GEOMETRI ANALITIK BIDANG

“HUBUNGAN ANTARA PARABOLA DENGAN GARIS”

OLEH:

KELOMPOK IV

AYUDYA DWI YULIANTI (E1R012004)

DEWI NOVITA SARI (E1R012007)

FITRIA HANDAYANI (E1R012013)

ISMIATI MULYA NINGSIH (E1R012021)

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

UNIVERSITAS MATARAM

2014

1

A. Definisi Parabola

Parabola didefinisikan sebagai himpunan titik-titik pada bidang yang

berjarak sama dari suatu titik tertentu F dan garis tertentu L pada bidang tersebut.

Titik tertentu f di sebut focus dan garis tertentu di sebut direktrik. Garis yang

melalui titik focus tegak lurus dengan direktrik di sebut sumbu, dan titik pada

sumbu yang membagi dua antara direktrik dan focus di sebut puncak.

B. Persamaan Umum Parabola

1. Persamaan Parabola dengan Puncak (0, 0)

Berdasarkan definisi dari parabola dan rumus jarak antara dua buah titik

d=√( x2−x1 )2+( y2− y1)2

1

Directrix F (focus)

V (vertex) F (focus)

parabola

axis

d1=d2

Pd1

d2

L

F (focus)

Kita dapat menentukan persamaan parabola pada system koordinat dengan

puncak berada pada titik asal dan sumbunya sepanjang sumbu koordinat. Kita

mulai dengan sumbu parabola sepanjang sumbu x dan focus pada F(a ,0) .Kita

tempatkan parabola pada system koordinat dan memberi tanda pada setiap garis

dan titik. Hal ini merupakan langkah yang penting untuk menemukan persamaan

dari gambar geometri pada system koordinat. Untuk diingat bahwa parabola akan

terbuka ke kanan jika a>0dan terbuka ke kiri jika a<0. Puncak berada pada titik

asal, direktrik x=−adan titik koordinat M (−a , y ) .titik p(x , y)adalah

sembarang titik pada parabola jika dan hanya jika:

d1=d2

d ( P , M )=d ( P , F )

√ ( x+a )2+( y− y )2=√ (x−a )2+( y−0 )2

( x+a )2= ( x−a )2+ y2

x2+2 ax+a2=x2−2ax+a2+ y2

y2=4 ax

Persamaan (1) adalah persamaan umum parabola dengan puncak berada

pada titik asal (0,0) , sumbu parabola pada sumbu x, dan focus pada (a ,0) .

Selanjutnya kita tempatkan puncak pada titik asal dan focus berada pada sumbu y

di (0 , a) , untuk diingat bahwa parabola akan terbuka ke atas jika a>0 dan

terbuka kebawah jika a<0.Direktrik y=−adan koordinat N (x ,−a).titik p(x , y)

adalah titik pada parabola jika dan hanya jika

d1=d2

2

Kuadratkan kedua ruas

sederhanakan

(1)

d ( P , N )=d (P , F )

√ ( x−x )2+ ( y+a )2=√( x+0 )2+( y−a )2

( y+a )2=x2+ ( y−a )2

y2+2 ay+a2=x2+ y2−2ay+a2

x2=4 ay

Persamaan (2) merupakan persamaan umum parabola dengan puncak pada

titik asal, sumbu parabola pada sumbu-y, dan focus pada titik (0 , a) .

Gambar: parabola dengan puncak berada pada titik asal dan sumbu pada sumbu-

y

Kita persingkat hasilnya untuk lebih mudah dibahas dalam theorem 1:

Persamaan umum parabola dengan puncak di titik (0 , 0)

1. y2=4 ax

puncak: (0,0)

3

Kuadratkan kedua ruas

sederhanakan

(2)

Fokus: (a ,0)

Direktriks: x=−a

Simetri dengan mengenai sumbu-x

Sumbu: sumbu-x

2. x2=4 ay

puncak: (0,0)

Fokus: (0 , a)

Direktriks: y=−a

Simetri dengan mengenai sumbu-y

Sumbu: sumbu-y

2. Persamaan Parabola Dengan Puncak Pada Titik ( p , q)

Untuk menemukan persamaan dari parabola dengan sumbu sejajar sumbu-x

dan dengan puncak pada titik ( p , q)

4

a<0(membuka ke kiri) a>0(membuka ke kanan)

a<0(membuka ke bawah)

)

a>0(membuka ke atas)

Berdasarkan gambar, A( p , q)merupakan puncak parabola, garis g

merupakan direktriks dari parabola dengan persamaan direktriks

x=−a+ p , F (a+ p ,q )adalah focus dari parabola, sumbu-x merupakan sumbu

simetri dari parabola dengan persamaan parabola y=0. Jika a>0, parabola akan

cekung ke kanan. Jika a<0 maka parabola akan cekung ke kiri.

