Lecture-4

MATRIKS (2)

22 April 20232

Perkalian matriks dengan matriks

Perhatikan ilustrasi berikut:

Randy dan Lya ingin membelibuku dan pensil. Randy membeli3 buku dan 1 pensil. Lya membe-

li 4 buku dan 2 pensil.

39

Jika harga sebuah buku Rp500,00 dan

sebuah pensil Rp150,00;Berapa masing-masing mereka

harus membayar?

22 April 20234

Jawab: Randy = 3 x 500 + 1 x 150

= Rp1.650,00Lya = 4 x 500 + 2 x 150

= Rp2.300,00

Penyelesaian di atas dapat diselesaikan dengan perkalian matriks sebagai berikut:

22 April 20235

=

3 1

4 2

500

150

3 x 500 + 1 x 150

4 x 500 + 2 x 150

=

1650

2300

(2 x 2) (2 x 1)

(2 x 1)

kolom = baris

22 April 20236

Syarat Perkalian Matriks

Matriks A dapat dikalikan dengan matriks B

jika banyak kolom matriks A =

banyak baris matriks B

22 April 20237

Jika matriks A berordo m x n

dan matriks B berordo n x p

maka A x B = C

dengan C berordo m x p

Am x n x Bn x p = Cm x p

22 April 20238

Cara Mengalikan Matriks

misal A x B = C maka

elemen matriks C adalah penjumlahan dari hasil kali

elemen baris matriks A dengan elemen kolom matriks B

yang bersesuaian

22 April 20239

3 4

1 2

7

8

1 x 5 + 2 x 6 1 x 7 + 2 x 8

3 x 5 + 4 x 6 3 x 7 + 4 x 8

5

6

=

x

Contoh 1:

22 April 202310

1 x 5 + 2 x 6 1 x 7 + 2 x 8

3 x 5 + 4 x 6 3 x 7 + 4 x 8=

=

17 23

39 53

22 April 202311

6 8

5 7

2

4

1

3

=

x

=

26 38

30 44

Contoh 2:

5 x 1 + 7 x 3 5 x 2 + 7 x 4

6 x 1 + 8 x 3 6 x 2 + 8 x 4

22 April 202312

A =

Hitunglah: A x B dan B x A

42

13

81

52dan B =

Contoh 3:

22 April 202313

A x B =

=

=

3

2 4

-1

3

2 4

-13

2 4

-1 -2 5

1 8

3 x 5 + (-1) x 8

2 x (-2) + 4 x 1 2 x 5 + 4 x 8

3 x (-2) + (-1) x 1

-7

70 42

22 April 202314

=

B x A =3

2 4

-1-2 5

1 8

4

(-2) x (-1) + 5 x 4

1 x 3 + 8 x 2 1 x (-1) + 8 x 4

(-2) x 3 + 5 x 2

=

22

19 31

22 April 202315

kesimpulan

A x B B x A

artinya perkalian matriks

tidak bersifat komutatif

22 April 202316

3

1

b

d

b3

54

34

12

1

12

ac

c+ =

Nilai a dari persamaan matriks:

adalah….

Contoh 4:

22 April 202317

-1 d-b 3

+

4 -5-3 b =

2-4

-13

2c 1c a +1

3 d - 5-b - 3 3 + b =

2 + (-1)(a + 1)4c + (-c)

-8c + 3c -4+ 3(a + 1)

b33b

5d3

3a34c5

1-a- 2c3=

Bahasan

22 April 202318

3 = 3c c = 1

-b – 3 = -5c -b – 3 = -5

-b = -2 b = 2

3 + b = -1 + 3a 3 + 2 = -1 + 3a 5 = -1 + 3a

6 = 3a

Jadi nilai a = 2

Matriks A =

ml

k

32

4

dan B =

7

1232

lk

klm

Supaya dipenuhi A = 2Bt,

dengan Bt adalah matriks transpos

dari B maka nilai m = ….

