Permukaan dalam ruang dimensi tiga

Perpotongan permukaan dengan bidang datar dinamakan

penampang

penampang

Ingat !!!

Menentukan kurva perpotongan grafik dengan bidang

bidang koordinat atau bidang-bidang yang sejajar bidang

koordinat ( jejak permukaan ) seringkali akan sangat

membantu untuk menggambarkan grafik

Soal :

Buatlah sketsa grafik dari

a.

b.

192516

222

zyx

11694

222

zyx

Sketsa grafik :

• Jejak di bidang : elips

• Jejak di bidang : elips

• Jejak di bidang : elips

xy

yz

xz

192516

222

zyx

125

2

16

2

yx

19

2

25

2

zy

19

2

16

2

zx

192516

222

zyx

Sketsa grafik :

• Jejak di bidang : elips

• Jejak di bidang : hiperb0la

• Jejak di bidang : hiperbola

• Jejak di bidang : elips

xy

yz

xz

4z

11694

222

zyx

19

2

4

2

yx

116

2

9

2

zy

116

2

4

2

zx

118

2

8

2

yx

11694

222

zyx

Misal C suatu kurva pada suatu bidang, suatu garis yang

memotong C tetapi tidak sebidang dengan C

Himpunan semua titik yang pada garis-garis yang sejajar

dan memotong C dinamakan tabung

l

Kurva pembangun C

l

Contoh :1

2

2

2

2

b

x

a

y

Tabung

hiperbol

Ingat !!!

Tabung terjadi bilamana kita menggambar grafik

suatu persamaan dalam ruang dimensi tiga dengan

hanya menggunakan dua peubah

Permukaan yang merupakan grafik suatu persamaan berderajat

dua dalam ruang dimensi tiga dinamakan permukaan kuadrik

Penampang bidang permukaan kuadrik adalah konik

Persamaan derajat dua yang umum berbentuk

Persamaan yang demikian dapat disederhanakan dengan

transformasi sumbu koordinat, ke dalam salah satu dari

0222 JIzHyGxFxzEyzDxyCzByAx

0222 JCzByAx

022 IzByAx

Kuadrik sentral

Elipsoid

12

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Hiperboloid lembar satu

12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Hiperboloid lembar dua

12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Paraboloid elips

2

2

2

2

b

y

a

xz

Paraboloid hiperbol

2

2

2

2

a

x

b

yz

Kerucut elips

02

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Soal:

Berilah nama grafik persamaan berikut

a.

b.

c.

d.

01002544 222 zyx

01222 yzy

022 zx

03649 22 yzx

Sketsa grafik :

• Jejak di bidang : parabola

• Jejak di bidang : parabola

• Jejak di bidang : garis dan

• Jejak di bidang : hiperbola

022 yzx

xy2xy

yz2zy

xz zx

144

22

xz

4y

zx

022 yzx

Sketsa grafik :

• Jejak di bidang : parabola

• Jejak di bidang : parabola

• Jejak di bidang : titik asal

• Jejak di bidang : elips

xy 2

4

1xy

yz 2

9

1zy

xz

4y

03649 22 yzx

13616

22

zx

03649 22 yzx