1

Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat satu atau lebih turunan fungsi yang tidak diketahui.

Jika persamaan diferensial memiliki satu peubah tak bebas maka disebut Persamaan Diferensial Biasa (PDB).

Sedangkan jika peubah bebasnya lebih dari satu dinamakan Persamaan Diferensial Parsial.

2

Persamaan diferensial biasa dikatakan linear, apabila persamaan diferensial tersebut mempunyai peubah tak bebas maupun turunannya bersifat linear.

Bentuk umum PDBL orde-n adalah sebagai berikut dengan adalah koefisien PD.

Bila f(x) = 0 disebut PDBL Homogen, sebaliknya

jika tidak disebut PDBL tak homogen.

Orde PDB adalah turunan tertinggi yang terlibat dalam PDB

3

4

dt

dN(1)

(2) y ’ + 2 cos 2x = 0

(3) y” + ex y’ + sin xy = ex sin x , PDB orde 2

x3 y”+ cos 2x (y’)3= x2 y2 , PDB orde 2

= kN , N = N(t)

(4)

, PDB orde 1 dimana N peubah tak bebas, t peubah bebasnya

, PDB orde 1 dimana y peubah tak bebas, x peubah bebasnya

Solusi PDB adalah suatu fungsi y = f (x), jika disubtitusikan ke PDB diperoleh persamaan identitas.

Solusi umum dan solusi khusus

Jika fungsi y = f (x) memuat konstanta sembarang maka solusi disebut solusi umum, sebaliknya disebut solusi khusus.

5

(1) y = cos x + c solusi umum Persamaan Diferensial y ’ + sin x = 0

Karena

(cos x + c)’ + sin x = -sin x + sin x = 0

(2) y = cos x + 6 solusi khusus

Persamaan Diferensial y ’ + sin x = 0 Karena

(cos x + 6)’ + sin x = -sin x + sin x = 0

6

PDB dengan variabel terpisah

PDB Linear

PDB dengan koefisien fungsi homogen

7

PDB yang dapat dituliskan dalam bentuk : g(y) dy = f(x) dx disebut PDB dengan variabel terpisah.

Penyelesaian : integralkan kedua ruas

8

( ) ( )g y dy f x dx

3dyx

dx

3 3dyx dy x dx

dx

3dy x dx 41

4y x C

Contoh : 1. tentukan solusi umum PD

9

Jawab:

ydx

dyxx ln

xx

dx

y

dy

ln

xx

dx

y

dy

ln

cxy lnlnlnln

xcy lnlnln

xcy ln

Jadi solusi umum PD tersebut

adalah

xcy ln

2. tentukan solusi umum PD ( ln ) 'x x y y

( ln ) 'x x y y

10

yexdx

dy 3

dxxe

dyy

3

dxxdye y 3

cxe y 4

4

1

cxy 4

4

1ln

c4)2(

4

1ln0

Jadi solusi khusus PD tersebut

adalah

41ln 3

4y x

Diketahui y(2) = 0, sehingga

341 cc

3' ; (2) 0yy x e y 3. Tentukan Solusi Khusus dari

11

2

21

dy x

dx y

2

3'

(1 )

xy

y x

2 2' 1y x y xy

1)0(,21

cos2

yy

xy

dx

dy

2' 2(1 )(1 ), (0) 0y x y y

2 3' (1 2 )(1 2 )y y x x

1)0(,0)1( yyedx

dye xx

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Tentukan solusi Persamaan diferensial dibawah ini

2

34

xdy e

dx y

12

PDB linear adalah PDB yang dapat dituliskan dalam bentuk :

' ( ) ( )y P x y r x

Penyelesaian : kalikan kedua ruas dengan faktor integral dxxP

e)(

( ) ( )

( ) ' ( )P x dx P x dx

ye r x e

Integralkan kedua ruas terhadap x

( ) ( )( )

P x dx P x dxye e r x dx c

( ) ( ) ( )' ( ) ( )

P x dx P x dx P x dxy e P x ye r x e

Solusi Umum PDB linear : ( ) ; ( )h hy e e r x dx c h P x dx

13

Selesaikan persamaan diferensial dibawah ini

Jawab:

xexyx

y 22' (bagi kedua ruas dengan x)

