Tutorial 3 Statistika Ekonomi 123 September 2012

Zulfikar Yurnaidippt prepared by Fadia Dewanda

Menjelaskan konsep probabilitasMenjelaskan konsep probabilitas

Menghitung dengan menggunakan konsepMenghitung dengan menggunakan konsep probabiitas

Menghitung dengan menggunakan konsep kombinasi peristiwa mutually exlcusive (saling asing), non mutually exclusive (saling tindih), dependent (gayut), dan independent (tak gayut)

M l j i t t b bMempelajari tentang percobaan-percobaanyang sifatnya acak (atau tak tentu). Digunakan dalam menarik kesimpulan darisuatu percobaan yang memuat suatu kejadiansuatu percobaan yang memuat suatu kejadianyang tidak pasti. Yaitu suatu percobaan yang diulang-ulangdalam kondisi yang sama akan memberikany ghasil yang berbeda-beda.

Probabilitas Sederhana

Probabilitas adalah proporsi dalam jangkaProbabilitas adalah proporsi dalam jangka panjang

NnE i

ni lim)Pr(

∞→

=n ∞→

Pr= ProbabilitasEi= Peristiwa hasil percobaan yang diharapkanni = Cacah Ei yang muncul dari percobaan (frekuensi)y g pN= Banyaknya percobaan, secara teoretis adalah tak berhingga

Suatu eksperimen dengan N jenisSuatu eksperimen dengan N jenis kemungkinan peristiwa yang diperoleh yaitu (e1 e2 e3 eN)(e1, e2, e3,... eN). Frekuensi relatif (ni/N) bernilai positif.

J l h b bilit d i k ki

10 ≤≤Nni 1)Pr(0 ≤≤ iE

Jumlah probabilitas dari semua kemungkinan peristiwa adalah 1.

1...321 =+++Nn

Nn

Nn

Nn N 1)Pr(...)Pr()Pr( 21 =++ NEEE

NNNN

Ruang sampel: Himpunan dari seluruhRuang sampel: Himpunan dari seluruh kemungkinan peristiwa yang dapat terjadi pada suatu percobaan Pr (S)=1pada suatu percobaan. Pr (S)=1

Himpunan kosong: Himpunan yang diHimpunan kosong: Himpunan yang di dalamnya memuat tidak muncul peristiwa apa pun dari suatu percobaan Pr (ɸ)=0pun dari suatu percobaan. Pr (ɸ)=0

Suatu peristiwa E terjadi sebanyak h kali dariSuatu peristiwa E terjadi sebanyak h kali dari total percobaan n. Periswa E disebut ‘sukses’:

h)(

P b bilit i ti E tid k t j di (di b tnhEp == )Pr(

Probabilitas peristiwa E tidak terjadi (disebut ‘gagal’):

1)Pr( hEq ==

)Pr(11

1)Pr(

Epqn

Eq

−=−=

−==

Peristiwa E tidak terjadi, disebut juga peristiwa komplementer dari E (Ec)

Peristiwa pelemparan dua buah daduPeristiwa pelemparan dua buah dadu, memiliki ruang sampel berikut:

(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6)⎧ ⎫(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6)(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6)(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6)

S

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬(4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6)(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6)

S = ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪(6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)⎪ ⎪⎩ ⎭

Banyaknya seluruh peristiwa: N=36

A = Kejadian munculnya jumlah ttk 7{ }1 6 2 5 3 4 4 3 5 2 6 1 6( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ) n(A)= → =

B = Kejadian munculnya kedua titik sama{ }11 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 6( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ) n(B)= → =

C = Kejadian munculnya jumlah titik 11

{ }5 6 6 5 2( ) ( ) n(C)= → =

Diperoleh:{ }5 6 6 5 2( , ),( , ) n(C)= → =

6 1 6 136 6 36 6

n(A) n(B)P(A) ; P(B) ;(S) (S)

= = = = = =36 6 36 6

2 136 18

( ) ; ( ) ;n(S) n(S)

n(C)dan P(C)n(S)

= = =36 18n(S)

