PERSAMAAN DIFERENSIAL ELEMENTER -...

PERSAMAAN DIFERENSIAL ELEMENTER Nuryadi, S.Pd.Si, M.Pd

Pertemuan 1 dan 2

KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL

A. PENGERTIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL

Dalam pelajaran kalkulus, kita telah berkenalan dan mengkaji berbagai macam

metode untuk mendiferensialkan suatu fungsi (dasar). Sebagai contoh, derivative

dari fungsi berturut-turut diberikan oleh

dst

Dimana

dan seterusnya. Kita juga telah

diperkenalkan dengan aturan dan metode mendiferensialkan fungsi dari dua

variable atau lebih. Derivatifnya disebut derivative parsial. Persamaan yang

memuat derivative parsial disebut persamaan diferensial parsial. Misalkan

, derivatifnya terhadap x dan y berturut-turut diberikan

oleh

Pengertian: Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang menyatakan

hubungan fungsi yang tidak di ketahui dan turunan-turunannya.

Definisi : Misalkan mendefinisikan sebuah fungsi dari x pada suatu

interval [ ] . Persamaan diferensial adalah persamaan

yang memuat derivative dari .

Contoh :

∫ ∫


∫

∫

B. PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA

Jika hanya ada satu peubah bebas, maka disebut Persamaan Diferensial Biasa

(PDB). Contoh PDB adalah sebagai berikut:

Sedangkan jika persamaan memuat dua atau lebih peubah bebas, maka disebut

Persamaan Diferensial Parsial (PDP). Misalkan :

BENTUK PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA :

di mana solusi atau penyelesaian dari PD tersebut merupakan suatu

fungsi eksplisit .

Bentuk PDB orde n :

Bentuk Persamaan diferensial orde satu :


Bentuk persamaan diferensial orde 2 :

Masalah Nilai awal

Misalkan kita akan mencari penyelesaian dari y=y(x) dari PDB orde satu

Yang memenuhi

Contoh :

a.

b.

Pertemuan 3

PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE SATU

Pada bagian ini, kita akan membahas teknik-teknik penyelesaian Persamaan

Diferensial Biasa (PDB) orde satu. Untuk PDB orde satu yang berbentuk

, dimana fungsi kontinu dari satu peubah bebas x, maka kita dapat

mengintegralkan secara langsung kedua ruas untuk memperoleh

penyelesainnya. Selanjutnya akan dicari penyelesaian PDB order satu

Bentuk umum :

............(1)

Dimana fungsi kontinu dari dua peubah bebas x dan y. Penyelesainnya tidak

dapat diperoleh dengan mengintegralkan secara langsung. Untuk meyelesaikan

PDB orde satu ada beberapa langkah :


1. PD dengan peubah terpisah

Untuk mencari penyelesaian umum dari persamaan (1), terlebih dahulu

kita pisahkan peubah x dan y, sehingga kita peroleh fungsi

Persamaan (1) berubah menjadi

Atau dapat di tulis

Sehingga ∫

∫ maka akan ditemukan solusi umum PD tersebut

Contoh :

Selesaikan

Penyelesaian :dengan memisahkan peubahnya

Integralkan kedua ruas:

∫ ∫ +C

Sehingga kita peroleh penyelesaian umumnya adalah

Selesaikan soal berikut dengan pemisah peubah.

a.

b.

c.

d.

e.

2. Masalah Syarat Awal dan Eksistensi Solusi Persamaan Diferensial Orde

Satu

Definisi 2.1. Misal Persamaan diferensial orde satu dengan bentuk derivatif

latihan


(2.1)

dengan f kontinu pada domain dan . Masalah mencari

penyelesaian yang terdefinisi pada interval I yang memuat dari persamaan

(2.1) dan memenuhi syarat awal

disebut masalah syarat awal dan ditulis sebagai berikut :

Contoh :

Selesaikan masalah syarat awal berikut :

Penyelesaian :

Persamaan diferensial tersebut mempunyai solusi umum

Dengan memberikat syarat y(3)=4 pada penyelesaian umum, maka diperoleh

atau c2= 25. Jadi diperoleh penyelesaian masalah syarat awalnya

Teorema 2.1. Jika persamaan diferensial

(2.2)

memenuhi :

a. Fungsi f kontinu pada domain

b. Derivatif partial

kontinu pada domain D.

dan , maka terdapat penyelesaian tunggal dari persamaan (2.2)

yang terdefinisi pada suatu interval [ ] dimana h cukup kecil dan

memenuhi syarat .

