DERIVATIF

BAB 2

Turunan secara intuisi

Perhatikan grafik dari fungsi f dengan

dengan l garis lurus yang melalui titik dan

)(xfy

),( 00 yxP

),( 00 yyxxQ

)(xfy

ada

)(limlim bila

)(

jadi

)(

)(

00

0x0x

00

00

00

00

x

xfxxf

x

y

x

xfxxf

x

y

xfxxfy

xfy

xxfyy

)(xfy Maka limit tesebut dinamakan hasil bagi differensial atau derivatif

atau turunan dari fungsi f dengan di titik P(x0,y0) adalah:

)(')(

' 0

00

0 xxfdx

xdf

dx

dyy

xxxx

xx

Definisi

Turunan fungsi f adalah fungsi yang nilainya di setiap bilangan

sebarang x di dalam daerah asal f diberikan oleh :

Jika limit ini ada, turunan fungsi f dilambangkan dgn f’

x

xfxxff'(x)

x

)(lim

0

Jika x1 suatu bilangan tertentu di dalam daerah asal f maka :

Cth

Jika diketahui maka dengan menggunakan

definisi carilah f ’

x

xfxxf) f'(x

x

)(lim 11

01

123)( 2 xxf

Continue…

• Perhatikan

Jika diambil

Maka

Ex.Kerjakan soal di atas untuk x=2

x

xfxxf) f'(x

x

)(lim 11

01

11 ~0 xxxxxx

1

1

11

)()(lim)('

xx

xfxfxf

xx

Teorema

Bila dan masing-masing merupakan fungsi

yang kontinu dan mempunyai turunan pertama pada

domain D maka berlaku :

)(xu )(xv

)(')('

)()(

')()()()( .1

xvxu

dx

xdv

dx

xdu

xvxuxvxudx

d

)(')(

')()(konstan,.3

)()(')(')(

)()(

)()(

')().()().( .2

xkudx

xduk

xkuxkudx

dk

xvxuxvxu

dx

xduxv

dx

xdvxu

xvxuxvxudx

d

2

2

'

)(

)(')()()('

)(

)()(

)()(

)(

)(

)(

)(.4

xv

xvxuxvxu

xv

dx

xdvxu

dx

xduxv

xv

xu

xv

xu

dx

d

dydxdx

dyxfxfy

dx

du

du

dy

dx

dyxguufy

1)( invers mempunyai )( jika.6

)(),( jika.5

1

Proses penghitungan turunan f ’ dari f diferensiasi

Jika fungsi f mempunyai turunan di x1 maka dikatakan fungsi f diferensiabel

di x1

Dkl. Fungsi f diferensiabel di x1 jika f ‘(x1) ada

Jika suatu fungsi f diferensiabel di setiap bilangan riil dalam Df nya maka f

dinamakan fungsi diferensiabel

1

1

)('0,,)( jika

)(',)( jika .7

nn

nn

nxxfxZnxxf

nxxfZnxxf

Latihan

Teorema :

jika f diferensiabel di x1 maka f kontinu di x1

Ex. Periksa apakah kontinu di x=0 dan diff di x=0?xxf )(

)0(0)(lim.

0)(lim,0)(lim

???)(lim.

00)0(.

)(

0

00

0

fxfiii

xfxf

xfii

fi

xxf

x

xx

x

ada tidak )0('limlim

1lim)0(',0

1lim)0(',0

lim)0('

0)0(,)(

)0()0(lim)0('

00

0

0

0

0

fx

x

x

x

x

xfx

x

xfx

x

xf

fxxf

x

fxff

xx

x

x

x

x

Definisi

Jika fungsi f didefinisikan di x1 maka turunan kanan dari f

di x1 yang dinotasikan dengan )( 1

' xf

1

11

'11

01

' )()(lim)(

)(lim)(

1 xx

xfxfxf

x

xfxxfxf

xxx

Jika fungsi f didefinisikan di x1 maka turunan kiri dari f di

x1 yang dinotasikan dengan )( 1

' xf

)()( jika di diff

)()(lim)(

)(lim)(

1

'

1

'

1

1

11

'11

01

'

1

xfxfxf

xx

xfxfxf

x

xfxxfxf

xxx

Turunan Fungsi Polinomial

Bukti

Turunan Fungsi Implisit

Latihan . Tentukan y’

822 yxyx

Solusi

Turunan Tingkat Tinggi

SOLUSI

Contoh

Latihan

• Fungsi trigonometri ( sinus dan cosinus )

merupakan fungsi kontinu, sehingga limit fungsi

sinus dan cosinus di setiap titik sama dengan nilai

fungsinya, yaitu :

• Turunan sinus dan kosinus dapat diturunkan dari

definisi yaitu sbb:

ax

ax

ax

ax

coscoslim

sinsinlim

OR