Pertemuan 9

Komputer Grafik I Made Widiarta, S.Komp

Pertemuan 9

2014/2015

TRANSFORMASI GEOMETRI

Sub Topik

2

Definisi :

Pemindahan objek (titik, garis, bidang

datar) pada bidang.

Perubahan yang (mungkin) terjadi:

• Kedudukan / letak

• Arah

• Ukuran

3

Jenis-jenis Transformasi

Geometri • Pergeseran tanpa merubah

bentuk(Translasi)

• Pencerminan (Refleksi)

• Pemutaran (Rotasi)

• Perkalian bangun/penskalaan (Dilatasi)

• Pergeseran merubah bentuk(shear)

4

Translasi

• Suatu titik atau sistem mengalami pergeseran namun

tidak merubah bentuk, karena setiap titik penyusun

sistem mengalami pergeseran yang sama.

• Contoh : Sebuah titik P(x,y)

ditranslasikan sejauh

a satuan sepanjang

sumbu x dan y satuan

sepanjang sumbu y,

diperoleh peta titik P’(x’,y’).

P(x,y)

O

Y

a

b T=

a

b

X

P’(x’,y’)

x

y

x’

y’

= P’(x+a,y+b)

5

P(x,y)

P’(x’,y’)

dx

dy

x’ = x + dx y’ = y + dy

Model Matrik:

dy

dx

y

x

y

x

'

'

Translasi dari titik P ke titik P’ secara linier

6

• Sebuah buku yang terletak di atas meja digeser

sejauh h, maka setiap titik yang menyusun buku

tersebut harus bergeser sejauh h juga.

Buku bergeser dalam satu arah yaitu arah x

positif 7

• Bagaimana jika buku digeser ke arah x

dan y sekaligus ?

8

• Penulisan proses translasi titik A menjadi titik M,

dan titik B menjadi titik N dengan

Th

s

adalah

:

A( , ) M( , )a c a h c s

Th

s

B( , ) N( , )b c b h c s

Th

s

9

Contoh soal :

Tentukan bayangan dari lingkaran (x – 2)2 + (y – 1)2 = 9 jika

ditranslasikan oleh :

Jawab :

Misalkan titik P(a,b) adalah titik pada lingkaran, sehingga

persamaan dapat ditulis : (a – 2)2 + (b – 1)2 = 9.

Titik P ditranslasi dengan

3T

4

3T

4

diperoleh titik T’ sbb :

P( , ) P'( 3, 4)a b a b

3T

4

10

Maka : a’ = a + 3 dan b’ = b + 3

Substitusi ke persamaan :

(a’ – 3– 2)2 + (b’ – 4– 1)2 = 9

(a’ – 5)2 + (b’ – 5)2 = 9

Jadi bayangan lingkaran : (x – 5)2 + (y – 5)2 = 9

Cara lain :

Persamaan lingkaran mempunyai pusat (2,1). Dengan

dilakukan translasi pusat lingkaran diperoleh :

Jadi bayangan lingkaran : (x – 5)2 + (y – 5)2 = 9

a = a’ – 3 dan b = b’ – 3

O(2,1) O'(2 3,1 4) O'(5,5)

3T

4

11

Pencerminan (refleksi)

• Transformasi pencerminan /refleksi

menghasilkan bayangan yang tergantung pada

acuannya.

12

• Refleksi terhadap sumbu x

Refleksi titik A (a, c) terhadap sumbu x

menghasilkan bayangan yaitu A’(a’, c’),

demikian juga untuk titik B dan titik C.

Diperoleh persamaan bahwa : a’ = a,

b’ = b, c’= -c dan seterusnya

sehingga persamaan matrik

transformasinya adalah :

1 0

0 -1xT

Dengan notasi matrik :

Refleksi ditulis dengan notasI :

A(a,c) A’(a, -c) sumbu x

1 0

0 -1x

x x xT

y y y

13

Sama seperti refleksi terhadap sumbu x

menghasilkan persamaan a’= - a, b’ = -

b dan c’ = c dan seterusnya. sehingga

persamaan matrik transformasinya

adalah :


A(a,c) A’(-a, c) sumbu y


-1 0

0 1y

x x xT

y y y

•Refleksi terhadap sumbu y

-1 0

0 1yT

14

• Refleksi terhadap titik asal (0,0)