Contoh :

Pandang masalah syarat awal


Dari masalah ini diperoleh dan

kontinu pada

domain Karena syarat awal berarti titikl (1,3) pasti termuat

pada domain D tadi. Dengan teorema 2.1 diperoleh suatu penyelesaian tunggal

dari persamaan diferensial

yang terdefinisi pada interval [1-h, 1+h]

dan memenuhi

Selesaikan masalah MNA berikut:

a.

b.

c.

Pertemuan 4 dan 5

PERSAMAAN DIFERENSIAL EKSAK DAN FAKTOR INTEGRASI

a. Persamaan Diferensial Eksak

Definisi : Misalkan F fungsi dua variabel yang mempunyai derivatif partial orde

satu kontinu pada Domain D. Diferensial total dF dari fungsi F di definisikan :

Untuk setiap

Contoh :

Misal F fungsi dua variabel dengan rumus :

𝒅𝑭 𝒙 𝒚 𝝏𝑭 𝒙 𝒚

𝝏𝒙𝒅𝒙

𝝏𝑭 𝒙 𝒚

𝝏𝒚𝒅𝒚

LATIHAN


Maka mempunyai diferensial total :

Bentuk persamaan diferensial eksak :

Disebut diferensial eksak pada domain D jika terdapat fungsi dua variabel F

sehingga diferensial diatas merupakan diferensial total F untuk setiap

. Dengan kata lain terdapat fungsi F sehingga

dan

.

Jika merupakan diferensial eksak maka persamaan diferensial

orde satu disebut persamaan diferensial eksak.

Teorema 3.1. misalkan persamaan diferensial

(2.3)

mempunyai derivatif parsial orde satu kontinu pada D.

Persamaan diferensial (2.3) eksak pada D jika dan hanya jika

Contoh :

Persamaan Diferensial

(1.1)

Merupakan persamaan diferensial eksak karena diperoleh

( ( ))

( )

Sehingga

𝑴 𝒙 𝒚 𝒅𝒙 𝑵 𝒙 𝒚 𝒅𝒚

𝝏𝑴 𝒙 𝒚

𝝏𝒚 𝝏𝑵 𝒙 𝒚

𝝏𝒙


Karena

maka Persamaan diferensial (1.1)

memenuhi persamaan diferensial eksak

Teorema 3.2. Misalkan persamaan diferensial eksak pada D

fungsi dua variabel F memenuhi :

dan

untuk setiap

, maka penyelesaian umum persamaan diferensial eksak tersebut adalah

dan C konstanta sembarang.

∫

Sehingga

Dan harus memenuhi

di peroleh fungsi

Sehingga solusi umum penyelesaian persamaan diferensial eksak adalah

Contoh :

1. Persamaan diferensial

Apakah merupakan persamaan diferensial eksak? Jika ya, maka selesaikan

persamaan diferensial tersebut

2. Selesaikan persamaan diferensial

3. Selesaikan masalah syarat awal :

dengan y(0) = 2

Latihan :

1.

2. Tentukan masalah syarat awal berikut:

, y(0) = 1

b. Persamaan Diferensial Non Eksak

Dalam persamaan diferensial bentuk


...........(1)

yang memenuhi persamaan diferensial eksak. Apabila syarat awal persamaan

diferensial eksak tidak terpenuhi, dimana

Maka perlu adanya faktor tambahan yang biasa di sebut dengan faktor integrasi

Sehingga bentuk persamaan (1) akan berubah menjadi:

Untuk langkah mencari solusi umumnya sama dengan PD eksak.

