Tugas Kelompok:

Metode Runge-Kutta

Dan Metode Banyak Langkah

DISUSUN OLEH:

EKA PURNAMA (60600108030)

ABBAS

HARIANTO

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS ISLAM NEGERI ALAUDDIN

MAKASSAR

1

2010

KATA PENGANTAR

Puji syukur kami panjatkan ke hadirat Allah SWT yang telah melimpahkan

karunianya kepada kami sehingga kami dapat menyelesaikan makalah ini tepat pada

waktunya.

Makalah ini merupakan tugas yang diberikan oleh dosen mata kulian

Analisis Numerik. Dan lebih khusus membahas tentang Metode Range-Kutta dan

Metode Banyak Langkah.

Tak lupa kami ucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah

berpartisipasi dan dalam penyelesaian makalah ini, terutama kepada dosen mata

kuliah yang bersangkutan, atas bimbingannya selama ini kepada kami.

Makalah ini telah kami susun sebaik-baiknya. Namun, kami menyadari masih

banyak kekurangan yang memerlukan perbaikan. Oleh karena itu, kritik dan saran

yang bersifat membangun kami harapkan dari para pembaca untuk kesempurnaan

makalah ini lebih lanjut.

Akhirnya kami berharap semoga makalah ini dapat berguna bagi pembaca

dalam memahami Analisis Numerik dengan Metode Range-Kutta dan Metode

Banyak Langkah.

Atas perhatiannya, kami ucapkan terima kasih.

Makassar, 9 Maret 2010

Tim Penyusun

2

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR

DAFTAR ISI

A. Metode Range-Kutta1. Metode Range-Kutta Orde Satu2. Metode Range-Kutta Orde Dua3. Metode Range-Kutta Orde Tiga4. Metode Range-Kutta Orde Empat

B. Ekstrapolasi RichardsonC. Metode Banyak Langkah

1. Metode Adam-Bashford-Moultona. Persamaan Predictorb. Persamaan Corrector

2. Metode Milne Simpson3. Metode Hamming4. Prosedur Pendahuluan5. Keidealan Metode Predictor-Corrector

BAB III

PENUTUP

A. KesimpulanB. Saran

DAFTAR PUSTAKA

3

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Metode Euler kurang efisien dalam masalah-masalah praktis, karena dalam metode Euler diperlukan h << 1 untuk memperoleh hasil yang cukup teliti (akurat). Metode Runge-kutta dibuat untuk mendapatkan ketelitian yang lebih tinggi dan kelebihan dari metode ini adalah bahwa untuk memperoleh hasil-hasil tersebut hanya diperlukan nilai-nilai fungsi dari titik-titik sebarang yang dipilih pada suatu interval bagian.

Penyelesaian PDB dengan metode deret Taylor juga tidak praktis karena metode tersebut membutuhkan turunan perhitungan f (x , y ). Lagipula, tidak semua fungsi mudah dihitung turunannya, terutama bagi fungsi yang bentuknya rumit. Semakin tinggi orde metode deret Taylor, semakin tinggi turunan fungsi yang harus dihitung. Karena pertimbangan ini, metode deret Taylor yang berorde tinggi pun tidak dapat diterima dalam masalah praktek.

Metode Runge-Kutta merupakan alternatif lain dari metode deret Taylor yang tidak membutuhkan perhitungan turunan. Metode ini berusaha mendapat derajat ketelitian yang lebih tinggi, dan sekalius menghindarkan keperluan mencari turunan yang lebih tinggi dengan jalan mengevaluasi fungsi f (x , y ) pada titik terpilih dalam setiap selang langkah [CON80]. Metode Runge-Kutta adalah metode PDB yang paling populer karena banyak di pakai dalam praktek.

Sampai sejauh ini kita telah mengenal metode Euler, metode Heun, metode Taylor, dan metode Runge-Kutta. Semua metode tersebut dikelompokkan dalam

metode satu langkah (one-step), sebab untuk menaksir nilai y (xr+1 ) dibutuhkan satu

buah taksiran nilai sebelumnya y (xr ).

Kelompok metode PDB yang lain ialah metode banyak langkah (multi-step). Pada

metode banyak langkah, perkiraan nilai y (xr+1 ) membutuhkan beberapa taksiran

seluruhnya y (xr ) , y (xr−1) , y (xr−2 )... yang termasuk ke dalam metode banyak langkah

adalah metode predictor-corrector. Metode Heun adalah meotde predictor-corrector,

namun metode Heun bukanlah metode bansyak langkah, sebab taksiran nilai y (xr+1 ) hanya di didasarkan pada taksirany (xr ).

