Bagian III

Invers Matriks

A. Matriks InversJika A matriks bujur sangkar, dan B matriks sejenis yang mempunyai ukuran sama, maka dapat ditunjukkan bahwa AB = BA = I, maka A dikatakan dapat diinvers, dan B disebut invers dari A. Jika B tidak dapat dicari maka A disebut matriks singular. ⇔ Contoh :

B = , A =

⇒ AB = = = I

21

53

−

−31

52

21

53

−

−31

52

10

01

dan

BA =

= = = I

Contoh Matriks yang tidak mempunyai Invers :

A = , (A matriks singular)

21

53

−

−31

52

10

01

+−−++−−+

3.2)5.(1)1(22.1

3.3)5.(3)1.(52.3

063

052

041

333231

232221

131211

bbb

bbb

bbb

063

052

041

0

0

0

0

0

0

B = , BA = = , BA ≠ I

Diketahui matriks :

A =

Dapat di invers jika (ad – bc) ≠ 0, dalam kasus ini dapat dirumuskan sebagai berikut :

A-1 = =

AA-1 = A-1A = I ⇔ = …

dc

ba

−

−− ac

bd

bcad

1

−−−

−−

−

bcada

bcadc

bcadb

bcadd

dc

ba

−−−

−−

−

bcada

bcadc

bcadb

bcadd

Diketahui, matriks

A = , B = , AB =

A-1 = , B-1 = , (AB)-1 =

B-1A-1 = = , ∴(AB)-1 = (B-1A-1)

=

++++

=−−

−−

−−

−−−

−−

−

10

01I

bcadda

bcadbc

bcaddc

bcadcd

bcadba

bcadab

bcadbc

bcadad

119

87

31

21

32

23

−

−11

23

−

−

53

52

52

53

−

−

57

59

58

511

−

−

53

52

52

53

−

−11

23

−

−

57

59

58

511

B. Pangkat Matriks Jika A adalah matriks bujur sangkar, maka dapat didefinisikan pangkat Matriks A sebagai berikut :- A0 = I,

- An = ( n > 0)

- Jika A dapat diinvers, maka berlaku,

A-n = (A-1)n =

faktorn

AAA

faktorn

111 AAA −−−

- Aturan pangkat pada matriks bujursangkar, jika matriks A, dengan r dan s adalah bilangan asli, maka berlaku

ArAs = Ar+s, dan (Ar)s = Ars

- Jika A adalah matriks yang dapat diinvers, maka berlaku :

(a). (A-1)-1 = A

(b). (An)-1 = (A-1)n

(c). Untuk k skalar, matriks kA dapat diinvers (kA)-1 = A-1

k1

- Contoh :

A = dan A-1 =

maka,

A3 = =

A-3= =

31

21

−

−11

23

31

21

4115

3011

31

21

31

21

−

−11

23

−

−1115

3041

−

−11

23

−

−11

23

C. Ekspresi Polynomial Pada Matriks Jika A matriks bujursangkar, katakan mxm dan,

p(x) = a0 + a1x + …+ anxn

adalah bentuk polynomial, maka didefinisikan p(A) = a0I + a1A + …+ anAn

Contoh :

p(x) = 2x2 – 3x + 4 dan A =

maka, p(A) = 2A2 – 3A + 4I

= 2 - 3 + 4 =

−30

21

2

30

21

−

−30

21

10

01

130

29

D. Bentuk – bentuk Transpose

Jika suatu matriks mempunyai ukuran sama sehingga suatu operasi dapat dilakukan, maka,

(a). (AT)T = A.

(b). (A+B)T = AT + BT dan (A - B)T = AT - BT

(c). (kA)T = kAT, dengan k skalar

(d). (AB)T = BT AT

(e). Jika A adalah matriks yang dapat di invers, maka AT juga dapat di invers, sehingga

(AT)-1 = (A-1)T

Contoh :

A = , AT =

A-1 = , (A-1)T = , (AT)-1=

∴ berlaku rumus bahwa (AT)-1 = (A-1)T

−−12

35

−−

13

25

−− 52

31

−−

53

21

−−

53

21

E. Matriks Dasar (Elementary Matrices) Suatu matriks beerukuran nxn disebut matriks

dasar (elementary matrices), jika matriks itu mengalami satu kali pengolahan dasar baris (Operasi Baris Elementer) menjadi matriks Identitas (In),

Contoh :

, , ,

Matriks – matriks ini adalah matriks dasar, yang dapat diubah kebentuk matriks identitas.

− 30

01

0010

0100

1000

0001

100

010

301

100

010

001

Ada 3 tipe Notasi Operasi Baris Elementer (OBE) :1. Eij, (i ≠ j), notasi ini menunjukkan jika terjadi satu kali

operasi baris elementer dengan menukar baris i dengan j, maka matriksnya menjadi matriks identitas

(In).

2. Ei(t), (t ≠ 0), notasi ini menunjukkan OBE, jika dilakukan perkalian baris ke-i dengan t, maka matriksnya menjadi matriks identitas (In).

3. Eij (t), (i ≠ j), notasi ini menunjukkan OBE, jika penjumlahan baris ke-j dikali t dengan baris ke-i pada

matriks maka matriksnya menjadi matriks identitas (In).

Contoh 1 :

E23 = , matriks elementer ini akan menjadi

matriks Identitas (In) jika dipertukarkan baris ke–3 dengan baris ke–2.