Jadi solusi umumnya adalah 22 xcexy x

2 2( ) ( ) 2lnP x h x dx x

x x

( )h hy e e r x dx c

cdxexee xxx 2)ln(ln .22

2 xx e dx c

31. ' 2 xxy y x e

14

Jawab:

22. ' ( 1) ; (0) 3y y x y

( ) 1 ( ) 1P x h x dx x

( )h hy e e r x dx c

2( 1)x xe e x dx c

21 2( 1)x x xe x e x e dx (dengan integral parsial)

21 2( 1) 2x x x xe x e x e e c

xcexxy 21212 2 1 xy x ce

(0) 3 3 1 2y c c

Sehingga SK : 2 1 2 xy x e

Selesaikan persamaan diferensial di bawah ini:

15

211

2'.4

x

x

yyxxyy sectan'.3

xeyy 2'.1 1')1(.2 2 xyyx

6. ' 1 , (1) 0xxy x y e y

22'.5 xyy

27. ' 3 ; (0) 1xy e y y

8. sin ' 2 cos sin 2 , 26

x y y x x y

Fungsi A(x,y) disebut fungsi homogen dengan derajat n, jika

A(kx,ky) = knA(x,y), k konstan sembarang

Contoh : Periksa apakah fungsi berikut homogen atau tidak !

1. A(x,y) = x + y A(kx,ky) = kx + ky = k (x + y) = k A(x,y) A(x,y) = x + y , fungsi homogen dengan derajat 1 2. A(x,y) = x2 + xy A(kx,ky) = k2x2 + kx ky = k2 (x2+xy) = k2 A(x,y) A(x,y) = x2 + xy , fungsi homogen dengan derajat 2

16

PDB yang dapat dituliskan dalam bentuk

17

( , )'

( , )

A x yy

B x y

dengan A,B fungsi homogen dengan derajat yang sama disebut PDB dengan koefisien fungsi homogen.

Penyelesaian : gunakan subtitusi y = ux, u = u(x)

uxuy ''

dx

dy

dx

du

= x + u

dy = x du + u dx

dengan

Selesaikan solusi persamaan diferensial berikut

18

'x y

yx

1.

Jawab:

Misalkan y = ux, sehingga dy = x du + u dx

x

yx

dx

dy

x

y

dx

dy1 u

dx

dxudux

1 dxudxudux 1

dxdux x

dxdu

x

dxdu cxu ln

cxx

y ln xcxxy ln

Jadi solusi umum dari PD di atas adalah xcxxy ln

19

2.

Jawab:

Misalkan y = ux, sehingga dy = x du + u dx

2

2 2

x

xyy

dx

dy

x

y

x

y

dx

dy2

2

uudx

dxudux22

dxuudxudux 22

dxuudux 2

x

dx

uu

du

2 x

dx

uu

du2

cxuu

dulnln

)1(

cxduuu

ln1

11

cxuu ln1lnln

0222 xyydx

dyx , y(1)=1

20

cxu

uln

1ln

cx

xy

xy

ln1

ln

cxxy

ylnln

cx

xy

y

2)1( cxcxy

cx

cxy

1

2

Diketahui y(1) = 1, sehingga

c

c

11

2

1c

Jadi solusi khusus PD di atas adalah x

xy

2

2

21

1.

2.

3.

4.

Tentukan solusi Persamaan diferensial dibawah ini

xy

yx

dx

dy

2

3 22

2

2 2

x

xyy

dx

dy

yx

yx

dx

dy

3

2y dx – x dy = 0

Masalah dalam TO ini adalah bagaimana mendapatkan keluarga kurva yang ortogonal atau tegak lurus terhadap keluarga kurva lain.

Cara untuk mendapatkan trayektori ortogonal dari suatu kurva adalah sebagai berikut:

◦ Turunkan secara implisit f(x,y) = c terhadap x, nyatakan parameter c dalam x dan y.