10

Probabilitas dengan Dua atau Lebih PeristiwaLebih Peristiwa

Mutually exclusive atau disjoint (saling asing):Mutually exclusive atau disjoint (saling asing): Kedua atau lebih peristiwa tidak dapat terjadi bersama-sama.◦ Contoh: Kemunculan sisi ‘angka’ atau ‘gambar’

pada uang logam

Non exclusive atau joint (saling tindih): Kedua atau lebih peristiwa dapat terjadi bersamaatau lebih peristiwa dapat terjadi bersama-sama.◦ Contoh: Menarik 1 kartu ‘AS’, bisa juga berarti 1Contoh: Menarik 1 kartu AS , bisa juga berarti 1

kartu ‘hati’

Hukum penambahan digunakan untukHukum penambahan digunakan untuk menentukan probabilitas satu peristiwa dan peristiwa lain yang terjadi pada satu observasiperistiwa lain yang terjadi pada satu observasi. Disebut union A dan B.

Jika kedua peristiwa tsb

)()( BPAP ∪

A BJika kedua peristiwa tsb mutually exclusive

A B

)()()()( BPAPBPAP +=∪

Jika kedua peristiwa tsb non exclusiveJika kedua peristiwa tsb non exclusive, terdapat irisan atau interseksi antara peristiwa A dan B: BAperistiwa A dan B:

)()( BPAP ∩

BA∩

)()( BPAP ∩A BA B

Sehingga, rumus umum penjumlahannya j dimenjadi:

)()()()()( BAPBPAPBPAP ∩+=∪ )()()()()( BAPBPAPBPAP ∩−+=∪

Untuk tiga buah peristiwa A B C berikut iniUntuk tiga buah peristiwa A, B, C, berikut ini adalah aturan penambahannya:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

P A B C P A P B P C P A B P A C P B CP A B C

∪ ∪ = + + − ∩ − ∩ − ∩+ ∩ ∩

A AA B

AC

Bila probabilitas seseorang membeli mobilBila probabilitas seseorang membeli mobilwarna hijau 0,09, putih 0,15, merah 0,21 danbi 0 23 B b bilitbiru 0,23. Berapa probabilitas seseorangpembeli akan membeli mobil baru sepertisalah satu dari warna tersebut?

Misalnya H hijau T putih M merah dan B biru

( ) ( ) ( ) ( ) ( )P H T M B P H P T P M P B∪ ∪ ∪ = + + +

Misalnya H= hijau, T=putih, M=merah dan B=biru

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0.09 0.15 0.21 0.230 68

= + + +0.68=

Contoh:P b bilit h i l l t k li h St ti tik 2/3Probabilitas seseorang mahasiswa lulus matakuliah Statistika 2/3

dan probabilitas lulus matakuliah matematika 4/9. Jika probabilitas

lulus kedua matakuliah 1/4, maka tentukan probabilitas mahasiswa

akan lulus paling sedikit satu mata kuliah?

A = himpunan mahasiswa yang lulus matakuliah statistika, 2 3P(A) /→ =

B = himpunan mahasiswa yang lulus matakuliah matematika,

himpunan mahasiswa yang lulus kedua matakuliah4 9P(B) /→ =

A B∩ = 1 4P(A B) /→ ∩ =

Maka peluang mahasiswa akan lulus paling sedikit satu mata kuliah adalah

P(A B) P(A) P(B) P(A B)∪ = + − ∩

312 4 1

( ) ( ) ( ) ( )P(A) P(B) P(A B)= + − ∩

17

312 4 13 9 4 36= + − =

Contoh:Berapakah peluang untuk mendapatkan jumlah titik dadu yangBerapakah peluang untuk mendapatkan jumlah titik dadu yang

muncul 7 atau 11 jika dua buah dadu dilemparkan?

Misal:1

A = Kejadian munculnya jumlah titik 7

B = Kejadian munculnya jumlah titik 11

166

n(A) ; P(A)→ = =1218

n(B) ; P(B)→ = =

Kejadian munculnya jumlah titik dadu 7 atau 11

Karena A dan B saling asing, atau , sehingga

18∪ =A B

φ∩ =A B 0( )∩ =P A B

Jadi untuk mendapatkan jumlah titik dadu yang muncul 7 atau 11

adalah P(A B) P(A) P(B)∪ = +1 16 18

P(A B) P(A) P(B)∪ = +

= +

18

29=

Contoh:Probabilitas seorang montir mobil akan memperbaiki mobil setiap

hari kerja adalah 3 4 5 6 7 atau 8 lebih dengan probabilitas 0 12;hari kerja adalah 3, 4, 5, 6, 7, atau 8 lebih dengan probabilitas 0,12;

0,19; 0,28; 0,24; 0,10; dan 0,07. Berapa probabilitas bahwa seorang

montir mobil akan memperbaiki paling sedikit 5 mobil pada harimontir mobil akan memperbaiki paling sedikit 5 mobil pada hari

kerja berikutnya?

