PERANGKAT PEMBELAJARAN PEMBELAJARAN ALJABAR LINIER 2 MKK414515 Semester IV / 2 SKS Program Studi...
-
Upload
nguyenhanh -
Category
Documents
-
view
219 -
download
0
Transcript of PERANGKAT PEMBELAJARAN PEMBELAJARAN ALJABAR LINIER 2 MKK414515 Semester IV / 2 SKS Program Studi...
PERANGKAT PEMBELAJARAN
MATA KULIAH : ALJABAR LINIER 2
KODE : MKK414515
DOSEN PENGAMPU : Annisa Prima Exacta, M.Pd.
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS VETERAN BANGUN NUSANTARA
SUKOHARJO
KONTRAK PEMBELAJARAN
ALJABAR LINIER 2
MKK414515
Semester IV / 2 SKS
Program Studi
Pendidikan Matematika
Oleh :
Annisa Prima Exacta, M.Pd.
Universitas Veteran Bangun Nusantara Sukoharjo
Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan
I. Identitas Mata Kuliah
Nama Mata Kuliah : Aljabar Linier 2
Kode Matakuliah : MKK414515
SKS : 2 SKS
Semester : IV
Prodi : Pendidikan Matematika
Dosen : Annisa Prima Exacta, M.Pd.
II. Manfaat Matakuliah
Setelah mengikuti perkuliahan ini mahasiswa diharapkan dapat :memahami kembali pengertian matriks
dan transformasi linear, dapat penggunakan matriks dan transformasi linear dalam menyelesaikan
permasalahan, memahami pengertian teorema spektral dan bentuk kuadratik, memahami pengertian
bentuk Kanonik Jordan, dan memiliki pengetahuan untuk dapat menggunakan konsep transformasi
linear, teorema Spektral, bentuk kuadratik dan bentuk Kanonik Jordan pada persoalan-persoalan yang
berkaitan dengan ilmu-ilmu matematika atau ilmu-ilmu lainnya.
III. Deskripsi Matakuliah
Dalam perkuliahan ini dibahas:
1. Ruang euclides, ruang vektor umum, ruang bagian, kebebasan linier, basis dan dimensi,
ruang baris dan ruang kolom matriks, rank, penerapan terhadap pencarian basis, ruang hasil
kali dalam, dan basis orthonormal.
2. Transformasi linier: sifat transformasi linier, kernel dan jangkauan transformasi linier dari
Rn ke Rm, geometri transformasi linier dari R2 ke R2, matriks transformasi linier.
3. Nilai dan vektor eigen
IV. Kompetensi Dasar dan Indikator
Standar Kompetensi :
Menguasai konsep-konsep aljabar linier dan dapat menggunakannya untuk membantu
persoalan-persoalan di berbagai bidang, baik di matematika, ilmu-ilmu lainnya
maupun masalah keseharian, terutama masalah-masalah yang bisa dibuat model
persamaan liniernya.
KD 1 : Menjelaskan konsep-konsep tentang ruang vektor, ruang vektor bagian
Indikator :
Mampu melakukan evaluasi terhadap suatu himpunan dan operasi padanya termasuk
grup, field, ruang vektor, dan ruang vektor bagian, serta menunjukkan ruang baris
dan ruang kolom pada matriks.
KD 2 : menunjukkan vektor-vektor yang bebas linier dari suatu ruang vektor, vektor-
vektor yang saling bergantung linier dan dapat mencari kombinasinya, serta
menjelaskan konsep basis dan dimensi ruang vektor.
Indikator :
1. Menentukan himpunan vektor yang bebas linier
2. Menentukan himpunan vektor yang bergantung linier.
3. Menemukan kombinasi linier dari suatu vektor terhadap vektor-vektor lainnya.
4. Mencari dan menemukan basis dan dimensi dari suatu ruang vektor.
KD 3 : Menjelasakan konsep transformasi linier antar ruang vektor, matriks
transformasi linier dari suatu transformasi, serta menjelaskan konsep perubahan basis
dari suatu ruang vektor.
Indikator :.
1. Mampu melakukan evaluasi terhadap beberapa bentuk transformasi yang
merupakan transformasi linier.
2. Mampu menentukan matriks transformasi linier.
3. Mampu menemukan basis dan dimensi dari ruang peta dan ruang nol.
KD 4 : Memahami konsep panjang dan sudut dari vektor-vektor, matriks yang
mempresentasikan ruang inner product, menjelaskan proyeksi ortogonal dari suatu
vektor, serta melakukan ortogonalisasi basis ruang vektor dengan proses Gram-
Schmidt.
Indikator :
1. Mampu menghitung panjang dan sudut dari vektor-vektor.
2. Mampu menentukan matriks yang mempresentasikan ruang inner product.
3. Mampu menentukan basis ortogonal dan basis ortonormal dari ruang vektor dengan
proses Gram-Schmidt.
KD 5 : Menjelaskan konsep eigenvalues dan eigen vektor dari suatu matriks
transformasi linier, menjelaskan konsep-konsep similaritas matriks transformasi linier,
serta menjelaskan konsep pendiagonalan matriks transformasi linier.
Indikator :
1. Dapat mencari eigenvalues dan eigen vektor dari suatu matriks transformasi
linier.
2. Dapat menemukan matriks yang similaritas dengan matriks transformasi linier.
3. Dapat mendiagonalkan matriks transformasi linier.
KD 6 : Menjelaskan relasi kongruensi antara matriks transformasi, bentuk bilinier, dan
bentuk kuadrat.
Indikator :
Dapat menentukan relasi kongruen, mencari bentuk bilinear, dan bentuk kuadrat.
KD 7 : Menjelaskan konsep bentuk kanonik jordan dari matriks dengan menghitung Ae
dengan menggunakan teorema Caely-hamilton
Indikator :
Dapat mencari bentuk kanonik jordan dari matriks dengan menghitung Ae dengan
menggunakan teorema Caely-hamilton.
V. Organisasi Materi
a. Ruang-ruang vektor
1) Ruang vektor
2) Ruang vektor bagian
3) Ruang baris
4) Ruang kolom
b. Ruang Vektor
1) Bebas linier
2) Bergantung linier
3) Kombinasi linier
4) Basis dan dimensi
c. Transformasi Linier
1) Transformasi linier
2) Koordinat relatif
3) Perubahan basis
4) Matriks transformasi linier
5) Ruang peta
6) Ruang nol
d. Vektor di R2 dan R3
1) Ruang inner product
2) Panjang vektor
3) Jarak antar vektor
4) Sudut antara dua vektor
5) Unit vektor
6) Vektor yang ortogonal
7) Ortogonalisasi vektor dengan Gram-Schmidt
e. Nilai Eigen
1) Eigenvalues dan eigen vektor
2) Similarita
3) Pendiagonalan matriks transformasi linier
f. 1) Relasi kongruensi
2) Bentuk bilinier
3) Bentuk kuadrat
g. Determinan
1) Bentuk kanonik jordan
2) Teorema Caley Hamilton
VI. Pendekatan dan Strategi Pembelajaran
Perkuliahan diselenggarakan dengan perpaduan teori (metode ceramah, diskusi, tanya jawab dan studi
kasus). Diskusi dilakukan secara kelompok, tanya jawab dan studi kasus dilaksanakan di setiap
akhir perkuliahan.
VII. Sumber Belajar
a. Anton, Howard. 2011. Aljabar Linier Elementer. Jakarta: Erlangga.
b. Budi, Wono Setyo. 2012. Aljabar Linier. Jakarta: Gramedia.
c. Modul Aljabar Linier 2
VIII. Penilaian dan Kriteria Pembelajaran
JENIS TES BOBOT
a. Presensi, sikap, perilaku, keaktifan 30%
b. Diskusi, tanya jawab, studi kasus 20%
c. UTS 20%
d. UAS 30%
IX. Jadwal Pembelajaran
MINGGU
KE- MATERI
1 Ruang vektor, ruang vektor bagian
2 Ruang baris dan ruang kolom
3 Bebas linier, bergantung linier, kombinasi linier
4 Basis dan dimensi
5 Transformasi linier, koordinat relatif, perubahan basis
6 Matriks transformasi linier, ruang peta, ruang nol
7 Ruang inner product, panjang vektor, jarak antar vektor, sudut antara dua vektor,
unit vektor.