◦ Karena tegak lurus maka trayeksi Ortogonal (TO) harus memenuhi:

22

1'

( , )y

Df x y

Trayektori Ortogonal dari f(x,y) = c, didapatkan dengan mencari solusi dari

1'

( , )y

Df x y

23

2cxy Tentukan trayektori ortogonal dari keluarga kurva

Jawab:

Langkah-langkah menentukan TO :

1. Tuliskan 2cxy dalam bentuk

2

yc

x

Kemudian turunkan yaitu: 2cxy

2. TO akan memenuhi PD

cxy 2'

22'

x

yxy

x

yy 2'

1'

2 / 2

xy

y x y

3. TO dari adalah solusi dari PD berikut:

24

)(2

22

ellipscyx

'2

xy

y

y

x

dx

dy

2

xdxydy2 cx

y 2

22

2cxy

Jadi keluarga yang tegak lurus terhadap parabola 2cxy

adalah )(2

22

ellipscyx

x

y

25

Tentukan solusi trayektori ortogonal dari keluarga kurva berikut :

2 2 2x y c y x c 2 2 2x y c 4 x2 + y2 = c

4.

2.

1.

5.

y = cx 3.

26

Bentuk umum : y + p(x)y + g(x)y = r(x)

p(x), g(x) disebut koefisien. Jika r(x) = 0, maka Persamaan Diferensial diatas disebut homogen, sebaliknya disebut non homogen.

Persamaan Diferensial Biasa linier orde dua homogen dengan koefisien konstan, memiliki bentuk umum :

y + ay + by = 0

dimana a, b merupakan konstanta sebarang.

27

0''' cybyay

2211 yCyCy

SolusiSolusi daridari PDB PDB OrdeOrde DuaDua HomogenHomogen

adalahadalah::

dimanadimana 21 , yyC1, C2 konstanta, dan

solusisolusi basis.basis.

28

disebut solusi basis jika bebas linear.

disebut bebas linear jika W (Wronskian)≠0.

29

0''' cybyay

Buat Persamaan Karakteristik (PK):

02 cba

Ada 3 kemungkinan akar dari PK :

1. Dua akar real berbeda (Diskriminan > 0)

21

xxeCeCy 21

21

Solusi umum PD:

30

2. Dua akar real kembar (Diskriminan = 0)

1 2

x xy C e C xe Solusi umum PD:

21

3. Akar kompleks konjugate (Diskriminan < 0)

i 12

Solusi umum PD: 1 2( cos sin )xy e C x C x

31

0''' cybyay

21 Jika PD ini mempunyai akar real berbeda,

maka xx

eyey 21

21 ,

adalah solusi basis.

Bukti:

1. Tentukan solusi umum dari PD '' 5 ' 6 0y y y

Jawab:

PK : 2 5 6 0

( 3)( 2) 0

1 23 ; 2

Solusi Umum : 3 2

1 2

x xy C e C e

32

(solusi basis)

(solusi basis)

2. Tentukan solusi umum dari PD '' 6 ' 9 0y y y

Jawab:

PK : 2 6 9 0

2( 3) 0

1 2 3

Solusi Umum : 3 3

1 2

x xy C e C xe

33

3. Tentukan solusi umum dari PD '' 4 0y y

Jawab:

PK : 2 4 0

12 2i

Solusi Umum : 1 2cos2 sin 2y C x C x

34

0

2

35

Bentuk umum:

ay + by + cy = r(x) … *)

dengan r(x) 0

Solusi total : y = yh + yp

dimana yh = solusi PD homogen

yp = solusi PD non homogen Menentukan yp :

1. Metode koefisien tak tentu

2. Metode variasi parameter

Pilih yp yang sesuai dengan r(x), substitusikan ke PD (*)

a. Kasus khusus

No r(x) yp

1.

2.

3.