Misal E = kejadian bahwa paling sedikit ada 5 mobil yang diperbaiki

kejadian kurang dari 5 mobil yang diperbaikicE = kejadian kurang dari 5 mobil yang diperbaiki

Sehingga ; dimana

E

( ) 1 ( )cP E P E= − 0 12 0 19 0 31cP(E ) , , ,= + =

Jadi1 1 0 31 0 69cP(E) P(E ) , ,= − = − =

19

( ) ( ) , ,

Contoh:Dua buah barang dipilih secara acak dari 12 barang diantaranya ada 4Dua buah barang dipilih secara acak dari 12 barang diantaranya ada 4

barang berkondisi cacat (rusaK). Tentukan probailitas bahwa:

(a). kedua barang tersebut cacat(a). kedua barang tersebut cacat

(b). kedua barang berkondisi baik

(c). paling sedikit satu barang cacat( ) p g g

Jawab: Banyaknya cara untuk memilih 2 barang dari 12 barang = n(S)Banyaknya cara untuk memilih 2 barang dari 12 barang = n(S)

12 12 662 12 2

!n(S)! ( )!

⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎜ ⎟

Dimisalkan : A = kejadian terpilihnya kedua barang cacat

B= kejadian terpilihnya kedua barang baik

2 12 22( )

! ( )!⎜ ⎟ −⎝ ⎠

j p y gMaka

4 4 6!n(A)⎛ ⎞

= = =⎜ ⎟

8 8 282 8 22

!n(B)!( )!

⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎜ ⎟

20

62 4 22

n(A)!( )!

= = =⎜ ⎟⎜ ⎟ −⎝ ⎠

2 8 22 !( )!⎜ ⎟ −⎝ ⎠

a). Probabilitas untuk mendapatkan kedua barang cacat = 666

n(A)P(A)n(S)

= =

b). Probabilitas untuk mendapatkan kedua barang baik = 2866

n(B)P(B)n(S)

= =

c). Misalkan; = probabilitas terpilihnya 0- barang yang cacat

= probabilitas terpilihnya 1- barang yang cacat0P( )

1P( )= probabilitas terpilihnya 2- barang yang cacat2P( )

0 1 2 1P(S) P( ) P( ) P( )= + + =( ) ( ) ( ) ( )

28066

P( ) P(B)= =

Probabilitas paling sedikit ada satu barang cacat = Probabilitas (1-barang

yang cacat , 2- barang yang cacat) = P(1) + P(2) = 28 381 0 1P( )− = − =y g , g y g ) ( ) ( )

Jadi probabilitas paling sedikit ada satu barang cacat adalah

1 0 166 66

P( )

3866

=

21

66

Dua peristiwa dikatakan independent jikaDua peristiwa dikatakan independent jika kejadian atau ketidakjadiannya tidak berpengaruh pada peristiwa lainberpengaruh pada peristiwa lain.◦ Contoh: Hasil pelemparan dadu yang pertama tidak

berpengaruh pada hasil pelemparan selanjutnya.p g p p p j y

Dikatakan dependent jika peristiwa yang satuDikatakan dependent jika peristiwa yang satu berpengaruh terhadap peristiwa yang lain.◦ Contoh: Probabilitas penarikan kartu AS yang p y g

pertama, lebih besar dari penarikan kartu selanjutnya

Terdapat dependensi pada peristiwa A dan BTerdapat dependensi pada peristiwa A dan B.Simbol P(B|A) menggambarkan probabilitas peristiwa B dengan asumsi peristiwa A telahperistiwa B dengan asumsi peristiwa A telah betul-betul terjadi.