E2(-1) = , matriks ini akan menjadi matriks

identitas jika baris ke–2 dikali dengan (-1)

E23(-1) = , matriks ini akan menjadi matriks

identitas jika baris ke–3 dikali dengan (-1) dijumlahkan dengan baris ke–2 .

010

100

001

−

100

010

001

−

100

110

001

Angka 2, menunjukkan baris ke–2 yang berubah

Contoh 2 :Misalkan A = adalah hasil kali sejumlah

matriks dasar, maka proses penyederhanaannya,

⇒ ⇒ ⇒

dengan matriks – matriks dasarnya,

,

82

31

20

31

10

01

−

=−=12

012EE 211 )(

82

31

10

31

==

212

122 0

01EE )(

−=−=

10

313EE 123 )(

Skema Penyelesaian Invers Matriks menggunakan, Operasi Baris Elementer (OBE)

Ek…E2E1 A = In A = (E1-1E2

-1…E3-1)

Anxn O1

A′nxn

O2

A′′nxn

O3

I1

E1

I1

E2

I1

I4

A-1nxn

dan seterusnya Oi =Operasi Baris Elementer (OBE)

E3E2E1A = I

A = (E3E2E1)-1I = (E1-1E2

-1 E3

-1)

− 12

01

210

01

−10

31

=

10

01

82

31

10

01

210

011

12

01−

−

−=

10

31

1

12

01−

−

=1

210

01−

1

10

31−

−

=

12

01

20

01

10

31

=

22

01

=

82

31

10

31

Contoh 3 :

Carilah matriks berukuran 3x3, di mana termuat dalam A = E3(5)E23(2)E12. dan Cari juga A-1.

Jawab :

=

=

100

001

010

100

210

001

5E

100

001

010

2E5EA 3233 )()()(

==100

201

010

00

0

100

201

010

53E

5

010

01

)(

=

500

201

010

-112233

1 E2E5EA ])()([=−

-13

-123

-112 5E2EE )]([)]([][=

)()( -132312 5E2-EE=

−=

5100

0

0

00

0

E 10

01

1

210

01

12

−

=

51

52

00

0

0

00

0

1

01

1

001

10

−=

51

52

00

001

10

−=

51

52

00

0

0

E 1

01

12

F. Metode Invers Matriks dengan OBEMisalkan matriks Anxn non singular , maka,

(a). A ekuivalent baris dengan In

(b). A merupakan hasil perkalian matrik baris elementer.

Contoh : Tunjukkan bahwa A = merupakan matriks

non singular, Carilah A-1 dan uraikan bahwa A adalah hasil perkalian matriks baris elementer.

Penyelesaian :

11

21

Bentuk matriks partisi :

[A | I2] ⇔ [I2 | A-1 ]

=

10

011IA

11

22 ][

−−

−→11

01

10

21RRR 122

−

−→11

01

10

21R1R 22 )(

−

−−→

11

21

10

01R2RR 211

Ditunjukkan bahwa, A ekuivalen I2 dan merupakan matriks non singular.

A-1 =

diketahui :

sehingga,

−

−11

21

221212 IA1E1E2E =−−− )()()(

)()()( 1E1E2EA 212121- −−−=

)()()( 2E1E1EA 12221 −=

dimana, E2(-1)-1 = )()( 111

22 EE −− =

G. Penyelesaian Sistem Persamaan Linier (SPL) dengan Metode InversJika A adalah matriks yang dapat diinvers dan berukuran nxn, maka matriks b berukuran nx1, suatu sistem persamaan Ax = b mempunyai tepat satu penyelesaian, katakanlah, x = A-1b.

Contoh :

x1 + 2x2 + 3x3 = 5

2x1 + 5x2 + 3x3 = 3

x1 + 8x3 = 10

Sehingga,

Bentuk matriks dari SPL diatas ditulis Ax = b, adalah :

dengan bentuk invers :

−−

−−

−

=−

125

3513

916401A

=81

352

321

0

A

=

3

2

1

xx

x

x,

=

1735

b,

=⇔100

010

001

801

352

321

IA ][

+

+

−−

−−←

←

101

012

001

520

310

321

133

122

R-1RR

R-2RR

)(

)(

+←

−−

−−

125

012

001

100

310

321

233 R2RR )(

←

−−−−

125

012

001

100

310

321

33 R-1R )(

+

+

−−−−←

←

125

3513

3614

100

010

021

311

322

R-3RR

R3RR

)(

)(

+−−−−←

← +

125

3513

3614

100

010

021

311

322

R-3RR

R3RR

)(

)(

−+

−−−−

−←

125

3513

91640

100

010

001

211 R2RR )(

−−

−−

−

=−

125

3513

916401A

maka ,

Jadi ,

−−−−

−−=== −

2

1

1

10

3

5

125

3513

916401bAx

Atau , x1 = 1, x2= –1 , dan x3= 2

H. Penyelesaian Kuadrat Terkecil dari suatu Persamaan Andaikan bahwa sistem persamaan AX = B, tidak konsisten,

Misalnya :

x = 1

y = 2

x + y = 3, 001

hal ini, dpat dibuat konsisten dengan mengubah ke dalam bentuk persamaan,

AtAX = AtB

Sehingga bentuk persamaan diatas menjadi :

dengan persamaan AtAX = AtB,

dan persamaan normalnya menjadi, 2x + y = 4, 001 x + 2y = 5, 001

dengan x = 1, 001 dan y = 2. 001

=

11

10

01

A

=

y

xX,

=

001,321

B,

110

101

y

x

=

001,321

110

101

11

10

01

y

x

=

001,5

001,4

21

12