persamaan diferensial

PENGANTAR PERSAMAAN DIFERENSIAL

Departemen MatematikaFMIPA-IPB

Bogor, 2012

(Dep.Matematika-IPB) Kalkulus I: Pengantar Pers. Diferensial Bogor, 2012 1 / 20

Topik Bahasan

1 Konsep dan Istilah Dasar

2 PDB Orde-1 Terpisahkan

3 Terapan PDB


Konsep dan Istilah Dasar

Istilah-istilah

Persamaan diferensial biasa (PDB) berupa persamaan yangmelibatkan fungsi satu peubah yang tak diketahui, turunan fungsi,atau peubah bebas fungsi.

F(

x, y, y′, y′′, . . . , y(n) = 0)

(1)

dengan y = y (x): fungsi terhadap x yang tak diketahui, x: peubahbebas, y′, y′′, . . . y(n): turunan-turunan fungsi.Contoh:

dydx+ xy = 1 atau y′ + xy = 1

d2ydx2 + y− 1 = 0 atau y′′ + y− 1 = 0



Terapan PDB

dydt = ky (model pertumbuhan populasi, peluruhan bahan radioakif)dRdS =

kS (model respons R terhadap stimulus S)

dxdt = ax (N − x) (model penyebaran inovasi teknologi)dSdt +

( rAM + λ

)S = rA (model respons penjualan S terhadap iklan A)

dkdt = f (k)− λk− c (model pertumbuhan ekonomi neoklasik)d2xdt2 + k dx

dt +ω2x = 0 (model osilasi mekanik)

dTdt = s+ rT

(1− T

Tmax

)− µT (model infeksi HIV) dx

dt = a1x+ b1y+ c1

dydt = a2x+ b2y+ c2

(model perlombaan senjata dua negara)

· · ·



Orde Persamaan Diferensial

Orde suatu persamaan diferensial adalah derajat (pangkat tertinggi)turunan persamaan tersebut.

Contoh:dydx= y⇒ orde-1

d2ydx2 + x

dydx+ 2y = 0⇒ orde-2(

1+(

dydx

)2)

y = 0⇒ orde-1



Solusi Persamaan Diferensial

Fungsi f disebut solusi suatu persamaan diferensial jika persamaantersebut terpenuhi ketika y = y (x) = f (x) dan turunannyadisubstitusikan ke dalam persamaan diferensial tersebut.

Solusi umum suatu PDB orde-1 y′ = f (x, y) mengandungkonstanta C.Solusi khusus suatu PDB orde-1 y′ = f (x, y) dengan kondisi awaly (x0) = y0 tidak mengandung konstanta C.Permasalahan mencari solusi khusus persamaan diferensial dengankondisi awal disebut masalah nilai awal.



SoalTunjukkan bahwa

1 y (x) = Ce2x adalah solusi umum bagi persamaan diferensialdydx= 2y.

2 x2 + y2 = 1 adalah solusi khusus bagi masalah nilai awaly′ = −x/y, y (0) = 1.


PDB Orde-1 Terpisahkan


PDB Orde 1 dikatakan terpisahkan jika dapat dituliskan dalambentuk

dydx= f (x) g (y) (2)

Untuk menyelesaikan PDB terpisahkan, kumpulkan suku-suku denganpeubah yang sama, lalu integralkan.∫ dy

g (y)=∫

f (x) dx

Selesaikan integral masing-masing ruas untuk memperoleh

solusi eksplisit: y = y (x), atausolusi implisit: F (x, y) = 0.



Soal (PDB Terpisahkan)

Tentukan solusi PDB berikut:

1dydx+

xy= 0 , y (0) = 1, jawab: x2 + y2 = 1 SOLUSI

2dydt= −y, y (0) = 1, y > 0, jawab: y = e−t

3dydx=

1+ xxy

, x > 0, y (1) = −4, jawab: y2 = 2 ln x+ 2x+ 14

4dydt= t ey, y (1) = 0, jawab: y = ln 2− ln

(3− t2) , |t| <

√3.

SOLUSI

5 y′ = x ey−x, y (0) = 1, jawab: y = − ln(xe−x + e−x + 1−e

e

)


Terapan PDB

Terapan PDBModel Eksponensial (Malthus) - 1

Cocok untuk masalah pertumbuhan tanpa adanya keterbatasanruang, sumber daya, persaingan.

Sederhana, baik untuk prediksi jangka pendek, kurang realistik untukprediksi jangka panjang.

Terapan:

pertumbuhan populasi (penduduk, ikan, bakteri, dsb.),peluruhan bahan radioaktif,tabungan dengan bunga dihitung kontinu, dsb.


Terapan PDB

Terapan PDBModel Eksponensial (Malthus) - 2

Asumsi: laju perubahan y sebanding dengan besaran y

dydt= ky, y (0) = y0 (3)

Konstanta kesebandingan k disebut laju pertumbuhan (per kapita)(satuan: /[y][t], [y] = satuan y, [t] = satuan waktu t).Solusi (3) adalah

y (t) = y0ek t (4)

SOLUSI


Terapan PDB

Grafik Model Eksponensial

Dalam jangka panjang, y (t)→ ∞ untuk pertumbuhan, y (t)→ 0untuk peluruhan.