4.

xKexCe

0

1

1 ... KxKxK n

n

n

n

0

1

1 ... AxAxA n

n

n

n

,cos xK xK sin xBxA sincos

,cos xKe x )sincos( xBxAe x xKe x sin

36

1.Tentukan Solusi Umum dari

Jawab:

Persamaan karakteristiknya:

Jadi solusi homogennya adalah

xeyyy 42'3''

0232

0)1)(2(

1;2

xx

h eCeCy 2

2

1

Selanjutnya tentukan

ph yyy Solusi Umum :

py

37

Pilih x

p Cey 4x

p Cey 44'

x

p Cey 416''

Substitusikan ke PD soal

xxxx eCeCeCe 4444 24.316

xx eCCCe 44 )21216(

6/116 CC

Jadi x

p ey 4

6

1

Sehingga SU : xxx eeCeCy 4

2

2

16

1

38

39

2. y” – 3y’ + 2y = cos x

Jawab:

Solusi PD Homogen yh = C1 e2x

+ C2 ex

Untuk yp dipilih yp = A cos x + B sin x

yp’ = - A sinx + B cos x yp” = - A cos x – B sin x

Kemudian substitusi ke ke PD semula:

(-A cos x – B sin x)–3(-A sin x + B cos x)+2(A cos x +B sin x)= cos x

(-A-3B+2A) cos x + (-B+3A+2B) sin x= cos x (-3B + A) cos x + (3A+B) sin x= cos x -3B + A = 1 dan 3A+B= 0

40

Jadi solusi umum PD di atas adalah

Didapat A = 1/10 dan B = -3/10

1/30/2016

b. Jika r(x) merupakan solusi basis PD homogen, maka

kalikan yp dengan x (atau , jika akar PK PD

Homogen kembar).

Contoh : 1. Tentukan Solusi Umum dari '' 3 ' 2 xy y y e

Jawab :

PK PD homogen : 2 3 2 0

( 2)( 1) 0

1 22 ; 1

Sehingga 2

1 2

x x

hy C e C e

xey 2

1

xey 2

41

2x

1/30/2016

Karena r(x)=solusi basis PD homogen, maka

x

py Cxe ' ( )x x

py C e xe

'' ( ) (2 )x x x x x

py C e e xe C e xe Substitusi ke soal

(2 ) 3 ( ) 2x x x x x xC e xe C e xe Cxe e

(2 3 3 2 )x xe C Cx C Cx Cx e

1 1C C

Jadi x

py xe

Sehingga Solusi Umum: 2

1 2

x x x

h py y C e C e xe

42

pilih

43

y” – 3y’ + 2y = ex, y(0)=1, y’(0)=-1

Jawab:

Persamaan karakteristiknya:

Jadi solusi PD homogennya :

2. Tentukan solusi khusus dari

2 3 2 0

( 1)( 2) 0

1 21 ; 2

2

1 2

x x

hy C e C e

44

Kemudian substitusi ke PD semula:

2Aex+Axex – 3 (Aex + Axex) + 2 Axex = ex

-A ex = ex

A = -1

Jadi solusi umum PD di atas adalah

y = C1e2x + C2e

x – xex

x

py Axe

' , ''

