Lecture-4
MATRIKS (2)
22 April 20232
Perkalian matriks dengan matriks
Perhatikan ilustrasi berikut:
Randy dan Lya ingin membelibuku dan pensil. Randy membeli3 buku dan 1 pensil. Lya membe-
li 4 buku dan 2 pensil.
39
Jika harga sebuah buku Rp500,00 dan
sebuah pensil Rp150,00;Berapa masing-masing mereka
harus membayar?
22 April 20234
Jawab: Randy = 3 x 500 + 1 x 150
= Rp1.650,00Lya = 4 x 500 + 2 x 150
= Rp2.300,00
Penyelesaian di atas dapat diselesaikan dengan perkalian matriks sebagai berikut:
22 April 20235
=
3 1
4 2
500
150
3 x 500 + 1 x 150
4 x 500 + 2 x 150
=
1650
2300
(2 x 2) (2 x 1)
(2 x 1)
kolom = baris
22 April 20236
Syarat Perkalian Matriks
Matriks A dapat dikalikan dengan matriks B
jika banyak kolom matriks A =
banyak baris matriks B
22 April 20237
Jika matriks A berordo m x n
dan matriks B berordo n x p
maka A x B = C
dengan C berordo m x p
Am x n x Bn x p = Cm x p
22 April 20238
Cara Mengalikan Matriks
misal A x B = C maka
elemen matriks C adalah penjumlahan dari hasil kali
elemen baris matriks A dengan elemen kolom matriks B
yang bersesuaian
22 April 20239
3 4
1 2
7
8
1 x 5 + 2 x 6 1 x 7 + 2 x 8
3 x 5 + 4 x 6 3 x 7 + 4 x 8
5
6
=
x
Contoh 1:
22 April 202310
1 x 5 + 2 x 6 1 x 7 + 2 x 8
3 x 5 + 4 x 6 3 x 7 + 4 x 8=
=
17 23
39 53
22 April 202311
6 8
5 7
2
4
1
3
=
x
=
26 38
30 44
Contoh 2:
5 x 1 + 7 x 3 5 x 2 + 7 x 4
6 x 1 + 8 x 3 6 x 2 + 8 x 4
22 April 202312
A =
Hitunglah: A x B dan B x A
42
13
81
52dan B =
Contoh 3:
22 April 202313
A x B =
=
=
3
2 4
-1
3
2 4
-13
2 4
-1 -2 5
1 8
3 x 5 + (-1) x 8
2 x (-2) + 4 x 1 2 x 5 + 4 x 8
3 x (-2) + (-1) x 1
-7
70 42
22 April 202314
=
B x A =3
2 4
-1-2 5
1 8
4
(-2) x (-1) + 5 x 4
1 x 3 + 8 x 2 1 x (-1) + 8 x 4
(-2) x 3 + 5 x 2
=
22
19 31
22 April 202315
kesimpulan
A x B B x A
artinya perkalian matriks
tidak bersifat komutatif
22 April 202316
3
1
b
d
b3
54
34
12
1
12
ac
c+ =
Nilai a dari persamaan matriks:
adalah….
Contoh 4:
22 April 202317
-1 d-b 3
+
4 -5-3 b =
2-4
-13
2c 1c a +1
3 d - 5-b - 3 3 + b =
2 + (-1)(a + 1)4c + (-c)
-8c + 3c -4+ 3(a + 1)
b33b
5d3
3a34c5
1-a- 2c3=
Bahasan
22 April 202318
3 = 3c c = 1
-b – 3 = -5c -b – 3 = -5
-b = -2 b = 2
3 + b = -1 + 3a 3 + 2 = -1 + 3a 5 = -1 + 3a
6 = 3a
Jadi nilai a = 2
Matriks A =
ml
k
32
4
dan B =
7
1232
lk
klm
Supaya dipenuhi A = 2Bt,
dengan Bt adalah matriks transpos
dari B maka nilai m = ….
