Pertemuan 14
description
Transcript of Pertemuan 14
MATEMATIKA TEKNIK ITEOREMA STOKES DAN POTENSIAL DI RUANG
PERTEMUAN MINGGU KEEMPAT BELAS
TEOREMA STOKES
S C
Rd . F dS N . F Curl
: maka
S pada kontinu )Fx(F Curl
dan F misalkan koheren yang C batas
denganregular permukaan S Misalkan
jam jarum searah C maka
Rd F dulu lebih dihitung akan
S. permukaan untuk
dan dalam siparamerisa gunakan kita
stokes teorema dari ruas kedua dihitung akan
0.z dengan 1zyx bola atas
permukaan S .k zj 2y-i 3yF Diberikan
:Contoh
C
222
2
0
2π
2
0
2π
2
0
2π
2
C
2
dtt cost sin 2tsin 3
dt k0.jt cosit sin.k0jt sin 2it sin 3
dz.dy,dx,z,y,x, ganti
dt kdzjdyidxkzj2y-i3yRd . F
jam) jarum (searah02π:t
0z
t cosdyt sin 1y
t -sindxt cos 1x
C
: bentuk dalam C tulis
kzj2y-i3yF
.
0
2π
0
2π
0
2π
21
0
2π
0
2π
0
2π
0
2π
0
2π
0
2π
2
du u sin2
1duu cos
2
1
2
3dt
2
3
dtdumaka2t,umisal
dt2t sindtcos2t2
3dt
2
3
dt2t sincos2t2
3
2
3
dt2t sincos2t12
13
dtt cost sin 2tsin 3
3π
00.2π2
30
(2.2π2 cos-(2.0) cos2
1(2.2π sin0)sin
4
3)2(0
2
3
)2cos2
1)2sin(
4
3t
2
3
u)cos2
1u)sin(
4
3t
2
3
du u sin2
1duu cos
2
1
2
3dt
2
3
0
2π
0
2π
0
2π
0
2π
0
2π
0
2π
0
2π
0
2π
0
2π
.(
(
(
2
tt
φ cos φ sin 3
k φ cos φ sin-j φsin sinθi φsin θ cos-k3-N . Fx
: Maka
k φ cos φ sin-j φsin sinθi φsin θ -cosN
:didapat S untuk φ dan θparameter Dalam
dS . N . K3dS .N.Fx
: Maka
33k0j0i
z2y3y
xxx
k j i
Fx :sedangkan
22
22
SS
2
3ππ/2sin2
16π
φsin2
16π
φ.dφ cos φ sin 6π
dφφ cos φ sin 3θ
dφdθφcosφsin3dSN.Fx
:Sehingga
2
02
0
2π
00
S 0φ
2π
0θ
2π
2π
2π
2π
xy bidang atas di azyx
bola permukaan S dengan
dSn.Fx:Hitunglah
,kxyjxz)2(xjyFJika
:Soal
2222
s
k z 2j yix
y
y
x
2xzxk
z
y
x
xyj
z
2xzx
y
xyi
xy2xzxy
zyx
kji
Fx
a
k zj yi x
4z4y4x
k 2zj 2yi 2xn
k 2zj 2yi 2x
zyxφ
222
222
dxdy
yxa
2ayx3
dydx yxa
2zyx
z/a
dydx
a
k zj yix .k 2zj yix
k.n
dydxn.FxdSn.Fx
0z ,ayx lingkaran oleh
dibatasiR, adalah xy bidang pada S dari Proyeksi
a
ax
xa
xay222
222
R222
222
R
RS
222
22
22
0
dθaa
dθraara
dθradra2
ara
2
3
dθdr ra
rara3r
dθdr r ra
a)a3(rdθdr r
ra
2a3r
: menjadi integral
dθdr r dx dy , θ sinr y θ, cosr x: dengan θ)(r,polar
koordinat ke pindahkan kita integrasi memudahkan Untuk
2π
0
33
2π
0
a
0
22222
22222
222π
0φ
a
0r
2π
0φ
a
0r22
222
2π
0φ
a
0r22
2222π
0φ
a
0r22
22
23
21
21
xy. bidang dan
)y(x-4zboloida
para oleh dibatasi
yang permukaan
adalah S dengan
dS n . r
:Hitunglah
22
S
k . n
dydx dS,
14y4x
z2y2xr.n
kzjyixr14y4x
kj2yi2xn
kj2yi2xφ
0,4zyx
:anPenyelesai
22
22
22
,
π24dθ12
dθ84
dθ2rr
θddrr4r
θ sinr y θ, cosr x dy,dx 4yx
dydx z2y2x
dydx 14y4x14y4x
z2y2xdSn . r
2π
0
2π
0
2
0
2π
0
2441
2π
0
2
0
2
S
22
S
22
22
S22
22
S
.