Contoh 1 :

Selesaikan persamaan diferensial berikut

.........(1)

Answer:

Jika dilihat dari bentuk persamaan diferensial tersebut mengarah ke persamaan

diferensial eksak bentuk:

Tetapi untuk menguji persamaan diatas eksak atau bukan harus memnuhi syarat awal

1 dan

2 karena

maka perlu adanya faktor integrasi ∫ dimana

sehingga

∫

sehingga persamaan (1) di

ubah menjadi:

𝑴 𝒙 𝒚 𝒅𝒚 𝑵 𝒙 𝒚 𝒅𝒙

𝝁 𝒙 𝒆∫𝑷 𝒙 𝒅𝒙, dimana 𝑷 𝒙 𝟏

𝑴 𝒙 𝒚 𝝏𝑵 𝒙 𝒚

𝝏𝒙

𝝏𝑴 𝒙 𝒚

𝝏𝒚

atau 𝑷 𝒙 𝟏

𝑵 𝒙 𝒚 𝝏𝑴 𝒙 𝒚

𝝏𝒚

𝝏𝑵 𝒙 𝒚

𝝏𝒙


Setelah menemukan faktor integrasi lakukan uji ulang untuk membuktikan eksak

atau bukan. (bukti sebagai latihan mahasiswa)

Contoh 2

Selesaikan persamaan diferensial

Apakah merupakan Persamaan Diferensial Eksak?

a. Jika ya tentukan solusi umumnya

b. Jika tidak carilah faktor integrasinya.

c. Tentukan solusi umum dari PD di atas.

Jawab :

dan

karena

maka perlu adanya faktor integrasi ∫

(lanjutan di kerjakan oleh mahasiswa)

Latihan soal

i. Kerjakan nomor 10

untuk x> 0

ii. Nomor 19

dimana

pada buku Elementary Differential Equations & boundary value Problems hal

100.(Dikumpulkan)


Petemuan 5 dan 6

PERSAMAAN DIFERENSIAL SEPARABEL DAN HOMOGEN

A. Persamaan Diferensial Separabel

Definisi. Persamaan diferensial dengan bentuk:

.....................persamaan (4.1)

disebut persamaan separabel.

𝐹 𝑥 𝐺 𝑦 𝑑𝑥 𝑓 𝑥 𝑔 𝑦 𝑑𝑦


Secara umum persamaan diferensial separabel tidak eksak, tetapi mempunyai

faktor integrasi yang jelas yaitu:

sehingga persamaan (4.1) menjadi

..................................(4.2)

Persamaan (4.2) merupakan persamaan diferensial eksak karena

(

)

(

)

Persamaan (4.2) terlihat bahwa variabel-variabel x dan y dapat dipisahkan

sehingga mengelompok. Oleh karena itu penyelesaian persamaan diferensial

(4.1) adalah

∫

∫

.......................................(4.3)

Contoh :


Penyelesaian :

Persamaan tersebut merupakan persamaan diferensial separabel dengan

membagi diperoleh

Dengan mengintegralkan diperoleh penyelesaian umum

Latihan. Selesaikan persamaan

dengan syarat awal

Penyelesaian :

Persamaan tersebut merupakan persamaan diferensial separabel karena dengan

membagi diperoleh


Dengan mengintegralkan diperoleh

Sehingga solusi umum persamaan diferensialnya adalah

Dengan memberikan dan

diperoleh C= 2. Jadi penyelesaian masalah

syarat awalnya

a. Selesaikan masalah syarat awal

,

b. Selesaikan masalah syarat awal

,

B. Persamaan Diferensial Homogen.

Definisi. Persamaan diferensial disebut homogen jika

dapat ditulis dalam bentuk derivatif

, maka terdapat fungsi g

sehingga

.

Contoh 1.

Persamaan diferensial =0 homogen, karena apabila

ditulis dalam bentuk derivatif

(

)

Yang ruas kanan berbentuk fungsi

.

Contoh 2.

Latihan soal


Persamaan diferensial

homogen, karena apabila

ditulis dalam bentuk derivatif

( √ )

√

√

√

Yang ruas kanan berbentuk fungsi

Teorema. Jika persamaan diferensial

......................................(5.1)

Homogen, maka dengan memisalkan y=vx persamaan diferensial (5.1) berubah

menjadi persamaan diferensial separabel.

Contoh 3.