BA∩ )|( )()(= ∩ABP AP

BAP

A BA B 0)( >AP )(

Contoh:Ruang sampel menyatakan populasi orang dewasa yang telah

tamat SMU di suatu kota tertentu dikelompokan menurut jenis

kelamin dan status bekerja seperti dalam tabel berikut:

Bekerja Tdk bekerja JumlahBekerja Tdk bekerja Jumlah

Laki‐lakiWanita

460140

40260

500400

600 300 900

Berapa probabilitas lelaki yang terpilih ternyata berstatus

600 300 900

Berapa probabilitas lelaki yang terpilih ternyata berstatus

bekerja?

24

Mi lk E O t ilih b t t b k jMisalkan ; E = Orang yang terpilih berstatus bekeja

M = Lelaki yang terpilih

Dari tabel diperoleh: dan600 2900 3P(E) = = 460 23

900 45P(M E)∩ = =

Probabilitas lelaki yang terpilih ternyata berstatus bekerja adalah

)|( )()(= ∩EMP EP

EMP

23)|( 3/245/23 ==EMP

30)|( 3/2

25

Perkalian untuk peristiwa independent:Perkalian untuk peristiwa independent:

)()()( BPAPBAP ⋅=∩

◦ Contoh: Sebuah koin dilempar dua kali probabilitas

)()()(

◦ Contoh: Sebuah koin dilempar dua kali, probabilitas keduanya menghasilkan gambar yaitu P(G) dan angka P(A)g

4/12/12/1)()()( =×=⋅=∩ GPAPGAP

Perkalian untuk peristiwa dependent:

)|()()()|()()(

BAPBPABPABPAPBAP

⋅=∩⋅=∩

Contoh: Terdapat satu kotak berisi 10 topi, 8 buah berwarna merah 2 berwarna biru Dari kotak

)|()()( BAPBPABP ∩

berwarna merah, 2 berwarna biru. Dari kotak, diambil 2 topi secara berurutan dan acak tanpa pengembalian. Kemungkinan pengambilan p g g p gberwarna sama:

)|()()( ⋅=∩ XXPXPXXP45/289/710/8

)|()()( 12121

=×==∩ XXPXPXXP

Contoh: D l b h k t k t d t 7 b l h d 5 b l tih jikDalam sebuah kotak terdapat 7 bola merah dan 5 bola putih, jika

a. Sebuah bola diambil dari kotak tersebut diamati warnanya

kemudian dikembalikan lagi kedalam kotak, dan diulangi cara

pengambilannya. Maka tentukan probabilitas bahwa dalam

pengambilan akan didapat 2 bola putih.

b. Dalam pengambilan pertama setelah diamati bola tidak

dikembalikan dan diulangi cara pengambilannya. Maka tentukan

probabilitas bahwa dalam pengambilan pertama diperoleh bola

merah dan yang kedua bola putih

Jawab: 1 J

7M, 5P

12 ( )12 12 12!( )⎛ ⎞

= = =⎜ ⎟⎜ ⎟

n S

28

12 ( )12

1 12 11( )

! !⎜ ⎟⎜ ⎟ −⎝ ⎠

n S

a). Misalnya: A = kejadian pengambilan I diperoleh bola putih

B = kejadian pengambilan II diperoleh bola putihB kejadian pengambilan II diperoleh bola putih

maka ; dan5 55121

n(A) P(A)⎛ ⎞

= = → =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

5 55121

n(B) P(B)⎛ ⎞

= = → =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

A dan B adalah kejadian-kejadian yang bebas, jadi probabilitas

bahwa dalam pengambilan akan diperoleh 2 bolam berwarna putih :

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

p g p p

5 5 2512 12 144

P(A B) P(A) P(B) ( ) ( )∩ = = =

b). Misal: C = pengambilan I diperoleh bola merah, dan D =

pengambilan II diperoleh bola putih, makap g p p

dan7 77

121n(C) P(C)

⎛ ⎞= = → =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

5 55111

n(D / C) P(D / C)⎛ ⎞

= = → =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Probabiliats pengambilan I merah dan pengambilan II putih = 1⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( ) 7 5 35DP(C D) P(C) P ( ) ( )∩

29

( ) 12 11 132DP(C D) P(C) P ( ) ( )C∩ = = =

Tabel probabilitas patungan adalah suatuTabel probabilitas patungan adalah suatu tabel yang kolomnya menunjukkan peristiwa dari variabel ke satu sedangkan barisnyadari variabel ke satu, sedangkan barisnya menunjukkan semua kemungkinan peristiwa dari variabel kedua.dari variabel kedua.