Contoh 3:
B =
7
1232
lk
klm
berarti Bt =
712
32.2
lk
klmA = 2Bt
ml
k
32
4=
712
32
lk
klm
Bahasan
712
32.2
lk
klm
A = 2Bt
ml
k
32
4=
ml
k
32
4=
)7(2)12(2
2)32(2
lk
klm
ml
k
32
4
14224
264.
lk
klm=
m3l2
4k=
14l22k4
k2l6m4
4 = 2k k = 2
2l = 4k + 2 2l = 4.2 + 2 2l = 10 l = 53m = 2l + 14
3m = 2.5 + 14 = 24 Jadi m = 8
22 April 202323
Invers MatriksPengertian:
Jika hasil kali dua buah matriks adalah matriks identitas,
(A x B = B x A = I)maka
matriks A adalah invers matriks Batau sebaliknya
matriks B invers matriks A
22 April 202324
52
31A = dan B =
12
35
A x B =
52
31
12
35
=
-5+6 -3+3
10-10 6-5
=
10
01= I
Contoh 1
22 April 202325
52
31A = dan B =
12
35
B x A =
52
31
12
35
=
-5+6 -15+15
2-2 6-5
=
10
01= I
Contoh 2
22 April 202326
karena A x B = B x A = Iberarti
B = invers A, atau A = invers B.
Jika B = invers A dan di tulis A-1
makaA. A-1 = A-1. A = I
22 April 202327
Invers Matriks (2 x 2)
Jika A =
maka invers matriks A
adalah A-1 = ad – bc = determinan matriks A
dc
ba
bc - ad
1 d -b
-c a
22 April 202328
Jika ad – bc = 0
berartimatriks tsb tidak mempunyai invers.
Sebuah matriks yang tidakmempunyai invers disebut
matriks singular
22 April 202329
Jika A =
maka invers matriks A
adalah….
35
12
Contoh
22 April 202330
25
13
5 -6
1
3
2
-1
-5
1.5 -2.3
1A 1
25
13
Bahasan
ac
bd
bc -ad
1A 1
35
12A
22 April 202331
Sifat-sifat Invers Matriks:
(A. B)-1 = B-1. A-1
(A-1 )-1 = A
A.A-1 = A-1.A = I1.
2.
3.
22 April 202332
43
21
13
02
Contoh 1
Diketahui A =
dan B =
maka (AB)-1 adalah….
22 April 202333
AB =
43
21
-2 + 6 0 - 2
-6 + 12
13
02
0 - 4
46
24
Bahasan
22 April 202334
46
24AB
)12(16
1(AB) 1 -4
4
2
-6
46
24
4
1
11
1(AB) Jadi
21
21
1-
22 April 202335
24
13
Contoh 2
Jika invers matriks A =
maka matriks A adalah….
22 April 202336
A = (A-1 )-1
24
13A 1
4.12.3
1)(A 11 2
3-1
-4
Bahasan
34
12
2
1
22 April 202337
34
12
2
1A)(A 11
23
21
2
1A matriks Jadi
22 April 202338
Penyelesian Persamaan Matriks
Jika A, B dan M adalah matriks ordo (2x2)
dan A bukan matriks singularmaka
penyelesaian persamaan matriks ☻AM = B adalah M = A-1.B ☺MA = B adalah M = B.A-1
22 April 202339
Contoh 1
Jika A = dan B =
Tentukan matriks M berordo (2x2)
yang memenuhi: a. AM = B
b. MA = B
12
35
05
12
22 April 202340
52
31
3.2- 5.1
1A 1
52
31
52
31
1-
1
Bahasan
12
35A
22 April 202341
a.Jika AM = B
maka M = A-1.B
05
12x
52
31
5)x0(2x15)x5(2)2x(
3x01)x1(3x52)1)x((
229
117M Jadi
22 April 202342
b. Jika MA = B
maka M = B.A-1
52
31-x
05
12
155
114M Jadi
0150)5(
5)()6(22
22 April 202343
Contoh 2
Diketahui hasil kali matriks
Nilai a + b + c + d sama
dengan….
79
316x
21
34
dc
ba
22 April 202344
Bahasan
79
316x
21
34
dc
ba
79
316
41
32
38
1
dc
ba
2833616
2162732
5
1
dc
ba
2520
155
5
1
22 April 202345
2520
155
5
1
dc
ba
54
31
dc
ba
diperoleh
a = 1, b = -3, c = 4 dan d = 5
berarti
a + b + c + d = 1 – 3 + 4 + 5 = 7
Selesaikan
3 5x 2x 2x
11 x 3x x
2 3x x- 2x 2.
1- 5x 3x 5x
2 2x 4x 3x
4 x 2x x1.
31
31
31
31
31
31
2
2
2
2
2
2
5- x 2x 3x
11 x x 2x
3 3x 2x x3.
31
31
31
2
2
2