8 Vektor yang ortogonal, ortogonalisasi vektor dengan Gram-Schmidt
9 Ujian Tengah Semester
10 Eigenvalues dan eigen vektor, similarita
11 Pendiagonalan matriks transformasi linier
12 Relasi kongruensi
13 Bentuk bilinier, bentuk kuadrat
14 Bentuk kanonik jordan, teorema Caley Hamilton
15 Review Materi
16 Ujian Akhir Semester
SILABUS MATA KULIAH
Program Studi : Pendidikan Matematika
Kode Mata Kuliah : MKK414515
Mata Kuliah : Aljabar Linier 2
Bobot : 2 SKS
Semester : IV
Mata Kuliah Prasyarat : Aljabar Linier 1
Deskripsi Mata Kuliah : Dalam perkuliahan ini dibahas: (1) Ruang euclides, ruang vektor umum, ruang bagian, kebebasan linier, basis dan dimensi,
ruang baris dan ruang kolom matriks, rank, penerapan terhadap pencarian basis, ruang hasil kali dalam, dan basis
orthonormal; (2) Transformasi linier: sifat transformasi linier, kernel dan jangkauan transformasi linier dari Rn ke Rm,
geometri transformasi linier dari R2 ke R2, matriks transformasi linier; dan (3) Nilai dan vektor eigen.
Standar Kompetensi : Menguasai konsep-konsep aljabar linier dan dapat menggunakannya untuk membantu persoalan-persoalan di berbagai
bidang, baik di matematika, ilmu-ilmu lainnya maupun masalah keseharian, terutama masalah-masalah yang bisa dibuat
model persamaan liniernya.
Kompetensi Dasar Indikator Pengalaman Belajar Materi Pokok Alokasi Waktu
(menit)
Sumber/Bahan Ajar/Media
Penilaian/ evaluasi
1. Menjelaskan konsep-konsep tentang ruang vektor, ruang vektor bagian
Mampu melakukan evaluasi terhadap suatu himpunan dan operasi padanya termasuk grup, field, ruang vektor, dan ruang vektor bagian, serta menunjukkan ruang baris dan ruang kolom pada
Memberikan penjelasan tentang konsep ruang vektor dan ruang vektor bagian.
Mendiskusikan persoalan tentang ruang vektor dan ruang bagian.
Ruang vektor Ruang vektor
bagian Ruang baris Ruang kolom
4 x 50 Sumber:
Aljabar Linier Elementer
Aljabar Linier
Modul Aljabar Linier 2
Media: LCD,
Partisipasi dalam diskusi
Latihan soal-soal di bahan ajar.
matriks. whiteboard 2. Menunjukkan
vektor-vektor yang bebas linier dari suatu ruang vektor, vektor-vektor yang saling bergantung linier dan dapat mencari kombinasinya, serta menjelaskan konsep basis dan dimensi ruang vektor.
5. Menentukan himpunan vektor yang bebas linier
6. Menentukan himpunan vektor yang bergantung linier.
7. Menemukan kombinasi linier dari suatu vektor terhadap vektor-vektor lainnya.
8. Mencari dan menemukan basis dan dimensi dari suatu ruang vektor.
Menjelaskan tentang cara menentukan himpunan vektor yang bebas linier.
Menjelaskan tentang cara menentukan himpunan vektor yang bergantung linier.
Mengkaji tentang kombinasi linier dari suatu vektor terhadap vektor lainnya.
Menjelaskan tentang cara mencari dan menemukan basis dan dimensi dari suatu ruang vektor.
Mendiskusikan persoalan tentang vektor-vektor yang bebas linier dari suatu ruang vektor.
Mendiskusikan persoalan tentang vektor-vektor yang saling bergantung linier.
Mendiskusikan persoalan tentang kombinasi linier dari suatu vektor terhadap vektor lainnya.
Mendiskusikan persoalan mencari dan menemukan basis dan dimensi dari suatu ruang vektor.
Bebas linier Bergantung
linier Kombinasi
linier Basis dan
dimensi
4 x 50 Sumber:
Aljabar Linier Elementer
Aljabar Linier
Modul Aljabar Linier 2
Media: LCD, whiteboard
Partisipasi dalam diskusi
Latihan soal-soal di bahan ajar.
3. Menjelasakan konsep transformasi linier antar ruang vektor, matriks transformasi linier dari suatu transformasi, serta menjelaskan konsep perubahan basis dari suatu ruang vektor.
Mampu melakukan evaluasi terhadap beberapa bentuk transformasi yang merupakan transformasi linier.
Mampu menentukan matriks transformasi linier.
Mampu menemukan basis dan dimensi dari ruang peta dan ruang nol.
Mengkaji tentang konsep transformasi linier antar ruang vektor, matriks transformasi linier dari suatu transformasi.
Menjelaskan konsep perubahan basis dari suatu ruang vektor.
Mendiskusikan persoalan tentang ruang vektor, matriks transformasi linier dari suatu transformasi, dan perubahan basis dari suatu ruang vektor
Transformasi linier
Koordinat relatif
Perubahan basis
Matriks transformasi linier
Ruang peta Ruang nol
4 x 50 Sumber:
Aljabar Linier Elementer
Aljabar Linier
Modul Aljabar Linier 2
Media: LCD, whiteboard
Partisipasi dalam diskusi
Latihan soal-soal di bahan ajar.
4. Memahami konsep panjang dan sudut dari vektor-vektor, matriks yang mempresentasikan ruang inner product, menjelaskan proyeksi ortogonal dari suatu vektor, serta melakukan
Mampu menghitung panjang dan sudut dari vektor-vektor.
Mampu menentukan matriks yang mempresentasikan ruang inner product.
Mampu menentukan basis ortogonal dan basis ortonormal dari ruang vektor dengan proses
Menkaji tentang konsep panjang dan sudut dari vektor-vektor, matriks yang mempresentasikan ruang inner product.
Menjelaskan proyeksi ortogonal dari suatu vektor, serta melakukan ortogonalisasi basis ruang vektor dengan proses Gram-Schmidt.
Mendiskusikan persoalan tentang panjang dan sudut
Ruang inner product
Panjang vektor
Jarak antar vektor
Sudut antara dua vektor
Unit vektor Vektor yang
ortogonal Ortogonalisas
4 x 50 Sumber:
Aljabar Linier Elementer
Aljabar Linier
Modul Aljabar Linier 2
Media: LCD, whiteboard
Partisipasi dalam diskusi
Latihan soal-soal di bahan ajar.
ortogonalisasi basis ruang vektor dengan proses Gram-Schmidt.
Gram-Schmidt. dari vektor-vektor, matriks yang mempresentasikan ruang inner product
Mendiskusikan persoalan tentang proyeksi ortogonal dari suatu vektor, serta melakukan ortogonalisasi basis ruang vektor dengan proses Gram-Schmidt.
i vektor dengan Gram-Schmidt
5. Menjelaskan konsep eigenvalues dan eigen vektor dari suatu matriks transformasi linier, menjelaskan konsep-konsep similaritas matriks transformasi linier, serta menjelaskan konsep pendiagonalan matriks transformasi linier.
4. Dapat mencari eigenvalues dan eigen vektor dari suatu matriks transformasi linier.
5. Dapat menemukan matriks yang similaritas dengan matriks transformasi linier.
Dapat mendiagonalkan matriks transformasi linier.
Menjelaskan konsep eigenvalues dan eigen vektor dari suatu matriks transformasi linier.
Menjelaskan konsep-konsep similaritas matriks transformasi linier.
menjelaskan konsep pendiagonalan matriks transformasi linier.
Mendiskusikan persoalan tentang eigenvalues dan eigen vektor dari suatu matriks transformasi linier.
Mendiskusikan persoalan tentang similaritas matriks transformasi linier.
Mendiskusikan persoalan tentang pendiagonalan matriks transformasi linier.
Eigenvalues dan eigen vektor
Similaritas Pendiagonala
n matriks transformasi linier
4 x 50 Sumber:
Aljabar Linier Elementer
Aljabar Linier
Modul Aljabar Linier 2
Media: LCD, whiteboard
Partisipasi dalam diskusi
Latihan soal-soal di bahan ajar.
6. Menjelaskan relasi kongruensi antara matriks transformasi, bentuk bilinier, dan bentuk kuadrat.
Dapat menentukan relasi kongruen, mencari bentuk bilinear, dan bentuk kuadrat.