4

Tujuan utama metode banyak langkah adalah menggunakan informasi dari

beberapa titik sebelumnya, yr , yr−1 , yr−2 ,… ,untuk menghitung taksiran nilai y (xr+1 ) yang lebih baik.

Beberapa metode predictor-corrector (P-C) yang temasuk ke dalam metode

banyak langkah. Pada metode P-C, kita menaksir nilai y (xr+1 ) dari yr , yr−1 , yr−2 ,… ,

dengan persamaan predictor-corrector, dan kemudian menggunakan persamaan

predictor-corrector untuk menghitung nilai y (xr+1 ) yang lebih baik (improve)

B. Rumusan Masalah1. Bagaimana menyelesaikan PDB dengan metode Range-Kutta?2. Bagaimana memperbaiki solusi PBD dan memperkirakan galatnya dengan

Ekstrapolasi Richardson?3. Bagaimana bentuk metode Adam-Bashford-Moulton?4. Begaimana bentuk metode Milne Simpson5. Bagaimana bentuk metode Hamming6. Apa saja prosedur pendahuluan sebelum menyelesaikan PDB dengan

metode predictor-corrector?7. Bagaimana mengetahui keidealan suatu metode Predictor-Corrector?

5

BAB II

METODE RUNGE-KUTTA DAN METODE BANYAK LANGKAH

A. Metode Runge-Kutta

Metode Runge-Kutta merupakan salah satu dari satu perangkat metode yang penting untuk menyelesaikan persamaan diferensial dengan syarat awal

y '=f (x , y )

y (x0) diberikan

Untuk memecahkan persoalan ini, pada sumbu waktu x dipilih simpul-simpul waktu diskret

x0 , x1 , x2 ,…,xr , xr+1 ,…, xn dan seterusnya

dengan xr+1=xr+hr, dengan hr merupakan “step length” dari saat ke-r ke saat ke-(r+1). Pada umumnya “step length” tergantung pada r, tetapi untuk mudahnya diperlakukan konstan, yaitu h.

Bentuk umum metode Runge-Kutta orde-n adalah:

yr+1= yr+a1 k1+a2 k2+…+an kn ...(1)

dengan a1 , a2 ,…,an adalah tetapan dan

k 1=hf (x¿¿ r , yr)¿

k 2=hf (xr+ p1h , yr+q11k 1)

k 3=hf (xr+ p1h , yr+q21 k1+q22k2 )

...

k n=hf ¿

6

Nilai a i , pi , qij dipilih sedemikian rupa sehingga meminimumkan galat per langkah, dan persamaan (1) akan sama dengan metode deret Taylor dari orde setinggi mungkin.

Galat per langkah metode Runge-Kutta orde-n :O (hn+1 )Galat longgokan metode Runge-Kutta orde-n :O (hn )Orde metode =n

5. Metode Runge-Kutta Orde Satu

Metode Runge-Kutta tingkat satu berbentuk

k 1=hf (xr , yr )yr+1= yr+(a¿¿1k 1)…(2)¿

6. Metode Runge-Kutta Orde Dua

Metode Runge-Kutta tingkat satu berbentuk

k 1=hf (xr , yr )

k 2=hf (x1+p1h , yr+q11k1)

yr+1= yr+(a¿¿1k 1+a2 k2)…(3)¿

7. Metode Runge-Kutta Orde Tiga

Metode Runge-Kutta yang terkenal dan banyak dipakai dalam praktek adalah metode Runge-Kutta orde tiga dan metode Runge-Kutta orde empat. Kedua metode tersebut terkenal karena tingkat ketelitian solusinya tinggi (dibandingkan metode Runge-Kutta orde sebelumnya, mudah diprogram, dan stabil)

Metode Runge-Kutta orde tiga berbentuk

k 1=hf (xr , yr )

k 2=hf (xr+ 12 h , yr+ 12 k1)k 3=hf (xr+h , yr−k1+2k2 )

7

yr+1= yr+( k1+4 k2+k36 )… (4)

