Persamaan Linier Simultan

Widita KurniasariUniversitas Trunojoyo

Persamaan Linier Simultan : himpunan persamaan yang mengandung beberapa variabel yang hanya berpangkat satu dengan ruas kanan yang konstan.

Contoh :2x + 3y + 5z = 1353x + 4y + 2z = 90 x + 5y + 3z = 95

Hasil penyelesaian ini ada 3 kemungkinan :- satu pasang jawaban x, y, z- banyak pasangan jawaban (multi solution)- tidak ada pasangan jawaban yang memenuhi (no solution)

Penyelesaian dengan Matriks

A x V = B =2 3 53 4 21 5 3

xXYz

=135 90 95

Jika A adalah matriks non singular yang determinannya ≠0 maka penyelesaiannya dengan metode CRAMER :

2 3 5 3 4 21 5 3

|A| = = 38 Kemudian diicari |Ax| , |Ay| , |Az|

Metode Cramer

135 3 5

90 4 2

95 5 3

|Ax| =

|Ay| =

|Az| =

2 135 5

3 90 2

1 95 3

2 3 5 3 4 21 5 3

2 3 135

3 4 901 5 95

|A| = = 38

= 380

= 190

= 760

Sehingga x = 38038

= 10 ; y =190 76038 38

= 5 dan z = = 20

Cara Invers

A x V = BV = A-1 x B 1

38x

2 16 -14-7 1 1111 -7 -1

x135 90 95

= 138

380190760

x =10 5 20

V

A-1 dihitung dengan cara adjoint

=

Row Operation Matriks (ROM)

Jika A x V = B ternyata matriks A adalah matriks singular yaitu determinanya = 0 maka penyelesaiannya dengan metode ROM.ROM yaitu mengubah susunan matriks dalam PLS

dengan cara :

1. Menukarkan letak satu baris dengan baris lainnya

2. Membagi atau mengalikan semua elemen satu baris dengan baris lainnya

3. Menambah atau mengurangi semua elemen satu baris dengan k kali elemen baris lainnya

A x V = B =2 3 53 4 21 2 8

XYz

x190230150

=

|A| =2 3 5 3 4 21 2 8

= 0

Penyelesaian Multi Solution lihat di Buku Hussain Bumulo & Djoko Mursinto, edisi 7, hal 94

Penggunaan Matriks Dalam Persoalan Bisnis

Contoh :Suatu perusahaan mempunyai 2 lokasi pabrik di Surabaya dan Sidoarjo. Tiap minggu memproduksi 3 jenis barang A, B dan C yang dibuat dari bahan baku K, L, dan M dengan komposisi yang sama di kedua pabrik ini: - Tiap 1 unit barang A dibuat dari 1 unit bahan baku K, 3 unit bahan baku L dan 2 unit bahan baku M. - Tiap 1 unit barang B dibuat dari 2 unit bahan baku K, 2 unit bahan baku L dan 1 unit bahan baku M. - Tiap 1 unit barang C dibuat dari 1 unit bahan baku K, 2 unit bahan baku L dan 2 unit bahan baku M.

Lanjutan contoh soal

Tiap minggu pabrik di Surabaya memproduksi: 100 unit barang A, 200 unit barang B, dan 250 unit barang C. sedangkan di Sidoarjo diproduksi: 80 unit barang A, 120 unit barang B, dan 200 unit barang C. jika harga bahan baku K, L, M tiap unit adalah Rp 500, Rp 800, dan Rp 1000 sedangkan harga jual barang A, B, C di pasar Surabaya dan Sidoarjo adalah sama Rp 3000, Rp 5000, dan Rp 7000 tiap unit. Maka :

a. Tuliskan berapa matriks dan bentuknya yang ada dalam persoalan ini.

b. Hitunglah dengan operasi perkalian matriks jumlah bahan baku yang diperlukan di tiap pabrik di Surabaya dan Sidoarjo.

c. Hitunglah jumlah biaya, jumlah penjualan, dan laba yang dicapai dengan operasi matriks di Surabaya dan Sidoarjo.

1 2 13 2 22 1 2

Komposisi BB Hasil Produksi