Menjelaskan relasi kongruensi antara matriks transformasi, bentuk bilinier, dan bentuk kuadrat.
Mendiskusikan persoalan tentang relasi kongruensi antara matriks transformasi, bentuk bilinier, dan bentuk kuadrat.
Relasi kongruensi
Bentuk bilinier
Bentuk kuadrat
4 x 50 Sumber:
Aljabar Linier Elementer
Aljabar Linier
Modul Aljabar Linier 2
Media: LCD, whiteboard
Partisipasi dalam diskusi
Latihan soal-soal di bahan ajar.
7. Menjelaskan konsep bentuk kanonik jordan dari matriks dengan
menghitung Ae
dengan menggunakan teorema Caely-hamilton
Dapat mencari
bentuk kanonik
jordan dari matriks
dengan
menghitung Ae
dengan
menggunakan
teorema Caely-
hamilton
Menjelaskan konsep bentuk kanonik jordan dari matriks
dengan menghitung Ae dengan menggunakan teorema Caely-hamilton.
Mendiskusikan persoalan tentang bentuk kanonik jordan dari matriks dengan
menghitung Ae dengan menggunakan teorema Caely-hamilton.
Bentuk
kanonik
jordan
Teorema
Caley
Hamilton
2 x 50 Sumber:
Aljabar Linier Elementer
Aljabar Linier
Modul Aljabar Linier 2
Media: LCD, whiteboard
Partisipasi dalam diskusi
Latihan soal-soal di bahan ajar.
RENCANA MUTU PERKULIAHAN (RMP)
Nama Dosen : Annisa Prima Exacta, M.Pd.
Fakultas : Keguruan dan Ilmu Pendidikan
Program Studi : Pendidikan Matematika
Mata Kuliah : Aljabar Linier 2
Kode Mata Kuliah : MKK414515
Bobot : 2 sks
Semester : IV
Pertemuan ke- : 1 dan 2
Standar Kompetensi : Menguasai konsep-konsep aljabar linier dan dapat menggunakannya
untuk membantu persoalan-persoalan di berbagai bidang, baik di
matematika, ilmu-ilmu lainnya maupun masalah keseharian, terutama
masalah-masalah yang bisa dibuat model persamaan liniernya.
Kompetensi Dasar : 1. Menjelaskan konsep-konsep tentang ruang vektor, ruang vektor
bagian.
Indikator : 1.1 Mampu melakukan evaluasi terhadap suatu himpunan dan operasi
padanya termasuk grup, field, ruang vektor, dan ruang vektor
bagian, serta menunjukkan ruang baris dan ruang kolom pada
matriks.
A. MATERI
RUANG VEKTOR
Misalkan V sebarang himpunan benda yang operasinya didefinisikan, yakni penambahhan dan perkalian dengan skalar (bilangan riil). Penambahan tersebut dipahami untuk mengasosiasikan suatu aturan dengan setiap pasang benda u dan v dalam V, yang mengandung elemen u + v, yang dinamakan jumlah u dan v; dengan perkalian skalar diartikan aturan untuk mengasosiasikan baik untuk setiap skalar k maupun setiap benda u pada V yang mengandung elemen ku, yang dinamakan perkalian skalar (scalar multiple) u oleh k. jika aksioma-aksioma berikut dipenuhi oleh semua benda u, v, dan w pada V dan oleh semua skalar k dan l, maka dinamakan V sebagai ruang vektor (vector space) dan benda-benda pada V dinamakan vektor. 1. Jika u dan v adalah benda-benda pada V, maka u v berada di V 2. u v v u
3. u v w u v w
4. Ada suatu benda 0 di V sehingga 0 0u u u untuk semua u di V 5. Untuk setiap u di V, maka ada suatu benda –u di V yang dinamakan negatif u sehingga
0u u u u
6. Jika k adalah sebarang skalar dan u adalah sebarang benda di V, maka ku berada di V
7. k u v ku kv
8. k l u ku lu
9. k lu kl u
10. 1u u
Sub Ruang Vektor
Misalkan W himpunan bagian dari ruang vektor V maka W disebut sub ruang vektor (subspace vector) dari V, bila vektor-vector didalam W memenuhi sifat penjumlahan dan perkalian skalar dari V. Teorema 1.4 Jika W adalah himpunan dari satu atau lebih vektor dari suatu ruang vektor V, maka W adalah subruang dari V jika dan hanya jika kondisi-kondisi berikut berlaku. 1. Jika u dan v adalah vektor-vektor pada W, maka u v terletak di W 2. Jika k adalah sebarang skalar dan u adalah sebarang vektor pada W, maka ku berada di
W.
Ruang Baris dan Ruang Kolom Misal matriks A berukuran mxn
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
m m mn
a a a
a a aA
a a a
Vektor baris:
1 11 12 1
2 21 22 2
1 2
n
n
m m m mn
r a a a
r a a a
r a a a
Vektor kolom:
11 12 1
21 22 2
1 2
1 2
, , ,
1 1 1
n
n
n
m m mn
a a a
a a ac c c
B. METODE PEMBELAJARAN
Pembelajaran Langsung (Direct Instruction) dan diskusi kelompok.
Sub ruang Rn yang direntang oleh
vektor baris disebut ruang baris
(row space) dari A
Sub ruang Rn yang direntang oleh
vektor kolom disebut ruang
kolom (colomn space) dari A
C. LANGKAH PEMBELAJARAN
Pertemuan ke-1
No Tahap Kegiatan Pembelajaran Alokasi waktu
1. Pendahuluan Apersepsi dan motivasi: 1. Memberikan kontrak perkuliahan 2. Memberikan motivasi pada mahasiswa
tentang pentingnya mempelajari mata kuliah aljabar linier untuk kehidupan sehari-hari.
15 menit
2. Penyajian a. Eksplorasi 1. Memberikan penjelasan tentang
konsep ruang vektor dan ruang vektor bagian.
2. Memberikan contoh persoalan yang berkaitan dengan ruang vektor dan ruang vektor bagian.
b. Elaborasi 1. Mahasiswa diberi persoalan baru
mengenai ruang vektor dan ruang vektor bagian.
2. Mahasiswa diminta untuk mengerjakan persoalan yang diberikan dengan berdiskusi.
3. Perwakilan mahasiswa mempresentasikan hasil diskusi didepan kelas.
c. Eksplanasi Dosen memberikan umpan balik pada hasil diskusi yang dipresentasikan.
60 menit
50 menit
15 menit
3. Penutup Refleksi Dosen bersama mahasiswa membuat rangkuman/ kesimpulan.
10 menit
Pertemuan ke-2
No Tahap Kegiatan Pembelajaran Alokasi waktu
1. Pendahuluan Apersepsi dan motivasi: 1. Mengingat kembali materi sebelumnya 2. Memberikan motivasi pada mahasiswa
tentang pentingnya mempelajari mata kuliah aljabar linier untuk kehidupan sehari-hari.
15 menit
2. Penyajian a. Eksplorasi 1. Memberikan penjelasan tentang
konsep ruang baris dan ruang kolom.
2. Memberikan contoh persoalan yang berkaitan dengan ruang baris dan ruang kolom.
b. Elaborasi 1. Mahasiswa diberi persoalan baru
mengenai ruang baris dan ruang kolom.
2. Mahasiswa diminta untuk mengerjakan persoalan yang diberikan dengan berdiskusi.
3. Perwakilan mahasiswa mempresentasikan hasil diskusi didepan kelas.
c. Eksplanasi Dosen memberikan umpan balik pada hasil diskusi yang dipresentasikan.
60 menit
50 menit
15 menit
3. Penutup Refleksi Dosen bersama mahasiswa membuat rangkuman/ kesimpulan.
10 menit
D. MEDIA PEMBELAJARAN
Whiteboard, LCD dan Laptop
E. SUMBER BELAJAR
d. Anton, Howard. 2011. Aljabar Linier Elementer. Jakarta: Erlangga.
e. Budi, Wono Setyo. 2012. Aljabar Linier. Jakarta: Gramedia.
f. Modul Aljabar Linier 2
F. PENILAIAN
Teknik : Hasil diskusi, keaktifan dalam diskusi
RENCANA MUTU PERKULIAHAN (RMP)
Nama Dosen : Annisa Prima Exacta, M.Pd.