cEA

E A∩ cE A∩

cEA

E A∩

Misal: E = Orang yang terpilih berstatus bekeja

A = Orang yang terpilih anggota koperasi

Dari tabel diperoleh: 600 2600 2900 3P(E) = =

131cP(E ) P(E)= − = 3( ) ( )

36 3600 50P(A E) = =

12 1300 25

cP(A E ) = =

Jadi peluang orang yang terpilih anggota koperasi adalahJadi peluang orang yang terpilih anggota koperasi adalah

c cP(A) P(E)P(A E) P(E )P(A E )= +32 1 1

3 50 3 25475

( ) ( ) ( ) ( )= +

=

31

75

Contoh:Contoh:

Ruang sampel menyatakan populasi orang dewasa yang telah tamat

SMU di suatu kota tertentu dikelompokan menurut jenis kelamin

dan status bekerja:Bekerja Tdk bekerja Jumlah

Laki‐lakii

4600

40260

50000

k d l h b d k k h b h d 36

Wanita 140 260 400600 300 900

Akan dipilih 1 orang sebagai duta kota. Diketahui bahwa ada 36

orang yang berstatus bekerja dan 12 orang berstatus menganggur

adalah anggota koperasi. Berapa peluang orang yang terpilih

ternyata anggota koperasi?

32

Jika ada kemungkinan n peristiwa lalu akanJika ada kemungkinan n peristiwa, lalu akan diamati r peristiwa saja. Banyaknya kemungkinan susuan peristiwa di dalam rkemungkinan susuan peristiwa di dalam r yang diambil dari n:

)1)(1)(()...2)(1(

rnrnrnnnnPrn−−

=

!)...1)(1)((

nP

rnrnrn −−−−−

)!( rnPrn −=

Bila suatu peristiwa dapat terjadi melaluiBila suatu peristiwa dapat terjadi melalui salah satu dari n1 cara, dan bersamaan dengan itu peristiwa lain dapat juga terjadi g p p j g jmelalui n2 cara, maka banyaknya cara di mana kedua peristiwa itu dapat terjadi b d l h b kbersama-sama adalah sebanyak n1.n2

C t h T d t 5 k b j iContoh: Terdapat 5 merk baju, masing-masing memiliki 3 warna dan 3 ukuran. Banyaknya alternatif pilihan:Banyaknya alternatif pilihan:n1.n2.n3 = 5x3x3=45 kemungkinan

Banyaknya permutasi dari satu set huruf F GBanyaknya permutasi dari satu set huruf F, G, H, I, J jika diambil hanya 3 huruf:

12345!5!5 601212345

!2!5

)!35(!5

35 =⋅

⋅⋅⋅⋅==

−=P

Banyaknya permutasi dari susunan huruf UNIVERSITAS

)(

UNIVERSITAS:

1234567891011!11)12)(12(

1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11!1!1!2!1!1!1!2!1!1

!11⋅⋅

=

Banyaknya permutasi dari n objek yang terdiriBanyaknya permutasi dari n objek yang terdiri atas kelompok-kelompok objek n1 yang sejenis n2 yang sejenis dst:sejenis, n2 yang sejenis, dst:

!n!!...!! 321 knnnn

Dimana n=n1+n2+n3+... nk

Memiliki kemiripan dengan permutasi tetapiMemiliki kemiripan dengan permutasi, tetapi urutan susunan tidak diperhatikan, artinya susunan (A dan B) tidak berbeda dengan (Bsusunan (A dan B) tidak berbeda dengan (B dan A)

)!(!!

rnrnCrn −

=)!(! rnr

Banyaknya kombinasi dari 5 buah buku yangBanyaknya kombinasi dari 5 buah buku yang berbeda judul (misalkan A, B, C, D, E), jika hanya diambil 2 buah buku saja:hanya diambil 2 buah buku saja:

101231212345

!3!2!5

)!25(!2!5

25 =⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

==−

=C12312!3!2)!25(!2 ⋅⋅⋅⋅

Modul Statistika 1 Universitas TerbukaSlid t t i l I K tiSlide tutorial Iwa Kartiwa