Astrid Dara Putri Sutejo (3215133260)

Citra Media Pertiwi (3215136356)

Kelompok 8 (genap)

Pendidikan Fisika Bilingual 2013

Persamaan Diferensial Biasa Metode Runge-Kutta Orde Dua

Metode Runge-Kutta

Metode Runge-Kutta mencapai ketelitian suatu pendekatan deret taylor tanpa

memerlukan kalkulasi turunan yang lebih tinggi. Banyak perubahan terjadi, tetapi semuanya

dapat ditampung dalam bentuk umum dari persamaan:

Yi+1 = y1 + (x1, y1, h) h (1)

dimana (x1, y1, h) disebut suatu fungsi yang dapat diinterpretasikan sebagai sebuah slope

rata-rata sepanjang interval. Fungsi tersebut dapat ditulis dalam bentuk umum sebagai

berikut:

= a1k1 + a2 k2 + … + ankn (2)

dimana setiap a adalah konstanta dan setiap k besarnya adalah:

k1 = f(xi , yi ) (3)

k2 = f(xi + p1h, yi + q11k1h) (4)

k3 = f(xi + p2h, yi + q21k1h + q22k2h) (5)

.

.

.

kn = f(xi + p n-1h, yi + qn-1,1 k1h + qn-1,2 k2h

+ … + qn-1,n-1 kn-1h) (6)

Semua harga k berhubungan secara rekursif. Artinya k1 muncul dalam persamaan

untuk k2, yang muncul lagi dalam persamaan untuk k3, dan seterusnya. Rekurensi ini

membuat metode RK efisien untuk kalkulasi oleh komputer.

Berbagai jenis metode Runge-Kutta dapat direncanakan dengan melaksanakan jumlah

suku-suku yang berbeda pada fungsi tersebut seperti dinyatakan oleh n. Pada RK orde

pertama dengan n = 1 ternyata adalah metode Euler. Sekali n telah dipilih, hargaharga untuk

setiap a, p, dan q dievaluasikan dengan memberikan harga persamaan: yi+1 = yi + h sama

dengan suku-suku pada sebuah perluasan deret taylor. Jadi sekurangkurangnya untuk versi

orde lebih rendah, jumlah suku n biasanya menunjukkan orde pendekatan. Misalnya pada

pasal berikut ini, metode RK orde kedua menggunakan sebuah fungsi inkremen dengan dua

suku (n = 2). Metode orde kedua ini akan eksak bila solusi untuk persamaan persamaan

diferensial adalah kuadratik. Tambahan pula, disebabkan suku-suku dengan h3 danlebih tinggi

dihilangkan, selama penurunan, kesalahan pemotongan lokal 0(h3) dan kesalahan global

adalah 0(h2). Pada pasal-pasal berikutnya dikembangkan metode RK orde ketiga dan keempat

(n = 3 dan 4 ). Untuk kasus-kasus ini, kesalahan-kesalahan pemotongan global masing-

masing adalah 0(h3) dan 0(h4).

Metode Rungga-Kutta Orde Kedua

Versi orde kedua dari persamaan (1)

yi+1 = yi + (xi, yi, h) h

yi+1 = yi + (a1k1 + a2k2 ) h (7)

dengan:

k1 = f(xi,yi) (8)

k2 = f(xi + p1h, yi + q11k1h) (9)

Harga-harga untuk a1 dan a2, p1, q11 diselesaikan dengan menyamakan persamaan (7)

dengan menggunakan sebuah perluasan deret taylor terhadap orde kedua. Dengan ini dapat

menurunkan tiga persamaan untuk menyelesaikan empat konstanta yang tidak dikenal.

Ketiga persamaan itu adalah:

a1 + a2 = 1 (10)

a2 p1 =12 (11)

a2 q11 = 12 (12)

Karena kita memilika tiga persamaan dengan empat yang tidak dikenal, kita harus

menganggap sebuah harga dari salah satu yang tidak dikenal tersebut untuk menentukan

ketiga buah yang lainnya. Misalkan kita nyatakan sebuah harga untuk a2. Kemudian

persamaan (10) sampai (12) dapat diselesakan secara simultan untuk:

a1 = 1 - a2 (13)

p1 = q11 = 1

2 a2 (14)

Karena kita dapat memilih sejumlah tak hingga harga untuk a2, maka terdapat sejumlah tak

hingga metode RK orde kedua. Setiap versi akan mengandung hasil-hasil yang sama secara

eksak, jika solusi untuk PDB adalah kuadratik, linier atau sebuah konstanta. Tetapi versiversi

itu mengandung hasil-hasil yang berbeda kalau (dalam kasus sejenis), solusi tersebut adalah

lebih rumit.

Metode Heun Dengan Korektor Tunggal ( a 2 = 12).

Jika a2 dianggap = 12

Persamaan (13) dan (14) dapat diselesaikan untuk a1 = 12

dan p1 = q11

= 1. Parameterparameter ini kemudian dimasukkan kedalam persamaan (7) sehingga:

yi+1 = yi + ( 12

k 1+12

k2)h (15)

dengan:

k1 = f(xi, yi) (16)

k2 = f(xi + h, yi + hk1) (17)

k1 merupakan slope pada awal interval dan k2 adalah slope pada akhir interval.

Konsekuensinya metode RK orde kedua sebenarnya adalah teknik heun dengan sebuah

korektor iterasi tunggal.

Metode Titik Tengah Yang Diperbaiki ( a 2 = 12).

Jika dianggap a2 = 1, maka a1 = 0, p1 = q11 = 12

dan persamaan (7) menjadi:

yi+1 = yi + k2h (18)

dengan:

k1 = f(xi, yi) (19)

k2 = f(xi +12

hyi+ 12

h k1 ¿ (20)

Ini adalah titik tengah yang diperbaiki.

Metode Raltson ( a2 = 23)

Raltson (1962) serta Raltson dan Rabinowitz (1978) telah menentukan serta memilih a2 = 23

yang memberikan suatu batas minimal pada kesalahan pemotongan untuk algoritma RK orde

kedua. Untuk versi ini, a1 = 13

dan p1 = q11 =34

yi+1 = yi + (13

k 1+23

k2¿h

dengan:

k1 = f(xi, yi) (22)

k2 = f(xi +34

h , yi+ 34

hk1

Contoh:

Gunakan metode poligon yang diperbaiki dan metode raltson untuk mengintegrasikan secara

numerik dari persamaan berikut ini;

f(x,y) = - 2x3 + 12x2 - 20x + 8,5

dari x = 0 hingga x = 4 dengan menggunakan ukuran langkah = 0,5.

Penyelesaian:

Langkah pertama menggunakan metode poligon yang diperbaiki yaitu dengan menggunakan

persamaan (19) guna menghitung

k1 = - 2 (0)3 + 12 (0)2 – 20 (0) + 8,5 = 8,5

k2 = - 2 (0,25)3 + 12 (0,25)2 – 20 (0,25) + 8,5 = 4,21875

y (0,5) = 1 + 4,21875 (0,5) = 3,109375

Pada metode raltson, k1 untuk interval pertama juga berharga 8,5 maka:

k2 = - 2 (0,375)3 + 12 (0,375)2 – 20 (0,375) + 8,5 = 2,58203125

Slope rata-rata dihitung oleh:

yang digunakan untuk memprediksikan:

y (0,5) = 1 + 4,5546875(0,5) = 3,27734375

Gambar 1.1 Perbandingan solusi sebenarnya dan solusi numerik dengan menggunakan

tiga buah metode RK orde kedua serta metode Euler