebuah

matriks persegi panjang A (matriks berukuran ). Hanya dapat diasumsikan

bahwa memiliki kolom-kolom yang bebas linear, yang membuat definit positif

(dan invertibel).

Gambar (3.2)

Gambar (3.2) proyeksi dari tegak lurus dalam perkalian dalam- :

untuk setiap kolom dari . Maka adalah persamaan normal terbobot.

Segitiga siku-siku- memiliki ‖ ‖ ‖ ‖

‖ ‖ , yang adalah .

Gambar (3.2) menunjukkan proyeksi secara geometri. Pengamatan yang

dilakukan di atas adalah dengan menggunakan pengamatan hasil kali dalam. Jadi,

Ruang kolom

dari = semua vektor-

vektor Ax


70

secara visual, tidak kelihatan tegak lurus terhadap proyeksinya. Tapi sudut siku-

siku dalam perkalian dalam- , yang memberikan kunci persamaan adalah

.

Ulasan 3.4

Sejak jaman Gauss, metode kuadrat terkecil sudah disebut teori penafsiran

(adjustment theory) dalam geodesi dan digunakan dalam ilmu sains lainnya. Notasi

sederhana mendefinisikan sisa oleh:

(3.17)

Dalam statistik dan aljabar linear numerik terdapat kesepakatan untuk

mendefinisikan sisa dengan tanda yang berlawanan : . Gauss

menggunakan notasi untuk bobot-bobot (latin : pondus). Untuk berbagai alasan

akan diubah notasi menjadi .

III.3 Jaringan Ketinggian Dan Graf

Hubungan antar titik atau yang disebut dengan graf sudah banyak ditemukan

dalam kehidupan sehari-hari. Contohnya adalah dibangunnya jalan besar yang

menghubungkan beberapa kota. Dalam masalah mencari titik tinggi dari suatu

ketinggian juga dapat disajikan dengan menggunakan graf.

Sebagai contohnya, dalam mengukur ketinggian suatu gunung. Terdapat titik-

titik tinggi yang akan dicari. Salah satu cara menentukan ketinggian adalah dengan


71

menggunakan beda tinggi. Dalam graf, titik-titik tinggi tersebut dilambangkan

dengan simpul-simpul dan beda tinggi dilambangkan dengan sisi.

Suatu graf berubah menjadi sebuah jaringan ketika ditetapkan bilangan

untuk setiap sisi. Setiap bilangan adalah suatu bobot dari pengamatan.

Secara statistik, adalah

, suatu kebalikan dari variansi ketika diukur sebuah beda

ketinggian. Untuk masalah jaringan ketinggian

⁄ adalah sebanding dengan

suatu kebalikan dari suatu sisi. Bilangan-bilangan tersebut akan menjadi matriks

yang mana berukuran .

Masalah utamanya adalah menentukan titik-titik yang tidak diketahui.

Permasalahan dapat dipecahkan dengan menggunakan graf dan dengan menggunakan

metode kuadrat terkecil terbobot.

Sebuah graf terdiri dari dari “simpul” dan “sisi”. Ada sebanyak simpul

(titik-titik di mana ketinggian ditentukan). Dan ada juga sisi di antara simpul

dan simpul yang melambangkan beda tinggi . Pengukuran beda tinggi

tersebut membentuk sisi, umumnya dengan .

Semua simpul dinotasikan oleh setiap titik tinggi . Suatu beda

ketinggian sepanjang sebuah loop adalah jmlahan dari ( ) ( )

( ) .


72

Hukum loop : penjumlahan komponen-komponen dari adalah nol

pada setiap putaran.

Untuk sisi , suatu galat terbobot sama dengan kali sisa ( ) .

Persamaan vektornya adalah . Persamaan normal terbobot adalah

atau ( ) . Persamaan terbobot tersebut sama halnya dengan Hukum

Arus Kirchhoff pada setiap simpul :

Gambar (3.3) di bawah ini menunjukkan sebuah graf dengan 4 simpul dan 6

sisi. Gambar tersebut menunjukkan sebuah graf berarah, karena sisi-sisi pada graf

tersebut diberikan oleh suatu tanda panah berarah.