Misalkan P(x , y) merupakan sembarang titik pada parabola, berdasarkan

definisi parabola maka berlaku:

|PF|=|PQ|

√ ( x−(a+ p ) )2+ ( y−q )2=x−( p−a )( x−a−p )2+( y−q )2=( x−p+a )2

x2−ax−px−px+ap−a2−px+ap+ p2+( y−q )2=x2−px+ax−px−aa+ p2+ax−ap+a2

−2 ax+2 a p+( y−q )2=−2ap+2 ax( y−q )2=2ax+2ax−2 ap−2ap

( y−q )2=4 ax−4 ap

( y−q)2=4 a(x−p)………………………………………(3)

5

Direktriks: x=−a+ p

X

Q(−a+ p , y)

P(x , y)

F (a+ p , q)A( p , q)

Y

0

Sumbu simetri: y=b

Persamaan (3) merupakan persamaan parabola dengan puncak pada ( p , q) ,

sumbu pada sumbu-x dan focus pada (a+ p ,q )

Sekarang pada puncak ( p , q) dan focus pada sumbu-y pada titik ( p , p+q) ,

kita tahu bahwa parabola akan cekung ke atas jikaa>0 dan cekung ke bawah jika

a<0. Persamaan direktriks adalah y=−a+q . Titik P(x , y) merupakan titik pada

parabola, kita akan peroleh:

(x−p)2=4 a ( y−q ) ………………………… …(4 )

6

X

Q(x ,−a+q)

P(x , y)

F (p , a+q)

A( p , q)

Y

0

Sumbu simetri: x=p

Direktriks: y=−a+q

|PF|=|PQ|

√ ( x−p )2+( y− (a+q ) )2=√ ( x−x )2+ ( y−(−a+q ) )2

( x−p )2+( y−a−q )2=( y+a−q )2

( x−p )2+ y2−2ay−2qy+2aq+a2+q2= y2+2 ay−2 qy−2 aq+a2+q2

( x−p )2+2 aq−2 ay−2 ay+2 aq=0

( x−p )2+4 aq−4 ay=0

( x−p )2=−4 aq+4 ay

Persamaan (4) merupakan persamaan parabola dengan puncak pada ( p , q)

sumbu pada sumbu-y, dan focus pada titik ( p , a+q )

C. Persamaan Garis Singgung pada Parabola

1. Persamaan garis singgung dengan gradient m

1.1. Pada parabola yang terbuka ke kanan/ kiri

Misalkan kita akan menemukan persamaaan garis singgung pada

parabola y2=4 a x, dan mempunyai kemiringan m (lihat gambar)

Dimisalkan bahwa persamaaan garis singgung pada parabola

y2=4 ax …(i)is y=mx+b . …(ii)

Jika persamaan tersebut di substitusikan ke persamaan parabola ,

diperoleh:

(mx+b )2=4 ax

m2 x2+(2mb−4 a)x+b2=0 ……………………………….(1)

Oleh karena garis menyinggung parabola maka haruslah

memotong pada satu titik saja, dengan kata lain persamaan kuadrat di

7

X

Y

y2=4 ax

l ≡ y−mx−b=0

0 X

Y

( y−q)2=4 a(x−p)

l ≡ y−mx−b=0

atas haruslah mempunyai penyelesaian yang kembar. Hal itu berarti

nilai diskriminannya haruslah nol.

.

Kondisi ini diberikan oleh persamaan :

(2 mb−4 a )2−4 m2 b2=0

Didapat selesaian untuk nilai b, yaitu:

b= am

, m≠ 0

Jadi persamaan garis singgung pada paraboala y2=4 cx dengan

gradient m adalah

l ≡ y=mx+ am

Untuk persamaan garis singgung pada parabola ( y−q)2=4 a(x−p), dan

puncak pada ( p , q) dan sumbu sejajar dengan sumbu-x, jika garis

mempunyai gradient m, bias diperoleh melalui translasi persamaan (2)

sedemikian sehingga titik asal dberpindah menuju titik ( p ,q) . Jika

persamaan garis y=mx+b disubstitusikan ke dalam persamaan parabola

( y−q)2=4 a(x−p) akan diperoleh:

( y –q )2=4 a(x – p)

( (mx+b ) – q )2=4 a (x – p)