TEORI POTENSIAL DI RUANG
sama). awalnya titik serta sama yang ujung titik
mempunyai yangΩdikurvakurvaK dan K(dengan
R.dFR.dF jika
Ω.di lintasan
bebasdisebut F dari garis Integral
Ω.diCreguler
tertutup kurva setiap untuk
0R.dF jika fkonservati F
ruang di daerahdisuatukontinuevektormedanFMisal
21
KK
C
21
dzz
fdy
y
fdx
x
f
Rd . fdf
:NOTE
PfPfRd . F
: berlaku Ω di P ke P dari Creguler
kurva setiap untuk makaΩdifFBila
C
01
1o
Ω. di terletak seluruhnya yangreguler kurva
terdapat Ω di sembarang di tiik 2 Antara2.
Ω di titiktitikmemuat hanya yangbola
dibuatdapatΩdititiksetiapDisekitar1.
: domaindisebutΩ
0fCurl
0
yx
f
yx
fk
zx
f
zx
fj
zy
f
zy
fi
z
f
y
f
x
f
zyx
kji
fx
domainsuatu hal dalamBuat
f.konservati F dan lintasan bebas R.dFfF Jika
222222
K
.
Ω. direguler
permukaan suatu dari batas merupakan Ω di tertutup
kurva setiap jika sederhana penghubungdisebut
tambahan).
npersyarata memenuhi jika ya adalah (jawabnya
? potensial fungsi punya F 0Fx jika Apakah
0Fx maka f,FjikaJadi
di 0Fx potensial
fungsi punya F : maka
, sederhana terhubung
yang domain suatu pada
kontinu Fx dan F Jika
: Sifat
potensial) fungsi (f fskalar medan suatu untuk
fF fkonservati F 0Rd . F Jadi
0 dS N . 0 dS N . Fx Rd . F
: STOKES hukum dengan sehinggaΩ, di Sreguler permukaan
suatu dari batas merupakan C maka sederhana terhubung Ω karena
. direguler tertutup kurva sembarang C misalkan 0,Fx diketahui :
0fxFx maka fF diketahui :
C
SC S
potensial fungsi punya tidak F maka0,Fxkarena
0
k2x-j-i12z
2x-0k0-1j2z-1-i
zyxz2xy
xxx
kji
Fx
RΩ dengan k z)y-(x j z i 2xyF
:Contoh
2
32
y
F
z
F
x
F
y
F
x
F
z
F0Fx Khusus
ky
F
x
Fj
x
F
z
Fi
z
F
y
F
y
F
x
Fk
z
F
x
Fj-
z
F
y
Fi
FFF
zyx
kji
Fx
322131
123123
121323
321
,,
321
321
3
xyzxyzxyz
Fz
fdanF
y
fF
x
f
kz
fj
y
fi
x
fkFjFiFF
fditentukan akanfF
ya.potensialn fungsi punya F0Fxdidapat
R di kandidefinisi
k y)(xye j z)(xzei 4x)-(yzeF
:Contoh
,,
ye yx z
f
ze zx y
f
x 4e z yx
f
:diperoleh
xyz
xyz
xyz
(z)Kyz)(y,K
y terhadap alkandifferensizz)(y,Kx
ze zx z)(y,Kx
e zx
z)(y,Kx
e zx x
f
z)(y,K2xezy,x,f
x terhadap nintegralkax 4e z yx
f
:satusalahAmbil
21
1
xyz1
xyz
1xyz
12xyz
xyz
konstantazy2x-ez)y,f(x,
: Maka
konstanta(z)k(z)kz
ye yx (z)kz
ye yx
(z)kz
ye yx z
f
(z)kzy2x-ez)y,f(x, :Sehingga
2xyz
22
xyz2
xyz
2xyz
22xyz
0
?
C
3
22
Rd . FHitung
R di didef
,k3)(y-j2yz-i2xF
:Contoh
Karena itu dipilih lintasan lain yang “lebih sederhana” dibanding C (diihat dari segi komutasi)
dz Fdy Fdx iF
)k dzj dyi).(dx k Fj Fi (FRd . F
:Catatan
12
z 3
dz3000
dz 3)(y-dy z y 2-dx x 2
z. sumbu sepanjang (0,0,4) ke (0,0,0) dari lintasan K
R.dFR.dF
32
321
4
0
4
0
22
C K