8. Metode Runge-Kutta Orde Empat

Metode Runge-Kutta orde tiga berbentuk

k 1=hf (xr , yr )

k 2=hf (xr+ 12 h , yr+ 12 k1)k 3=hf (xr+ 12 h , yr+ 12 k2)k 4=hf (xr+h , yr+k3 )

yr+1= yr+( k1+4 k2+k36 )… (5)

9. Metode Runge-Kutta Orde Lima

k 1=hf (xr , yr )

k 2=hf (xr+ 12 h , yr+ 12 k1)k 3=hf (xr+ 14 h , yr+ 316 k1+ 116 k2)k 4=hf (xr+ 12 h , yr+ 12 k3)k 5=hf (xr+ 34 h , yr+ 316 k2+ 116 k3+ 916 k4)yr+1= yr+

19

(7k1+32k3+12k4+7 k6 )O (h6 )…(6)

Penyelesaian PDB dengan MATLAB dapat menggunakan subrutin ode23 yang merupakan eksplisit dari metode range-kutta (2,3)

Contoh

dydx

=−2 x3+12 x2−20 x+8,6 dengan kondisi awal y=1 padax=0 dan rentang

integrasi dari x=0 sampai dengan x=4

8

Berikut ini pemrograman matlabnya

Eksekusi di command window

9

%pdb.mfunction dydx=pdb(x,y)dydx=-2*x^3+12*x^2-20*x+8.5;

%runpdbclearclcrentang_x=[0 4];y0=1;[x,y]=ode23('pdb',rentang_x,y0)plot(x,y)xlabel('x')ylabel('y')

x = 0 0.0094 0.0565 0.1712 0.3046 0.4524 0.6111 0.7777 0.9511 1.1319 1.3196 1.5150 1.7217 1.9512 2.2503 2.4902 2.7301 2.9516 3.1622 3.3655 3.5614 3.7483 3.9277 4.0000

y = 1.0000 1.0791 1.4488 2.1817 2.7701 3.1483 3.3031 3.2609 3.0709 2.7893 2.4787 2.2006 2.0131 1.9808 2.2494 2.6978 3.2901 3.8780 4.3716 4.6749 4.6862 4.3176 3.4933 3.0015

Kasus:

Terhadap kinetika proses fermentasi berhasil dimodelkan secara matematis sebagai berikut:

d y1dt

=k1 y1(1− y1k1 )

d y2dt

=k3 y1−k4 y2

dengan k 1=0.03120 ;k2=47.70 ;k3=3.374 ;k4=0.01268 serta nilai pada t=0 , y1=5 , y2=0. Evaluasi harga y1dan y2 dalam interval waktu 0 s,d 10 jam setiap jamnya.

Berikut ini progam MATLAB-nya

10

%fermen.mfunction dydt=fermen(t,y)k1=0.03120;k2=47.70;k3=3.374;k4=0.01268;dydt=[k1*y(1)*(1-y(1)/k2)k3*y(1)-k4*y(2)];

Eksekusi di command window

B. Metode Banyak Langkah (Multistep)

Formula banyak langkah yaitu:

y '=f (x , y )

∫x r

xr+1

y 'dx=∫xr

x r+1

f ( x , y )dx

yr+1= yr+∫x r

x r+1

f (x , y )dx

aproksimasi f ( x , y ) dengan polinom yang menginterpolasi f (x , y ) pada (n+1) titik, xr , xr−1 ,…, xr−k

Metode Predictor-Corrector

Metode banyak langkah biasa f (x , y ) di interpolasi pada titik x1 , xr−1 ,…,xr−k

[tipe terbuka]. Metode langkah ganda predictor-corrector f (x , y ) di interpolasi pada titik xr+1 , x1 , xr−1 ,…,xr−k [tipe tertutup]

11

%kasusclear;clc;tspan=[0:1:10];y0=[5 0];[t,y]=ode23('fermen',tspan,y0)

t = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

y = 5.0000 0 5.1414 17.0000 5.2863 34.2657 5.4347 51.8056 5.5868 69.6282 5.7425 87.7422 5.9020 106.1564 6.0652 124.8796 6.2323 143.9206 6.4033 163.2886 6.5783 182.9924

yr+1= yr+∫x r

x r+1

f (x , y )(x)¿dx ¿…(11)

∫x r

xr+1

f ( x , y )( x)¿dx¿diaproksimasi (dekati) oleh formula integral trapesium, maka

diperoleh :

yr+1= yr+h2 [f (xr , yr )+ f (xr+1 , yr+1) ]…(12)