(mx – b )2 – 2(mx+b)q+q2=4a(x−p)

m2 x2+2mbx+b2 – 2 mqx−2 qb+q2=4a (x – p)

m2 x2+2mbx – 2mqx – 4 ax+4 ap – 2qb+b2+q2=0

m2 x2+(2mb – 2 mq – 4 a) x+4 ap – 2 qb+b2+q2=0

Oleh karena garis menyinggung parabola maka haruslah memotong

pada satu titik saja, dengan kata lain persamaan kuadrat di atas haruslah

mempunyai penyelesaian yang kembar. Hal itu berarti nilai

deskriminannya harusla nol. Kondisi ini diberikan oleh persamaan:

8

D=b2−4ac

( (2mb – 2 mq ) – 4 a )2 – 4 m2(4 ap−2qb+b2+q2)=0

4 m2b2 – 8m2 bq – 4 m2 q2 –16 mba+16 mqa+16 a2 – 16 m2 ap+8 m2 qb – 4 m2b2 – 4 m2 q2=0

−16 m ba+16 mqa+16 a2 –16 m2 ap=0

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−:16 a

−mb+mq+a– m2 p=0

−mb=−mq+m2 p – a

−mb=m(mp – q) –a

b=−(mp – q )+ am

Subtitusi nilai n ke persamaan y=mx+b

y=mx+b

y=mx+(−mp+q )+ am

y=mx – m p+q+ am

( y –q )=m ( x – p )+ am

Jadi, persamaan garis singgung parabola ( y−q)2=4 a(x−p)

yang mempunyai gradient m adalah:

y – q=m(x – p)+ am

1.2. Pada parabola yang membuka ke atas/ke bawah

9

X

Yx2=4 ay l ≡ y−mx−b=0

X

(x−p)2=4 a( y−q)Y

Persamaan umum parabola yang berpuncak di titik asal dan sumbu

simetrinya berimpit pada sumbu-y x2=4 ay. Misalkan persamaan garis

parabola itu mempunyai kemiringan m, dan kita misalkan berbentuk:

l ≡ y−mx−b=0

jika y disubstitusikan pada parabola diperoleh:

x2=4 a (mx+b )

x2 – 4 amx – 4 ab=0……………………… . . (4)

Dengan penjelasan yang sama dalam menurunkan rumus (3),

maka l menyinggung parabola maka diskriminan persamaan kuadrat (4)

haruslah nol. Hal itu diberikan oleh persamaan:

(4 am )2 – 4.(– 4 ab)=0

Yang memberikan penyelesaian untuk b,

b=– am2

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah

y=mx – a m2

Demikian pula untuk memperoleh persamaan garis singgung

parabola yang lebih umum ( x – p )2=4 a( y – q) yang berpuncak di titik

( p , q) dan sumbu parabola sejajar dengan sumbu-y, jika garis

mempunyai kemiringan m, dapat diperoleh dengan mentranslasikan

persamaan (5) sedemikian sehingga titik asal berpindah ke titik ( p , q).

jika persamaan garis y=mx+bdisubstitusikan ke dalam persamaan

parabola ( x – p )2=4 a( y – q) diperoleh:

10

( x – p )2=4 a(mx+b – q)

⟷ x2 – 2 px+ p2=4 amx+4 a (b−q)

⟷ x2–2 px+ p2 – 4amx – 4 a(b – q)=0

x2–2 px – 4 amx+ p2 – 4 a(b – q)=0

x2+ (−2 p– 4 am) x+ p2 – 4 a(b – q)=0

Oleh karena garis menyinggung parabola maka haruslah

memotong pada satu titik saja, dengan kata lain persamaan kuadrat di

atas haruslah mempunyai penyelesaian yang kembar. Hal itu berarti

nilai deskriminannya harusla nol. Kondisi ini diberikan oleh persamaan:

D=b2−4ac

⟺ (−2 p – 4 am )2 – 4.1 .¿

⟺4 p2+16 amp+16 a2 m2+16 a(b – q)– 4 p2=0

⟺16 amp+16 a2m2+16 a(b – q)=0

--------------------------------------------------------------------- :16 a

⟺mp+am2+(b –q)=0

⟺(b – q)=−mp – a m2

⟺b=−mp –a m2+q

Subtitusi nilaib=−mp – a m2+q ke y=mx+b

⟺ y=mx+b

⟺ y=mx+(−mp – a m2+q)

⟺ y=¿ mx – mp – a m2+q

⟺ y – q=m(x – p)– a m2

Dengan translasi tersebut diperoleh persamaan garis singgung:

y – q=m(x – p)– a m2

2. Persamaan Garis Singgung yang Melalui Titik di Parabola.

1. Pada parabola yang membuka ke kiri/kanan

11

Untuk menentukan persamaan garis singgung parabola di titik (x1 , y1)

yang terletak pada parabola, pertama kita pandang parabola dalam bentuk

y2=4 ax dan rumus persamaan garis singgung y=mx+ am

.jika titik (x1 , y1)

merupakan titik singgung garis pada parabola, maka berlaku

y1=m x1+am

…………………..(1)

Sekarang nilai m akan kita cari dalam bentuk x1 , y1, dan a yang mana

sudah diketahui.