=0

Penyelesaian

Telah ditunjukkan bahwa persamaan tersebut homogen dan dapat ditulis dalam

bentuk derivatif

(

)

Misalkan , di peroleh

dan

sehingga

(

)

(

)

(

)

Merupakan persamaan diferensial separabel dan diintegralkan diperoleh


Di kembalikan ke variabel semula diperoleh

Jika dapat ditulis menjadi

Contoh :

Selesaikan persamaan diferensial √

Dengan syarat awal

Penyelesaian :

√

√

√

Misalkan y=vx, sehingga diperoleh

√

√

√

Merupakan persamaan diferensial separabel dan diintegralkan diperoleh

√

√

Dikembalikan ke variabel semula diperoleh

√

√


Jika syarat awal y = 0 untuk x = 1, maka diperoleh c = 1. Jadi penyelesaian

masalah syarat awal adalah

3. Persamaan

Teorema 6. Misal persamaan diferensial

................................(6.1)

Dengan konstanta di R

a. Jika

, maka dengan transformasi

Dimana (h,k)merupakan penyelesaian dari sistem:

Persamaan (6.1) menjadi persamaan homogen dalam variabel u dan v

sebagai berikut:

b. Jika

, maka dengan transformazi persamaan

(6.1) menjadi persamaan separabel dalam variabel x dan z

c. Jika

, maka persamaan (6.1) merupakan persamaan

diferensial dengan penyelesaian , untuk sembarang konstanta C.

Contoh: Selesaikan persamaan diferensial

..........................(6.2)

Penyelesaian

Dari persamaan diferensial (6.2) diperoleh

Sehingga merupakan kasus 1 dari teorema 6. Penyelesaian dari sistem

Adalah


|

|

|

|

,

|

|

|

|

dengan transformasi

persamaan (6.2) menjadi persamaan homogen dalam variabel u dan v

sebagai berikut

Persamaan tersebut dapat di tulis dalam bentuk derivatif menjadi

Misalkan v = wu (mahasiswa yang melanjutkan)


Dengan syarat awal y(-2) = 2

Pertemuan 7

PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER ORDE SATU

Definisi 7.1. Persamaan diferensial linier orde satu dengan variabel tak

bebas y dan variabel bebas x, dapat di tulis dalam bentuk :

Latihan

𝒅𝒚

𝒅𝒙 𝑷 𝒙 𝒚 𝑸 𝒙


Contoh : persamaan

Dapat ditulis menjadi

(

)

Persamaan diferensial linier orde satu dapat ditulis dalam bentuk diferensial

menjadi

( )

Sehingga di peroleh

Maka

Jadi persamaan diferensial linier orde satu bukan persamaan

diferensial eksak dan karena pada persamaan terakhir memuat hanya

variabel x saja, maka dapat diasumsikan mempunyai faktor integral yang

hanya tergantung x saja, misalkan , maka diperoleh

( )

Dengan mengingat definisi faktor integral diperoleh

[ ( )]

Persamaan tersebut merupakan persamaan diferensial separabel yang

penyelesaiannya adalah

∫

Jelas , sehingga merupakan faktor integral dari persamaan

diferensial linier orde satu sehingga

∫ ( ) ∫


∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫ ∫

Dari uraian diatas dapat disimpulkan dalam suatu teorema berikut :

Teorema. Persamaan diferensial linier orde satu

Mempunyai faktor integral

∫

Penyelesaian umum persamaan diferensialnya

Adapun langkah-langkah untuk menyelesaikan Persamaan Diferensial

Linier Orde satu adalah sebagai berikut :

Langkah 1 : tuliskan bentuk Persamaan Diferensial linier orde satu tersebut

dalam bentuk standar

Langkah 2. Tentukan faktor integralnya.

