Kalkulus Peubah Banyak

Turunan parsial dua variabel 1

Pertemuan 2

Turunan Parsial Fungsi Dua Variabel

2.1 Turunan Parsial Orde Satu

Jika f fungsi dua variable (x dan y) maka:

(i) Turunan parsial f terhadap x, dinotasikan dengan

atau didefinisikan sebagai

(ii) Turunan parsial f terhadap y, dinotasikan dengan

atau didefinisikan sebagai

Contoh:

Tentukan turunan parsial terhadap x dan turunan parsial terhadap y fungsi yang dirumuskan

dengan .

Kemudian tentukan turunan parsial f terhadap x dan turunan parsial f terhadap y di titik (-1,4)

Jawab:

Turunan parsial f terhadap x :

Kalkulus Peubah Banyak

Turunan parsial dua variabel 2

Turunan parsial f terhadap y :

Sehingga turunan parsial f terhadap x di titik (-1,4) adalah = 2(-1)(4) = -8 dan turunan parsial f

terhadap y di titik (-1,4) adalah =

Untuk memudahkan menentukan turunan parsial dari fungsi dua variable f (x,y) maka dapat

dilakukan hal berikut. Apabila fungsi f diturunkan terhadap variable x maka y diperlakukan

seperti konstanta dan apabila f diturunkan terhadap variable y maka x diperlakukan seperti

konstanta.

Contoh:

Tentukan turunan parsial terhadap x dan turunan parsial terhadap y fungsi yang dirumuskan

dengan

Jawab :

Kalkulus Peubah Banyak

Turunan parsial dua variabel 3

Latihan:

Tentukan turunan parsial terhadap x dan terhadap y dari:

1. z = x2 sin y 4. z = x2 + 3xy + y2 7. z = x cos y y cos x

2. z = ln 22 yx 5. z = arctan x

y 8. z = x

y

3. z = 2y

x 6. z =

22 x

y

y

x 9. z = x

2 + y

2

9. Diketahui z = 22 yx , buktikan zy

zy

x

zx

10. Diketahui z = ln 22 yx , buktikan 1y

zy

x

zx

2.2 Turunan Parsial Fungsi Parameter

Jika diketahui suatu fungsi z = f (x, y) dimana x = f(t) dan y = f(t) maka turunan parsial z

terhadap parameter t adalah:

Tugas :

1. Tentukan

jika

a. dan dan

b. dan dan

2. Jika pada suatu kerucut berlaku bahwa tingginya berkurang dengan kecepatan 0,2 cm/detik,

jari-jari bertambah dengan kecepatan 0,3 cm/detik. Hitung kecepatan berubahnya volume

kerucut pada saat tingginya 15 cm dan jari-jari 10 cm.

Petunjuk : Volume kerucut

v =, dimana = jari-jari lingkaran alas kerucut

dan = tinggi kerucut.

Kecepatan berubahnya volume =