Menghasilkan persamaan :

a’= - a, dan c’ = -c,

b’= - b, dan c’ = -c,

d’= - d, dan c’ = -c,



(0,0)

-1 0

0 -1T


A(a,c) A’(-a,-c) titik(0,0)

(0,0)

-1 0

0 -1

x x xT

y y y

Dengan notasi matrik : 15

• Refleksi terhadap garis y = x


a’= c, dan c’ = a,

b’= c, dan c’’ = b,

d’= e, dan e’ = d dan seterusnya



0 1

1 0y xT


A(a,c) A’(c,a) y = x

0 1

1 0y x

x x xT

y y y


16

• Refleksi terhadap garis y = - x


a’= -c, dan c’ = -a,

b’= -c, dan c’’ = -b,

d’= -e, dan e’ = -d dan seterusnya,



0 -1

-1 0y xT


A(a,c) A’(-c,-a) y =- x

0 -1

-1 0y x

x x xT

y y y


17

• Refleksi terhadap garis y = h

Sumbu x digeser sejauh h,

menghasilkan persamaan :

a’= a, dan c’ = 2h-c,

b’= b, dan c’ = 2h-c,

d’= d, dan e’ = 2h-e,

sehingga notasi persamaan

matrik transformasinya adalah :

1 0 0

0 -1 2

x x

y y h

18

Bukti :

Sumbu-x dipindahkan sejauh h sehingga sumbu-x yang baru adalah y

= h. Maka koefisien setiap titik berubah menjadi (x’, y’) dengan :

Kemudian titik tersebut direfleksikan pada sumbu-x yang baru menjadi :

Tahap terakhir, menggeser sumbu-x yang baru ke sumbu-x semula

dengan memakai translasi diperoleh:

0 x x x

y y h y h

1 0

0 -1

x x x

y y h y h

0

2

0 1 0 0

- 2 0 -1 2

x x x

y y h h y h

x x

y h y h

19

• Refleksi terhadap garis x = k

Sekarang yang digeser adalah

sumbu y sejauh k, menghasilkan

persamaan :

a’= 2k-a, dan c’ = c,

b’= 2k-b, dan c’ = c,

d’= 2k-d, dan e’ = e,

sehingga notasinya adalah :

A(a,c) A’(2k-a,c) x=k

-1 0 2

0 1 0

x x k

y y


20

Contoh Soal :

Tentukan bayangan jajaran-genjang ABCD dengan titik

sudut A(-2,4), B(0,-5) C(3,2) dan D(1,11) jika direfleksikan

terhadap sumbu-x, kemudian dilanjutkan dengan refleksi

terhadap sumbu-y.

Jawab :

Penyelesaian soal tersebut dilakukan dengan dua tahap

yaitu mencari bayangan jajaran-genjang ABCD dari

refleksi terhadap sumbu-x, kemudian bayangan yang

terjadi direfleksikan terhadap sumbu-y.

21

Refleksi terhadap sumbu-x adalah sebagai berikut

:

22

Selanjutnya titik A’, B’, C’ dan D’ direfleksikan pada sb-y

23

Hasil akhir diperoleh jajaran-genjang A’’B’’C’’D’’ dengan

titik sudut A’’(2,-4), B’’(0,5), C’’(-3,-2) dan D’’(-1,-11).

Coba pikirkan :

Bagaimana cara mendapatkan matrik transformasi pada

suatu sistem yang mengalami refleksi lebih dari satu kali

tetapi penyelesaiannya hanya dengan mengunakan satu

tahap saja ?

24

Perputaran (rotasi)

• Rotasi adalah perpindahan obyek dari titik P ke titik P’, dengan cara diputar dengan sudut

x

y

P(x,y)

P’(x’,y’)

x’ = x cos() - y sin() y’ = x sin() + y cos()

25

• Untuk memudahkan perhitungan, maka dibuat

notasi dalam bentuk matrik :

dengan :

- sin θ dan cos θ adalah fungsi linier dari θ

- x’ kombinasi linier dari x dan y

- y’ kombinasi linier dari x dan y

cos -sin

sin cos

x x

y y

26

Bukti :

Titik A berpindah ke titik A’ sejauh α.

Dalam koordinat kutub, titik A(a,b) ditulis : A(r cos θ, r sin θ).

Sedangkan A’(a’,b’) ditulis : A’(r cos (θ + α), r sin (θ + α)).