Fakultas : Keguruan dan Ilmu Pendidikan
Program Studi : Pendidikan Matematika
Mata Kuliah : Aljabar Linier 2
Kode Mata Kuliah : MKK414515
Bobot : 2 sks
Semester : IV
Pertemuan ke- : 3 dan 4
Standar Kompetensi : Menguasai konsep-konsep aljabar linier dan dapat menggunakannya
untuk membantu persoalan-persoalan di berbagai bidang, baik di
matematika, ilmu-ilmu lainnya maupun masalah keseharian, terutama
masalah-masalah yang bisa dibuat model persamaan liniernya.
Kompetensi Dasar : 2. Menunjukkan vektor-vektor yang bebas linier dari suatu ruang
vektor, vektor-vektor yang saling bergantung linier dan dapat
mencari kombinasinya, serta menjelaskan konsep basis dan
dimensi ruang vektor.
Indikator : 2.1 Menentukan himpunan vektor yang bebas linier
2.2 Menentukan himpunan vektor yang bergantung linier.
2.3 Menemukan kombinasi linier dari suatu vektor terhadap
vektor-vektor lainnya.
2.4 Mencari dan menemukan basis dan dimensi dari suatu ruang
vektor.
A. MATERI
RUANG VEKTOR
Kombinasi Linier Vektor w dikatakan kombinasi linear dari vektor-vektor 1 2, ,....., rv v v bila vektor w dapat
dinyatakan sebagai persamaan vektor (SPL) berikut:
1 1 2 2 r rw k v k v k v , di mana 1 2, , , rk k k adalah skalar.
Merentang
Misalkan 1 2, , , rv v v di V dan tiap-tiap vektor tersebut kombinasi linear dari 1 2, , , rv v v
maka vektor tersebut dikatakan merentang ruang V
Bebas Linier
Jika 1 2, , , rS v v v adalah himpunan vektor dan suatu persamaan vektor:
1 1 2 2 0r rk v k v k v
Persamaan tersebut pasti mempunyai “satu pemecahan” (Pemecahan trivial) yaitu:
1 2 3 0rk k k k
Jika demikian maka vektor S dinamakan himpunan bebas linear (linearly independent)
dan jika ada pemecahan lain (pemecahan tak trivial), maka S dinamakan tak bebas linear
(linearly independent).
Basis dan Dimensi
Jika V adalah sebarang ruang vektor dan 1 2, , , rS v v v merupakan himpunan
berhingga dari vektor-vektor pada V, maka S disebut basis untuk V jika:
a. S bebas linear b. S merentang V
Contoh 1.10
Apakah himpunan 1 2 3, ,S v v v di mana 1 2 31,2,1 ; 2,9,0 ; 3,3,4v v v
merupakan basis untuk R3? Solusi:
a. Buktikan S bebas linear syarat: punya pemecahan 1 2 3 0k k k
1 1 2 2 3 3 0k v k v k v
SPL
1 2 3
1 2 3
1 3
2 3 0 1 2 3
2 9 3 0 2 9 3
4 0 1 0 4
k k k
k k k A
k k
b. Buktikan S merentang R3 syarat : kominasi linear Konsisten/tidak?
Punya invers
Det (A) 0
Det (A) 0 A dapat dibalik (punya invers)
S merentang R3 Kesimpulan: S adalah sebuah basis untuk R3
Definisi: Dimensi suatu ruang vektor V yang berdimensi berhingga didefinisikan sebagai banyaknya vektor pada basis untuk V. Teorema:
1. Jika 1 2, , , nS v v v adalah suatu himpunan n vektor bebas linear pada suatu ruang
V yang berdimensi n, maka S adalah suatu basis untuk V
2. Jika 1 2, , , nS v v v adalah suatu himpunan n vektor yang merentang pada suatu
ruang V yang berdimensi n, maka S adalah suatu basis untuk V
3. Jika 1 2, , , nS v v v adalah suatu himpunan n vektor bebas linear pada suatu ruang
V yang berdimensi n, dan r n , maka S adalah dapat diperbesar menjadi basis untuk
V; yakni vektor-vektor 1, ,r nv v sehingga 1 2 1, , , , ,r r nv v v v vadalah suatu basis
untuk V B. METODE PEMBELAJARAN
Pembelajaran Langsung (Direct Instruction) dan diskusi kelompok.
C. LANGKAH PEMBELAJARAN
Pertemuan ke-3
No Tahap Kegiatan Pembelajaran Alokasi waktu
1. Pendahuluan Apersepsi dan motivasi: Memberikan motivasi pada mahasiswa tentang pentingnya mempelajari mata kuliah aljabar linier untuk kehidupan sehari-hari.
10 menit
2. Penyajian a. Eksplorasi 1. Menjelaskan tentang cara
menentukan himpunan vektor yang bebas linier.
2. Menjelaskan tentang cara menentukan himpunan vektor yang bergantung linier.
3. Mengkaji tentang kombinasi linier dari suatu vektor terhadap vektor lainnya.
b. Elaborasi 1. Mahasiswa diberi persoalan
mengenai vektor yang bebas linier, vektor yang bergantung linier, dan kombinasi linier.
2. Mahasiswa diminta untuk mengerjakan persoalan yang diberikan dengan berdiskusi.
3. Perwakilan mahasiswa mempresen-tasikan hasil diskusi didepan kelas.
c. Eksplanasi Dosen memberikan umpan balik pada hasil diskusi yang dipresentasikan.
60 menit
50 menit
15 menit
3. Penutup Refleksi
Dosen bersama mahasiswa membuat rangkuman/ kesimpulan.
15 menit
Pertemuan ke-4
No Tahap Kegiatan Pembelajaran Alokasi waktu
1. Pendahuluan Apersepsi dan motivasi: 1. Mengingat kembali materi pada
pertemuan sebelumnya. 2. Memberikan motivasi pada mahasiswa
tentang pentingnya mempelajari mata kuliah aljabar linier untuk kehidupan sehari-hari.
10 menit
2. Penyajian a. Eksplorasi 1. Menjelaskan tentang cara mencari
dan menemukan basis dan dimensi dari suatu ruang vektor.
b. Elaborasi 1. Mahasiswa diberi persoalan
mengenai vektor yang bebas linier, vektor yang bergantung linier, dan kombinasi linier.
2. Mahasiswa diminta untuk mengerjakan persoalan yang diberikan dengan berdiskusi.
3. Perwakilan mahasiswa mempresen-tasikan hasil diskusi didepan kelas.
c. Eksplanasi Dosen memberikan umpan balik pada hasil diskusi yang dipresentasikan.
50 menit
60 menit
20 menit
3. Penutup Refleksi
Dosen bersama mahasiswa membuat rangkuman/ kesimpulan.
10 menit
D. MEDIA PEMBELAJARAN
Whiteboard, LCD dan Laptop
E. SUMBER BELAJAR
1. Anton, Howard. 2011. Aljabar Linier Elementer. Jakarta: Erlangga.
2. Budi, Wono Setyo. 2012. Aljabar Linier. Jakarta: Gramedia.
3. Modul Aljabar Linier 2
F. PENILAIAN
Teknik : Hasil diskusi, keaktifan dalam diskusi
RENCANA MUTU PERKULIAHAN (RMP)
Nama Dosen : Annisa Prima Exacta, M.Pd.
Fakultas : Keguruan dan Ilmu Pendidikan
Program Studi : Pendidikan Matematika
Mata Kuliah : Aljabar Linier 2
Kode Mata Kuliah : MKK414515
Bobot : 2 sks
Semester : IV
Pertemuan ke- : 5 dan 6
Standar Kompetensi : Menguasai konsep-konsep aljabar linier dan dapat menggunakannya
untuk membantu persoalan-persoalan di berbagai bidang, baik di
matematika, ilmu-ilmu lainnya maupun masalah keseharian, terutama
masalah-masalah yang bisa dibuat model persamaan liniernya.
Kompetensi Dasar : 3. Menjelasakan konsep transformasi linier antar ruang vektor,
matriks transformasi linier dari suatu transformasi, serta
menjelaskan konsep perubahan basis dari suatu ruang vektor.
Indikator : 3.1 Mampu melakukan evaluasi terhadap beberapa bentuk
transformasi yang merupakan transformasi linier.
3.2 Mampu menentukan matriks transformasi linier.
3.3 Mampu menemukan basis dan dimensi dari ruang peta dan
ruang nol.