Predictor : menaksir y (xr+1 ) dari yr , yr−1 , yr−2 ,…

Corrector : memperbaiki nilai y (xr+1 ) dari predictor

Metode P-C antara lain adalah

6. Metode Adams-Bashforth-Moulton7. Metode Milne-Simpson8. Metode Hamming

1. Metode Adam-Bashford-Moulton

Tinjau PDB orde satu y ' (x )= f (x , y ( x ) )

intergrasikan kedua ruas persamaan dari xrsampai xr+1

∫x r

xr+1

f (x , y ( x ) )=¿∫x r

x r+1

y ' ( x )dx ¿

¿ y (x )|x rx r+1

¿ y (xr+1 )− y (xr )

¿ yr+1− yr

nyatakan yr+1 di ruas kiri persamaan dan suku lainnya di ruas kanan:

yr+1= yr+∫x r

x r+1

f (x , y (x ))dx…(13)

Persamaan predictor-corrector metode Adam-Bashford-Moulton adalah:

predictor : yr+1= yr+h24

(−9 f r−3+37 f r−2−59 f r−1+55 f r )…(14)

corrector : y¿r+1= yr+

h24

( f r−2−5 f r−1+19 f r+9 f ¿r−1 )…(15)

12

galat perlangkah metode Adam-Bashford-Moulton adalah dalam ordeO(h5), yaitu:

predictor :E p=Y r+1− y¿r+1≈

251720

h5 y (5 ) ( t ) , xr−3<t<xr+1

corrector :Ep=Y r+1− yr+1≈−19720

h5 y (5 ) (t ) , xr−3<t<xr+1

dan galat longgokannya adalah dalam orde O(h4). Oleh karena itu, metode Adam-Bashford-Moulton di atas dinamakan juga metode Adam-Bashford-Moulton orde-4

2. Metode Milne Simpson

Metode Milne-Simpson didasarkan pada integrasi f (x , y (x ) ) pada selang

[ xr−3 , xr+1 ] :

y (x¿¿ r+1)= y (x¿¿ r−3)+∫x r−3

x r+1

f (x , y (x))dx…(16)¿¿

Persamaan predictor-corrector metode milne simpson adalah

predictor : y¿r+1= yr−3+

4h3

(2 f r−2−f r−1+2 f r )… (17)

corrector : yr+1= yr−1+h3

( f r−1+4 f r+ f r+1 )…(18)

dan galat per langkahnya adalah dalam orde O(h5), yaitu:

predictor :E p=Y r+1− y¿r+1≈

28h5

90y (5 )( t)

corrector :Ep=Y r+1− yr+1≈−1h5

90y (5 )(t )

untuk xr−3<t<xr+1

3. Metode Hamming

Persamaan predictor-corrector metode hamming adalah

predictor : y¿r+ 1= yr−3+

4h3

(2 f r−2−f r−1+2 f r )… (19)

corrector : yr+1=− yr−28

+9 yr8

+3h8

(−f r−1+42+ f r+1 )…(20)

4. Prosedur Pendahuluan

13

PDB hanya mempunyai satu nilai awal, yaitu y0= y (x0 ). Dengan demikian,

metode banyak langkah tidak self-start, sehingga tidak dapat diterapkan secara langsung, sebab metode tersebut memerlukan beberapa buah nilai awal. Inilah kelemahan metode banyak langkah.

Misalkan predictor mempunyai persamaan

y¿r+1= yr+

h12

(23 f r−16 f r−1+5 f r−2)

untuk menghitung y¿3, kita harus mempunyai nilai y0 , y1 dan y2 agar nilai

f 0=f ( x0 , y0 ) , f 1=( x1 , y1 ) , f 2=(x2 , y2)

dapat ditentukan. Untuk mendapatkan beberapa nilai awal yang lain, kita harus melakukan prosedur pendahuluan (starting procedure) dengan metode PDB yang bebas. Metode PDB yang sering dijadikan sebagai prosedur pendahuluan adalah:

Metode Euler Metode Runge-Kutta Metode Taylor

Jadi, untuk contoh predictor di atas, y1 dan y2 dihitung terlebih dahulu dengan salah satu prosedur pendahuluan. Selanjutnya, metode P-C dapat dipakai untuk menghitung y1 , y2 ,…. , yn .