Gambar (3.3)

Beda tinggi dari simpul 1 ke simpul 2 adalah (pengukuran

sesungguhnya dari beda tinggi adalah ). Dalam hal ini, tanda panah tidak

mengartikan bahwa simpul 2 lebih tinggi dari simpul 1. Tanda panah itu hanya

melambangkan beda sebagai .


73

Selanjutnya akan dibahas lebih lanjut mengenai matriks insidensi atau

matriks diferensi atau matriks koneksi dari graf.

Matriks insidensi mempunyai baris yang menginformasikan setiap sisi dan

kolom yang menginformasikan setiap simpul. Pada contoh di atas, graf dengan 6 sisi

dan 4 simpul memiliki matriks insidensi yang berukuran 6 x 4. Setiap baris memiliki

dua entri tak nol yaitu +1 dan -1 untuk menunjukkan simpul mana yang ada tanda

panah masuk dan simpul mana yang ditinggalkan. Maka membentuk matriks

insidensi adalah dengan cara melihat simpul dan sisi yang berhubungan. Contoh

pada gambar graf (3.3), ada 3 sisi yang menghubungkan simpul 1 yaitu sisi 1, sisi 2

dan sisi 4. Maka dalam matriks insidensi, entri tak nolnya adalah dan .

Karena sisi 1 menunjukan panah yang meninggalkan simpul 1, maka entri adalah

-1. Maka dengan cara yang sama dapat dibentuk sebuah matriks insidensi A dari

sebuah graf.

Matriks di atas memuat semua informasi tentang suatu graf pada gambar (3.3).

Contoh kasus seperti (3.3) ini disebut sebuah “graf lengkap” yang berarti bahwa

setiap dua buah simpul dihubungkan dengan sebuah sisi. Sebuah graf lengkap


74

memiliki

( ) sisi. Hubungan dari sebuah graf dengan matriks

insidensinya adalah jika sebuah sisi dihilangkan dari graf maka sebuah baris

dihilangkan dari matriks, dan lebih khususnya dalam masalah jaringan ketinggian,

jika ada satu titik tinggi yang ditetapkan, maka suatu kolom yang berkorespondensi

dengan simpul yang ditetapkan tersebut akan dihilangkan dari matriks insidensinya.

Dalam masalah pengukuran jaringan ketinggian, tidak dapat dibuat dua buah sisi di

antara simpul-simpul dan sebuah sisi dari sebuah simpul ke dirinya sendiri. Dua buah

sisi hanya akan mengartikan bahwa beda ketinggian dihitung dua kali.

Dalam jaringan ketinggian, suatu matriks insidensi bukan hanya matriks

yang melambangkan hubungan antara sisi dan simpul dalam suatu graf. Matriks

insidensi berperan dalam menghitung beda tinggi dalam jaringan ketinggian.

Ketika matriks dikalikan dengan sebuah vektor ( ) dari ketinggian,

maka output dari adalah sebuah himpunan dari 6 beda ketinggian ;

[

]

*

+

[

]

( )

Beda-beda dalam jari ini diukur oleh . Ingat bahwa pengukuran

ini mengandung galat-galat. Keenam persamaan pada (3.18) akan diselesaikan

dengan menggunakan kuadrat terkecil terbobot yaitu :


75

atau dalam bentuk matriks ( )

Sistem dengan 6 persamaan dan 4 variabel mungkin tidak konsisten (karena

terdapat galat dalam pengukurannya).

Untuk menyelesaikan sistem dengan 6 persamaan dan 4 variabel dapat dilakukan

dengan menggunakan metode kuadrat terkecil terbobot. Dibentuk persaman normal

(terbobot) untuk mendapatkan perkiraan . Tapi ada masalah yang harus ditangani

terlebih dahulu :

Karena memiliki kolom yang bergantung linear, maka matriks dan

tidak dapat dibalik. Langkah selanjutnya yang harus diambil adalah satu atau

lebih dari titik tinggi harus ditetapkan.