A. MATERI
RUANG VEKTOR
Kombinasi Linier Jika :F V W adalah suatu fungsi dari ruang vektor V ke dalam ruang vektor W, maka F dikatakan transformasi linear (linear transformation) jika
1. F u v F u F v untuk semua vektor u dan v di V
2. F ku kF u untuk semua vektor u di V dan semua skalar k
Sifat Transformasi Linear; Kernel dan Jangkauan
Jika :T V W adalah transformasi linear, maka himpunan vektor di V yang dipetakan T ke dalam 0 dinamakan kernel (atau ruang nol) dari T; himpunan tersebut dinyatakan oleh
ker T . Himpunan semua vektor di W yang merupakan bayangan di bawah T dari paling
sedikit satu vektor di V dinamakan jangkauan dari T; himpunan tersebut dinyatakan oleh
R T .
Teorema: Jika :T V W adalah transformasi linear, maka
1. 0 0T
2. T v T v untuk semua v di V
3. T v w T v T w untuk semua v dan w di V
Teorema: Jika :T V W adalah transformasi linear, maka dimensi jangkauan dari T dinamakan rank T dan dimensi kernel dinamakan nulitas (nullity) T. Teorema: Jika :T V W adalah transformasi linear, maka
1. Kernel dari T adalah subruang dari V 2. Jang/kauan dari T adalah subruang dari W
Teorema: Jika :T V W adalah transformasi linear dari ruang vektor V yang berdimensi n kepada suatu ruang vektor W, maka:
rank dari nulitas dari T T n
Teorema: Jika A adalah matriks m x n maka dimensi ruang pemecahan dari 0Ax adalah:
rankn A
Misalkan 1 2, , , nv v v adalah basis untuk ruang vektor v dan :T V W adalah
transformasi linear. Jika bayangan vektor basisnya diketahui yaitu:
1 2, , , nT v T v T v
Maka kita dapat memperoleh bayangan T v dari sebarang vektor v dengan menyatakan
dulu v dalam basis tersebut, misalkan:
1 1 2 2 n nv k v k v k v
Dan kemudian dapat ditulis:
1 1 2 2 n nT v k T v k T v k T v
B. METODE PEMBELAJARAN
Pembelajaran Langsung (Direct Instruction) dan diskusi kelompok.
C. LANGKAH PEMBELAJARAN
Pertemuan ke-5
No Tahap Kegiatan Pembelajaran Alokasi waktu
1. Pendahuluan Apersepsi dan motivasi: Memberikan motivasi pada mahasiswa tentang pentingnya mempelajari mata kuliah aljabar linier untuk kehidupan sehari-hari.
5 menit
2. Penyajian a. Eksplorasi 1. Mengkaji tentang konsep
50 menit
transformasi linier antar ruang vektor, matriks transformasi linier dari suatu transformasi.
2. Menjelaskan konsep perubahan basis dari suatu ruang vektor.
b. Elaborasi 1. Mahasiswa dibagi menjadi beberapa
kelompok secara heterogen. 2. Setiap kelompok diberikan persoalan
mengenai transformasi linier antar ruang vektor, matriks transformasi linier dari suatu transformasi, dan perubahan basis dari suatu ruang vektor.
3. Mahasiswa diminta untuk mengerjakan persoalan yang diberikan dengan berdiskusi perkelompok.
4. Dosen memilih secara acak salah satu perwakilan kelompok untuk mempresen-tasikan hasil diskusi didepan kelas.
c. Eksplanasi Dosen memberikan umpan balik pada hasil diskusi yang dipresentasikan.
70 menit
15 menit
3. Penutup Refleksi Dosen bersama mahasiswa membuat rangkuman/ kesimpulan.
10 menit
Pertemuan ke-6
No Tahap Kegiatan Pembelajaran Alokasi waktu
1. Pendahuluan Apersepsi dan motivasi: 1. Mengingat kembali materi pada
pertemuan sebelumnya. 2. Memberikan motivasi pada mahasiswa
tentang pentingnya mempelajari mata kuliah aljabar linier untuk kehidupan sehari-hari.
15 menit
2. Penyajian a. Eksplorasi
Mendiskusikan persoalan tentang ruang vektor, matriks transformasi linier dari suatu transformasi, dan perubahan basis dari suatu ruang vektor
b. Elaborasi
45 menit
1. Mahasiswa diberi persoalan tentang ruang vektor, matriks transformasi linier dari suatu transformasi, dan perubahan basis dari suatu ruang vektor.
2. Mahasiswa diminta untuk mengerjakan persoalan yang diberikan dengan berdiskusi.
3. Perwakilan mahasiswa mempresen-tasikan hasil diskusi didepan kelas.
c. Eksplanasi Dosen memberikan umpan balik pada hasil diskusi yang dipresentasikan.
60 menit
20 menit
3. Penutup Refleksi Dosen bersama mahasiswa membuat rangkuman/ kesimpulan.
10 menit
D. MEDIA PEMBELAJARAN
Whiteboard, LCD dan Laptop
E. SUMBER BELAJAR
1. Anton, Howard. 2011. Aljabar Linier Elementer. Jakarta: Erlangga.
2. Budi, Wono Setyo. 2012. Aljabar Linier. Jakarta: Gramedia.
3. Modul Aljabar Linier 2
F. PENILAIAN
Teknik : Hasil diskusi, keaktifan dalam diskusi
RENCANA MUTU PERKULIAHAN (RMP)
Nama Dosen : Annisa Prima Exacta, M.Pd.
Fakultas : Keguruan dan Ilmu Pendidikan
Program Studi : Pendidikan Matematika
Mata Kuliah : Aljabar Linier 2
Kode Mata Kuliah : MKK414515
Bobot : 2 sks
Semester : IV
Pertemuan ke- : 7 dan 8
Standar Kompetensi : Menguasai konsep-konsep aljabar linier dan dapat menggunakannya
untuk membantu persoalan-persoalan di berbagai bidang, baik di
matematika, ilmu-ilmu lainnya maupun masalah keseharian, terutama
masalah-masalah yang bisa dibuat model persamaan liniernya.
Kompetensi Dasar : 4. Memahami konsep panjang dan sudut dari vektor-vektor, matriks
yang mempresentasikan ruang inner product, menjelaskan
proyeksi ortogonal dari suatu vektor, serta melakukan
ortogonalisasi basis ruang vektor dengan proses Gram-Schmidt.
Indikator : 4.1 Mampu menghitung panjang dan sudut dari vektor-vektor.
4.2 Mampu menentukan matriks yang mempresentasikan ruang
inner product.
4.3 Mampu menentukan basis ortogonal dan basis ortonormal
dari ruang vektor dengan proses Gram-Schmidt.
A. MATERI
RUANG VEKTOR di R2 dan R3
Ruang Hasil Kali Dalam ( Ruang Inner Product)
Hasil kali dalam atau perkalian dalam adalah pemetaan suatu bilangan rill ,u v pada
setiap pasangan vektor u dan v di ruang V yang memenuhi keempat aksioma berikut:
1. , ,u v v u simetris
2. , , ,u v w u w v w aditivitas
3. , ,ku v k u v homogenitas
4. , 0;v v dan , 0v v jhj 0v positivitas
Suatu ruang vektor yang dilengkapi dengan perkalian dalam (memenuhi 4 aksioma)
disebut ruang perkalian dalam ,V u v
Ketaksamaan Cauchy-Scwarz
Jika u dan v adalah vektor-vektor di dalam sebuah ruang hasil kali dalam V maka berlaku: 2
, , ,u v u u v v
Panjang, Jarak dan Sudut Dalam Ruang Perkalian Dalam
Misalkan u dan v vektor-vektor di dalam ruang hasil kali dalam maka panjang (norma) dari
vektor u didefinisikan: 1
2
,u u u dan jarak vektor u dan v didefinisikan:
,d u v u v
Jadi, jika dan 1 2, ,....., nv v v v adalah vektor di Rn maka:
1
2 2 2 2
1 2, . nu u u u u u
1
2 2 2 2
1 1 2 2, , n nd u v u v u v u v u v u v u v
Dari ketaksamaan CHAUCHY-SCHWARZ jika u dan v vektor-vektor pada dalam ruang hasil kali dalam, maka:
2
, , ,u v u u v v
2 2 2
,u v u v
2
,1
, ,1 1 cos dan 0
u v
u v
u v u v
u v u v
didefinisikan sebagai sudut di antara vektor u dan vektor v. Teorema:
Jika V adalah ruang hasil kali dalam, maka norma 1
2,u u v dan jarak ,d u v u v
memenuhi semua sifat yang didaftarkan pada tabel di atas Definisi:
Dalam ruang hasil kali dalam, dua vektor u dan v disebut orthogonal jika , 0u v .