5. Keidealan Metode Predictor-Corrector

Metode predictor-corrector dikatakan ideal jika galat per langkah predictor mempunyai orde yang sama dengan galat perlangkah corrector:

Galat per langkah predictor :Y r+1− y¿r+1≈ Arh

p

Galat per langkah corrector :Y r+1− yr+1≈αA rhp

dengan α adalah terapan yang diketahui. Metode Adams-Bashforth-Moulton, metode Milne-Simpson, dan metode Hamming adalah metode P-C yag ideal. Metode Heun adalah metode P-C yang tidak ideal, karena

Galat per langkah predictor :E p=Y r+1− yr+1≈12yn(t )h2≈ Ah2

Galat per langkah corrector :Ep=Y r+1− yr+1≈−112y ' ' '( t)h3≈ Bh3

14

Jika sebuah metode P-C ideal, kita dapat memperoleh nilai yr+1yang lebih baik (improve) sebagai berikut:

yr+1− y¿r+1=A rh

p…(21)

yr+1− yr+1=αArhp…(22)

dengan yr+1 adalah taksiran yang lebih baik dari pada yr+1

rumus yr+1 dapat diperoleh dengan membagi persamaan (21) dan (22)

yr+1− y¿r+1

yr+1− yr+1=A rh

p

αArhp

yr+1− y¿r+1

yr+1− yr+1=1α

⇔ yr+1− yr+1=α yr+1−α y¿r+1

⇔ yr+1 (1−α )= yr+1−α y¿r+1

⇔ yr+1=yr+1−α y

¿r+1

(1−α )

⇔ yr+1=yr+1

(1−α )−α y¿r+1(1−α )

⇔ yr+1=(1−α ) yr+1+α yr+1

(1−α )−α y¿

r+1

(1−α )

⇔ yr+1=(1−α ) yr+1

(1−α )+α yr+1(1−α )

−α y¿

r+1

(1−α )

⇔ yr+1= yr+1+α1−α ( yr+1− y¿

r+1 )…(23)

Suku α1−α ( yr+1− y¿

r+1) pada persamaan (3) merupakan taksiran galat

perlangkah untuk menghitung yr+1 dan menyatakan faktor koreksi terhadap nilai yr+1.

Jadi, untuk mendapatkan taksiran nilai yr+1 yang lebih baik, tambahkan yr+1 dengan faktor koreksi tersebut.

Contoh:

Tentukan perkiraan galat per langkah untuk nilai yr+1 yang lebih baik dengan metode Adams-Bashforth-Moulton.

15

Penyelesaian:

predictor :E p=Y r+1− y¿r+1≈

251720

h5 y (5 ) ( t )

corrector :Ep= yr+1− yr+1≈−19720

h5 y (5 ) ( t )

dari persamaan di atas, diperoleh

Ar=251720

danαAr=−19720

Nilai α ditentukan sebagai berikut

⇔ α Ar =-19/720

⇔ α(251/720) =-19/720

⇔ α =-19/251

sehingga

yr+1= yr+1+

−19251

1+19251

( yr+1− y¿r+1 )

¿ yr+1−19270

( y r+1− y¿r+1 )

Jadi, taksiran galat per langkah untuk nilai yr+1 adalah

Ep=−19270

( yr+1− y¿r+1)

BAB III

PENUTUP

C. Kesimpulan

1. Bentuk umum persamaan Runge-Kutta adalah:

yr+1= yr+a1 k1+a2 k2+…+an kn

2. Persamaan banyak langkah terdiri dari

16

a. Metode Adams-Bashforth-Moultonb. Metode Milne-Simpsonc. Metode Hamming

D. Saran

Kami telah membuat makalah ini sebaik-baiknya, jika terdapat kekurangan kami mohon kritik dan saran untuk kesempurnaan makalah ini lebih lanjut.

DAFTAR PUSTAKA

http://blog.unila.ac.id/zakaria/files/2009/06/bab6_bukuajar.pdf

http://kuliah.inf.uajy.ac.id/index.php

http://rieko.files.wordpress.com/2007/12/buku-komprostek.pdf

Munir, Rinaldi. 2008. Metode Numerik Revisi Kedua. Bandung: Informatika

17

www.cs.ui.ac.id/WebKuliah/IKI20620_02/slides/ PDB 2.ppt

18