Kalikan masing-masing ruas pada persamaan (1) dengan m diperoleh

bentuk persamaan kuadrat

x1m2− y1 m+a=0

Yang memberikan penyelesaian untuk m

m=y1±√ y1

2−4 x1 a

2 x1

……………………………….(2)

Karena titik (x¿¿1 , y1)¿ juga terletak pada parabola maka juga berlaku

hubungan

y12=4a x1……… …………………………(3)

Sehingga jika disubstitusikan ke persamaan (2) diperoleh

m=y1

2 x1

……………………………. (4 )

Jika nilai m disubstitusikan ke dalam persamaan garis singgung diperoleh

y=mx+ am

y=y1

2 x1

x+2 x1 a

y1

12

y1 y=y1

2

2 x1

x+2 x1 a

Substitusi nilai y12=4a x1 ke persamaan diatas diperoleh

y1 y=2 a ( x+x1 ) ……… ……………(5)

Ini merupakan persamaan garis singgung parabola y2=4 ax di titik (x1 , y1)

Misalkan p(x1 , y1) titik pada parabola ( y−q )2=4 a (x−p), maka

persamaan garis singgung pada parabola di titik p dapat di cari dari

persamaan (5) dengan mentranslasikan sumbu-sumbu koordinat sedemikian

hingga btiti (0,0) memjadi titik dengan ( p , q) , yaitu dengan substitusi

( y¿¿1−q)( y−q)=2a(( x+x1 )−p)¿

Bukti:

Untuk menentukan persamaan garis singgung parabola di titik (x1 , y1)

yang terletak pada parabola, pertama kita pandang parabola dalam bentuk

( y−q)2=4 a(x−p) dan rumus persamaan garis singgung

( y−q )=m(x−p)+ am

.jika titik (x1 , y1)merupakan titik singgung garis pada

parabola, maka berlaku

( y¿¿1−q)=m(x¿¿1−p)+ am

¿¿…………………..(1)

Sekarang nilai m akan kita cari dalam bentuk x1 , y1, dan a yang mana

sudah diketahui.

Kalikan masing-masing ruas pada persamaan (1) dengan m diperoleh

bentuk persamaan kuadrat

( x1−p ) m2−( y1−q ) m+a=0

Yang memberikan penyelesaian untuk m

13

m=( y¿¿1−q )±√ ( y¿¿1−q)2−4( x¿¿1−p)a2(x¿¿1−p)………………… (2)¿

¿¿¿

Karena titik (x¿¿1 , y1)¿ juga terletak pada parabola maka juga berlaku

hubungan

( y¿¿1−q)2=4 a(x¿¿1−p)…………………………… ……(3)¿¿

Sehingga jika disubstitusikan ke persamaan (2) diperoleh

m=( y¿¿1−q)

2(x¿¿1−p)……………………………. (4 ) ¿¿

Jika nilai m disubstitusikan ke dalam persamaan garis singgung diperoleh

y−q=m(x−p)+ am

y−q=( y¿¿1−q)

2(x¿¿1−p)(x−p)+2(x¿¿1−p)a

y1−q¿¿

¿

( y¿¿1−q)( y−q)=( y1−q)2

2(x¿¿1−p)(x−p)+2 (x¿¿1−p)a¿¿¿

Substitusi nilai ( y¿¿1−q)2=4 a(x¿¿1−p)¿¿ ke persamaan diatas

diperoleh

( y¿¿1−q)( y−q)=2a(( x+x1 )−p)¿

2. Pada parabola yang membuka ke atas/bawah

Selanjutnya kita perhatikan parabola dalam bentuk x2=4 a y dan

rumus persamaan garis singgung. Misalkan titik p (x1 , y1)pada parabola

x2=4 a yakan diperoleh

x12=4 a y1……… …………… ...(1)

14

Dan dengan mengingat persamaan garis singgung parabola yang

mempunyai kemiringan m adalah y=m x−a m2dan titik p (x1 , y1) pada garis,

maka berlaku

y1=m x1−am2

⇔ a m2−x1m+ y1=0… ………….(2)