Selanjutnya, jika u orthogonal terhadap setiap vektor sebarang di dalam himpunan W, maka: u orthogonal kepada W. Teorema (Teorema Pythagoras yang digeneralisasikan):
Jika u dan v adalah vektor-vektor orthogonal pada ruang hasil kali dalam, maka: 2 2 2
u v u v
Basis Orthonormal dan Proses Gram Schmidt
Suatu himpunan vektor pada ruang hasil kali dalam dinamakan himpunan orthogonal jika semua pasangan vektor yang berbeda dalam himpunan tersebut orthogonal. Selanjutnya himpunan orthogonal yang setiap vektornya mempunyai norma 1 dinamakan orthonormal. Contoh:
Diketahui 1 2 3
1 1 1 10,1,0 , ,0, , ,0,
2 2 2 2v v v
. Apakah 1 2 3, ,S v v v di
ruang hasil kali dalam Euclidis orthonormal? Solusi: Cek orthogonalitas masing-masing vektor
1 2 2 3 1 3, , , 0v v v v v v
Cek jarak : 1 2 3 1v v v
Jika v adalah vektor taknol pada ruang hasil kali dalam, maka dapat dibuat mempunyai panjang (norma) 1 dengan jalan menormalisasikan vektor v yaitu mengalikan vektor v taknol dengan kebalikan panjangnya.
1v
v
Misal:
1
1,1,1 1,1,13
1 1 1 , , 1
3 3 3
v
v
Teorema:
Jika 1 2, , , nS v v v adalah baris orthonormal untuk ruang hasil kali dalam V dan u
adalah sebarang vektor dalam V maka:
1 1 2 2, , , n nu u v v u v v u v v
atau u sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor di dalam S Bukti:
1 2 3, ,S v v v : basis 1 1 2 2 n nu k v k v k v
Harus dibuktikan: , , 1,2, ,i ik u v i n
1 1 2 2
1 1 2 2
, ,
, , , *
i n n i
i i n n i
u v k v k v k v v
k v v k v v k v v
Karena S: orthonormal 2
, 1i i iv v v
, 0i jv v jika 1j
Sehingga persamaan (*) dapat disederhanakan menjadi 1, iu v k (terbukti)
Contoh:
Misal: 1 2 30,1,0 , 4 /5,0,3/5 , 3/5,0,4 /5v v v
A. Apakah 1 2 3, ,S v v v basis orthonormal untuk R3 dengan hasil kali dalam Euclidis?
B. Nyatakan 1,1,1u sebagai kombinasi linear vektor-vektor S
Solusi:
a. 1 2 2 3 1 3, , , 0v v v v v v
1 2 3 1v v v
b. 1 1 2 2 3
1 7, 1, , , ,
5 5nk u v k u v k u v
1 2 3
1 7
5 5
1 4 3 7 3 41,1,1 0,1,0 ,0, ,0,
5 5 5 5 5 5
u v v v
Teorema:
Jika 1 2, , , nS v v v adalah himpunan orthogonal vektor taknol di ruang hasil kali
dalam, maka S bebas linear
Bukti
S bebas linear 1 1 2 2 3 3 0n nk v k v k v k v
Harus dibuktikan: 1 2 0nk k k
1 1 2 2 3 3 , 0n n ik v k v k v k v v
1 1 2 2 3 3, , , , 0i i i n n ik v v k v v k v v k v v
Karena:
, 0
, 0
i j
i j
i j v v
i j v v
Sehingga persamaan di atas menjadi , 0 0, 1,2 ,i i j ik v v k i n
S bebas linear
Contoh:
Terdapat himpunan vektor 1 2 3
1 1 1 10,1,0 , ,0, , ,0,
2 2 2 2v v v
.
1 2 3, ,S v v v membentuk himpunan orthonormal terhadap hasil kali R3 sehingga
himpunan vektor tersebut bebas linear 1 2 3 0k k k . Cek!
Teorema:
Misalkan V adalah ruang hasil kali dalam dan 1 2, , , rS v v v adalah himpunan
orthonormal dari vektor-vektor V. Jika W menyatakan ruang yang direntang oleh
1 2, , , rv v v , maka untuk setiap vektor u dalam V dapat dinyatakan sebagai:
1 2u w w
Di mana 1w terletak di W dan 2w orthogonal terhadap W dengan memisalkan:
1 1 1 2 2, , , *r rw u v v u v v u v v
dan
1 1 1 2 2, , , **r rw u u v v u v v u v v
Bukti
W
w1
w2
u
Gambar Proyeksi Orthogonal pada u dan W dan komponen u orthogonal terhadap W
w1 = proyeksi orthogonal u pada W (proy w u) w2 = proyeksi u yang orthogonal terhadap W (u-proy w u) Jadi (*) dan (**) menjadi
Proy 1 1 2 2, , ,w r ru u v v u v v u v v
1 1 2 2proy , , ,w r ru u u u v v u v v u u v
Contoh: Misalkan R3 mempunyai ruang hasil kali dalam Euclidis dan W adalah subruang yang
direntang oleh vektor-vektor orthonormal: 1 2
4 30,1,0 , ,0,
5 5v v
. Tentukan
proyeksi orthogonal u pada W dan komponen u yang orthogonal terhadap W. Solusi:
Proyeksi orthogonal 1,1,1u pada W adalah:
1 1 2 2Proy , ,wu u v v u v v
1 4 3
1 0,1,0 ,0,5 5 5
4 3,1,
25 25
Komponen u yang orthogonal terhadap w adalah:
4 3
proy 1,1,1 ,1,25 25
21 28 ,0,
25 25
wu u
cek apakah proy wu u orthogonal terhadap 1 2, ?v v
1 2proy , proy , 0w wu u v u u v
Teorema: Setiap ruang hasil kali dalam berdimensi berhingga taknol mempunyai satu basis orthonormal. Bukti:
Misalkan 1 2 3, , , , nS u u u u adalah sebarang basis untuk V yang merupakan sebarang
ruang hasil kali dalam berdimensi n taknol, akan dibangun basis orthonormal
1 2 3, , , , nv v v v untuk V dengan langkah-langkah sebagai berikut:
Langkah 1
Andaikan 11
1
1u
v vu
Langkah 2 Misalkan w1 sub ruang yang direntang untuk v1
Mencari komponen u2 yang tegak lurus (orthogonal) pada w1
12 2 2 2 1 1 Proy ,wu u u u v v
Normalisasi u2 maka didapat v2
2 22 2
2 2
proy1
proy
w
w
u uv v
u u
v1
v2
u2
W1
1 2proyw u
1 2proyw u
Gambar Normalisasi Komponen u2
Langkah 3: Misalkan w2 pada sub ruang yang direntang untuk v1 dan v2
Komponen 3 2u w
23 3 3 3 1 1 3 2 2 Proy , ,wu u u u v v u v v
Normalisasi u3 maka didapat v3
3 3 1 1 3 2 2
3 3
3 3 1 1 3 2 2
, ,1
, ,
u u v v u v vv v
u u v v u v v
v1
v2
u1
3 2 2proy u w u
2 2proy w u
W2
Gambar Normalisasi Komponen u3
Dengan meneruskannya dalam cara ini (analog dengan langkah 2 dan 3 4 5, , , nv v v
akan didapat himpunan orthonormal dari vektor-vektor 1 2 3, , , , nv v v v di ruang hasil
kali dalam V berdimensi n dan bebas linear. basis orthonormal untuk V Kesimpulan: Proses pembentukan langkah demi langkah untuk mengubah basis ke basis orthonormal disebut proses Gram-Schmid
B. METODE PEMBELAJARAN
Pembelajaran Langsung (Direct Instruction) dan diskusi kelompok.
C. LANGKAH PEMBELAJARAN
Pertemuan ke-7
No Tahap Kegiatan Pembelajaran Alokasi waktu
1. Pendahuluan Apersepsi dan motivasi: Memberikan motivasi pada mahasiswa tentang pentingnya mempelajari mata kuliah aljabar linier untuk kehidupan sehari-hari.