Dalam pengukuran yang sesungguhnya, menetapkan dapat dilakukan dengan

berbagai cara. Misalnya adalah dengan melihat data pengukuran yang telah dilakukan

sebelumnya atau dapat dilakukan dengan percobaan lapangan secara langsung.

Contohnya adalah dalam mengukur suatu gunung akan ditentukan satu titik yang

akan ditetapkan. Dengan menggunakan alat yang bernama LIDAR (Light Detection

And Ranging) akan ditemukan nilai titik tinggi yang dicari.

Pada aljabar linear, persoalan seperti ini menyangkut tentang “ruang kolom”

dari suatu matriks. Ruang nol dari matriks tersebut adalah berdimensi 1, berisi vektor

( ). Rank dari matriks tersebut adalah n-1. Jika dihilangkan satu kolom, maka


76

matriks baru memiliki rank penuh dan matriks baru dapat dibalik. Jika

ditetapkan satu titik ketinggian (seperti pada bagian sebelumnya), maka

semua ketinggian lain dapat diperkirakan.

Dengan bebas dapat ditentukan ketinggian (tidak hanya satu). Maka kolom

dari matriks dapat dihilangkan. Matriks baru A (yang berorde )

memiliki rank penuh . Lalu dengan menyelesaikan persamaan normal terbobot

, maka dapat ditentukan estimasi dari nilai .

Dalam praktek jaringan ketinggian, harus ada satu atau lebih titik tinggi yang

ditetapkan. Misalkan adalah simpul yang telah ditetapkan tersebut, dan prosedur

dalam menyelesaikan masalah jaringan ketinggian adalah :

1. Rincikan semua simpul dari 1 sampai . Rincikan juga simpul yang memiliki

titik tinggi yang ditetapkan.

2. Bentuk matriks bersisian yang berukuran , dan suatu matriks bobot

berukuran .

3. Hapus kolom pada matriks bersisian

4. Kalikan kolom k dengan sebuah kolom yang berisi titik tinggi tetap yang

telah diketahui, kemudian jumlahkan dengan vektor . Suatu pengukuran

memiliki persamaan dengan variabel tinggi yang tidak

diketahui memiliki ( )( )

5. Hitung dan , kemudian selesaikan sistem .


77

Contoh 3.1

Untuk suatu jaringan ketinggian, ditunjukkan pada gambar 3.4 sebagai sebuah

graf berarah. Titik-titik tersebut memiliki titik tetap

Gambar 3.4 graf berarah untuk sebuah jaringan ketinggian

Pengamatan dari beda-beda tinggi dan ukuran dari garis jaringan adalah


78

Matriks bersisiannya berukuran 5 x 5

Matriks di atas adalah matriks bersisian dalam kasus tidak ada titik yang

ditetapkan. Tapi, situasinya adalah ada 3 titik-titik tinggi yang telah ditetapkan.

Berada pada simpul A,B, dan C. Hal ini berarti bahwa ketiga kolom pertama ( )

dari matriks bersisian A harus dihapus dan kolom-kolom pada bagian sisi kanan ( )

akan dimodifikasi. Modifikasi dari observasi persamaan adalah

[

]

[

]

[

]

[ ]

Matriks terbobot untuk dua buah variabel yang tidak diketahui (D dan E)

dengan . Matriks berbentuk :

C =

[ (

)

( )

( )

( )

( )

]


79

[

]

Oleh karena itu didapat :

[

]

0

1

[

]

[

]

= 0

1

Dan pada bagian sebelah kanan dari tanda sama dengan adalah

0

1

[

]

[ ]

= 0

1


80

Sekarang, persamaan normalnya menjadi

0

1 [

] 0

1

Penyelesaiannya adalah :

dan

[

]

0

1

[ ]

[ ]


BAB IV

PENUTUP

IV.1 Kesimpulan

Jaringan ketinggian dideskripsikan oleh graf dan matriks insidensi . Titik

tinggi yang akan dicari dilambangkan dengan sebuah simpul, sedangkan beda tinggi

dari titik ke titik dinotasikan dengan sebuah sisi. Suatu graf berubah menjadi

sebuah jaringan ketika ditetapkan bilangan untuk suatu sisi.