Contoh 3:

B =

7

1232

lk

klm

berarti Bt =

712

32.2

lk

klmA = 2Bt

ml

k

32

4=

712

32

lk

klm

Bahasan

712

32.2

lk

klm

A = 2Bt

ml

k

32

4=

ml

k

32

4=

)7(2)12(2

2)32(2

lk

klm

ml

k

32

4

14224

264.

lk

klm=

m3l2

4k=

14l22k4

k2l6m4

4 = 2k k = 2

2l = 4k + 2 2l = 4.2 + 2 2l = 10 l = 53m = 2l + 14

3m = 2.5 + 14 = 24 Jadi m = 8

22 April 202323

Invers MatriksPengertian:

Jika hasil kali dua buah matriks adalah matriks identitas,

(A x B = B x A = I)maka

matriks A adalah invers matriks Batau sebaliknya

matriks B invers matriks A

22 April 202324

52

31A = dan B =

12

35

A x B =

52

31

12

35

=

-5+6 -3+3

10-10 6-5

=

10

01= I

Contoh 1

22 April 202325

52

31A = dan B =

12

35

B x A =

52

31

12

35

=

-5+6 -15+15

2-2 6-5

=

10

01= I

Contoh 2

22 April 202326

karena A x B = B x A = Iberarti

B = invers A, atau A = invers B.

Jika B = invers A dan di tulis A-1

makaA. A-1 = A-1. A = I

22 April 202327

Invers Matriks (2 x 2)

Jika A =

maka invers matriks A

adalah A-1 = ad – bc = determinan matriks A

dc

ba

bc - ad

1 d -b

-c a

22 April 202328

Jika ad – bc = 0

berartimatriks tsb tidak mempunyai invers.

Sebuah matriks yang tidakmempunyai invers disebut

matriks singular

22 April 202329

Jika A =

maka invers matriks A

adalah….

35

12

Contoh

22 April 202330

25

13

5 -6

1

3

2

-1

-5

1.5 -2.3

1A 1

25

13

Bahasan

ac

bd

bc -ad

1A 1

35

12A

22 April 202331

Sifat-sifat Invers Matriks:

(A. B)-1 = B-1. A-1

(A-1 )-1 = A

A.A-1 = A-1.A = I1.

2.

3.

22 April 202332

43

21

13

02

Contoh 1

Diketahui A =

dan B =

maka (AB)-1 adalah….

22 April 202333

AB =

43

21

-2 + 6 0 - 2

-6 + 12

13

02

0 - 4

46

24

Bahasan

22 April 202334

46

24AB

)12(16

1(AB) 1 -4

4

2

-6

46

24

4

1

11

1(AB) Jadi

21

21

1-

22 April 202335

24

13

Contoh 2

Jika invers matriks A =

maka matriks A adalah….

22 April 202336

A = (A-1 )-1

24

13A 1

4.12.3

1)(A 11 2

3-1

-4

Bahasan

34

12

2

1

22 April 202337

34

12

2

1A)(A 11

23

21

2

1A matriks Jadi

22 April 202338

Penyelesian Persamaan Matriks

Jika A, B dan M adalah matriks ordo (2x2)

dan A bukan matriks singularmaka

penyelesaian persamaan matriks ☻AM = B adalah M = A-1.B ☺MA = B adalah M = B.A-1

22 April 202339

Contoh 1

Jika A = dan B =

Tentukan matriks M berordo (2x2)

yang memenuhi: a. AM = B

b. MA = B

12

35

05

12

22 April 202340

52

31

3.2- 5.1

1A 1

52

31

52

31

1-

1

Bahasan

12

35A

22 April 202341

a.Jika AM = B

maka M = A-1.B

05

12x

52

31

5)x0(2x15)x5(2)2x(

3x01)x1(3x52)1)x((

229

117M Jadi

22 April 202342

b. Jika MA = B

maka M = B.A-1

52

31-x

05

12

155

114M Jadi

0150)5(

5)()6(22

22 April 202343

Contoh 2

Diketahui hasil kali matriks

Nilai a + b + c + d sama

dengan….

79

316x

21

34

dc

ba

22 April 202344

Bahasan

79

316x

21

34

dc

ba

79

316

41

32

38

1

dc

ba

2833616

2162732

5

1

dc

ba

2520

155

5

1

22 April 202345

2520

155

5

1

dc

ba

54

31

dc

ba

diperoleh

a = 1, b = -3, c = 4 dan d = 5

berarti

a + b + c + d = 1 – 3 + 4 + 5 = 7

Selesaikan

3 5x 2x 2x

11 x 3x x

2 3x x- 2x 2.

1- 5x 3x 5x

2 2x 4x 3x

4 x 2x x1.

31

31

31

31

31

31

2

2

2

2

2

2

5- x 2x 3x

11 x x 2x

3 3x 2x x3.

31

31

31

2

2

2

Unduh slide Perkuliahan dan Tugas di :

matematikathp@gmail.com

Password : tehapekeren