5 menit
2. Penyajian a. Eksplorasi Mengkaji tentang konsep panjang dan sudut dari vektor-vektor, matriks yang mempresentasikan ruang inner product.
b. Elaborasi 1. Mahasiswa dibagi menjadi beberapa
kelompok secara heterogen. 2. Setiap kelompok diberikan persoalan
mengenai panjang dan sudut dari vektor-vektor, matriks yang mempresentasikan ruang inner product.
3. Mahasiswa diminta untuk mengerjakan persoalan yang diberikan dengan berdiskusi perkelompok.
4. Dosen memilih secara acak salah satu perwakilan kelompok untuk mempresen-tasikan hasil diskusi didepan kelas.
c. Eksplanasi Dosen memberikan umpan balik pada hasil diskusi yang dipresentasikan.
50 menit
70 menit
15 menit
3. Penutup Refleksi
Dosen bersama mahasiswa membuat rangkuman/ kesimpulan.
10 menit
Pertemuan ke-6
No Tahap Kegiatan Pembelajaran Alokasi waktu
1. Pendahuluan Apersepsi dan motivasi: 1. Mengingat kembali materi pada
pertemuan sebelumnya. 2. Memberikan motivasi pada mahasiswa
tentang pentingnya mempelajari mata kuliah aljabar linier untuk kehidupan sehari-hari.
15 menit
2. Penyajian a. Eksplorasi
Menjelaskan proyeksi ortogonal dari suatu vektor, serta melakukan ortogonalisasi basis ruang vektor dengan proses Gram-Schmidt.
b. Elaborasi 1. Mahasiswa diberi persoalan tentang
proyeksi ortogonal dari suatu vektor, serta melakukan ortogonalisasi basis ruang vektor dengan proses Gram-Schmidt.
2. Mahasiswa diminta untuk mengerjakan persoalan yang diberikan dengan berdiskusi.
3. Perwakilan mahasiswa mempresen-tasikan hasil diskusi didepan kelas.
c. Eksplanasi Dosen memberikan umpan balik pada hasil diskusi yang dipresentasikan.
45 menit
60 menit
20 menit
3. Penutup Refleksi
Dosen bersama mahasiswa membuat rangkuman/ kesimpulan.
10 menit
D. MEDIA PEMBELAJARAN
Whiteboard, LCD dan Laptop
E. SUMBER BELAJAR
1. Anton, Howard. 2011. Aljabar Linier Elementer. Jakarta: Erlangga.
2. Budi, Wono Setyo. 2012. Aljabar Linier. Jakarta: Gramedia.
3. Modul Aljabar Linier 2
F. PENILAIAN
Teknik : Hasil diskusi, keaktifan dalam diskusi
RENCANA MUTU PERKULIAHAN (RMP)
Nama Dosen : Annisa Prima Exacta, M.Pd.
Fakultas : Keguruan dan Ilmu Pendidikan
Program Studi : Pendidikan Matematika
Mata Kuliah : Aljabar Linier 2
Kode Mata Kuliah : MKK414515
Bobot : 2 sks
Semester : IV
Pertemuan ke- : 10 dan 11
Standar Kompetensi : Menguasai konsep-konsep aljabar linier dan dapat menggunakannya
untuk membantu persoalan-persoalan di berbagai bidang, baik di
matematika, ilmu-ilmu lainnya maupun masalah keseharian, terutama
masalah-masalah yang bisa dibuat model persamaan liniernya.
Kompetensi Dasar : 5. Menjelaskan konsep eigenvalues dan eigen vektor dari suatu
matriks transformasi linier, menjelaskan konsep-konsep
similaritas matriks transformasi linier, serta menjelaskan konsep
pendiagonalan matriks transformasi linier.
Indikator : 5.1 Dapat mencari eigenvalues dan eigen vektor dari suatu matriks
transformasi linier.
5.2 Dapat menemukan matriks yang similaritas dengan matriks
transformasi linier.
5.3 Dapat mendiagonalkan matriks transformasi linier.
A. MATERI
NILAI EIGEN
Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Jika A adalah matriks n x n, maka vektor taknol x di dalam Rn dinamakan vektor eigen (eigen vector) dari A jika Ax adalah kelipatan skalar dari x, yakni:
Ax x
Untuk suatu skalar . Skalar dinamakan nilai eigen (eigen value) dari A dan x dikatakan
vektor eigen yang bersesuaian dengan .
Teorema: Jika A adalah matriks n x n, maka pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen satu sama lain: 1. adalah nilai eigen dari A
2. Sistem persamaan 0I A x mempunyai pemecahan taktrivial
3. Ada vektor tak nol x di dalam Rn sehingga Ax x
4. adalah pemecahaan riil dari persamaan karakteristik dari 0I A x
Diagonalisasi
Matriks kuadrat A dinamakan didiagonalisasi (diagonalizable) jika terdapat matriks P yang
dapat dibalik sehingga 1P AP diagonal, matriks P dikatakan mendiagonalisasi A.
Teorema: Jika A adalah matriks 'n n , maka pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen satu sama lain. 1. A dapat didiagonalisasi 2. A mempunyai n vektor eigen bebas linear Teorema:
Jika 1 2, , , kv v v adalah vektor-vektor eigen A yang bersesuaian dengan nilai-nilai eigen
yang berbeda 1 2, , , k maka 1 2, , , kv v v adalah himpunan bebas linear
Teorema: Jika matriks A yang berukuran n x n mempunyai n nilai eigen yang berbeda, maka A dapat didiagonalisasi. Prosedur untuk mendiagonalisasi matriks: Teorema sebelumnya menjamin bahwa suatu matriks A berukuran n x n, dengan v vektor eigen yang bebas linear dapat didiagonalkan, dan buktinya memberikan metode berikut ini untuk mendiagonalkan A.
Langkah 1:
Cari n vektor eigen yang bebas secara linear dari A, katakanlah 1 1 3, , , nP P P P
Langkah 2:
Bentuk matriks P yang mempunyai 1 1 3, , , nP P P P sebagai vektor kolom-kolomnya
Langkah 3:
Bentuk matriks 1P AP akan menjadi matriks diagonal dengan 1 1 3, , , nP P P P berturut-
turut sebagai anggota diagonalnya, di mana i adalah nilai eigen yang berpadanan dengan
iP untuk 1,2,3 ,i n
Contoh:
Carilah nilai-nilai eigen dari matriks 3 2
1 0A
Jawab:
3 2 1 0 3 2I
1 0 0 1 1A
Polinomial karakteristik dariA;
23 2
det I det 3 2 3 21
A
Persamaan karakteritik dari A’
23 2 0 2 1 0
Jadi, nilai-nilai eigen dari A adalah 2, 1
B. METODE PEMBELAJARAN
Pembelajaran Langsung (Direct Instruction) dan diskusi kelompok.
C. LANGKAH PEMBELAJARAN
Pertemuan ke-10
No Tahap Kegiatan Pembelajaran Alokasi waktu
1. Pendahuluan Apersepsi dan motivasi: Memberikan motivasi pada mahasiswa tentang pentingnya mempelajari mata kuliah aljabar linier untuk kehidupan sehari-hari.
5 menit
2. Penyajian a. Eksplorasi 1. Menjelaskan konsep eigenvalues dan
eigen vektor dari suatu matriks transformasi linier.
2. Menjelaskan konsep-konsep similaritas matriks transformasi linier.
b. Elaborasi 1. Mahasiswa dibagi menjadi beberapa
kelompok secara heterogen. 2. Setiap kelompok diberikan persoalan
mengenai eigenvalues, eigen vektor dari suatu matriks transformasi linier, dan similaritas matriks transformasi linier.
3. Mahasiswa diminta untuk mengerjakan persoalan yang diberikan dengan berdiskusi perkelompok.
4. Dosen memilih secara acak salah satu perwakilan kelompok untuk mempresen-tasikan hasil diskusi didepan kelas.
c. Eksplanasi Dosen memberikan umpan balik pada hasil diskusi yang dipresentasikan.
50 menit
70 menit
15 menit
3. Penutup Refleksi
Dosen bersama mahasiswa membuat rangkuman/ kesimpulan.
10 menit
Pertemuan ke-11
No Tahap Kegiatan Pembelajaran Alokasi waktu
1. Pendahuluan Apersepsi dan motivasi: 1. Mengingat kembali materi pada
pertemuan sebelumnya. 2. Memberikan motivasi pada mahasiswa
tentang pentingnya mempelajari mata kuliah aljabar linier untuk kehidupan sehari-hari.