Maka, diperoleh :

Matrik transformasi

untuk titik yang dirotasi

terhadap titik pusat O (0,0)

27

Penskalaan (dilatasi)

• Merupakan transformasi suatu titik atau sistem terhadap

suatu acuan yang menyebabkan jarak titik atau sistem

berubah dengan perbandingan tertentu.

(Perpindahan titik P ke titik P’ dengan jarak titik P’

sebesar m kali titik P)

x

y

P(x,y)

P’(x’,y’)

mx.x

my.y

x’ = mx x y’ = my y

28

• Dalam bentuk matrik dituliskan :

• Transformasi ini tidak mengalami perubahan

bentuk, hanya mengalami perubahan ukuran

karena jarak titik-titik penyusun berubah dengan

perbandingan tertentu terhadap acuan.

0

0

x

y

mx x

my y

29

• Dikenal suatu istilah faktor dilatasi k yang menyebabkan

perbesaran atau perkecilan suatu sistem.

• Jika nilai k (bilangan nyata):

k> 1 : hasil dilatasi diperbesar

-1<k<1 : hasil dilatasi diperkecil

k = 1 : hasil dilatasi sama dengan aslinya.

• Contoh :

Gambar disamping

dilakukan dilatasi

dengan faktor k = 2.

Carilah titik-titik A’, B’ C’

dan D’ !

30

Jawab :

Transformasi dapat dilakukan dengan :

Jadi hasil dilatasi

terhadap titik O(0,0):

A’(4,6), B’(10,6)

C’(12,10), D’ (6,10)

Notasi :

A(a,b) A’(ka,kb) (0,k)

31

Shear

• Pergeseran pada suatu sistem dengan terjadinya

perubahan bentuk disebut transformasi shear.

• Biasanya digunakan dalam memanipulasi grafik pada

komputer. Untuk memberi kesan lain pada obyek jika

dilihat dari sudut pandang berbeda.

• Ada dua macam transformasi shear yaitu shear terhadap

sumbu-x dan shear terhadap sumbu-y

32

• Shear terhadap sumbu-x

Perubahan terjadi pada absis titik-titik pada ujung sistem

yang tidak terletak pada sumbu-x dengan faktor shear k

(k : bilangan nyata)

33

• Shear terhadap sumbu-y

Perubahan terjadi pada absis titik-titik pada ujung sistem

yang tidak terletak pada sumbu-y dengan faktor shear k

(k : bilangan nyata)

35

Contoh soal :

Tentukan titik koordinat bayangan dari sebuah bangun

segitiga ABC dengan A(2,0), B(6,0), C(0,4) jika segitiga

tersebut di shear terhadap sumbu-x dengan faktor shear

k=3 serta sketsakan bayangan yang terbentuk.

Jawab :

Sketsa bayangan :

37

Komposisi Transformasi

• Komposisi transformasi adalah menggabungkan

beberapa tranformasi, sehingga dapat

menghasilkan bentuk transformasi yang lebih

kompleks

• Dapat dilakukan 3 transformasi dalam sebuah

matrik tunggal :

- operasi yang dilakukan adalah perkalian matrik

- ketika mentransformasikan suatu titik, tidak

ada penangan khusus : matrik . Vektor

- transformasi gabungan : matrik . matrik

39

• Macam komposisi transformasi :

Rotasi sebagai titik perubahan :

Translasi – Rotasi – Translasi

Skala sebagai titik perubahan :

Translasi – Skala – Translasi

Perubahan sistem koordinat :

Translasi – Rotasi – Skala

40

Latihan :

1. Jika titik (a,b) direfleksikan terhadap sumbu-y, kemudian

dilanjutkan dengan transformasi sesuai matrik

menghasilkan titik (1, -8).

Tentukan nilai a dan b.

2. Tentukan matrik yang bersesuaian dengan dilatasi pusat

(0,0) dan faktor skala 3 dilanjutkan dengan refleksi

terhadap garis y = x.

3. Buktikan bahwa :

merupakan matrik transformasi untuk titik yang dirotasi

terhadap titik P(m,n)

-2 1

1 2

46

KUIS

47

Soal

1. Sebutkan jenis-jenis transformasi

geometri!

2. Apa yang dimaksud dengan translasi?

3. Apa yang dimaksud dengan dilatasi?

4. Apa yang dimaksud dengan shear?

48

Terima Kasih

Pertemuan 9

Documents

Transcript of Pertemuan 9