Diperoleh penyelesaian m dalam x1 , y1 dan a, yaitu

m=x1±√x1

2−4a y1

2a

Dengan mengingat (1), maka

m=x1

2 a…………………………… ..(3)

Jika nilai m disubstitusikan ke persamaan garis singgung diperoleh

⟺4 a y=2 x1 x−x12

Dengan mengingat rumus (1), maka

4 a y=2 x1 x−4 a y1

⟺ x1 x=4a ( y+ y1

2 )……… ……..(4)

Persamaan tersebut merupakan persamaan garis singgung parabola

x2=4 a y di titik (x1 , y1)

Misalkan p(x1 , y1) merupakan titik pada parabola ( x – p )2=4 a ( y – q ) ,

jadi persamaan garis singgung parabola di titik p dapat diperoleh dengan

menggunakan persamaan (4) dengan mentranslasikan sumbu-sumbu

koordinat sedemikian sehingga titik asal (0,0) menjadi titik dengan koordinat

( p , q) , yaitu dengan substitusi

15

(x¿¿1−p)(x−p)=2a (( x+x1 )−q)¿

Bukti:

Selanjutnya kita perhatikan parabola dalam bentuk ¿dan rumus

persamaan garis singgung. Misalkan titik p (x1 , y1)pada parabola ¿akan

diperoleh

(x¿¿1−p)2=4 a( y1−q)…………………… ...(1)¿

Dan dengan mengingat persamaan garis singgung parabola yang

mempunyai kemiringan m adalah ( y−q )=mx−am2dan titik p (x1 , y1) pada

garis, maka berlaku

( y¿¿1−q)=m(x1−p)−a m2 ¿

⇔ a m2−( x1−p ) m+( y¿¿1−q)=0 …………….(2)¿

Diperoleh penyelesaian m dalam x1 , y1 dan a, yaitu

m=(x¿¿1−p)±√¿¿¿¿

Dengan mengingat (1), maka

m=(x¿¿1−p)

2a…………………………… ..(3)¿

Jika nilai m disubstitusikan ke persamaan garis singgung diperoleh

⟺4 a ( y−q )=2( x¿¿1−p)(x−p)−(x¿¿1−p)2¿¿

Dengan mengingat rumus (1), maka

4 a ( y−q )=2( x¿¿1−p)(x−p)−4 a( y1−q )¿

⟺(x¿¿1−p)(x−p)=2 a( ( y+ y1 )−q)¿

3. Persamaan garis singgung melalui titik di luar parabola

16

Jika titik singgungpada parabola adalah S ( x0 , y0 ). Maka persamaan garis

singgung di Sadalah y0 y=2 a ( x+x0 ), karena garis singgung melalui sebuah

titik di luar parabola T ( x1 , y1) ,maka persamaannya menjadi

y0 y1=2a ( x1+x0 ) …… …( i )

Karena ( x0 , y0 ) berada pada parabola, maka y02=4 a x0 ……………… .. ( ii )

Dari persamaan (i) dan (ii) diperoleh ( x0 , y0 ) dan juga diperoleh persamaan

garis singgung yang melalui titik di luar parabola.

Contoh:

1. Tentukan persamaan garis singgung yang melalui titik A(−2 ,−3 ) pada

parabola A(−2 ,−3 )

Penyelesaian:

Dimisalkan titik singgungnya S= ( x0, y0 )

Maka persamaan garis singgung di S pada parabola y2=8 xy y0=2 a ( x+x0 ), karena 4 a=8

a=2

Karena titik A(−2,−3) berada pada garis singgung

⇒−3 y0=4 (−2+x0 ) or 4 x0+3 y0=8 …………………… ( i )

karena S ( x0 , y0 )juga terletak pada parabola y2=8 x

y02=8 x0 ⇔ x0=

18

y02 ………………………………… ……… (ii )

(ii )⇒ (i ) 4 x0+3 y0=8

4 ( 18

y02)+3 y0=8

12

y02+3 y0=8

y02+6 y0−16=0

17

( y0+8 ) ( y0−2 )=0

y0=−8∪ y0=2

untuk y0=−8⇒ x0=8, diperoleh S1 (8 ,−8 )

untuk y0=2⇒ x0=12

, diperoleh S2( 12

,2)jadi, persamaan garis singgung di S1⇒−8 y=4 ( x+8 )

2 y=−x−8

jadi, persamaan garis singgung diS2⇒2 y=4 (x+ 12 )

2 y=4 x+2

18