15 menit
2. Penyajian a. Eksplorasi
Menjelaskan konsep pendiagonalan matriks transformasi linier.
b. Elaborasi 1. Mahasiswa diberi persoalan tentang
proyeksi ortogonal dari suatu vektor, pendiagonalan matriks transformasi linier.
2. Mahasiswa diminta untuk mengerjakan persoalan yang diberikan dengan berdiskusi.
3. Perwakilan mahasiswa mempresen-tasikan hasil diskusi didepan kelas.
c. Eksplanasi Dosen memberikan umpan balik pada hasil diskusi yang dipresentasikan.
45 menit
60 menit
20 menit
3. Penutup Refleksi
Dosen bersama mahasiswa membuat rangkuman/ kesimpulan.
10 menit
D. MEDIA PEMBELAJARAN
Whiteboard, LCD dan Laptop
E. SUMBER BELAJAR
1. Anton, Howard. 2011. Aljabar Linier Elementer. Jakarta: Erlangga.
2. Budi, Wono Setyo. 2012. Aljabar Linier. Jakarta: Gramedia.
3. Modul Aljabar Linier 2
F. PENILAIAN
Teknik : Hasil diskusi, keaktifan dalam diskusi
RENCANA MUTU PERKULIAHAN (RMP)
Nama Dosen : Annisa Prima Exacta, M.Pd.
Fakultas : Keguruan dan Ilmu Pendidikan
Program Studi : Pendidikan Matematika
Mata Kuliah : Aljabar Linier 2
Kode Mata Kuliah : MKK414515
Bobot : 2 sks
Semester : IV
Pertemuan ke- : 12 dan 13
Standar Kompetensi : Menguasai konsep-konsep aljabar linier dan dapat menggunakannya
untuk membantu persoalan-persoalan di berbagai bidang, baik di
matematika, ilmu-ilmu lainnya maupun masalah keseharian, terutama
masalah-masalah yang bisa dibuat model persamaan liniernya.
Kompetensi Dasar : 6. Menjelaskan relasi kongruensi antara matriks transformasi, bentuk
bilinier, dan bentuk kuadrat.
Indikator : 6.1 Dapat menentukan relasi kongruen, mencari bentuk bilinear, dan
bentuk kuadrat.
A. MATERI
1. Relasi Kongruensi 2. Bentuk Bilinier 3. Bentuk Kuadrat
B. METODE PEMBELAJARAN
Pembelajaran Langsung (Direct Instruction) dan diskusi kelompok.
C. LANGKAH PEMBELAJARAN
Pertemuan ke-12
No Tahap Kegiatan Pembelajaran Alokasi waktu
1. Pendahuluan Apersepsi dan motivasi: 1. Memberikan motivasi pada mahasiswa
tentang pentingnya mempelajari mata kuliah aljabar linier untuk kehidupan sehari-hari.
15 menit
2. Penyajian a. Eksplorasi 1. Menjelaskan relasi kongruensi antara
matriks transformasi. 2. Memberikan contoh persoalan
tentang relasi kongruensi antara matriks transformasi.
60 menit
b. Elaborasi 1. Mahasiswa diberi persoalan baru
mengenai relasi kongruensi antara matriks transformasi.
2. Mahasiswa diminta untuk mengerjakan persoalan yang diberikan dengan berdiskusi.
3. Perwakilan mahasiswa mempresen-tasikan hasil diskusi didepan kelas.
c. Eksplanasi Dosen memberikan umpan balik pada hasil diskusi yang dipresentasikan.
50 menit
15 menit
3. Penutup Refleksi Dosen bersama mahasiswa membuat rangkuman/ kesimpulan.
10 menit
Pertemuan ke-13
No Tahap Kegiatan Pembelajaran Alokasi waktu
1. Pendahuluan Apersepsi dan motivasi: 1. Mengingat kembali materi sebelumnya 2. Memberikan motivasi pada mahasiswa
tentang pentingnya mempelajari mata kuliah aljabar linier untuk kehidupan sehari-hari.
15 menit
2. Penyajian a. Eksplorasi 1. Memberikan penjelasan tentang
konsep bentuk bilinier, dan bentuk kuadrat.
2. Memberikan contoh persoalan yang berkaitan dengan bentuk bilinier, dan bentuk kuadrat.
b. Elaborasi 1. Mahasiswa diberi persoalan baru
mengenai bentuk bilinier, dan bentuk kuadrat.
2. Mahasiswa diminta untuk mengerjakan persoalan yang diberikan dengan berdiskusi.
3. Perwakilan mahasiswa mempresen-tasikan hasil diskusi didepan kelas.
c. Eksplanasi Dosen memberikan umpan balik pada hasil diskusi yang dipresentasikan.
60 menit
50 menit
15 menit
3. Penutup Refleksi
Dosen bersama mahasiswa membuat rangkuman/ kesimpulan.
10 menit
D. MEDIA PEMBELAJARAN
Whiteboard, LCD dan Laptop
E. SUMBER BELAJAR
1. Anton, Howard. 2011. Aljabar Linier Elementer. Jakarta: Erlangga.
2. Budi, Wono Setyo. 2012. Aljabar Linier. Jakarta: Gramedia.
3. Modul Aljabar Linier 2
F. PENILAIAN
Teknik : Hasil diskusi, keaktifan dalam diskusi
RENCANA MUTU PERKULIAHAN (RMP)
Nama Dosen : Annisa Prima Exacta, M.Pd.
Fakultas : Keguruan dan Ilmu Pendidikan
Program Studi : Pendidikan Matematika
Mata Kuliah : Aljabar Linier 2
Kode Mata Kuliah : MKK414515
Bobot : 2 sks
Semester : IV
Pertemuan ke- : 14
Standar Kompetensi : Menguasai konsep-konsep aljabar linier dan dapat menggunakannya
untuk membantu persoalan-persoalan di berbagai bidang, baik di
matematika, ilmu-ilmu lainnya maupun masalah keseharian, terutama
masalah-masalah yang bisa dibuat model persamaan liniernya.
Kompetensi Dasar : 7. Menjelaskan konsep bentuk kanonik jordan dari matriks dengan
menghitung Ae dengan menggunakan teorema Caely-hamilton.
Indikator : 7.1 Dapat mencari bentuk kanonik jordan dari matriks dengan
menghitung Ae dengan menggunakan teorema Caely-hamilton.
A. MATERI
1. Bentuk kanonik Jordan 2. Teorema Caley Hamilton
B. METODE PEMBELAJARAN
Pembelajaran Langsung (Direct Instruction) dan diskusi kelompok.
C. LANGKAH PEMBELAJARAN
Pertemuan ke-14
No Tahap Kegiatan Pembelajaran Alokasi waktu
1. Pendahuluan Apersepsi dan motivasi: 1. Memberikan motivasi pada mahasiswa
tentang pentingnya mempelajari mata kuliah aljabar linier untuk kehidupan sehari-hari.
15 menit
2. Penyajian a. Eksplorasi 1. Menjelaskan konsep bentuk kanonik
jordan dari matriks dengan
menghitung Ae dengan menggunakan teorema Caely-hamilton.
60 menit
b. Elaborasi 1. Mahasiswa diberi persoalan baru
mengenai bentuk kanonik jordan dari
matriks dengan menghitung Ae
dengan menggunakan teorema Caely-hamilton.
2. Mahasiswa diminta untuk mengerjakan persoalan yang diberikan dengan berdiskusi.
3. Perwakilan mahasiswa mempresentasikan hasil diskusi didepan kelas.
c. Eksplanasi Dosen memberikan umpan balik pada hasil diskusi yang dipresentasikan.
50 menit
15 menit
3. Penutup Refleksi
Dosen bersama mahasiswa membuat rangkuman/ kesimpulan.
10 menit
D. MEDIA PEMBELAJARAN
Whiteboard, LCD dan Laptop
E. SUMBER BELAJAR
1. Anton, Howard. 2011. Aljabar Linier Elementer. Jakarta: Erlangga.
2. Budi, Wono Setyo. 2012. Aljabar Linier. Jakarta: Gramedia.
3. Modul Aljabar Linier 2
F. PENILAIAN
Teknik : Hasil diskusi, keaktifan dalam diskusi