Setiap bilangan adalah suatu bobot dari sebuah pengamatan. Secara statistik

adalah

⁄ , suatu kebalikan dari variansi ketika diukur sebuah beda ketinggian.

Untuk masalah jaringan ketinggian (

)⁄ adalah sebanding dengan suatu

kebalikan panjang dari suatu sisi. Bilangan-bilangan tersebut akan menjadi matriks

yang mana berukuran .

Dalam jaringan ketinggian, masalahnya adalah menentukan titik-titik tinggi

(n komponen) dengan ukuran galat yang sekecil mungkin.

Salah satu metode yang dapat meminimalkan galat adalah metode kuadrat terkecil

terbobot.

Persamaan normal metode kuadrat terkecil terbobot adalah :


82

Dalam praktek jaringan ketinggian, harus ada satu atau lebih titik tinggi yang

ditetapkan. Misalkan adalah simpul yang telah ditetapkan tersebut, dan prosedur

dalam menyelesaikan masalah jaringan ketinggian adalah :

1. Rincikan semua simpul dari 1 sampai . Rincikan juga simpul yang memiliki

titik tinggi yang ditetapkan.

2. Bentuk matriks bersisian yang berukuran , dan suatu matriks bobot

berukuran .

3. Hapus kolom pada matriks bersisian

4. Kalikan kolom k dengan sebuah kolom yang berisi titik tinggi tetap yang

telah diketahui, kemudian jumlahkan dengan vektor . Suatu pengukuran

memiliki persamaan dengan variabel tinggi yang tidak

diketahui memiliki ( )( )

5. Hitung dan , kemudian selesaikan sistem .

IV.2 Saran

Contoh dalam penulisan tugas akhir ini menggunakan data yang tidak real.

Selain itu, tidak dibahas secara rinci pembahasan mengenai statistik pada penulisan

tugas akhir ini. Sebaiknya untuk penulisan selanjutnya dapat menggunakan data yang

real, dan pembahasan mengenai statistik sebaiknya juga dibahas lebih dalam lagi.


83

Daftar Pustaka

Leon, S. J. 2001. Aljbar Linear dan Aplikasinya. Jakarta : Erlangga.

Wackerley, D.D. Mendenhall, W. Scheaffer R.L. 2008. Mathematical Statistic with

Applications, 7th

ed. USA : Thomson Brooks/Cole.

Buckley, F., and Lewinter, M. 2003. A Friendly Introduction to Graph Theory. New

Jersey: Pearson Education Inc.

Strang, G. and Borre, K. 1998. Linear Algebra, Geodesy, and GPS. USA : Wellesley-

Cambridge Press.

Husein, U. 1991 Metode Riset Akuntansi Terapan.

http://file.upi.edu/Direktori/FIP/JUR._PSIKOLOGI/197509122006041-

HELLI_IHSAN/ Pengertian_Pengukuran.pdf. 16 juli 2014, 16:00.

Yitnosumarto, S. 1993. Percobaan : Perancangan, Analisis dan Interpretasinya.

http://statforall.blogspot.com/2008/07/galat-data-error-data.html. 16 juli 2014,

16.00


http://file.upi.edu/Direktori/FIP/JUR._PSIKOLOGI/197509122006041-HELLI_IHSAN/%20Pengertian_Pengukuran.pdf.%2016%20juli%202014

http://file.upi.edu/Direktori/FIP/JUR._PSIKOLOGI/197509122006041-HELLI_IHSAN/%20Pengertian_Pengukuran.pdf.%2016%20juli%202014

http://statforall.blogspot.com/2008/07/galat-data-error-data.html.%2016%20juli%202014

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI - … Besar Program Studi Matematika, terima kasih atas...

Documents

Transcript of PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI - … Besar Program Studi Matematika, terima kasih atas...