Terapan PDB

Terapan Model EksponensialPrediksi Penduduk Dunia dengan Model Eksponensial

ContohSebuah koran memberitakan bahwa pada tahun 1990, banyaknyapenduduk dunia tercatat 5.3 miliar. Dengan laju pertumbuhan 0.017 (perorang per tahun) dan dengan asumsi laju pertumbuhan sebanding denganbanyaknya penduduk, maka populasi penduduk dunia diprediksi akanberlipat ganda dalam 40 tahun. Artinya, pada tahun 2030, pendudukdunia akan mencapai 10.6 miliar. Bagaimana prediksi semacam inidilakukan?

SOLUSI


Terapan PDB

Terapan Model EksponensialUsia Benda Purbakala

Soal

Melalui pengukuran kandungan karbon C-14 pada contoh (sampel) bendapeninggalan purbakala, diperoleh hasil C-14 yang tersisa sebesar 10% darimassa semula. Bila waktu paruh C-14: 5730 tahun (diperlukan 5730tahun untuk meluruh separuhnya),

a Tentukan massa yang tersisa setelah t tahun. Jawab:y (t) = y0e−

ln 25730 t.

b Berapakah usia benda tersebut? Jawab: 5730 ln 10/ ln 2 ≈ 19 000tahun (dibulatkan ke ratusan terdekat).


Terapan PDB

Terapan Perluasan Model EksponensialOrang Pintar Berhenti Merokok

SoalJika seseorang membuka tabungan dengan jumlah awal S0 rupiah pada sebuah bankdengan bunga r per tahun yang dihitung secara kontinu, serta sejumlah d rupiahditabung secara reguler setiap tahun, maka besarnya tabungan pada waktu t, S (t), akanmemenuhi masalah nilai awal

dSdt= rS+ d , S (0) = S0.

a Tentukan S (t). Jawab: S (t) =(

S0 +dr

)ert − d

r .b Ketika berusia 20 tahun, "Tono Smoker" menghentikan kebiasaan merokoknya danmembuka tabungan awal sebesar Rp 100 000,- dengan bunga 8% per tahun yangdihitung secara kontinu. Ia pun secara rutin menyisihkan uang rokoknya sebesarRp 10 000,- per hari dan menabungnya Rp 3 650 000 per tahun. Tunjukkan bahwapada saat pensiun di usia 60 tahun kelak, Tono akan memiliki tabungan lebih dari1 milyar rupiah!!! (dan karenanya ia memutuskan untuk berhenti merokok).

SOLUSI


Terapan PDB

Terapan PDBModel Logistik (Verhulst) - 1

Cocok untuk masalah pertumbuhan dengan adanya keterbatasanruang, sumber daya, persaingan.

Realistik untuk prediksi jangka panjang, sifat jangka pendekmenyerupai model eksponensial.

Terapan:

pertumbuhan populasi (penduduk, ikan, bakteri, dsb.),penyebaran inovasi, informasi, penyakit, dsb.


Terapan PDB

Terapan PDBModel Logistik - 2

Asumsi:

ada batas maksimum M (disebut daya dukung lingkungan) yangdapat "dicapai" suatu besaran y,laju perubahan y sebanding dengan besaran y dan kapasitas ruang sisaM− y

dydt= ky (M− y), y (0) = y0 (5)

Solusi (5) adalah

y (t) =M

1+ be−Mkt(6)

dengan b =My0− 1.

SOLUSI


Terapan PDB

Grafik Model Logistik

ty0

0

y

M

( ) ( )01 / 1 M k t

My tM y e−=

+ −

( )limt y t M→∞ =

Di awal, laju pertumbuhan meningkat, lalu perlahan menurun.

Dalam jangka panjang, y (t)→ M


Terapan PDB

Terapan Model LogistikPenyebaran Inovasi

SoalSuatu inovasi "weed spray" dikenalkan kepada "kelompencapir"(Kelompok Pendengar, Pembaca, dan Pemirsa) petani yang berjumlah5000 orang. Andaikan laju penyebaran inovasi berbanding langsungdengan banyaknya petani yang sudah mengenal inovasi dan sisanya yangbelum mengenalnya. Di awal program, 50 petani telah mengenalnya, duaminggu kemudian 500 petani mengenalnya.

a Formulasikan model diferensial yang dimaksud. Jawab:dydt = ky (5000− y) .

b Tentukan konstanta kesebandingan model. Jawab: k = ln 1110000

c Berapa lama waktu yang dibutuhkan sampai 50% petani mengenalinovasi tersebut? Jawab: hampir 1 bulan

SOLUSI


Terapan PDB

Tentang Slide

Penyusun: N. K. Kutha Ardana (Dosen Dep. Matematika FMIPAIPB)

Versi: 2012 (sejak 2009)

Media Presentasi: LATEX - BEAMER (PDFLATEX)


persamaan diferensial

Education

Transcript of persamaan diferensial