∫

Langkah 3. Kalikan Q(x) dengan dan integralkan

∫

Langkah 4. Tuliskan penyelesaian umum

∫

Atau


∫

Contoh :

Carilah penyelesaian umum persamaan diferensial

Penyelesaiannya :

Dari persamaan diferensial tersebut diperoleh

Dan bentuk persamaan diferensialnya

(

)

Sehingga dengan teorema diatas faktor integralnya

∫ ∫

Cara I :

Kalikan dengan dan integralkan, sehingga diperoleh

∫ ∫

= ∫

Jadi penyelesaian umumnya adalah

∫

atau

Cara II :

Diperoleh persamaan diferensial eksaknya

Yang mempunyai penyelesaian umum dengan metode pengelompokkan


Latihan :

Selesaikan Persamaan diferensial linier orde satu berikut

a.

b.

c. .

Selesaikan Masalah Nilai Awal berikut

a.

b.

c.

Pertemuan 8 dan 9

PERSAMAAN DIFERENSIAL BERNAULLI DAN RICCATI

A. Persamaan Diferensial Bernaulli

Definisi 8.1. Persamaan diferensial yang dapat ditulis dalam bentuk

Disebut persamaan diferensial bernaulli.

Teorema. 8.1. Apabila , maka dengan transformasi persamaan

bernaulli berubah menjadi PD linier tingkat satu


Dengan penyelesaian umum berbentuk

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

Contoh :

Selesaikan

Penyelesaian

Dengan substitusi diperoleh

Sehingga penyelesaian umumnya adalah

.

(

)

Latihan :

a.

b.

c.

d.

e.

B. Persamaan Diferensial Riccati


Pertemuan 10 dan 11

PERSAMAAN DIFERENSIAL HOMOGEN

1. Persamaan Diferensial Homogen

Banyak Permasalahan di bidang teknik, Fisika, pemodelan matematika yang

melibatkan Persamaan Diferensial Homogen Orde 2. Oleh sebab itu mengetahui

mekanisme pemecahan masalah Persamaan Diferensial Homogen Orde 2


sangatlah membantu kita untuk mencari solusinya. Salah satu bentuk Persamaan

Diferensial Homogen Orde 2 adalah

pertama mari kita misalkan f(x) = 0, dengan nilai a, b, dan c konstan, maka Pers.1

menjadi

Persamaan (2) adalah bentuk umum Persamaan Diferensial Homogen Orde 2

dimana ruas kanannya sama dengan 0. Apabila ruas kanan tidak sama dengan 0

maka, persamaan itu dikatakan Persamaan diferensial inhomogen orde 2.

Misalkan y = u dan y = v (dimana u dan v adalah fungsi x yang menjadi dua solusi

dari persaman

dan

tambahkan Persamaan (3) dan (4)

(

) (

)

dimana

dan

jadi dapat ditulis

maka substitusikan (gantikan) y = u+v


dan y = u+v

jika a = 0, maka Pers. 1 menjadi Pers differential liniar orde satu (PDL01)

dimana k = c/b

integralkan persamaan diatas

∫

∫

kita dapatkan

Ln y = -kx +c

kita gantikan -k dengan m, maka

Pers.(5) tidak hanya solusi untuk PDL01 tetapi juga bisa menjadi solusi untuk

Persamaan Diferensial Homogen Orde 2 dimana


Pers.2 dapat ditulis

bagi dengan kita dapat

.........(6)

yang merupakan persamaan kuadrat, yang akar-akar kuadratnya m = m1 dan m

= m2 dimana kita sudah lihat jika y = u dan y = v adalah dua solusi untuk

Persamaan Diferensial Homogen Orde 2 dan juga y = u+v. Jika

dan ,

maka solusi untuk Persamaan Diferensial Homogen Orde 2 dapat ditulis

+ .........(7)

persamaan kuadrat ini dikatakan persamaan tambahan (Auxiliary Equation)

solusi Persamaan Diferensial Homogen Orde 2 sangat tergantung dari jenis akar-

akar persamaan tambahan. Ada tiga jenis solusi untuk Persamaan Diferensial

Homogen Orde 2, yaitu :

a. Akar real dan berbeda (Determinan > 0)

b. Akar real dan sama (Determinan = 0)

c. Akar kompleks (Determinan < 0)

jadi solusi untuk persamaan diferensial homogen orde 2 kita adalah

+

a. Akar real dan Berbeda.