'' 2

x x x x x

p p

x x

p

y Ae Axe y Ae Ae Axe

y Ae Axe

45

y = C1 e2x + C2 e

x – x ex

Kita punya y(0)=1 dan y’(0)=-1

y’ = 2C1e2x + C2e

x – ex – xex

1=C1+C2

0=2C1+C2

Didapat

C1=-1, dan C2 = 2

Jadi solusi khusus PD di atas adalah

y = – e2x + 2 ex – x ex

1/30/2016

2

2

2

. '' 3' 2 cos

. '' 9 2

. '' 3 ' 4 3 2

. '' 3 ' 4

. '' 4 2sin

. '' 4 2cos 2

. '' 2 ' 3 2

. '' 4 ' 4 9cosh

x

a y y x

b y y x

c y y y x

d y y y e

e y y x

f y y x

g y x

h y y y x

1. Tentukan Solusi umum dari PD berikut

2

2

2

3

3 3

2

. '' 4 ' 4

. '' 3 ' 4 3 2

. '' 9 sin 3

. '' ' 3

. '' 6 ' 9 18cos3

. '' 2 ' 3 8 cos 2

. '' 4 ' 3 8

. '' 4 8

x

x

x

x

x x

i y y y e

j y y y x

k y y x e

l y y e x

m y y y x

n y y y e x

o y y y e e

p y y x

46

1/30/2016

2

2

4 3

2

. '' ' 2 3 ; (0) 0 , '(0) 2

. '' 4 ' 3 10 ; (0) 1 , '(0) 3

. '' 3 ' 2 ; (0) 1 , '(0) 2

. '' 4 4sin ; (0) 4 , '(0) 0

. '' 5 ' 6 ; (0) 1 , '(0) 0

. '' ' 2 10sin ; ( ) 3 , '( ) 12 2

x

x

x x

x

a y y y e y y

b y y y e y y

c y y y e e y y

d y y x y y

e y y y e y y

f y y y x y y

2. Tentukan Solusi Khusus dari PD berikut

47

1/30/2016

Metoda ini digunakan sebagai alternatif untuk mencari solusi PD non homogen (yp) yang tidak dapat diselesaikan dengan metoda koefisien tak tentu.

(1)

Misalkan 1 2

1 2,

py uy vy

y y

solusi basis PD homogen

(2)

)(''' xrcybyay

48

1/30/2016

1 1 2 2' ' ' 'py u y uy v y vy

Pilih 1 2' ' 0u y v y

Sehingga 1 2' ' 'py uy vy

1 1 2 2'' ' ' '' ' ' ''py u y uy v y vy

Substitusikan (2),(4),(5) ke (1)

(4)

(5)

(3)

)()(

)''()''''''''(

21

212211

xrvyuyc

vyuybvyyvuyyua

49

1/30/2016

Jadi 1 2' ' ' ' ( )u y v y r x

Dari (3) dan (6) tentukan u dan v

1 2

1 2

' ' 0

' ' ' ' ( )

u y v y

u y v y r x

(6)

)'''()'''( 222111 cybyayvcybyayu

)()'''' 21 xryvyu

=0 =0

50

1/30/2016

1

1 1

1 2

1 2

0

' ( ) ( )' ,

' '

y

y r x y r xv v dx

y y W

y y

'' 21

21

yy

yyW

2

2 2

1 2

1 2

0

( ) ' ( )'

' '

y

r x y y r xu u dx

y y W

y y

Dengan aturan Cramer diperoleh

51

1/30/2016

Contoh

1. Tentukan solusi umum dari PD

Jawab: PK PD homogen :

2

22

x x

x x

e eW

e e

3 32x xe e 3xe

52

xeyyy 42'3''

0232

0)1)(2( 2

1 1

2 2

2

1

x

x

y e

y e

Solusi homogen : xx

h eCeCy 2

2

1

Solusi non homogen, pilih : 1 2py uy vy

1/30/2016

1 2py uy vy

2 ( )y r xu dx

W

4

3

.x x

x

e edx

e

2 21

2

x xe dx e

1 ( )y r xv dx

W

2 4

3

.x x

x

e edx

e

3 31

3

x xe dx e

53

2 2 3 41 1 1. .

2 3 6

x x x x x

py e e e e e

Sehingga solusi umum

2 4

1 2

1

6

h p

x x x

y y y

C e C e e

54

1 2py uy vy

1/30/2016

Jawab: Persamaan karakteristiknya:

Jadi solusi homogennya adalah

Untuk yp dipilih

2. '' tany y x

2

1 21 0 ;i i

1 2cos sinhy C x C x

1 2py uy vy

cos sin1

sin cos

x x

x x

1 2cos ; siny x y x

1 2

1 2' '

y yW

y y

55

dxxx

u1

tansin dx

x

x

cos

sin2

dxx

x

cos

cos1 2

dxxx )cos(sec

dxxdxx cossec

xxx sintansecln

dxxx

v1

tancos dxxsin xcos

56

1/30/2016

Sehingga didapat

xxxxxxxyp cossincossincostansecln

Jadi solusi umum PD tersebut

xxx costansecln

1 2cos sin ln sec tan cos

h py y y

y C x C x x x x

57

58

2

2

. '' csc

2. '' 4 ' 5

sin

. '' cot

. '' 9 sin

x

x

a y y x

eb y y y

x

c y y x

d y y x e

Tentukan solusi umum dari PD

2

2. '' 4 ' 4

xee y y y

x

2. '' 2 '

1

xef y y y

x