Dimana 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛 𝐷 𝑏 𝑎𝑐


Untuk akar sama atau kembar solusinya adalah

+

Contoh :

persamaan tambahannya adalah

faktorkan persamaan diatas

m = -2 dan m = -3

maka akarnya real dan berbeda. Jadi solusi untuk persamaan diferensial

homogen orde 2 kita adalah

+

b. Akar real dan sama

Untuk akar sama atau kembar solusinya adalah

+

Contoh :

persamaan tambahannya adalah

faktorkan persamaan diatas

m = -3 dan m = -3

maka akarnya sama atau kembar

jadi solusi untuk persamaan diferensial homogen orde 2 kita adalah

+

atau


c. Akar kompleks/imaginer

Rumus untuk akar kompleks atau imaginer adalah

akar kompleks adalah akar yang didalamnya terdapat tanda negativ. Untuk lebih

jelasnya lihat contoh dibawah ini.

Persamaan tambahannya adalah

persamaan kuadrat diatas tidak bisa diselesaikan dengan pemfaktoran. Maka

digunakan rumus ABC sebagai solusinya

√

√

√

√ √

√

√

maka α=-2 dan β=√

maka solusinya adalah

√ √

coba kerjakan contoh ini sebagai latihan

di samping 3 bentuk akar diatas, ada beberapa bentuk khusus Persamaan

Diferensial Homogen Orde 2. Ada dua bentuk khusus yaitu


maka solusinya

y = A Cosh nx + B Sinh nx

maka solusinya

y = A Cos nx + B Sin nx

Contoh :

maka n2= -16 , n = + j4

solusinya

y = A Cos 4x + B Sin 4x

1.

2.

3.

4.

5.

Pertemuan 12

PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE 2 NON HOMOGEN

Definisi : Persamaan Diferensial Orde 2 Non Homogen

Latihan soal


Jika maka substitusi + akan membuat sisi kiri diatas

sama dengan nol. Maka :

+ , X = fungsi tambahan.

+ fungsi komplementer

integral khusus

Contoh :


Penyelesaian :

- Fungsi komplemen sehingga f(x) = 0

Maka akar-akar karakteristiknya : m = 2 dan m = 3

Sehingga

- Integral khusus fungsi derajat dua

Misal

Substitusikan ke persamaan

Penyelesaian Umum = fungsi komplemen + Integral Khusus


=

Menentukan nilai-nilai konstanta

Jika

atau

atau

Asumsikan

1. Selesaikan persamaan diferensial

2. Tentukan nilai A dan B

jika

dan

Pertemuan 13 dan 14

PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER HOMOGEN DENGAN

KOEFISIEN KONSTAN.

Latihan soal


Bentuk Persamaan diferensial orde dua

(

)

Dimana f adalah suatu fungsi, sehingga persamaan diferensial (1) merupakan

persamaan diferensial linier orde dua

1. Metode Penyelesaian

a. Metode Koefisien tak tentu

b. Metode Variasi Parameter.

C. PERSAMAAN DIFERENSIAL TINGKAT TINGGI

Pada Bab ini, dibicarakan beberapa tipe persamaan diferensial linier orde tinggi

dan beberapa metode untuk menyelesaikannya. Hal-hal yang dibahas adalah

reduksi order, persamaan diferensial linier homogen dengan koefisien konstan,

metode variasi parameter, dan persamaan Cauchy- Euler. Untuk membahas ini


semua diperlukan beberapa teori dasar tentang persamaan diferensial linier

orde tinggi, yang akan disajikan tanpa disertai bukti.

D. PENGANTAR PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL.

E. TRANSFORMASI LAPLACE.

KONTRAK BELAJAR

NO KOMPONEN PERSENTASE

(%)

KETERANGAN

1 Kehadiran 10


2 Ujian Sisipan 10

Sifat ujian close book dilakukan 2 kali

(1 kali sebelum UTS dan 1 kali

sesudah UTS)

3 Tugas 25 4 kali (pertemuan ke 4, 6, 10, 12)

4 UTS 25 Sifat ujian close book

5 UAS 30 Sifat ujian open book

Jumlah 100

PERSAMAAN DIFERENSIAL ELEMENTER -...

Documents

Transcript of PERSAMAAN DIFERENSIAL ELEMENTER -...